動點在二次函數中的綜合（1）

1.如圖，拋物線>=。尤2+桁+6與x軸交于點A（-2,0）,B（6,0）,與y軸交于點C.

（1）求該拋物線的函數解析式；

（2）點。（4,〃力在拋物線上，連接8C、BD.試問，在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P,滿足

NPBC=NDBC?如果存在，請求出尸點的坐標；如果不存在，請說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+l與拋物線y=N+bx+c交于A,B（4,5）兩點，點A在x軸上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是線段上一動點（點A,8除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點R當線-段的

長度最大時，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P,使/尸跖=90。？若存在，求出點尸的坐標；若不存

3.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線y=a（x+1）（x-3）交x軸于A、B兩點，交y

軸于點C,ZABC=45°,

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2,P為第一象限內拋物線上一點，ABCP的面積為3時，且/BCP>45。，求尸點坐標；

（3）如圖3,在（2）的條件下，D、E為拋物線上的點，且兩點關于拋物線對稱軸對稱，過。作無軸垂

線交過點尸且平行于x軸的直線于Q,交拋物線于R,延長。。至H,連接RH,tan/ERH=學，

92

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=椅爐-3^-3與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.

-84

（1）請直接寫出A、B、C三點的坐標：

ABC

（2）點P從點A出發,在線段上以每秒3個單位長度的速度向點8運動，同時點。從點8出發，

在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動.其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動.設

運動的時間為t（秒），

①當/為何值時，BP=BQ?

②是否存在某一時刻使ABP。是直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的f的值，若不存在，請

說明理由.

備用圖

5

5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=5x+機(機為常數)的圖象與x軸交于點A(-3,0),

4

與y軸交于點C,以直線尤=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c(°、b、c為常數，且(#0)經過A、。兩

點，并與x軸的正半軸交于點8

(1)求機的值及拋物線的函數表達式；

(2)是否存在拋物線上一動點。使得AAC。是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點。的橫

坐標；若存在，請說明理由；

(3)若尸是拋物線對稱軸上一動點，且使AACP周長最小，過點尸任意作一條與y軸不平行的直線交拋

MiP-MoP

物線于Ml(xi,竺)，MT.(X2,y2)兩點，試問-是否為定值,如果是，請求出結果，如果不是

請說明理由.

(參考公式：在平面直角坐標之中，若A(xi,yi),B(尤2,”)，則A,8兩點間的距離為AB=

22

(x!-x2)+(y1-y2))

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線>=依-7與y軸交于點C,與x軸交于點8,拋物線y=oy2+bx+l4a

經過8、C兩點，與x軸的正半軸交于另一點A,且OA：0c=2：7.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。在線段上，點尸在對稱軸的左側拋物線上，PD=PB,當tan/POB=2,求點尸的坐標;

（3）在（2）的條件下，點。（7,?）在第四象限，點R在對稱軸的右側拋物線上，若以點P、D、。、

R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q、R的坐標.

C

7

/

7.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=or2+bx+c（a<0）與x軸交于A（-2,0）、8（4,0）兩點,

與y軸交于點C,且OC=2OA.

（1）試求拋物線的解析式;

（2）直線y=fcc+l（4>0）與y軸交于點。，與拋物線交于點尸，與直線BC交于點記相=瞿，試

DM

求m的最大值及此時點尸的坐標;

（3）在（2）的條件下，點Q是無軸上的一個動點，點N是坐標平面內的一點，是否存在這樣的點0、

N,使得以P、D、。、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的坐標；如果不存在，請說

明理由.

8.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線y=a%2+b尤-5與x軸交于A（-1,0）,B（5,0）兩點，與

y軸交于點C.

（1）求拋物線的函數表達式;

(2)如圖2,CE〃x軸與拋物線相交于點E,點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平

行的直線與BC,CE分別相交于點RG,試探究當點X運動到何處時，四邊形CHE尸的面積最大，求

點H的坐標；

(3)若點K為拋物線的頂點，點M(4,”2)是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P,Q,使

9.如圖，已知拋物線y=N+2x的頂點為A,直線y=x+2與拋物線交-于8,C兩點.

(1)求A,B,C三點的坐標；

(2)作CO_Lx軸于點。，求證：AODCS^ABC；

(3)若點尸為拋物線上的一個動點，過點P作尸軸于點則是否還存在除C點外的其他位置的

點，使以。，P,M為頂點的三角形與AABC相似？若存在，請求出這樣的尸點坐標；若不存在，請說

明理由.

19

10.如圖，已知拋物線y=-5工2+灰+。經過點4(5,不)、點8(9,-10),與y軸交于點C,點P是直

OO

線AC上方拋物線上的一個動點；

(1)求拋物線對應的函數解析式；

(2)過點P且與y軸平行的直線I與直線BC交于點E,當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標;

(3)當/尸。3=90。時，作/PC8的角平分線，交拋物線于點R

①求點P和點F的坐標；

②在直線CF上是否存在點。使得以RP、。為頂點的三角形與△8CF相似，若存在，求出點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

1.解：(1)當％=0時，y=6,

???點。的坐標為(0,6).

設拋物一線的解析式為(%+2)(%-6),將C(0,6)代入得：-12。=6,解得〃=-*.

；?拋物線的解析式為y=-(x+2)(x-6),整理得：y=--^-x2+2x+6.

(2)將％=4代入得：y=6.

：.D(4,6).

如圖所示：作點。￡〃x軸，過點8作3E〃丁軸，作點。關于8c的對稱點則過點。作

ZXFLx軸，垂足為H

?；B(6,0),C(0,6),

：.OB=OC.

，NOBC=45。.

：.ZOBC=ZEBC.

又〈ZDrBC=/DBC,

：.ZDBE=/DBF.

2D，FB=ZDEB

在△。瓶和△zxra中，ZDBE=ZDyBF，

BD=BDy

???△DEB^ADFB.

：.DrF=ED=2,BF=BE=6.

???點。的坐標為(0,2).

設5。的解析式為y=kx+2,將點B的坐標代入得：6k+2=0,解得k=-

O

.?.8。的解析式為y=-gx+2.

o

==22

將y--^-x+2代入y--^-x+2x+6得：--^-x+2—--^-x+2x+6f整理得：3N-14x-24=0,解得：x—

O乙O

A

6（舍去）或x=--.

o

將%=-言代入得：y=--^-x（-言）+2=/+2=（"

33399

4.99

?,?點尸的坐標為（-方，.

39

2.解：（1）把y=0代入y=x+l得：x+l=0,解得：x=-1,

???點A（-1,0）.

l-b+c=0冷刀汨

將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得:，解得：b—-2,c=-3.

16+4b+c=5

???拋物線的解析式為產N-2%-3.

(2)如圖1所示:

設點E的坐標為(x,x+1)則點歹的坐標為尸(工,N-2x-3).

395

設EF=(x+1)-(x2-2x-3)=-N+3x+4=-(x-----)2+-----.

24

.?.當彳得時，口有最大值.

將X=-|■代入y=x+l得：

：.E.

22

R

(3)如圖2所示：過點E作尸￡，七區交拋物線與點尸或點P,則加=]■.

將尸堤代入拋物線的解析式得：N-2x-3=^,解得：彳=1+華，尤=1-舉.

2222

點P的坐標為（1-運，號）或（1+運，導）.

2222

3.解：（1）對于拋物線（x+1）（x-3）,令y=0,得到〃（%+1）（%-3）=0,解得力=-1或3,

AA(-1,0),B(3,0),

???05=3,

ZABC=45°,

???OC=OB=3,

C(0,3),把(0,3)代入(x+1)(x-3)得至Ua--1,

???拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

(2)如圖2中，作尸H_LA8于"，交BC于T.，作CE_LP”于E,設尸(加，-m2+2m+3).

VB(3,0)，C(0,3)，

?,?直線BC的解析式為y=-x+3,

:?T(m,-m+3)，

?：SAPBC=SAPTC+SAPTB*?PT，CE+/PT.BH=^PT.(CE+BH)=^"PT'0B=^x(一癥+3m)x3=3,

整理得m2-3m+2=0,

/.m=l或2,

VZPCB>45°,

??fTl^—11

：.P(1,4).

(3)如圖3中，作于M,連接EM.DH交AB于N.設。(n,-n2+2n+3).

PQ//DE,PQLDQ,DH_LAB,

Q(m4),

DE=2(n-1),DQ=4-(-/+2幾+3)=(n-1)2,

DQ_(n-l)2_n-lDE_2(n-l)_n-l

DE-2(n-l)一"寸DH4~一"T'

DQ=DE

DE-DH，

NEDQ=NEDH=9。。,

△EDQsAHDE,

ZDEQ=ZEHD,

NDEQ+NEQD=9。。,

ZEHD+ZEQD=90°,

NHEQ=9。。,

/REH+NRMH=18U。,

E、H、M、夫四點共圓，

???ZERH=/EMH,

/.tanZERH—tanZEMD—=,

9DM

Q

：.DM=—(n-1),

8

Q

：.QM=(n-1)2--^-(n-1),

o

U：RM//DE,

.RM=QM

，，DE-QD，

17

：.RM=2n-

4

17Q

：.R[-n+—4-(n-1)2+—(n-1)],

4f8

q1717

把點R坐標代入y=-N+2x+3得到，4-(n-1)2+—(n-1)=-(-n+——)2+2(-n+--)+3,

844

解得三全

:.D4)■

24

22,,2297

4.解：(1)由x2-—x-3得至U：(x-4)(x-2)或_y=—(x-1)2-,

84888

所以A(-2,0),B(4,0),

令x=0,則y=-3,

所以C(0,-3)；

綜上所述，A(-2,0),B(4,0),C(0,-3)；

故答案是：(-2,0),(4,0),(0,-3)；

(2)①;A(-2,0),B(4,0),

：.AB^6,

由BP=BQ得到:6-3t=t,

解得u*

②(4,0),C(0,-3),

：.OB=4,0C=3,

225

BC=7OB-K)C=-

i)如圖1,當N8PQ=90。時，ABPQsABOC,則塔=整，即殳*=「，

OBBC45

30

解得t

19

泊如圖2,當N2。尸=90。時，ABPQs/\BCO,則黑=黑，即殳衿=],

BCUB54

解得r=券

綜上所述，/的值是：弱或善?

1917

5.解：(1);一次函數y=：x+根(根為常數)的圖象與x軸交于點A(-3,0),

4

R1R

.'.0=—x(-3)+m,解得根=一^,

44

R1R

，一次函數解析式為y=3■尤+3，

44

1R

???C點坐標為(0,4).

4

1R

?.,以直線x=l為對稱軸的拋物線y=0+6x+c(a、b、c為常數，且存0)經過A(-3,0)、C(0,4)，

4

1

上=1a=-7

2a

9a~3b+c=0,解得《

2

15

C^T

???拋物線的函數表達式為尸一%+?冬

1115

(2)存在.設。(x,——x2+—XH---).

424

①當點C為直角頂點時，如圖，作CQLAC交拋物線于點。,QE±y軸于E.

在AAC。與ACQE中，

(ZACO=ZCQE=900-ZQCE

IZAOC=ZCEQ

AACO^ACQE,

嚼常,即亭=基金曳里,

TCO

解得xi=5.2,X2=0（不合題意舍去）；

②當點A為直角頂點時，如圖，作AQ'LAC交拋物線于點2,QE_Lx軸于E.

在"CO與△。幺E中，

(Z0AC=ZEyQ'A=90°-Z0AQ7

lZA0C=ZQyE'A

Z.AACO^AQ'AE',

x+312115

.AE'_Q'E----Y--------Y-----------

，即義=424,

COA0T

解得xi=8.2,X2=-3（不合題意舍去）.

綜上所述：。點的橫坐標為5.2或8.2；

111R

(3)：y=-7/+二^+1-與x軸交于A(-3,0)、8兩點,對稱軸為直線K1,

424

.?.B點坐標為（5,0）,

1R

VC(0,耳)，

4

3"5

直線BC的解析式為y-----x+---,

44

2@=3

當x=l時，y=---xl+.3，

44

：.P(1,3).

設過點尸的直線為：y=kx+3-k,

1115

tEy—kx+3-左代入y=--x2+—x+—,

424

111R

得fcv+3-k----X2H—x~\---,

424

整理得，N+（公-2）x-4左-3=0,

,\XI+X2=2-4k,x\X2=-4左-3,y\-yz=k(xi-xi)，

/.(xi-X2)2=(xi+%2)2-4xiX2=(2-4k)2-4(-4左-3)=16R+16,

2+2=2X-x2=4

/.MYM2=(xj-x2)(yjVl+kV^12^(1+R)，

2

同理：MiP=yj(x1-l)+(kxj+3-k-3)?=J]+k2j(x「])2,

M2P=N1+k2d(32-1)2'

M\P*M2P=yjl+k2^^X12>Vl+k2^^x2-^2=?(?-1)(X2-1)|*(1+F)=4(1+N)，

6.解：(1)???直線丁=辰-7與y軸的負半軸交于點。

：.C(0,-7),

???OC=7,

,拋物線y=〃N+云+14〃經過點C,

,14〃=-7,

,_1

..a--亍

/.y=——x2+Z?x-7

29

VOA：OC=2：7.

；?OA=2,

AA(2,0)

?拋物線y=-^x2+bx-7經過點A,

???拋物線的解析式為y=-yx2+-1x-7,

令＞=0解得％=7或冗=2(舍去)，

：.B(7,0),

??.03=7,

???OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=45°

過點尸作尸尸工工軸于點G,交C8延長線于點R則尸尸〃y軸,

：.ZCFG=ZOCB=45°,

:?BF=yf^GF,

過尸作PE,3c于點

■:PD=PB,

：.ZPBD=ZPDB,

tanZPBD=tanZPDB=2,

：.PE=2BE,

?；EF=PE,

：?BF=BE,

：.PF=y/2PE=2^[2BE=2yf^F=4GF,

：.PG=3GF,

*.*直線y=kx-7過3點，

；?k=1,

?\y=x-7,

設尸(加，m-7),則尸(如-3(m-7)),

丁點P在拋物線y=--1x2+1-x-7上，

1Q

-3(%-7)=m2+—m-7,

22

解得％=7(舍去)或/"=8,

:.P(8,-3)；

(3)如圖2,當D尸〃QR時，即四邊形。QRP是平行四邊形,

,:B(7,0),Q(7,m)

.?.8Q〃y軸

過P作PN//BQ,過。作DNLBQ交PN于點N,

過火作RMLBQ于點M.

設P。交3。于點T,DN交BM于點I,

/DTB=ZDPN,ZPTQ=ZRQM,

?：/DTB=/PT。,

：.ZDPN=ZRQM,

,/四邊形DPRQ是平行四邊形，

：.DP=RQ,

在△RMQ和AONP中，

，ZRQM=ZDPN

-ZRMQ=ZDNP.

RQ=DP

：./\RMQ^/\DNP(A4S),

：.RM=DN,MQ=PN,

由(2)可求b(8,1),GF=\,BD=2BE=2BF=2次G/=2

VZ2BC=45°,:.BI=DI=2,

：.D(5,-2),

設R點的橫坐標為3

?:RM=DN,

Ar-7=8-5,

解得r=10,

???點R在拋物線y=--^-x2+-1x-7±,

1Q

???當/=10時，-yX102+-|xl0-7=-12,

：.R(10,-12),

?:MQ=PN,

3-2--12-幾，

:?〃=-11,

:.R(10,-12),Q(7,-11),

如圖3,當DR〃。尸時，即四邊形。QPR是平行四邊形

同理可求得R(6,2),。(7,-7).

7.解：(1)因為拋物線y=o%2+bx+c經過A(-2,0)、2(4,0)兩點,

所以可以假設y=a(x+2)(x-4),

?：OC=2OA,OA=2,

：.C(0,4),代入拋物線的解析式得到。=",

111Q

?“=-—(x+2)(x-4)或y=--x2+x+4或y=-—(x-1)2+—.

(2)如圖1中，由題意，點尸在y軸的右側，作尸￡，入軸于交BC于F.

JCD//PE,

?,ACMDs^FMP,

???直線》=辰+1(左＞0)與y軸交于點。，則。(0,1),

??,8。的解析式為y=-x+4,

設尸(n,--^-n2+n+4),貝!J/(n,-n+4),

/.PF=--n2+n+4-(-n+4)=-—(n-2)2+2,

22

9

??當〃=2時，機有最大值，最大值為親止匕時尸(2,4).

O

(3)存在這樣的點。、N,使得以尸、。、。、N四點組成的四邊形是矩形.

①當。尸是矩形的邊時，有兩種情形,

。、如圖2-1中，四邊形。QVP是矩形時,

2

有(2)可知P(2,4),代入y=h+l中，得到％=彳，

???直線。尸的解析式為尸米+1,可得。(0,1),E(0),

由4D0ES△QOD可得興=端，

uyuu

：.OD2^OE-OQ,

???1號2?o。，

O

3

???。。=5，

3

Q（彳，0）.

根據矩形的性質，將點P向右平移看個單位，向下平移1個單位得到點N,

27

:?N(2+—,4-1),即N(5，3)

??,直線尸。的解析式為y=￡x+l,PQLPD,

：,直線PQ的解析式為y=-■|x+￥，

oo

：.Q(8,0),

根據矩形的性質可知，將點D向右平移6個單位，向下平移4個單位得到點N,

：.N(0+6,1-4),即N(6,-3).

②當OP是對角線時，設。(/0),貝|。。2=/+1,。尸2=(x-2)2+42,PD2=13,

是直角頂點，

：.QD2+QP2=PD2,

x2+1+(x-2)2+16=13,

整理得N-2x+4=0,方程無解，此種情形不存在，

綜上所述，滿足條件的點N坐標為(彳，3)或(6,-3).

8.解：(1)??,點A(-1,0),B(5,0)在拋物線丁=以2+法一5上，

.(a-b_5=0

125a+5b-5=0

解得卜=1,

lb=-4

拋物線的表達式為y=x2-4尤-5,

(2)設H(3?-4-5),

；CE〃x軸，

.?.點E的縱坐標為-5,

在拋物線上，

.'.X2-4x-5=-5,

.,.x=0(舍)或x=4,

：.E(4,-5),

：.CE=4,

?：B(5,0),C(0,-5),

直線BC的解析式為y=x-5,

:"F5/-5),

：.HF=t-5-(r2-4z-5)=-(z--5)2+—25,

24

TCE〃冗軸，HF〃y軸,

:?CE上HF,

159S

；?S四邊形jCE?HF=-2(Z-y)2+號,

：.H(得，-華)；

(3)如圖2,：K為拋物線的頂點，

：.K(2,-9),

；.K關于y軸的對稱點K(-2,-9),

,：M(4,m)在拋物線上，

：.M(4,-5),

二點M關于x軸的對稱點M(4,5),

?,?直線的解析式為y=-7^x-募12，

OO

9.(1)解：y=x2+2x=(x+1)2-1,

；?頂點A(-1,-1)；

由卜=x?+2x,解得:‘二2或卜=：

y=x+2y=0Iy=3

：.B(-2,0),C(1,3)；

(2)證明：VA(-1,-1),B(-2,0),C(1,3),

；?A8=yj(-2+1)2+(O+l)2=V2'

BC=V(-2-1)2+(0-3)2=3V2>

AC=V(-1-1)2+(-1-3)2=2V5>

?+叱=叱，罌=_^=春,

BC3723

ZABC=9Q°,

"：OD=1,CD=3,

?OD1

,,而一=石，

.?.期■典，ZABC^ZODC=90°,

BCCD

/.△ODC^AABC；

(3)存在這樣的P點，

設M(尤，0),則P(x,x2+2x),

：.OM=\x\,PM=\x2+2x\,

當以O,P,M為頂點的三角形與AABC相似時，

后PMABPMCB

有--------或----=----,

0MCB0MAB

由（2）知：AB=M，CB=3?

①當工覽=2且時，則Ix?+2x|=工

0MCB|x|3

當P在第二象限時，x<0,x2+2x>0,

K+2x.=[,解得：xi=o（舍），尤2=-1，

-x33

當尸在第三象限時，x<0,N+2x<0,

2

.?.-X-,X=],解得：》=0（舍），]2=-二，

-x33

②當粵=嗝時，則用半L=3,

0MABIxI

同理代入可得：％=-5或%=1（舍），

綜上所述，存在這樣的點P,坐標為（-￡,-三）