重難點12指數(shù)函數(shù)常考題型十五大題型匯總

題型解讀

滿分技巧

技巧一.指數(shù)函數(shù)比較大小

指數(shù)幕比較大小

①同底幕比較，構造指數(shù)函數(shù)，用單調性比較;

②同指數(shù)幕比較，構造幕函數(shù)，用單調性比較;

③不同底也不同指幕比較，借助媒介“1".

技巧二指數(shù)函數(shù)圖像性質

y=ax

0<a<1a>1

\斗叫1/

a

圖象

<：

1卜Q。)1

1%Q1X

①定義域R，值域(。，+8)

②a。=1,即時％=0fy=1,圖象都經(jīng)過(0,1)點

③a*=a,即％=1時，y等于底數(shù)a

④在定義域上是單調減函數(shù)在定義域上是單調增函數(shù)

⑤％<0時，a%>1；%>0時，0<a%V1x<0時，0Va%V1；%>。時，#>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

技巧三.指數(shù)函數(shù)與參數(shù)

數(shù)函數(shù)常用技巧：

(1)當?shù)讛?shù)大小不定時，必須分"a>1"和"0<a<1"兩種情形討論.

(2)當0<a<1時，久T+8,y0;a的值越小,圖象越靠近y軸，遞減的速度越快.

當a>1時x-+8,y-0;a的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快.

(3)指數(shù)函數(shù)y=戶與y=《尸的圖象關于y軸對稱.

技巧四.單調性問題

1.單調性的運算關系：

①一般認為，-/（久）和六均與函數(shù)f⑺的單調性d1反;②同區(qū)間,T+t=_t_,!+!=.!_,t-l=_t_,l-T=

L;

2.單調性的定義的等價形式：設Xi,xzW［a，句，那么有：

①迎Z3>0Q［M是［a,句上的增函數(shù)；②/―日出）<0。大M是［a,6］上的—減函數(shù)—;

%1一X?%］一工2

3.復合函數(shù)單調性結論：同增異減.

技巧五.指數(shù)型復合函數(shù)的值域

求解形如/（久）=心⑴①>0,a力1）的指數(shù)型函數(shù)值域的思路：

1.分析g（x）的單調性以及值域；

2.分析y=談的單調性；

3.根據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷方法，分析出外支）=心⑺的單調性并計算出值域.

技巧六.一元二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復合問題

2

求解形如/㈤=m（ax）+n（a*）+t（a〉0,a力1）的指數(shù)型函數(shù)值域的思路：

L換元法，令談=乙構造關于1的一元二次函數(shù),分類討論求值域。

2

2.直接配方法。配湊為/（?=（謨+p）+q,結合定義域用"包裝法"求值域。

技巧七.指數(shù)函數(shù)與反比例型函數(shù)的復合問題

1.指數(shù)函數(shù)一次反比例型，可以通過分離常數(shù)求值域

2.指數(shù)型反比例函數(shù)，可以通過指數(shù)換元后，轉化為反比例函數(shù)求解值域，反比例函數(shù)圖像性質。

形如：、=竺1。對稱中為。（久。~。），其中

CX—CL

（1）cx0—d=0；

(3)-三或者二、四象限，通過x=0,1計算判斷

技巧八.高斯函數(shù)

取整函數(shù)y=團,團表示不超過%的最大整數(shù)，又叫做"高斯函數(shù)"

取小數(shù)函數(shù)

/(X)=[X+1]-X,,

可畫出函數(shù)圖像，如圖：

指數(shù)型取整函數(shù)，多可以通過分離變量，分離出整數(shù)后討論底數(shù)與定義域，進行"取整”運算

技巧九.復雜函數(shù)圖像的選取

判斷函數(shù)圖像1.定義域判斷。

2.函數(shù)奇偶性判斷。

3.函數(shù)簡單性判斷。

4.函數(shù)值正負判斷

5利用極限，判斷無窮遠處的值與"比值"

6利用"斷點處判斷，如0+與0-

A3*題型提分練

題型1指數(shù)函數(shù)定點問題

【例題1]（2022上?安徽宿州?高一校聯(lián)考期末）函數(shù)y=a*-3（a>0,且a力1）的圖象過定點A,

則點A的坐標是

【變式1-1]1.（2023下?江西南昌?高二南昌二中校考期末）已知函婁好（x）=ax+5+4（a〉0,a力1）

恒過定點,則函數(shù)g（x）=m+n*的圖像不經(jīng)過第象限.

【變式1-1J2.（2022下?北京?高二匯文中學校考期末）已知對不同的a值，函數(shù)/（%）=2+ax-^a>0,a力

1）的圖象恒過定點P,貝*點的坐標是

【變式1-1]3.（2022上?黑龍江大興安嶺地?高一校考期末）已知函數(shù)/⑺=loga（%+3）-式a>0,a力1）

的圖象恒過定點A.若點A也在函數(shù)。（久）=3,+b的圖象上，則g（log32）=

【變式1-U4.（2023上?云南昭通?高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)y=2a^3-l（a>0,Ha1）恒過

定點4（久o，yo）,且滿足mxo+ny0=l,其中犯建是正實數(shù)，則'+:的最小值是（）

A.16B.6C.2V3D.V3

題型2指數(shù)函數(shù)比較大小問題

21

【例題2】2023上?四川涼山?高一校聯(lián)考期末搭a=（9,b=（|）\c=logg貝圾6,g勺大小關系為（）

.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

.z-i\—0.9

【變式2-1]1.（2022上?北京東城?高一校考期中）已知a=3、6=1.2°,c=g）,貝必也c的大小關

系是（）

.a<c<bB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【變式2-1]2.（2023上?吉林?高一吉林一中校考期末）設/（%）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（-8,0）單調

遞減，設a=3。3,6=9"，c=log瀉，則()

A./(c)>/(a)>f(b)B./(h)>f(a)>/(c)

C./(c)>f(b)>/(a)D.f(a)>f(b)>f(c)

2

【變式2-1]3.(2022上?黑龍江雞西?高一校考期末)若a=2。"b=log0,32,c=0.3，則a,6,c的大

小關系為()

.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【變式2-1]4.(2022上?吉林四平?高一校考期末)若6>九，則()

7nn

A.0.2<0.2B.log0,3m>logo”

C.2m<2nD.m2>n2

02

【變式2-1]5.(2022上?貴州黔東南?高二校考期末)已知a=l.lfb=log^O,2^=0.2]】，貝")

/\.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

題型3指數(shù)不等式問題

【例題3](2023上?四川涼山?高一校聯(lián)考期末)不等式Q廣2t4331的解集為

【變式3-1]1.(2022上?上海徐匯?高一上海市第二中學校考期末)不等式*-2>3<《廣-3的與不等式

x2+ax+b<0是同解不等式，則a=,b=.

【變式3-1J2.(2022上?青海玉樹?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)f⑺=ax-\a>0且a豐1)的圖象過點(3,4).

(1)求實數(shù)a的值；

(2)求關于x的不等式/(無)>的解集.

【變式3-1】3(2020上?山東臨沂?高一統(tǒng)考期末圮知/(久)是定義在R上的奇函數(shù)當x>0時/(X)=1-

(1)求當x<。時，時"⑺的解析式；

(2)求不等式f(x)<1的解集.

【變式3-1]4.(2023下?遼寧鐵嶺?高二昌圖縣第一高級中學校考期末)已知函婁好(x)=2,-2r

(1)求/(2)的值，判斷f(久)的奇偶性并證明；

(2)求不等式|f(久)|>|的解集.

【變式3-1]5.(2022上?新疆烏魯木齊?高一新疆農業(yè)大學附屬中學校考期末)已知函數(shù)f(久)=ax2+x+

l(a>0).

(1)若關于X的不等式/(久)<0的解集為(-4,6),求a,6的值；

(2)已知g(x)=#+】-2,+2,當xe[-1,1]時，f(2，)Sg。)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【變式3-1]6.(2022上?江西上饒?高三校考期末)設函數(shù)f(久)=〃-(k-l)a-x(a>0且a41)，是

定義域為R的奇函數(shù).

(1)求k的值；

(2)若/(I)<0,試判斷函數(shù)單調性,并求使不等式f(/+垃)+/(4-x)<。恒成立的珀勺取值范圍.

題型4指數(shù)函數(shù)圖像性質

【例題412023上?浙江臺州高一統(tǒng)考期末圮知指數(shù)函數(shù)y=0”的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b

的圖象可能是()

【變式4-1J1.（2023上?四川涼山?高一統(tǒng)考期末周數(shù)f0）=x2-ax+1有兩個不同的零點，則y=ax-a

（a〉0且a41）的圖象可能為（）

【變式4-1】2.（2022上?四川宜賓?高一統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)f（x）=（%-a）（%-6）滿足f（1）<0（其

中。<a<b）,則函數(shù)g（x）=ax+b-1的圖象可能為（）

【變式4-1]3.（2021上?陜西榆林?高一陜西省神木中學校考階段練習）函數(shù)f（久）=3,-3的圖像不經(jīng)過

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【變式4-1]4.（多選）（2022上?廣西百色?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（%）=|謨一1|（a>0,且a芋1）與g（x）=

a-比在同一坐標系中的圖像可能是（）

題型5指數(shù)函數(shù)求參數(shù)問題

【例題5]（2021上?浙江溫州?高一樂清市知臨中學校考期中）函婁好（%）=a的圖象如圖所示，其中a,

b為常數(shù)，則下列結論正確的是（）

A.a>l,b<0B.a>1,h>0

C.0<a<lfb>0D.0<a<l,b<0

【變式（多選）（2023?全國?高三專題練習）（多選）已知函數(shù)丫=ax-b（a>0且a豐1）的圖

A.a6>1B.Gt+b>lC.faa>lD.2b^a<1

【變式5-1]2.(2023上?陜西安康?高一校聯(lián)考期末)指數(shù)函數(shù)y=〃與y=/的圖象如圖所示，則()

A.a<0,/)>0B.0<a<l,0<Z)<l

C.0<a<l,/)>lD.a>1,0<&<1

【變式5-1]3.(多選)(2023上?安徽?高一安徽省潁上第一中學校聯(lián)考期末)若函數(shù)f⑶=ax-b(a>0

且a豐1)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，則()

A.0<<1B.0<<1C.ab>1D.ba>1

【變式5-1J4.(2021上?陜西咸陽?高一咸陽市實驗中學校考階段練習)已知函數(shù)/(久)=|3工-l|,a<b<c

且f(a)>/(c)>f(b),則下列結論中,一定成立的是()

A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>O,c>0

C.a<0,b=—c,c>0D.38+3c>2

題型6指數(shù)型復合函數(shù)的定義域

【例題6】(2021上?廣西河池?高一校聯(lián)考階段練習)設函數(shù)"%)=字，則函數(shù)/Q的定義域為()

A.(—00,4]B.(—00,1]C.(0,4]D.(0,1]

【變式6-1]1.(2021上?山東棗莊?高一棗莊市第三中學校聯(lián)考期中)已知函數(shù)y=/(%)的定義域為(0,1),

則函數(shù)FQ)=/(|2、-1|)的定義域為()

A.(—co,1)B.(—co,0)U(0,1)C.(0,+8)D.[0,1)

【變式6-1]2.(2021下?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)函數(shù)f(久)=JO1++的定義域為.

【變式6-1]3.(2021下?江蘇?高二階段練習)函數(shù)f⑺=V32x-i-1的定義域是()

A.[l,+oo)B.C.(-oo,-i)D.(-00,-2)

【變式6-1]4.(2018上?江西宜春?高一期末)已知集合4=｛久|y=江FxeN｝,則集合力的子集個數(shù)

為()

A.8B.16C.4D.7

題型7指數(shù)型復合函數(shù)的單調性

【例題7](2022上?福建莆田?高一校考期末)已知函數(shù)f⑺=2T""則單調遞增區(qū)間為.

【變式7-1]1.(2023上?高一課時練習)函婁好⑴=2丫-/+軌-3的單調遞增區(qū)間為()

A.(-8,2]B.[1,2]

C.[2,3]D.[2,+oo)

【變式7-1]2.(2023上?高一課時練習)已知函數(shù)f(x)=』+軌-6(。>。且。牛u，若了⑴>1，則/⑴的

單調遞減區(qū)間是()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)

C.(-00,—2)D.(—2,+co)

【變式7-1]3.(2022上?重慶?高一校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)“X+1)=2工+1-2-"。則/(久)()

A.是偶函數(shù)，且在R是單調遞增

B.是奇函數(shù)，且在R是單調遞增

C.是偶函數(shù)，且在R是單調遞減

D.是奇函數(shù)，且在R是單調遞減

【變式7-1]4.(多選)(2023下?重慶北倍?高二西南大學附中校考期末)已知/(*)=法，則()

A.f(x)為奇函數(shù)

B./O)在(―8,0)u(0,+8)上單調遞減

C./(%)值域為(-8,-1)u(1,+oo)

D./(/(%))的定義域為｛%反豐0)

題型8指數(shù)函數(shù)單調性求參數(shù)問題

【例題8]（2021?浙江?高一期末）已知pTx6悖,1],a久一1>0,q:函數(shù)〃x）=（a-2尸為增函數(shù)，貝Jp

是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式8-1J1.（2021上?上海虹口?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f（久）=2吐。1（a為常數(shù)），若了⑴在區(qū)間[1,+?）

上是增函數(shù)，則a的取值范圍是

x2+2mx-l

【變式8-1]2.（2022上?安徽?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)y=（0在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)6

的取值范圍為

【變式8-1]3.（2023下?浙江嘉興?高二統(tǒng)考期末）設函數(shù)f⑺=2吐可3eR）,則"a<0"是?（久）在

（1,+8）上單調遞增"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式8-1]4.（2023上?四川成都?高一校考階段練習）已知函數(shù)/（x）=產(chǎn)-+泉乂<1,是R上的

（ax,x>1

增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（1,2]B.（O,|）C.（1,2）D.g,2）

【變式8-1]5.（2023下?江蘇鹽城?高一鹽城市大豐區(qū)新豐中學校考開學考試）已知函數(shù)/'（x）=

八”?寧呼2是R上的單調遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

Ia+i,x<Z

A.（-oo,0）B.（0,1）C.（0,3]D.（1,3]

題型9指數(shù)型函數(shù)值域問題

【例題9]（2023下?湖北咸寧?高一校考開學考試）當x￡[-1,1]時，函數(shù)f⑺=3、2的值域是（）

A.[1,|]B.[-1,1]C.[-|,1]D.[0,1]

【變式9-1]1.(2021上?上海徐匯?高一上海中學校考期末)若4期】<仁廣2,則函數(shù)/⑴=(丁的值

域為

13%—2x<1

【變式9-1]2.(2021上?江西吉安?高一井岡山中學校考階段練習)已知函婁妤0)=】‘、’則函

1<%<4,

數(shù)f。)值域是()

A.(—8,2]B.(—2,2]

C.(1,4]D.(—00,4]

【變式9-1]3.(2021上?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(久)=套的定義域為M,g(x)=3X-2的

值域為N,則MnN=

【變式9-1]4.(2023上?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第六十八中學校考期末)已知函數(shù)f(x)=

(a>0且aK1)滿足f(1)=*求函數(shù)的值域.

題型10指數(shù)型復合函數(shù)的值域問題

【例題10】(2023上?山東德州?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)y=3三的值域為()

A.(0,+8)B.(0,1)u(1,+8)C.[x\xW1}D.(1,+8)

【變式10-1】1.(2022上?高一單元測試)函數(shù)y=(|)的值域是()

A.(-8,O)B.(0,1]

C.[1,+8)D.(—00,1]

?x2-2x

的值域為()

A.(0,2]B.(0,+8)C.[2,+oo)D.[1,+8)

【變式10-1】3.(2022上?天津濱海新?高一大港一中校考期中)函婁好⑺=2/-2x,xG[-1,2]的值域是

()

A.8,8]B.悖,8](2.停,+8)D.(0,8]

【變式10；】4.(2020下?河北石家莊?高三石家莊市藁城區(qū)第一中學校考階段練習)函數(shù)y=2爐-2>2,

Xe[一1,2]的值域是()

A.RB.[4,32]C.[2,32]D.[2,+oo)

題型11指數(shù)函數(shù)與一元二次函數(shù)的復合問題

【例題111(2020?上海?高一專題練習)函數(shù)y=a?*+2〃-l(a>。且a豐1)在區(qū)間[-1,1]上有最大值

14,則a的值為()

A.3或-5B.3C.|D.3或1

【變式11-1】1.(2022上?甘肅蘭州?高一校考期末)已知函數(shù)f。)=1+ag)X+G)：

Q)當a=1時,求/'(x)的值域；

(2)若f(x)>-3對任意支￡[0,+8)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式11-1】2.(2023上?山西朔州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f⑺=4ax/+(8a-3)x+蔡a—

4r

式aER).

⑴若a=i,求/(%)的值域；

(2)若a>I,存在實數(shù)小，n(m<n),當f(x)的定義域為[皿用時，f(x)的值域為[3帆+】,3"+】],求實數(shù)a的取

O

值范圍.

【變式11-1】3.(2021?江西統(tǒng)考模擬預測)已知a>1,則函數(shù)g(x)e|a2W+a因+2的值域為()

A.￡+8)B,[2,+oo)C,(2,|)D,[2,1]

【變式11-1]4.(2023上?廣東清遠?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(%)=4X-a-2x-r+4.

(1)若a=4,求f。)在[0,1]上的值域；

(2)若關于x的方程f(x)=。有解，求a的取值范圍.

題型12指數(shù)函數(shù)與反比例型函數(shù)的復合問題

【例題12](2023上?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末)已知f⑺=

(1)求證：/(%)為奇函數(shù)；

(2)求函數(shù)f(x)的值域.

【變式12-1】1.(2022上遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f。)=公是奇函數(shù).

Q)求實數(shù)a的值;

(2)求人比)的值域.

【變式12-1】2.(2022下?山西太原?高二太原市外國語學校校考階段練習)已知函數(shù)f⑺=嗅"的圖象

經(jīng)過點(1,|),

⑴求a的值；

(2)求函數(shù)的定義域和值域；

(3)判斷函數(shù)以久)的奇偶性并證明.

【變式12-1】3.(2021上?江西贛州?高三校聯(lián)考期中)函數(shù)了⑶=安產(chǎn)的值域為()

A.[5,+oo)B.[4,+oo)C.(5,+oo)D.(4,+oo)

【變式12-1】4.(2023上?河北邯鄲?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=1-/是定義在R上的奇函數(shù).

⑴求實數(shù)a的值，并判斷函數(shù)〃久)的單調性；

(2)求函數(shù)f(%)的值域.

【變式12-1】5.(2022上?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/⑺=逐.

⑴求/(-2)+((2)的值；

⑵求函數(shù)f(")的值域；

(3)若g(x)=[/0)]2-懸?+2a,且對任意的j、x2ER,都有1go力■=?/(%2)l<3,求實數(shù)a的取值范圍.

題型13高斯函數(shù)相關問題

【例題13](2018上?天津?高一統(tǒng)考期中股函婁好。)=急-]田表示不超過x的最大整數(shù)，如[-1.2]=

-2,[2.3]=2則函數(shù)y=[/(%)]+[/(—%)]的值域為().

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,0}

【變式13-1】L（2022下?浙江金華?高一浙江省義烏中學校聯(lián)考期末）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)

學奠基者之一，享有"數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)"：設xeR,用田表示不超過%的最

大整數(shù)，則y=[幻稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：[-1.3]--2,[3.4]=3,已知/⑶=舟-J則

函數(shù)y=[/（%）]的值域為（）

A.{0}B.{-1,o}C.{o,1}D.[-1,0,1}

【變式13-1】2.（多選）（2023上?重慶?高一統(tǒng)考期末）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，

享有"數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)"為：

設xeR,用田表示不超過x的最大整數(shù)，貝的=田稱為高斯函數(shù)，例如：[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知

函數(shù)"切=蔑，則關于函數(shù)9（久）=[八乃]的敘述中不正確的是（）

A.g（x）是R上的增函數(shù)B.g（l）=0

C.g（x）的值域是{-2,-1,0,1}D.gO）的值域是{-3,-2,-1,0}

【變式13-1】3.（2019上?湖南長沙?高一長郡中學校考階段練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠

基者之一，享有數(shù)學王子的美譽，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的"高斯函

數(shù)"為：設xeR,用田表示不超過x的最大整數(shù)，貝的=因稱為高斯函數(shù)，例如[-3,2]=-4,[2.1]=2.

已知函數(shù)八x）=爵-1則函數(shù)y=[70）]的值域為

A.{0,1}B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,1）

【變式13-1】4.（多選）（2022上?湖南衡陽?高一統(tǒng)考期末）高斯是德國著名數(shù)學家，享有“數(shù)學王子"

的稱號，以他名字命名的“高斯函數(shù)”是數(shù)學界