重難點(diǎn)14指對(duì)運(yùn)算九大題型匯總

題型解讀

1!^滿分技巧

技巧一.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：

l.log^N=log^+log^；

M

2.log^=log^-log^,

n

3.Zog%=n/og%.(其中a>0,aHl,M>0,N>OZnFR)

技巧二.換底公式：

loga=>0,且。。7；c>0,且cW/；b>勿.

利用不同的對(duì)數(shù)值求新的對(duì)數(shù)值，此類題特征：

1.多底數(shù)，多真數(shù)，都給它降幕為基數(shù)，

2.條件與結(jié)論，特別是條件，有沒(méi)有底數(shù)真數(shù)共同數(shù)

3.如果沒(méi)有共同數(shù)，則結(jié)合求的對(duì)數(shù)真數(shù)，尋找共同底數(shù)，實(shí)在不好找，全部轉(zhuǎn)化為10為底，或者e為

底(盡量找共同數(shù))

4.結(jié)論對(duì)數(shù)的底數(shù)，真數(shù)，轉(zhuǎn)化為條件的底數(shù)真數(shù)積與商,

換底推廣：

①log/="—;

log/,a

@logaZ?-logz,c-logf.t7=l;

③log.,,。"=log*；

?logb'"=—]ogb；

na

⑤logIb=-yogab.

技巧三.對(duì)數(shù)的性質(zhì)：

①小gaN=N；

②log=N(a>0且awl).

技巧四.求最值

多用一元二次函數(shù)或者均值不等式

1.基本不等式成立的條件：a>0,b>0;

2.等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b.

3.基本不等式的變形：

①a+b>24ab,常用于求和的最小值；

②a64(F)2，常用于求積的最大值；

技巧五.指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)方程：

1.可以借助指數(shù)運(yùn)算進(jìn)行換元

2.要注意對(duì)數(shù)取值范圍

3.根據(jù)常用指數(shù)式、對(duì)數(shù)式及其性質(zhì)化簡(jiǎn),

1b

如"ogab=友屋=1,a=ajogal=0Jogaa=l,logaa=4即可求得結(jié)果.

府y題型提分練

題型1指對(duì)化簡(jiǎn)運(yùn)算

【例題1]（2023上?江西宜春?高一江西省宜春中學(xué)校考期末）計(jì)算：

（1）（3廿+（給3+淤-陶8；

log3

⑵1。§3a7-log32-log23-66-lgV2-lgV5.

【答案】⑴1

⑵-3

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)幕運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的定義運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算求解.

11

【詳解】（1）原式=（9，（|）『+1-3="1-3=J

（2）原式=log332一氏x(chóng)署一3-IgVlO=|一1一3-（=一3.

【變式1-1]1.（2022上?云南紅河?高一校考期末）求值：

（1）6）31X（―c9+87x冠_"一丁2；

⑵1g竿一1g麗+lg7遮

【答案】⑴2

（2）1

【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕運(yùn)算和根式運(yùn)算法則計(jì)算出答案；

（2）利用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】(1)原式=(|尸X1+2JX2^-(|)'=2滑=2

⑶原式"T

=ig(字)=igVio=igi02=i

【變式1-1]2.（2023上?四川成都?高一校聯(lián)考期末）化簡(jiǎn)求值（需要寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）.

(陪尸+閨+6-3)。；

1+log2

(2)33+Ig5+log32xlog23xIg2.

【答案】⑴2

(2)7

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)、根式運(yùn)算的性質(zhì)計(jì)算可得答案；

（2）根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)計(jì)算可得答案

【詳解】（1）圖尸+閨+（1）。=（舒+間+1

1

=2；

1+log2

(2)33+Ig5+log32xlog23xIg2

=31.3log32+|g5+Ig2

=3x2+lg(2x5)

=6+1=7.

【變式1-1]3.（2022上?新疆哈密?高一校考期末）計(jì)算:

(I)21g2+lg25

2

ln2

(2)log327-e+

1_?

（3）（2獷一（一2）。一管尸+0

(4)已知：￡+a3=3,求要萼

az+a”-2

【答案】⑴2

(2)5

(4)1

【分析】(1)(2)(3)根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算得到答案；

(4)直接平方得到a+a-1=7,再次平方得到a?+L=47,代入計(jì)算得到答案.

【詳解】(1)21g2+lg25=lg4+lg25=IglOO=2；

_2

ln2

(2)log327-e+Q)3=3-2+肅=3-2+4=5；

112?

(3)(2/一(一2)。一管尸+(|)-=G7-(-2)0一(裁+(1)2=>1V+H；

1_1/1_1\2

(4)成+a~2=3,故"5+a~2j=a+a-1+2=9,即a+a-1=7,

-122

(a+a)=小+Q-2+2=49z即小+a~=47,

_LZ_a+a1+27+21

-----=——.

a2+a-2-247-2------5

【變式1-114.(2022上?遼寧阜新?高一校考期末)計(jì)算下列各式的值

⑵3i°g35+k)g四+式3+2a)

2

(3)44-(n+1)°+(裁

(4)21og32-log3日+log38-251皈3

12

⑸(丁-咐。-缸+(丁?

【答案】Q)TT-2

(2)7

(4)-7

⑸？1

【分析】(1)指數(shù)幕的化簡(jiǎn)；

(2)利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)式的運(yùn)算化簡(jiǎn)；

(3)利用指數(shù)幕的運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)求值；

(4)利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)式的運(yùn)算化簡(jiǎn)；

(5)利用指數(shù)幕的運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)求值.

【詳解】(1)必可=|2-—2.

(2)3^35+log五+式3+2V2)=5+log調(diào)+式&+1)=5+2=7.

(3)4-5-(n+1)°+(裁=(22)3-1+

lo3221031032

(4)210g32-log3Y+log38-25^=log32-log31+log38-5^=log3等-5^=2-9=

㈠6。-管尸+(|/

題型2對(duì)數(shù)換底之用字母表示對(duì)數(shù)

【例題2](2022上?黑龍江牡丹江?高一校考期末)已知1。§218=a,試用a表示log23=

【答案】等

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求出即可.

【詳解】因?yàn)?log2(2x9)=log22+log29

=1+2log23=a,

所以log23=^

故答案為：?

【變式2-1]1.（2023下?上海黃浦?高一統(tǒng)考期末）已知3a=2,36=5,若用匹匕表示logfS,則

1嗎5

【答案】金/看

【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，在利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?a=2,3、=5,所以a=log32,b=log35,

所以1嗎5=寢=/==匕

故答案為：士

【變式2-1]2.（2023上?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）已知6,=2'=a（a為常數(shù)，且a>0,aK1），則

H=?（用a表示）

【答案】loga3

【分析】先利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化得到所以汽=loga,y=loga,再利用換底公式得到工=log6^=

62xay

loga2,然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?,=2〃=a,

所以x=log6a,y=log2a,

則§=loga6,；=loga2,

所以：；=loga6-loga2=loga1=loga3,

故答案為：loga3

【變式2-1J3.（2022上?陜西西安?高一校考期末）已知lg2=a,10》=3,用a、b表示1（^75=

［憑空］2-2a+b

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式指數(shù)式互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由10"=3,可得lg3=b,又lg2=a,

r-r-pn7r_lg75_lg(3x52)_Ig3+21g5_Ig3+2(l-lg2)_1+2(1—a)_2-2a+匕

所以O(shè)g4-*-21g2-21g2-21i2--2^-一-2^^,

故答案為：上普.

2a

【變式2-1]4.(2022上?上海徐匯?高一上海市南洋模范中學(xué)校考期末)已知log73=a,7b=2,用a及

b表示log772=.

【答案】2a+3b

【分析】先把7b=2轉(zhuǎn)化為6=log72,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

23

【詳解】因?yàn)?b=2,所以6=log72,所以log772=log7(3X2)=21og73+3Iog72=2a+3b.

故答案為：2a+3b.

題型3對(duì)數(shù)換底之求參

【例題3](2023上?云南保山?高一騰沖市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))若2a=5〃=10,則：+臺(tái)()

A.-1B.Ig7C.2D.log710

【答案】C

【分析】由已知表示出a,6,再由換底公式化簡(jiǎn)可求.

a6

【詳解】,'12=5=10,.1.a=log210,b-log510,

+々=2己+工1=2(^―+

ab\ab)\log210log5107

=2(lg2+lg5)=21gl0=2.

故選：C.

【變式3-l]l.(2023上?云南昆明?高一云南師大附中校考階段練習(xí))已知2M=9"=36，則=()

-1

A.log618B.-C.1D.log65

【答案】B

【分析】把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式后，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

771n

【詳解】由2=9=36,可得zn=log236,n=log936,

所以1=--------1：------=10g3g2H-10g36^

m2nlog23621og9362

1

=log362+log363=log366=-

故選：B.

【變式3-1]2.（2022上?新疆烏魯木齊?高一新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）若\=log25，則25m+5-m

的值為（）

A.-B.-C.-D.-

3255

【答案】B

【分析】先由換底公式將小表示為10g52,再將M代入256+5-m計(jì)算即可.

【詳解】由題知工=log5,■-m-=log52,

25m+5-m=52m+9=51唯4+募=4+1=1，

故選:B.

11

【變式3-1]3.（2023上?廣西?高一校聯(lián)考期中）已知x>0,y>0,lg2^+lg8?=lg2,則x+3y的最小

值是（）

A.4B.10C.12D.16

【答案】D

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知得;+：=1,然后利用基本不等式中的常數(shù)代換技巧求解最小值即可.

【詳解】由Ig2工+lg8亍=lg2,可得:+^=1.

x+3y=（無(wú)+3y）（1+：）=1+9+干+羊，又x>0,y>0,

所以x+3y=l+9+^+->10+21^--=16,

XyqXy

當(dāng)且僅當(dāng)"=2，即x=y=4時(shí)，等號(hào)成立.

xy

故選：D

【變式3-1]4.（2023上福建泉州?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知2,=3,log3；y，則打y=.

【答案】2

【分析】先根據(jù)題意求出x=log23,再代入原式，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)的換底公式即可求解.

【詳解】由2工=3,則x=log23,

則！+尸高+嘮3]

1

=4+（陶9一陶2）

1

=2+i—0一i°g2

3

log23

二211地22

log23log23

=2.

故答案為：2.

題型4對(duì)數(shù)換底之恒等式

【例題4]（2023?上海?高一專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a、b、c均不為1,滿足〃=?=c%,且：+（+：=0,

則彷。的值為

【答案】1

【分析】設(shè)產(chǎn)=>=cz=k,進(jìn)而利用對(duì)數(shù)性質(zhì)和換底公式求解即可.

【詳解】由題意,正實(shí)數(shù)a、b、c均不為1,

設(shè)a，=by=cz=k,

則x=logafc,y=logbfc,z=Iogcfc,

即（=log/,（=log/,|=10gfcC,

由1+2+1=。，彳導(dǎo)log/ca+logW+logfcC=0,

BPlogfc（ahc）=0,即abc=1.

故答案為：1.

【變式4-1]1.（2023上?江蘇南通?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若3,=4〉=6z=k,且|+；[=]則實(shí)數(shù)k的

值為

【答案】36

【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化表示出乂，y,z的值，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求出k值.

【詳解】3*=4,=6z=k,

???X=log3k,y=log4k，z=log6k,

貝[]—F------=--------F----------—二210g攵3+log/^4-log/^6

八&化&化

Xyzlog3/clog4klog6/c

=Iogfc9+logfe4-logk6=logk（r）=logk6=1,

.**fc2=6z即/c=36.

故答案為：36

【變式4-1]2.（2023?全國(guó)?高一隨堂練習(xí)）已知萬(wàn)=3>=12Z力1,求證：々+工=L

xyz

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)分析證明.

【詳解】設(shè)2工=3,=12z=a,可知a>0且aH1,

則％=log2a,y=\og3a,z=log12a,

可得工==log2-==log3-==log12,

a/a;oua

Xlog2aylog3azlog12a

212

所以=+5=°ga+l°ga3=loga4+loga3=loga12,

BP-+-=-.

xyz

【變式4-1]3.（2020?高一課時(shí)練習(xí)）已知a,b,c均為正數(shù)，且3。=4b=6。，求證：：+―|;

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】設(shè)3。=4b=6。=k,貝收>1,結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化公式，以及換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可得

證.

【詳解】設(shè)3。=4"=6。=k,貝味＞1.

:.a=log3k/b=log*,c=log6k,

2121

=2bgzc3+logk4=logfc9+logk4=logfc36=2logk6,

而"高=2log",

+得證.

【變式4-1]4.（2023上?江蘇南通?高一海安高級(jí)中學(xué)校考期中）數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上

依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)，因?yàn)檫\(yùn)算，數(shù)的威力無(wú)限；沒(méi)有運(yùn)算，數(shù)就只是個(gè)符號(hào).對(duì)數(shù)運(yùn)算與

指數(shù)幕運(yùn)算是兩類重要的運(yùn)算.

⑴試?yán)脤?duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算;g喘+黑）的值；

（2）已知x,v,z為正數(shù),若3,=獷=6Z,求的值.

【答案】⑴弓

⑵！

【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到答案；

（2）令3*=4y=6Z=a>0,得到x=log3a,y=log4a,z=log6a,利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到

答案.

【詳解】（1）原式=黑（翳+翳）=翳、翳隹；

21g2\21g331g3/21g261g312

（2）由題意知，令笠=4〃=6z=a,則a>0,

所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,

r-r-piyy_log4alog4a_Inaln6Inaln3_ln6ln3_ln2_1.

zxlog6alog3aln4Inaln4Inaln4ln421n22'

【變式4-1】5.（2023?上海?高一專題練習(xí)）已知x,y,2均為正數(shù)，且*=3y=6Z.

（1）若5x=my,求實(shí)數(shù)m的值;

⑵求證：」—L

xzy

【答案】（l）5log23

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)度=3y=6Z=fc,求出x,y,z,代入5x=my,結(jié)合換底公式可得解；

（2）根據(jù)求出的％,y,z值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可得證.

【詳解】（1）設(shè)2工=3>=62=卜，

因?yàn)榫?y,2均為正數(shù)，所以k>1,

則X=log2k,y=log3k,Z=log6k,

由5x=my,得510g2k=mlog3k=m',

；log2k0,m=51og23.

（2）證明：由（1）久=log2k,y=log3k,z=log6k,

1111

=1----T-\---r=log6-log3

zy--log6klog3kkfc

=log-=log2=-1=-.

3Kfc36KklogjkX

11_1

,,——.

zyx

題型5對(duì)數(shù)換底之求最值

【例題5]（2022上?上海金山?高一統(tǒng)考期末）若logQa+b）=log3V^,貝必+8b的最小值為

【答案】25

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得出5+￡=1，分析出。>0,b>0,將代數(shù)式a+86與3+飄乘，展開(kāi)后利用

基本不等式可求得a+8b的最小值.

【詳解】因?yàn)閘og9（2a+b）=log3Vab=log9ab,所以,2ab=ab>0,貝！Ja>0,b>0,

tf-i\Ib+2a12q

所以，才.+『1

因?yàn)閍+8b=(a+助尼+§=17+?+(?*+2J答與=25,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，等號(hào)成立，故a4-8b的最小值為25.

故答案為：25.

【變式5-1J1.(2021上?江西景德鎮(zhèn)?高一景德鎮(zhèn)一中校考期末)已知實(shí)數(shù)久、y，正數(shù)a、6滿足謨=?=2,

屋+工=—3,則1a的最小值為

xyb

【答案】.

【解析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算得出：=8a2,可得出a=8a2-a,利用二

次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得3-a的最小值.

y

【詳解】已知實(shí)數(shù)無(wú)、y,正數(shù)a、b滿足a*=b=2,則x=loga2,y=logb2,

由換底公式可得2+-=210g2a+log2b=log(a2d)=-3,可得a2b=|,則]=8a2,

xy2ou

2

因?yàn)閍>0,貝哈一a=8a2-a=8(a-2)-^>,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，等號(hào)成立，因此，:-a的最小值為-義.

故答案為：一2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查代數(shù)式最值的求解，解題的關(guān)鍵就是利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化、換底公式以

及對(duì)數(shù)的運(yùn)算得出a、b所滿足的關(guān)系式，再結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)求解.

【變式5-1]2.(2023上?山東青島?高一統(tǒng)考期中)若。>0,I>0,Iga+Igb=lg(a+b),則2a式勺最小

值為

【答案】8

【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則變形，然后利用基本不等式得最小值.

【詳解】由已知lg(ab)=lg(a+b),:.ab-a+b,

ab=a+b>2y/ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，

所以ab>4,從而2ab>8,即2a6的最小值是8.

故答案為：8.

【變式5-1]3.(2024上?黑龍江哈爾濱?高一哈九中校考開(kāi)學(xué)考試)已知a>0,6>0,c>0,hlog42+

4dog16V2=彳,則管+券最小值為.

【答案】10

【分析】根據(jù)給定的等式求出b,c的關(guān)系式，再求出手的最小值，然后利用均值不等式求解作答.

【詳解】依題意,blog222+4clog2422=苧，即+9=彳，則b+c=粕，又6>0,c>0,

因此包型=，+(而)2=4c2+廬+2云22V^^+2bc=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=2c=2時(shí)取等號(hào)，又a>0,

bebe3bc3bc3

22

ii-x=ac^2a.18c+2.18.Q.18.18QQ丁TTZ18Q

從而^^+Q=Wa+F22a+Q=2(a+l)+Z7I-222j2(a+l>z；T-2=l°，

當(dāng)且僅當(dāng)2(a+1)=券，即a=2時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)a=2,b=釁,c=乎時(shí)，竺產(chǎn)+三取得最小值10.

33bea+1

故答案為：10

2

【變式5-1J4.(2023上?陜西?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知a>1,b>1，當(dāng)b變化時(shí),logab+log6(a+12)

最小值為4，貝！]a=.

【答案】2

2

【分析】利用換底公式結(jié)合基本不等式確定log。》+log6(a+12)的最小值表達(dá)式，結(jié)合題意可得方程，即

可求得答案.

【詳解】由題意得a>1,b>l,

12)

l°ga%+l°g*a+=log*+logafa-2內(nèi).一癡廠

2

=2jloga(a2+12),當(dāng)且僅當(dāng)logg=智密也即(logab)2=loga(a+12)時(shí)取等號(hào)，

2422

.".2y/loga(a4-12)=4,a-a-12=0,:.a=4,a=2,此時(shí)b=4,適合題意，

故答案為：2

題型6指數(shù)方程

【例題6]（2022上?上海寶山?高一上海交大附中校考階段練習(xí)）方程9,+|1-3，|=5的實(shí)數(shù)解

為

【答案】x=log32

【分析】分工W0、%>0兩種情況化簡(jiǎn)方程—+|1-3^|=5,求出析的值,解之即可.

【詳解】當(dāng)》<0時(shí)，貝呼W1,由尹+|1-39=5可得（3守—3乂—4=0,可得3工=手（舍）；

X

當(dāng)%>0時(shí)，貝[|3*>1,由/+|1-3|=5可得（3支產(chǎn)+3,-6=0,可得3工=2,解得x=log32.

故答案為：x=log32.

【變式6-1]1.（2022上?上海楊浦?高一復(fù)旦附中校考期末）方程32,-3，+】+2=0的解為.

【答案】x=0或嗨2

【分析】利用換元法，令/=t,即可進(jìn)一步求解.

【詳解】令3工=t,

則方程化為t2-3t+2=0,

解得t=1或t=2,

即3,=1或3丫=2,

故答案為：x=。或log32.

【變式6-1]2.（2021?上海?高一專題練習(xí)）方程8x2,=3--9的解為

【答案】x=-3或久=log32+3

【分析】將原方程化為2>3=3（*3）（X-3）,可得％+3=o或3>3=2,即可得出原方程的解.

【詳解】因?yàn)?x2才=3/-9,即>+3=3（X+3）（X-3）,

所以，x+3=0或=2,即x+3=。或x-3=Iog32,解得x=-3或x=3+log32.

故原方程的解為久=-3或x=log32+3.

故答案為：X=-3或x=log32+3.

【變式6-1］3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）求方程#-3，+i-4=0的實(shí)數(shù)解.

【答案】x=log34.

【分析】利用換元法，令t=3,>0,則原方程可化為產(chǎn)-3t-4=0,解一元二次方程組即可.

【詳解】令t=3工>0,則原方程可化為嚴(yán)-3t-4=0,

解得t=4或t=-1（舍去）,即3*=4,所以比=log34.

【變式6-1】4.（2020下?高一課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于x的方程：“7+4包-2（57—4二1=1.

【答案】X-log7+4^g4

【分析】設(shè)1=V7+4V3,再根據(jù)（7+4仔）X（7-4次）=1代入求解關(guān)于盧的二次方程即可.

【詳解】設(shè)1=77+4V3,則（，7+4舊尸一2“7-4圾工=1即/-2Q"=1,即產(chǎn)久一2=產(chǎn)，所以

（戶-2）（戶+1）=0,因?yàn)閼?gt;0,故/=2,即％=logt2,即久=logr—?=2=log12=log7+4^34.

7-3（7+4V3）2

故解得％=10g7+4b4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)的方程求解，需要根據(jù)題意觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，再換元結(jié)合對(duì)

數(shù)的運(yùn)算求解.屬于中檔題.

題型7對(duì)數(shù)方程

【例題7】（2019?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f⑴=log3x，則方程［/（切2=2—log9（3x）的解集是.

【答案】｛3,手｝

【分析】由/（久）=log3x，代入得（log3X）2=2-log9（3x）；

再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理得（10g3X）2+夕嗝久-|=0,令1=10g3X,解關(guān)于t一元二次方程即可求解.

【詳解】由已知得Qog3%）2=2-log9（3x）,

2

（10g3x）=2-|log3（3x）=2-|（log33+log3x）,

即（log3X）2+jlog3X一|=o,令［=log3X,

則方程可化為戶+|t-|=0,解得t=1或t=-|,

???x=3或x=--,

訪程[/⑺猿=2-10g9(3x)的解集是｛3,畀.

故答案為｛3,同

【點(diǎn)睛】本題主要考查關(guān)于對(duì)數(shù)方程的求解，可采用換元法解方程，屬于基礎(chǔ)題.

【變式7-1]1.(2022下?云南紅河?高一統(tǒng)考期末)方程ln(log2%)=0的解是.

【答案】2

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可得ln(log2%)=0,可得log2K=1,解得X=2.

故答案為：2.

【變式7-1]2.(2022上?江蘇連云港?高一統(tǒng)考期末)方程1嗝(3久+1)=1嗝(--9)的解為

【答案】％=5.

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)可得3x+1=%2-9,且3久+1>0,x2-9>0,即可求解.

222

【詳解】解：由log5(3x+1)=log5(x-9)得3x+1=%-9,且3x+l>0,x-9>0,

由3久+1=x2-9,即(x—5)(x+2)=0,解得：x=5或x=-2,又3久+1>0,%2-9>0,

2

所以方程log5(3x+1)=log5(x-9)的解為：％=5

故答案為：久=5.

【變式7-1]3.(2020?高一課時(shí)練習(xí))解下列對(duì)數(shù)方程.

(1)Iog2x-1(5久2+3%-17)=2；

(2)log久4+log2x=3.

【答案】(1)2；(2)2或4.

【解析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)及指對(duì)互化原則，列出方程組，即可解得答案；

(2)原式可化為2logx2+log2x-3=0,令I(lǐng)og2x=t,可得關(guān)于t的一元二次方程，即可求得答案.

2%—1>0

5%24%3%-1?>0，

(5/+3x—17=(2x—l)2

(2x-1>0

即2%—lHl，解得：x=2或x=-9(舍)；

(5x2+3%-17=4x2—4x+1

(2)由logx4+log2x=3,得210gx2+log2x-3=0,

令I(lǐng)og2x=t,得|+t—3=0,即t2-3t+2=0,

解得t=l或t=2,

當(dāng)t=l時(shí)，可得Iog2x=l,即x=2;

當(dāng)t=2時(shí)，可得Iog2x=2,即x=4.

經(jīng)檢驗(yàn)x=2,x=4均符合題意，

故原方程的解為：x=2或x=4.

【變式7-1]4.(2020上?高一課時(shí)練習(xí))解下列關(guān)于x的方程：

(1)log2x-log34-logs9=8；

2

(2)log5(2%+1)=log5(x-2)；

(3)(Igx)2+Igx3-10=0.

【答案】(1)25;(2)3;(3)10-5,102

【解析】(1)結(jié)合換底公式，將方程轉(zhuǎn)化后即可求解.

(2)先求得x應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，解方程即可求解.

(3)將對(duì)數(shù)方程轉(zhuǎn)化，因式分解后，根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化即可求解.

-

【詳解】(I)--log2x-log34-log59=8

方程中的x應(yīng)滿足x>0

Igx21g221g3

—-----------------=8

lg2lg3lg5

即lg%=21g5=lg25

%=25

2

(2)log5(2x+1)=log5(x-2)

所以方程中的x應(yīng)滿足比>V2

22

由logs(2x+1)=log5(x—2)得2x+1=x-2

即/-2%-3=0,解得x=—1或久=3

因?yàn)閤>夜,所以當(dāng)久=-1時(shí)不滿足真數(shù)大于0,舍去；

故x=3.

(3)(Igx)2+Igx3-10=0

所以方程中的X應(yīng)滿足X>0

方程整理得(Igx)2+3Igx-10=0,BP(Igx+5)-(Igx-2)=0

所以gIx=-5或Igx=2

解得久=10-5或％=102

經(jīng)檢驗(yàn)知,X=10-5,x=102都是原方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)方程的解法才奐底公式及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化在解方程中的應(yīng)用，注意解方程前需

先判斷方程中定義域X應(yīng)滿足的條件，再通過(guò)轉(zhuǎn)化方程的方式求解,屬于基礎(chǔ)題.

題型8指對(duì)方程

【例題8】(2023?江蘇高一專題練習(xí))方程叫3(9，-4)=乂+1的實(shí)數(shù)解為

【答案】log34

x+1x+1

【分析】由Iog3(>—4)=%+1,得log3(9,-4)=log33,貝一4=3,再解關(guān)于3,的二次方程即

可.

x+1

【詳解】由log3(9*-4)=%+1,得咋3(>-4)=log33,

所以尹-4=3X+1,即(3*)2-4=3?3"

即(3,-4)(3、+1)=0,所以3*=4或3*=一1(舍去)，

所以久=log34.

故答案為：Iog34.

【變式8-1]1.(2023上?江西贛州?高一江西省信豐中學(xué)校考階段練習(xí))方程：2%+1=log3(l-2-3，)的

解是

【答案】-1

【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

X2xZ

【詳解】因?yàn)?x+1=log3(l-2-3),即32才+1=1-2?3"所以3-3+2-3-1=0,

即(3-3X-1)(3X+1)=0,解得3?3/一1=0,貝！]x=—1,或3》+1=0無(wú)實(shí)根.

故答案為：-1

【變式8-1]2.(2021上?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí))關(guān)于x的方程2'=31唯5的解

為

【答案】x=log25

【分析】先根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系得到比=10g23bg35,然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式化簡(jiǎn)即得.

5

【詳解】?.*=31嗚5,.-.X=log2310g3=log35log23=警|xlog23=log25,

10g2§

故答案為：X-log25

+1

【變式8-1]3.(2020?上海?高一專題練習(xí))方程log20+l)log2(2^+2)=2的解為.

【答案】0

x

【分析】設(shè)徵=log2(2+1),可得m=-2或m=1,即可得出結(jié)果.

xxx

【詳解】設(shè)m=log2(24-1),則log2(2*l+2)=log22(24-1)=1+log2(2+1)=14-m

所以m(l+m)=2=>m2+m-2=0,解得ni=-2或=1

z

當(dāng)m=-2時(shí)，-2=log2(2+1)無(wú)解

x

當(dāng)m=1時(shí)，1=log2(2+1)=>x=0

故答案為：0

【變式8-1】4.(2021?上海楊浦統(tǒng)考二模)方程logs。-11)-1=1嘀(2,-3)的解為x=.

【答案】2

【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算以及指數(shù)運(yùn)算，解方程求得x的值.

x

【詳解】依題意logs(4*-11)-1=Iog5(2-3),

x

log5p^)=logs(2-3),

=2X-3>0,

5，

(2X)2-5-2%+4=0,

(2X-1)(2X-4)=0,

即2*=1或2*=4,

解得x=。或％=2,

當(dāng)久=0時(shí)，2*-3=-2<0,不符合題意，舍去.

所以x=2.

故答案為：2

題型9指對(duì)實(shí)際應(yīng)用

【例題9](2023上?江蘇揚(yáng)州?高一揚(yáng)州市新華中學(xué)校考階段練習(xí))當(dāng)把一個(gè)任意正實(shí)數(shù)N表示成N=ax

10n(l<a<10,nGZ)的時(shí)候,就可以得出正實(shí)數(shù)N的位數(shù)是n+1,如：235=2.35x102,則235是一

個(gè)3位數(shù).利用上述方法，判斷123。的位數(shù)是()(參考數(shù)據(jù)：Ig2x0.3010,Ig3?0.4771)

A.32B.33C.34D.35

【答案】B

【分析】設(shè)123。=ax10n(l<a<10,n€Z),!J!]lgl230=lg(ax10n)=n+Iga,計(jì)算即可求出n=32,

從而得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)洋3。-ax10n(l<a<10,n6Z),JJl(jlgl230=lg(ax10n)—n+Iga

又因?yàn)閘gl23。=301g(3X22)=30(lg3+21g2)?30(0.4771+0.3010X2)=32,373,

所以32.373=n+Iga,即Iga=32.373-n,

因?yàn)?<a<10,所以0<Iga<1,所以0<32.373-n<1,

解得：31.373<n<32,373,因?yàn)閚GZ,

故n=32,所以123。的位數(shù)是32+1=33.

故選：B

【變式9-1]1.(2023上?湖北宜昌?高一長(zhǎng)陽(yáng)土家族自治縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))某網(wǎng)紅城市鵝城

人口模型近似為P=32e。。15t(單位：萬(wàn)人)，其中t=。表示2015年的人口數(shù)量，則鵝城人口數(shù)量達(dá)到

60萬(wàn)的年份大約是()(參考數(shù)據(jù)6n2?0.693,In3?1.099,In5?1.609)

A.2037年B.2047年

C.2057年D.2067年

【答案】C

【分析】根據(jù)指對(duì)互化，即可求解.

【詳解】P=32e0015t=60,即e°Qi5t=—,0.015t=In竺，