專題34掌握直線方程的基本類型

【考點預測】

一、基本概念

斜率與傾斜角

我們把直線了=履+6中A的系數叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線，其斜率不存在.x

軸正方向與直線向上的方向所成的角叫這條直線的傾斜角.傾斜角ae[0〃），規定與x軸平行或重合的直

線的傾斜角為0,傾斜角不是由的直線的傾斜角的正切值叫該直線的斜率，常用"表示，即4=匕11￡.

2

當彳=0時，直線平行于軸或與軸重合；

當%>0時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨A的增大而增大；

當A<0時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角A隨的增大而減??；

二、基本公式

1、4優，%）/￡，/）兩點間的距離公式火匕E厄三產西二廳

2、I■%）/包，/）的直線斜率公式左~—=tanaGj24,aw—）

2

3、直線方程的幾種形式

（1）點斜式：直線的斜率A存在且過（^，幾），y-無=?（￥-%）

注：①當a=0時，y=y0；②當A不存在時，x=x0

（2）斜截式：直線的斜率A存在且過（0,6）,y=kx+b

（3）兩點式：=士工，不能表示垂直于坐標軸的直線.

注：依-4）①-“）=&-占）仇-不）可表示經過兩點/收1書），0&2/）的所有直線

（4）截距式：三+2=1不能表示垂直于坐標軸及過原點的直線.

ab

（5）一般式：Ax+By+C=0C42+52^0）,能表示平面上任何一條直線（其中，向量〃=3,8）是這

條直線的一個法向量）

三、兩直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定.

兩直線方程平行垂直

/：4產+夕/+。1=o44-44=°且

44+4約=。

1：2+切+%=0

了=?+\（斜率存在）

4-y=kx+b2

24=-w.或k寓=-1或4與4中有一個

：：、=石（斜率不存在）x—X—W/為0,另一個不存在.

4：x=N

四、三種距離

1、兩點間的距離

平面上兩點尸1G］/）,22包環）的距離公式為\PJzE小優_*2）2+①］一%）2.

特別地，原點。（0,.0）與任一點P（x,y）的距離|。尸卜次+尸

2、點到直線的距離

點紇&，幾）到直線L/x+8y+C=0的距離d=

s/A2+B2

特別地，若直線為/：產小則點戶。恁,又）到/的距離d="-七I；若直線為/：y=n,則點尸0ao，城到

/的距離d=|〃-幾

3、兩條平行線間的距離

己知4U是兩條平行線，求4U間距離的方法：

（1）轉化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離.

\c_c

(2)設/:/x+8y+C;=0,4-Ax+By+C^Q,貝!]彳與力之間的距離d=

注：兩平行直線方程中，x,y前面對應系數要相等.

【典型例題】

例1.（2024?高二?湖南衡陽?期末）已知直線/的傾斜角“滿足120。＜a4135。，則/的斜率左的取值范圍是（）

B.卜5-1]

D.

【答案】C

【解析】函數左=tana在（120。,135。］上單調遞增,

又tanl20°=-G,tanl35°=-l,

故上的取值范圍是(-后山.

故選：C

例2.（2024?安徽合肥?三模）已知直線/的一個方向向量為力=king,cosgj,則直線/的傾斜角為（）

712元4兀

A兀D.

A?7B-Jc-TT

【答案】A

【解析】由題意可得：直線/的斜率左=V=4=tan￡,即直線/的傾斜角為［

sinP366

3

故選：A

例3.（2024?高三?山東青島?期末）對于直線/:尤-后-6=0,下列選項正確的為（）

JT

A.直線/傾斜角為§

B.直線/在了軸上的截距為

C.直線/的一個方向向量為（3,6）

D.直線/經過第二象限

【答案】C

【解析】因為直線/的斜率為g,所以直線/傾斜角為故A錯誤；

36

在/:x-島-6=0中，令x=0,解得了=-26，即直線/在了軸上的截距為-26,故B錯誤;

在/:x-島-6=0中，令尸0,解得x=6,即直線/過/（0,-29,8（6,0）兩點,

次=（6,26）=2（3,6）,所以直線/的一個方向向量為（3,6）,故C正確；

畫出直線/：尤-5-6=0的圖象如圖所示，

所以直線/不經過第二象限，故D錯誤.

故選：C.

例4.（2024?高二?浙江麗水?期末）直線》+（/+1”-1=0（"2的傾斜角的取值范圍是（）

A。［。八旬兀B.匕3兀臼）C七7旬171）D.「匕兀彳3兀］

【答案】B

【解析】直線x+（/+一1=0（。eR）的斜率為一心,

由于0>-下、2-1,設傾斜角為々，

4+1

貝［J0<a<兀，一1<tana<0,

所以等a<兀.

故選：B.

例5.（2024?高三?全國?專題練習）設點/（-2,3）,3（3,2）,若直線辦+.V+2=0與線段.有交點，貝心的取

45

A.—00,-------U—,+00

32

54

C.D.^-oo,--ju^,+ooj

2?3

A

【解析】由直線"+丁+2=0,可得y=-ax-2,

54

可得直線的斜率為左=-〃，且恒過定點尸（0，-2）,貝蜂4=—

54

如圖所示，要使得直線"+>+2=0與線段48有交點，則耳或-a2］,

45/41「5\

可得a-］或〃用，即實數左的取值范圍為「與一§卜匕,+”J.

故選：A.

例6.（2024?全國?模擬預測）平行直線4：2x+y-5=。與4：無一a+5=0之間的距離為（）

A.V5B.275C.3如D.5石

【答案】C

21-5

【解析】因為4〃L所以"0,7二二工二，

1-b5

解得6=-；，所以/2：2x+y+10=0,

故兩平行直線間的距離d==36.

V4+1

故選：C.

例7.（2024高二?四川瀘州?階段練習）若直線kX+2左+1與直線y=%+2的交點在第一象限，則實

數上的取值范圍（）

5」5]_

C.D.

2，-22,2

【答案】A

2—4k

y=x+2k+lx=

3I,H-M（2—4k2k+5

【解析】聯立,解得,故兩直線的父點為I-^―，-^―

y=——x+22左+5

2y=

3

"竺>0

3

因為交點在第一象限，所以解彳導_g＜左＜;.

”>0

3

故選：A

例8.（2024?全國?模擬預測）若正方形一邊對角線所在直線的斜率為2,則兩條鄰邊所在直線斜率分別

為,.

【答案】|-3

【解析】正方形。中，對角線。8所在直線的斜率為2,建立如圖直角坐標系,

設對角線OB所在直線的傾斜角為0,貝Utan6=2,

由正方形性質可知，直線。4的傾斜角為夕-45。，直線0C的傾斜角為。+45。,

tantan45°2-1_1

故L=tan（6-45。）=

1+tan0tan45°1+2-3

tan6+tan45°-3.

k-tan（6+45°）=

ocl-tan^tan4501-2

故答案為：I；-3.

例9.（2024?陜西西安?二模）已知直線4過點（2,4）和點（3,7）,直線上3x+如+2=0,若〃〃?，則6=

【答案】-1

7-4

【解析】直線4的斜率左=「;=3,所以直線方程為y-4=3（x-2）,即3x-y-2=0,

因為〃4,所以36-3'卜1）=0。b=-l,

故答案為：T.

例10.（2024?高三?浙江?階段練習）直線y=^x+l與直線了=（3-2a）尤+2所成夾角大小為

【答案】45。

【解析】設直線發瓜+1的傾斜角為々，直線了=（3-2亞）x+2的傾斜角為"，兩條直線夾角為

則tana=V^,tan/3=~i-2^2,

V2-（3-2V2）

貝［Itan0=|tan（a-6*）|==1

1+V2（3-2V2）0<0<90°,

所以。=45。.

故答案為：45。.

例11.（2024?高三?重慶九龍坡?階段練習）已知直線（l+Bx+y-左-2=0恒過定點尸，則點P關于直線

x-y-2=0的對稱點的坐標是

【答案】（3,-1）

【解析】由直線（1+左）X+V->2=0化為Mxf+（x+j-2）=0,

[x-1=0[x=1/、

令，、。，解得一于是此直線恒過點尸11.

[x+y—2=0['=1

設點P關于直線X7-2=0的對稱點為Q（m,n）,

加+1n+l

-

22[m=3（、

則]，解得.*.23,-1.

n-\1,\n=-\H

------xl=-li

、加一I

故答案為：（3,-1）

例12.（2024?高三?黑龍江哈爾濱?開學考試）在數學史上，平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡

稱為卡西尼卵形線.在平面直角坐標系xQv中，動點尸（xj）到兩個定點￡（-1，0）,6（1，0）的距離之積等于1,

化簡得曲線x2+/+l=心+1.則OP的最大值為.

【答案】V2

【解析】因為x2+/+l=+1,所以丁="f+l-f-izO,

V4x2+l>x2+l,兩邊平方得4工2+12尤4+2/+1,BPX4-2X2<0,

解得04-42,

2

故依尸「=/+/=A/4x+l-le[0,2],

則\OP\e[0,V2],|。尸|的最大值為41-

故答案為：V2

例13.（2024?高二?全國?課時練習）過直線4：%-2了+3=0與直線/2：2x+3y-8=0的交點，且到點尸（0,4）的

距離為1的直線/的方程為.

【答案】3x+4y-ll=0或x=l

fx-2y+3=0\x=\

【解析】解析：由°>.n解得°

[2x+3y-6=0[>=2

所以"，〃的交點為（1,2）.

顯然，直線x=l滿足條件；

當直線斜率存在時，設直線方程為y-2=k（x-i）,

即kx—y+2—k=G,

|一2-左|3

依題意有^^=1,解得左

J1+左24

所以所求直線方程為3x+4y-ll=0或x=l.

故答案為：3x+4j，-11=0或x=l.

例14.(2024?高二?江西新余?開學考試)若點尸(31)至!J直線/：3》+4＞+。=0(。＞0)的距離為3,則。=.

【答案】2

【解析】因為點尸G1)到直線/：3x+4y+a=0的距離為3,

|3x3+4xl+a|.?

可得J~I22",即。+13=15,解得a=2或0=-28,

V32+42

又因為。＞0,所以。=2.

故答案為：2.

例15.(2024?高二?山東?階段練習)如圖，在等腰直角三角形N8C中，AB=4C=2，點P是邊45上異于4月

的一點，光線從點P出發，經BC,CA發射后又回到原點P,若光線QR經過^ABC的重心，則BP長為.

【解析】以A為坐標原點，以/8,/C所在的直線分別為x軸、＞軸，建立平面直角坐標系,

如圖所示，則/(0,0),B(2,0),C(0,2),

22

所以直線3c的方程為》+了-2=0,且“BC的重心G(］，w),

設分別是點p關于直線3C和了軸的對稱點，設尸(。,0),

x(-l)=-l

設"(%,%),可得,/°,解得%=2,%=2-a,即M(2,2-a),

*+九-2=0

I22

又由N（一見0）,根據光的反射原理，可知",2'N四點共線,

2

2—422?4

所以L=%G,即==片，解得。=￡,即4P長為￡,所以3P長為

2+。2+0333

3

例16.（2024?高二?全國?單元測試）直線2x-y+3=0關于點45,3）的對稱直線方程是______

【答案】2龍-廣17=0

【解析】設對稱直線為/'：2x-了+C。=0,

|2x5-3+C0||5x2-3+3]

則有FPTGF即”+c°g°

解這個方程得q=3（舍）或C°=-17.

所以對稱直線/'的方程中2x-y-17=0.

故答案為：2尤-了-17=0.

例17.（2024?高二?上海浦東新階段練習）當點到直線x-my+\=0（me&）距離最大時，m值

為.

【答案】1

【解析】由題可知：直線》-切+1=。⑴eR）過定點/（TO）

當點（0,-1）與點所成直線與題干已知直線垂直時,

點（0，T）到直線X-即+1=0（加e&）距離最大

所以0J：［'=一］nm=］

-1-0m

故答案為：1

例18.（2024?高二?江西南昌?階段練習）過點P（3,0）有一條直線/,它夾在兩條直線〃：2x-y-2=0與以

x+y+3=0之間的線段恰被點p平分，則直線1的方程為.

【答案】8x-y-24=0

【解析】設出A與5兩點的坐標，因為P為線段AB的中點，利用中點坐標公式即可列出兩點坐標的兩個關

系式，然后把A的坐標代入直線七把B的坐標代入直線4,又得到兩點坐標的兩個關系式，把四個關系式

聯立即可求出A的坐標，然后由A和尸的坐標，利用兩點式即可寫出直線/的方程.設直線/夾在直線4,4之

間的線段是（A在4上，8在。上），

4B的坐標分別是（石,乂）,（如力）.

因為N3被點尸平分，所以

西+迎=6,必+%=0,

于是％=6-玉/2=一九

由于A在比B在4上，所以[|（6_2玉X1）—+K（_—“2）=+30=0,

解得若，即A的坐標是gt].

y-0_x-3

直線PA的方程是=TFT,

VJ

3-----3

即8x-y-24=0.

所以直線/的方程是8x-y-24=0.

例19.（2024?高三?全國?專題練習）已知直線/—+3=國直線/：尤7-1=0,若直線4關于直線/的對

稱直線為12,則直線/2的方程為

【答案】x-y-5=0.

【解析】由題意知〃〃2,設直線4：x-y+〃?=0（〃沖3,機-1）,在直線4上取點“（0,3）,

設點M關于直線/的對稱點為M\a,b）,

fb-3）,

-xl=-1

則八；，解得。=4,1,即“（4,-1）,

。+0b+3

1=0

I22

將武（4,-1）代入。的方程得4+1+加=0,加=-5,

所以直線4的方程為x-y-5=0.

故答案為：x-y-5=0

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?高二?福建漳州?期末）已知直線4：6x-3y+l=0,若直線4與4垂直，則4的傾斜角是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】B

【解析】?.?直線4：后-3y+1=0,直線4與4垂直,

k-1

\-i2=,解得kh=-V3

的傾斜角為120。.

故選：B.

2.（2024?全國?模擬預測）“直線/的傾斜角為銳角”是“直線/的斜率不小于0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若直線/的斜率不小于0,則該直線的傾斜角為銳角或0。，

，“直線/的傾斜角為銳角”是“直線/的斜率不小于0”的充分不必要條件.

故選：A.

3.（2024?高三?全國?專題練習）已知直線》-2>+3=0的傾斜角為6,則cos26的值是（）

3343

A「B-?C-7Dy

【答案】B

【解析】因為ta"=g,

1+-

4

故選：B.

4.（2024?高三?山東聊城?期末）直線x+-7=0的傾斜角為（）

兀5兀7C2兀

A.—B.--C.—D.--

6633

【答案】B

【解析】設直線的傾斜角為。?0,兀）），由題得直線的斜率為左=tana=-力,

所以a=7,

O

故選：B.

5.（2024?高三?廣東深圳?期末）雙曲線鳥-[=1（。>0]>0）的一條漸近線的傾斜角為110。，則離心率為（）

ab

A.---------B.--------C.2sin70°D.2cos20°

cos70°sin70°

【答案】A

【解析】由題意雙曲線=1（。>0，b>0）的一條漸近線的傾斜角為110°,

ab

所以tan110。=-匕

a

a2+b2sin2110。[1

而離心率為e=—l+J

aacos2l10°-cosllO0cos7)°

故選：A.

6.（2024?高二?安徽阜陽?階段練習）圖中的直線/"24的斜率分別為《、質、月，則（）

A.k[<k?<左3B.k3<kx<k2

C.k3<k2<kxD.kx<k3<k2

【答案】D

【解析】設直線4,L4的傾斜角分別為，，%,%,

由圖像可得名>90°>?2>?3>0°,由傾斜角與斜率的關系可得,

左1<0〈左3〈左2.

故選：D.

7.（2024?高二?四川遂寧?期末）直線xsina+y+2=0的傾斜角的取值范圍是（）

「、」兀［「3兀）

A.［0,71）B.0,—o—，^I

八兀［「八兀］/兀3兀

C.0,-D.0,-u

4」4」（24」

【答案】B

【解析】設直線的傾斜角為夕

因為，-l<sincr<1,左二一sina,所以，-1<A;<1.

又左二tan。，則一IWtanOWl.

當匹時，〃e）=tan。單調遞增，解TVtanSVl,可得OVOV；;

當8（,兀［時，〃e）=tan。單調遞增，解-14tan"l,可得答6<兀.

綜上所述，睚0,泅1,“

故選：B.

8.（2024?高二?河北邯鄲?階段練習）設點P是函數〃x）=e，-你圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜

角為a,則角a的取值范圍是（）

?2兀、B.（712兀）-「叫八兀州\/2號7i臼）D.「隹八兀\卜「2馬兀\

【答案】C

【解析】/'（x）=e一百〉-百，

：點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為a,

：?tana>一百.

*.*二￡［0,兀），

故選：C.

9.（2024?高二?山東臨沂?期末）設直線/的方程為cosexr+6=0（ecR）,則/的傾斜角々的取值范圍是（）

八兀］「3兀、「八兀］（兀3兀

A.0,-o-,7iB.0,-u

L4JL4）L4J＜24J

兀3兀］「兀兀、f71371

C.——D.二二u不丁

|_44」［42）124」

【答案】A

【解析】直線/的斜率cose?-1』，

所以直線/的傾斜角戊的取值范圍是卜，T4t］l0［「彳3兀'兀J、.

故選：A

10.（2024?高三?河南周口?階段練習）下列說法正確的是（）

A.“直線辦-7+3=0與直線x-ay=0互相平行，是“0=一1”的充分不必要條件

JT

B.直線2cosax-2y+3=0的傾斜角。的取值范圍是0,-

C.過點（L2）的直線分別與x軸，了軸的正半軸交于48兩點，若凡加取最小值時，直線的方程為

y—-2x+4

D.已知4（-1,2）,現3,2）,若直線/"x+yT+1=0與線段”有公共點，貝必,-于

【答案】C

【解析】對于A中，若兩直線平行，可得ax（-a）=-lxl,解得。=±1,經檢驗滿足題意,

所以“直線ax-y+3=0與直線x-ay=0互相平行”是“a=-1”的必要不充分條件，

所以A錯誤；

3

對于B中，由直線2costzx-2y+3=0,可得y=cossx+/,所以斜率左=cosae,

「7tl「3兀\

設傾斜角為。，可得tanee［-l,l］,因為。?0,兀），所以。epq卜［彳,兀J,

所以B不正確；

對于C中，根據題意設直線＞-2=左（~1）,（左＜0）,可得d1-竟,0）,3（0,24）,

所以反詡=9(2一")卜一口=4(2+2-"一.=］卜+穌＞

當且僅當左=-2時成立，此時直線的方程為了=-2》+4,所以C正確；

對于D中，由直線/：左x+y-左+1=0可化為歹+1=-左

所以直線恒過定點c(i,-i),因為kAC=--,kBC=-,

結合圖象可知，直線的斜率左口|+8)，故D不正確.

11.(2024?高三?上海浦東新?期中)“〃=1”是直線〃x-2y-2=0與直線x-(a+l)y+l=0平行，的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】C

［解析］設4：辦-2了-2=0,/2：x_(a+l)y+l=0,

直線4方程可化為y=B無-1,且直線4的斜率為：，

若"〃2,則直線，2斜率存在，。+120,

故直線/2：》-(“+1)了+1=0方程可化為尸‘7工+」7,

Q+1Q+1

由'I2,解得“=1,故〃〃2=。=1,

——

、Q+1

當。=1時，直線4的方程為》一2了一2=0,直線的方程為x-2y+l=0,

此時〃4,即。=ln〃〃2.

因此，。=1是/"4的充要條件.

故選：C.

12.（2024?海南省直轄縣級單位一模）已知直線/：2x+3廠1=0的傾斜角為則cos（6+兀）

()

99

A.——B.——

1313

【答案】B

【解析】由題意可知，tan0=-^t^^［今，兀

?A25.A2岳

sin。_2sin8=-------sine/=---------

13―13

則<cos。3,解得<I-/或“（舍）,

a3岳A35

sin2^+cos20=1cosB=---------cos〃=-------

9

所以COS(e+7I>=-cos2<9=-

13,

故選：B

13.（2024?高二?河北邢臺?期末）已知經過點（3,1）的直線/的一個方向向量為（3,2）,貝[]/的方程為（）

A.3x+2y-ll=0B.2x—3〉—3=0

C.2x+3>-9=0D.3x-2y-7=0

【答案】B

【解析】設直線/上任意與點。（31）不重合的一點為尸（x,y）,由題意有中與（3,2）共線，

所以=整理得/的方程為2》一3y一3=0卜片3）,

x-33

又點0（3,1）在直線/上，且點。（3,1）滿足方程2x-3了-3=0,

綜上所述，/的方程為2x-3了-3=0.

故選：B.

14.（2024?高二?全國?課后作業）若直線4：辦+〉-4=0與直線/2：x-y-2=0的交點位于第一象限，則實數

a的取值范圍是（）

A.（-U）B.(-1,+<?)C.(-℃,2)D.(-℃,-l)U(2,+co)

【答案】A

【解析】當。=-1時，4：x-y+4=0,此時/"L不滿足題意;

當--1時，解方程組］I-+y—4==。0得丈=丁6？”4—2〃

。+1

由題知:立「解得-…<2,

即實數0的取值范圍為H，2）.

故選：A

15.（2024高二?福建南平?階段練習）兩直線3x+y-3=0與6x+切+1=0平行，則它們之間的距離為（）

A”口25「5V13?7V10

132620

【答案】D

【解析】因為兩直線平行，所以3x機=6x1,解得加=2,將6x+2y+l=0化為3x+y+g=0,

由兩條平行線間的距離公式得4=2士2=7回.

V32+l220

故選：D.

二、多選題

16.（2024?高三?全國?專題練習）下列說法是錯誤的為（）

A,直線的傾斜角越大，其斜率就越大

B.直線的斜率為tana,則其傾斜角為a

C.斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等

D.經過任意兩個不同的點<（再,必）,￡卜2，%）的直線都可以用方程（了一%）（無2-X）=（x-xj（%-乂）表

【答案】ABC

【解析】當直線的傾斜角為直角時，該直線不存在斜率，故選項A不正確;

SjrTT

當直線的斜率為tan^=1,傾斜角為1，故選項B不正確；

當兩條直線的斜率相等，顯然這兩條直線的傾斜角相等，故選項選項C不正確;

根據直線的兩點式方程可知選項D正確,

故選：ABC

17.（2024?高三?全國專題練習）已知點4（2,-3）,5（-3,-2）,斜率為左的直線/過點尸（1,1）,則下列斜率左

的取值范圍能使直線/與線段48相交的有（）

A.|，+。|B.（-￥,-4f{C.（-4,0）D.0,：］

【答案】AB

【解析】根據題意，在平面直角坐標系中，作出4B,尸三點，如圖所示.

當直線/與線段N8相交時，上2怎B=#|=1或左4怎

所以斜率k的取值范圍是（-鞏-4］uj+s］或斜率不存在，

結合選項，選項A、B符合題意.

18.（2024?高二?江蘇?專題練習）已知直線4：x-T=0和直線4：優+1）無+如+左=0（旌R）,則下列結

論正確的是（）

7T

A.存在實數左，使得直線/2的傾斜角為5

B.對任意的實數左，直線4與直線4都有公共點

c.對任意的實數左直線4與直線4都不重合

D.對任意的實數左，直線4與直線6都不垂直

【答案】ABD

7T

【解析】對于A項，當左=0時，直線4的方程為無=0,此時直線4的傾斜角為,，故A項正確；

對于B項，當左=-;時，直線4的方程為x-y-i=o,與4重合，此時兩直線有公共點；

當左時，有1X左-（fx（左+1）=2左+"0,即//一定相交.

綜上所述，對任意的實數左，直線4與直線4都有公共點，故B項正確；

對于c項，由B可知，當上=-3時，直線4與4重合，故c項錯誤；

對于D項，要使直線4與直線4垂直，則應有《+1-左=0,該方程無解，

所以對任意的實數左直線6與直線4都不垂直，故D項正確.

故選：ABD.

三、填空題

19.（2024?安徽滁州?二模）在平面直角坐標系無。了中，將點繞原點。逆時針旋轉90。到點B,那么

點8坐標為若直線的傾斜角為"，則其斜率為.

【答案】（-1,V3）

【解析】設點，（百，1）為角6終邊上一點，如圖所示，=2.

由三角函數的定義可知：sinO=；,COS6=5，

則6=上360。+30°,如Z）,則直線OA的傾斜角為30°,

將點么（G，1）繞原點O逆時針旋轉90°到點B,

得直線08的傾斜角為120。，

且點B在120。角的終邊上，由三角函數定義可得點5的坐標為（2cosl2（T,2sinl20。）,

即8（T,百），且a=120。，貝（J左=tane=.

故答案為：㈠行）;-6.

20.（2024?高二?四川遂寧?階段練習）已知/,3兩點的坐標分別是（T0）,（1,0）,直線，此曲/相交于點

M,且直線4W的斜率與直線的斜率的商是2,點”的軌跡是

【答案】直線》=-3去掉點(TO)

【解析】由題意不妨設加(尤/),則L+七=整理得尤=-3,("0),

x+1x-1

所以點M的軌跡是直線x=-3去掉點(-3,0),

故答案為：直線》=-3去掉點(-3,0).

21.(2024?廣東?模擬預測)在平面直角坐標系中，等邊三角形N3C的邊48所在直線斜率為26，則邊NC

所在直線斜率的一個可能值為

【答案】—苧或分

【解析】設直線4?的傾斜角為由已知得心B=tana=26，設直線/C的傾斜角為

則扁c=tan。，因為在等邊二角形/8C中，ABAC=60°,所以0=a±60。,

tan?+tan60°

當。=a+60°,tan。=tan(a+60°)=

l-tancrtan60°1-2岳行一5

所以幻c=tane=~~Y~

tana-tan60°

當6=a—60°,tan6>=tan(cr-6ff)=

1+tanatan60°-1+2V3XV3-7'

所以kc—tan0=

A7

綜上，心=-孚或心=

7

故答案為：-孚或?

22.(2024?高三?上海浦東新?期末)直線x-石y+2=0與直線瓜+2y=l所成夾角的余弦值等于.

【答案】智

,則其斜率為人今傾斜角為，

【解析】直線龍-白尸2=0,即丁=旦+氈

33

直線&+2k1,即尸-日金，則其斜率「一

<0,

2

設直線岳+2y=1的傾斜角為6,貝han。=一且>一6=tan@,

23

2兀

又0“<無，所以丁<6<兀，

ur*i\i八兀兀/■）兀兀，兀/1兀57r

所以0<幾一6<7，-<7t-d+-<-,ffo-<6,--<—,

36o2zoo

jr

所以兩直線的夾角為兀-0+w，

6

又因為必Ig=-」l,sin2e+cos2e=l,

cos。2

mu〃226.出歷

則cos6?=--=--,sin0=-^=—

Vr77V77

（nA（A兀）c兀?c-兀f20）V3V211V21

所以cos兀一〃+—=-cos"——=-cost/cos——sin"sm—=---------x---------------x—=------

（6j[6）6617127214，

故所求夾角的余弦值為叵.

14

故答案為：回.

14

23.（2024?高二?全國?課后作業）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為》+了-2=0與》-7歹-4=0,原點

在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為.

【答案】3

【解析】/i：x+y-2=0,￡=-l,/2：x-7y-4=0⑸=；,設底邊為4：了=履

k—kk-k左+]7k—[

由題意，4到4所成的角等于4到4所成的角于是有==—=e7，解得人=3,

1十K]K1十K2KK1./十D

故答案為：3.

24.（2024?高二?上海長寧?期末）直線5》7+2=0和直線3x+2k7=0的夾角的大小為.

7T

【答案】-

【解析】直線5x-y+2=0的方向向量為碗=（1,5）,直線3元+2了-7=0的方向向量為康卜,-日，

所以直線5x-了+2=0和直線3x+2了-7=0的夾角的余弦值為:

cos(m,H

TTj7r1

因為兩直線的夾角0,-,所以直線5x-y+2=0和直線3x+2y-7=0的夾角為“

4

故答案為：:

25.（2024?高三?上海?階段練習）直線3x+4y-3=0與直線6x+2叩+加=0平行，則機=.

【答案】4

【解析】由題意知24=6%=>機=4,當〃1=4時，直線3尤+47-3=0與直線3x+4y+2=。平行，故加=4滿

足題意.

故答案為：4.

26.（2024?天津河東一模）已知過點*4,-3）的直線（不過原點）與圓C:x?+（了+5丫相切，且在》軸、

軸上的截距相等，則。的值為.

【答案】18

【解析】由題意知過點尸（4,-3）的直線（不過原點）在x軸、V軸上的截距相等，

設該直線方程為無+了=6,將尸（4,-3）代入得6=1,即直線方程為x+V=l,

由于該直線與。：/+（尸5）2=凡（°>0）相切，圓心為（0,-5）,半徑為

故答案為：18

27.（2024?高三?河北衡水?階段練習）已知斜率均為負的直線/：瓜+即=0與直線m-.ax+