九年級數學中考復習《特殊四邊形綜合壓軸題》專題提升訓練(附答案)

1.如圖，在平行四邊形2BCD中，AB=12cm,AD=8cm,^DAB=45°,點、E,尸分

別是線段CD和AB上的動點，點E以lcm/s的速度從點。出發沿DC向點C運動，同時點

尸以2cm/s的速度從點8出發，在B4上沿B玲/-8方向往返運動，當點E到達點C時，

點、E,尸同時停止運動.連接4E,EF.設運動時間為t(s)(0<t<12),請解答下列

問題：

⑴當f為何值時，4E平分NZMB?

⑵在運動過程中，是否存在某一時刻3使得以E,C,F,/四點為頂點的四邊形是平

行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

⑶連接BE并延長，交4D的延長線與點P,連接PC.設APEC的面積為Scm2,求S與f

之間的關系式.

2.定義：有一組對角互補的凸四邊形稱為對補四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱

為對補線.

A

⑴下列三種圖形中：①平行四邊形，②矩形，③正方形，一定是對補四邊形的有

___________(填寫序號)；

(2)如圖，在凸四邊形48C。中，AB=AC,AB1AC,當夜4)+。。=8。時，判斷四邊

形48CD是否為對補四邊形，證明你的結論：

(3)在RtAEFG中，EF=1,GE=3,NGEF=90。，以GF為斜邊作等腰Rt△GHF,連接

EH,請直接寫出的長.

3.在正方形2BCD中，E是CD邊上一點,

圖1圖2圖3

⑴將△2DE繞點4按順時針方向旋轉，使4。、2B重合,得到A4BF,如圖1所示，觀察

可知：與DE相等的線段是,^AFB=Z.

（2）如圖2,正方形中，P、Q分別是BC、CD邊上的點，且NP4Q=45。，試通過旋

轉的方法證明：DQ+BP=PQ；

⑶在（2）題中，連接8。分別交4P、4Q于點M、N,求8M、MN、ND的數量關系.

4.定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形.

【性質初探】如圖1,已知，UiABCD,ZB=80°,點E是邊XD上一點，連接CE,四邊

形2BCE恰為等腰梯形.求NBCE的度數；

【性質再探】如圖2,已知四邊形28CD是矩形，以8C為一邊作等腰梯形=CE,

連接BE、CF.求證：BE=CF-,

【拓展應用】如圖3,回4BC0的對角線AC、BD交于點0,AB=2,^ABC=45°,過點

。作4C的垂線交BC的延長線于點G,連接DG.若NCDG=90。，求BC的長.

5.如圖①，在正方形2BCD中，AB=4,M為對角線BD上一點（不與8、。重合）,

連接4%過點M作MN_LAM交邊CD于點N,連接4V.

圖①圖②

⑴【問題發現】在圖①中小明想過點M分別作2D、的垂線，發現4M和MN有特殊

的關系，請你判斷AAMN的形狀，并根據小明的方法給出證明；

(2)【問題解決】直接寫出圖①中SMMN的取值范圍：；

(3)【類比探究】如圖②，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,M為對角線BD上一點,

且翳=|，貝I)SA4MN=.

6.【知識感知】(1)如圖1,四邊形4BCD的兩條對角線交于點O,我們把這種對角線

互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

在我們學過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，屬于垂美四邊形的是

;(只填序號)

【性質探究】(2)如圖1,試探究垂美四邊形4BCD的四條邊ZB,CD,BC,AD之間有

怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給出證明；

【性質應用】(3)如圖2,分另IJ以RtAACB的直角邊4C和斜邊4B為邊向夕卜作正方形4CFG

和正方形28DE,連接CE,BG,GE,已知4C=10西，AB=S岳,求GE的長.

7.如圖，矩形4BCD中，AB=12cm,BC=6cm,動點尸以2cm/s的速度從點/出發

沿折線4B-向終點C運動,動點。以2cm/s的速度從點D開始沿折線-4B向終

點8運動，如果點尸、。同時出發，設點尸運動的時間f秒，ACPQ的面積為S.

⑴當t=秒時，點0到達點/,當￡=時，點0到達點區

⑵當/為何值時，AQ4P為等腰直角三角形？

⑶求出ACPQ的面積S(可用含有的代數式表示).

8.已知，矩形4BCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于

(1)如圖1,連接AF、CE,求4尸的長;

(2)如圖2,動點P、Q分別從4、C兩點同時出發，沿△4FB和ACDE各邊勻速運動一周，

即點P自4-F-BrA停止，點Q自C-D-E-C停止，在運動過程中，

①已知點P的速度為每秒5on,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒，當4、C、P、

Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值.

②若點P、Q的運動路程分別為a、b(單位：cm,ab0),已知A、C、P、Q四點為頂

點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數量關系式.

9.如圖①，在平行四邊形48CD中，乙4nB=90°,AD=24，BD=475,點尸從點4出

發以每秒1個單位長度的速度沿射線4B方向運動.設點尸的運動時間為t秒，點尸出發后,

過點F作4B的垂線，交折線4。-DC于點E,以EF為邊向右作矩形EFMN,使EF=

2FM.設矩形EFMN與ABCD重疊部分的面積為S.

圖①圖②

⑴當點N落在BD上時，求t的值;

(2)當點尸在線段4B上運動時，用含t的代數式表示線段8M的長；

⑶當矩形￡川如7與4BCD重疊部分的圖形不是三角形時，求S與t的函數關系式；

⑷如圖②，點。為8。的中點，連接。N,0M,設矩形EFMN與AOMN的面積比為k,當

時，直接寫出t的取值范圍.

10.如圖，在四邊形ABCD中，AD\\BC,AD=12cm,BC=15cm,動點P、Q分另U從/、

C同時出發，點P以lcm/s的速度由/向。運動，點Q以3cm/s的速度由C向B運動，其中

一動點到達終點時，另一動點隨之停止運動，設運動時間為t秒.

(1)AP=cm,PD=cm,BQ—cm,(分別用含有t的式子表示)；

⑵當四邊形PQCD的面積是四邊形4BQP面積的2倍時，求出t的值.

⑶當t為何值時，四邊形4PQB為平行四邊形？

⑷當t為何值時，四邊形PDQB為平行四邊形？

11.綜合與探究

如圖1,一次函數y=x+4的圖象與坐標軸交于4B兩點，點C的坐標為(2,0),點。是

⑴直接寫出點8的坐標及直線BC的解析式；

(2)如圖1,連接CD,當△4CD的面積等于AAOB的面積時，求點。的坐標；

(3)如圖2,過點。作直線BC的平行線I,在直線1上是否存在一點E,使四邊形BCDE是菱

形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，說明理由.

12.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

⑴概念理解：我們已經學習了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂

美四邊形的是.

⑵性質探究：如圖2,已知四邊形4BCD是垂美四邊形，求證:+九2=AB2+CD2.

⑶問題解決：如圖3,分別以RtAACB的直角邊4C和斜邊4B為邊向外作正方形4CFG和

正方形ABDE,連接CE,BG,GE,CE交4B于點M,已知4C=4,AB=5,求GE的長.

13.如圖，在平行四邊形4BCD中，ABAD=LBDC,點、E為BC邊上一點、,連結4E交對

角線BD于點尸.

(1)如圖，若乙4DB=60。，AE=2BE=4,求4B的長度；

(2)如圖，若N2DB=120°,點G,〃為4E邊的兩點，連接。G,DH,BG,且滿足NHDG=

ZDGS=60°.求證：DG-BG=2DH.

AB

⑶如圖，若NADB=60°,BD=6,將AADF沿射線DB方向平移，得到連接

A'C,CD',當C?+C4的值最小時,請直接寫出CD，+C4的最小值.

DC

/

\//B\

F'

A'

14.如圖，已知正方形48CD的邊長為2,點E是邊CD上的一動點，2F平分NB4E交邊BC

于點上

(1)①當點F恰好是邊BC的中點時，求線段DE長；②當點E恰好是邊CD的中點時，求

線段BF長.

(2)猜想線段4E,DE,8F之間的數量關系，并說明理由.

⑶直接寫小4。后與44BF面積和的最大值.

15.綜合與實踐

綜合與實踐課上,老師讓同學們以"矩形的折疊"為主題開展數學活動.

圖1

⑴操作判斷

操作一：正方形透明紙片4BCD,點E在邊上，如圖1,連接4E,沿經過點B的直線

折疊，使點E的對應點。落4E在上，如圖2,把紙片展平，得到折痕BF,如圖3,折痕

BF交AE于點G.

根據以上操作，請直接寫出圖3中2E與BF的位置關系：,BE與CF的數量關

系：;

⑵遷移探究

小華將正方形透明紙片換成矩形透明紙片，繼續探究，過程如下：

將矩形透明紙片4BCD按照(1)中的方式操作，得到折痕BF,折痕BF交4E于點G,如

圖4.^mAB^nAD,改變點E在8C上的位置，那么笠的值是否能用含的代數式表

AE

示？如果能，請推理裝的值，如果不能，請說明理由；

⑶拓展應用

如圖5,已知正方形紙片4BCD的邊長為2,動點E在AD邊上由點/向終點。勻速運

動,動點尸在。C邊上由點。向終點C勻速運動，動點E,廠同時開始運動，且速度相

同，連接NRBE,交于點G,連接。G,則線段。G長度的最小值為：,

點G的運動路徑長度為：(直接寫出答案即可).

16.如圖1,已知矩形4BCD,將矩形4BCD繞點/順時針旋轉得到矩形4EFG,其中點

E,尸分別是點2,C的對應點.

圖1圖2備用圖

(1)如圖2,當點G在對角線BD上時，

①若旋轉角為60。，求乙48。的大??；

②若4B=4,AD=3,求DG的長.

(2)若直線EB,DG交于點〃，求證：X是CF的中點.

17.已知，在平面直角坐標系中，矩形4BC。的邊。4在y軸正半軸上，邊。C在%軸的正

半軸上，且4(0,8),C(10,0),點E為8C上一點，將矩形沿4E翻折，使點B落在OC邊

上的點。處.

(1)求點。的坐標.

⑵動點P從點。出發以每秒2個單位的速度沿%軸向右運動，連接PE,設仆PDE的面積為

S,點P運動的時間為3請用含t的式子表示△PDE的面積S,并直接寫出t的取值范圍.

⑶在(2)的條件下，在點P運動過程中，在平面內取一點Q,使P、D、E、Q四個點組成

的四邊形為菱形，請求出滿足條件的t值及Q點坐標.

18.某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行

探究，提出下列問題，請你給出證明：

⑴【圖形認知】如圖①，在正方形28CD中，AF1DE,4F交DE于點G,則蕓=______

DE

(填比值)；

⑵【探究證明】如圖②，在矩形4BCD中，EFJ.GH,EF分另U交4￡＞、BC于點E、F,GH分

別交AB、OC于點G、H,求證：篇=煞

CrrlAL)

⑶【結論應用】如圖③，將矩形48CD沿EF折疊，使得點B和點。重合，若48=2,BC

3.求折痕EF的長;

(4)【拓展運用】如圖④，將矩形4BCD沿EF折疊，使得點。落在AB邊上的點G處，點C落

在點P處，得到四邊形EFPG,若48=2,BC=3,EF=^-,請求點尸到直線48的距

離.

G

圖④

19.在四邊形48CD中，E是BC上一點，連接4E,將△28E沿4E翻折得至！UAFE,2F落

在對角線4C上.將AAEC繞點/旋轉，使得4C落在直線2D上，點C的對應點為M,點

￡的對應點為N.

(1)【特例探究】如圖1,數學興趣小組發現，當四邊形4BCD是正方形，且旋轉角小于90。

時，會有ACEFmAMDN,請你證明這個結論;

⑵【再探特例】如圖2,當四邊形4BCD是菱形，且旋轉角小于90。時，若NB4D=60。,

BE=2.連接DF交4N于點G.求DG的長;

圖1圖2

(3)【拓展應用】如圖3,當四邊形48C。是矩形時，當M到點4、點。的距離，兩段距離

圖3備用圖

20.(1)如圖1,在正方形4BCD中，E、F分另！J為4B、BC邊上的點且BE=BF,延長4B

至G使得BG=BC,延長GF交CE于點H,求證：GH1CF；

(2)如圖2,在矩形48CD中，AB=3,BC=4,將△ABC繞點B順時針旋轉至AEBF,

且點E落在4C上，求sin/CEF的值；

(3)如圖3,在四邊形4BCD中，2￡)||8C,N82D+NBC。=90°,CD=3y/3,sinzBCZ)=|,

連接AC,BD,當△28。是以8。為腰的等腰三角形時，直接寫出4C的值.

圖1圖3備用圖

(2025年)

參考答案

1.解：(1)回四邊形/BCD是平行四邊形,

胤48||CD,

團乙DE/=Z.EAF,

回ZE平分乙。48,

團乙D/E=/.EAF,

^Z-DAE=Z.DEA,

團。E=AD=8cm,

(2)假設存在合題意的f,使得以E,C,R4四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則CE=/F,

①當0<t<6時，AF=12-2t,

12—2t=12—t,

解得t=0(舍)

②當6<1<12時，AF=2t-12,

2t—12=12—t,

解得t=8

由①②可得當t=8時，以￡,C,F,/四點為頂點的四邊形是平行四邊形.

(3)過點B作BM14P交4P于點M,作BN1CD交CD于點N.

在RtAAMB中，^MAB=45°,

SiAM=BM,AM2+BM2=AB2=122,

回AM=6企，

同理可得，BN=4V2,

_BCBM

XPBC=-；-=24V2,

況=(12T)X4保=24a-2at,

22

IES=S2PBe-S2EBC=24A/2—(24V2—2V2t)=2&1t.

（2025年）

2.（1）解：①平行四邊形對角相等，不符合題意；

②矩形對角互補，符合題意，

③正方形對角互補，符合題意，

故答案為：②③；

（2）解：是對補四邊形.

理由：如圖，過點/作4M1AD,且=連接MD,MC.

■.■AB=AC,AD=AM,^BAC=^DAM=90°,

?-?/.BAC+/.CAD=/.DAM+/.CAD,

即NB4D=ACAM,

???ABADCAM,

???BD=CM,

■：AMLAD,且AM=4。

???^ADM=45。,MD=42AD

■：V24D+CD=BD=CM,

即MD+CD=CM

M.D、C在一直線上，

???^ADC=180°-^ADM=135°

???^ADC+乙ABC=180°,

團四邊形ABCD是否為對補四邊形.

(3)解：①當點X、E在GF兩側時,

(2025年)

將EH繞點H順時針旋轉90。，得到M”，連接GM,

0AGFH為等腰直角三角形，

回NGHF=90°,GH=FH,

回NEHM=90°,

0ZEWM-乙EHG=乙GHF-乙EHG,即NE”F=乙MHG,

回MH=EH/EHF=/.MHG,GH=FH,

0AGHM三△FHE(SAS),

^GM=EF=1,MH=EH,乙MGH=LEFH,

回AEFG為直角三角形，AGF”為等腰直角三角形，

E1ZGFF+乙GHF=180°,

回NEG”+乙EFH=180°,

fflZfGW+^MGH=180°,即點Af、G、K共線，

EIEM=EG+MG=4,△MEH為等腰直角三角形，

根據勾股定理可得：EH2+MH2=2EH2=EM2=16,

解得：EH=2V2；

②當點H、E在GF同側時，

將繞點"順時針旋轉90。，得到NH,連接HN,

SEH=NH./.EHN=90°,

EINN=乙HEN=45°,

0AGFH為等腰直角三角形，

0ZGHF=90°,GH=FH,

SiZ.EHN=90°,

(2025年)

G

?AEHN+乙FHE=乙GHF+乙FHE,即NE”G=乙NHF,

SINH=EH,Z.EHG=4NHF,GH=FH,

0AGHESAFH/V(SAS),

fflzHFG=Z_N=45°,EG=NF=3,

0ZFEW=90°+45°=135°,

團乙HEN+乙FEH=45°+135°=180°,

回點N、E、尸共線，

ISEN=NF-EF=2,

根據勾股定理可得：EH2+NH2=2EH2=EN2=4,

解得：EH=正；

綜上：=&或2夜.

3.解：(1)如圖1,???A4DE繞點4按順時針方向旋轉，使4。、重合，得到

DE=BF,Z.AFB=Z.AED,

故答案為：BF,AED-,

(2)將A4DQ繞點4按順時針方向旋轉90。，貝1。。與重合，得到A4BE,如圖2,

圖2

貝此。=/.ABE=90°,

???Z-ABP=90°,

??.Z.ABE+Z.ABP=180°

(2025年)

???點E、B、P共線，

由旋轉知，Z.EAQ=^BAD=90°,AE=AQ,BE=DQ,

???^PAQ=45°,

???/.PAE=45°,

???乙PAQ=Z.PAE,

在△APE和AAPQ中

AE=AQ

???Z.PAE=Z-PAQ,

AP=AP

???AAPE=AAPQ(SAS),

??.PE=PQ,

而PE=PB+BE=PB+DQ,

??.DQ+BP=PQ,

(3)BM2+DN2=MN2

理由：如圖3,

圖3

???四邊形4BCD為正方形，

???乙ABD=4ADB=45°,

如圖3,將A4DN繞點4按順時針方向旋轉90。，貝何。與4B重合，得到44BK,連接KM,

則N2BK=ZADN=45。，BK=DN,AK=AN,

回NK4N=90°,4PAQ=45°,

S1AKAM=乙NAM=45°,

團4M=AM,

團A/MN=A4MK(S/S),

回MN=MK,

???￡.MBA+Z.KBA=45°+45°=90°,

(2025年)

??.ABMK為直角三角形,

???BK2^-BM2=MK2,

???BM2+DN2=MN2.

4.解：［性質初探］解：過點4作ZG交于G,過點E作交于”,

???目/BCD,

???AE||BC,

??.AG=EH,

???四邊形ABCE恰為等腰梯形，

-AB=EC,

???Rt△ABG=RtAECG(HL),

Z.B=Z-ECH,

???(B=80°,

???乙BCE=80°；

［性質再探］證明：???四邊形ABC。是矩形，

???AE||BC,

???四邊形BCEF是等腰梯形，

??.BF=CE,

由(1)可知，乙FBC=LECB,

??.△BFC=△CEB(SAS),

??.BE=CF；

［拓展應用］解：連接AC,過G點作GM14。交延長線于點M,

(2025年)

???四邊形ABC。是平行四邊形,

???。是AC的中點，

GO1AC,

AC=CG,

vAB||CD,AABC=45°,

???(DCG=45°,

???乙CDG=90°,

CD=DG,

BA=DG=2,

???Z.CDG=90°,

CG=2V2,

AG=2V2,

???(ADC=(DCG=45°,

???Z.CDM=135°,

??.Z.GDM=45°,

??.GM=DM=V2,

在RtZk/GM中，(2V2)2=(AD+V2)2+(V2)2,

AD=V6—V2,

BC=V6—V2.

5.(1)解：△/"可是等腰直角三角形.理由如下：

如圖：過點M作ME14)于E,MF1C。于尸，則四邊形MEDF為矩形,

圖①

回四邊形4BCD為正方形,

回乙4DB=乙CDB=45°,

（2025年）

回乙。ME=Z.DMF=45°,

回ME=DE,

回四邊形MEDF為正方形，

回ME=MF,乙EMF=90°,

又朋M1MN,

???乙AMN=90°,

??.匕AME=乙FMN,

又???AAEM=乙MFN,

0AAME=ANMF（AAS）,

財M=MN,

0A4MN為等腰直角三角形.

（2）解：IBA4MN為等腰直角三角形，

2

^S^MN=1AM-HN=^AM,

當AM_LBD時，AM有最小值，

重48=4,

回SMMN最小值=1X（2V2）2=4,

又的不與3重合，

回SUMN>S.Be，即SUMN>8,

團4<S—MN<8.

故答案為：4<S^AMN<8.

（3）解：過點M作MG1AB于G,延長GM交CD于77,則MH1CD,

圖②

回四邊形為矩形,

（2025年）

園4G=DH,GH=AD=3,

「

團M一B=-2

BD5

回--=—2

DM3

國四邊形ABC。是矩形,

財B||CD,

[?!△BMGDMH,

=MG==2

DHMHDM3

AGMH3

團GH=AD=3,AB=4,

回MG=l，MH=-,BG=-,AG=

5555

團4M1AN,

^AMN=90°,

回NZMG+乙HMN=90°,

^AMG+AMAG=90°,

國上HMN=2LMAG,

回乙AGM=乙MHN,

[?]△AGMMHN,

回絲=咨

MHHN

126

爵=邑

IHN

9

WN=—,

io

2

SMN=NMH2+HN2=+舄）2=總遮，AM=y/AG2+MG2=+g）=

團S-MN=-X-V5x—V5=—.

△AH"251010

故答案為：

10

6.解：知識感知：團菱形和正方形的對角線互相垂直，

團屬于垂美四邊形的是③④；

(2025年)

性質探究：AB2+CD2=AD2+BC2；

證明：■.AC1BD,

SAB2=OA2+OB2,DC2=OC2+OD2,AD2=OA2+OD2,BC2=OC2+OB2,

SAB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OD2+OC2+OB2,

^AB2+CD2=AD2+BC2；

性質應用：回正方形4CFG和正方形ABDE,

回GA=CA,AB=AE,/.GAC=4BAE=90°,

0Z.GXB=/.CAE,

0ACAESAGAB(SAS),

BZ.NBM=/-MEA,

又EINNMB=^AME,

回N8NM=/.BAE=90°,

EICE1BG,

0BC2+GE2=CG2+BE2,

連接CG,BE,

ERtAXCB,AC=10V5,AB=5VH,

BBC=7AB2—AC?=5,CG=y/AG2+AC2=lOVlO,BE=<AB2+AE2=5742,

22

EI52+GE2=(lOVlO)+(5V42),

回GE=45.

圖2

7.(1)解：?.?四邊形4BCD是矩形，BC=6cm,AB=12cm,

AD=BC=6cm,DA+AB=6+12=18cm,

:動點Q以2cm/s的速度從點。開始沿折線￡M-AB向終點B運動,

1=6+2=3時，點。到達點力，

t=18+2=9時，點Q到達點8,

故答案為：3,9；

(2025年)

(2)???四邊形4BCO是矩形，

，AD=BC=6cm,CD=AB=12cm,

由題意得：AP=2tcm,DQ=2tcm,

???AQ=AD—DQ=(6—2t)cm,

△QAP為等腰直角三角形，

AQ=AP9

即6-2t=23

解得:t=f,

即當t為I時，為等腰直角三角形;

(3)分三種情況：

①當0<tW3時，如圖1所示：

圖1

由題意得：AP=2tcm,DQ=2tcm,

??.AQ=AD—DQ=(6—2t)cm,BP=(12—2t)cm,

S=矩形4BCD的面積一△2PQ的面積一△BCP的面積一△CDQ的面積=12x6-|x2tx

(6-2t)-1x(12-2t)x6-|x12x2t=(2t2-12t+36)cm2；

②當3WtW6時，如圖2所示：

??.PQ=AP-AQ=6cm,

(2025年)

11

S=-PQxBC=-x6x6=18cm2o；

圖3

由題意得：BP=(2t-12)cm,AQ=(2t—6)cm,

/.CP=6-BP=(18-2t)cm,BQ=12-AQ=(18-2t)cm,

.■.S=^CPxBQ=|x(18-2ty=(2t2-36t+162)cm2.

(2t2-12t+36(0<t<3)

綜上，S=118(3<t<6)

(2產—36t+162(6<t<9)

8.(1)解：?.?四邊形4BCD是矩形，

???ADWBC,

???Z-CAD=乙ACB,Z.AEF=乙CFE,

???EF垂直平分/C,垂足為。，

OA=OC,

/.△AOE=△COF(AAS),

??.OE=OF,

???四邊形/FCE為平行四邊形，

又EF1AC,

???四邊形4FCE為菱形，

設菱形的邊長/F=CF=xcm,貝ijBF=(8—x)cm,

在RtZkABF中，AB=4cm,

由勾股定理得42+(8-%)2=%2,

解得％=5,

???AF=5cm.

（2）①顯然當P點在4F上時，Q點在CD上，此時4、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；

同理P點在4B上時，Q點在DE或CE上或P在BF,Q在CD時不構成平行四邊形，也不能構成

(2025年)

平行四邊形.

因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形,

.?.以4、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA,

???點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒，

PC=5t,QA=CD+AD-4t=12-4t,即Q4=12—43

5t=12—4t,

解得"%

.??以4、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=（秒.

②由題意得，四邊形4PCQ是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上.

分三種情況：

i）如圖1,當P點在2尸上、Q點在CE上時，AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；

花）如圖2,當P點在BF上、Q點在DE上時，AQ=CP,即12—b=a,得a+b=12；

山）如圖3,當P點在4B上、Q點在CD上時，AP=CQ,即12—a=b,得a+b=12.

綜上所述，Q與b滿足的數量關系式是Q+b=12（ahH0）.

匚口4-------1_Q

BFCBPFCBFC

圖1圖2圖3

9.(1)解：如圖，

DC

川，/

AFMB

圖①，

???Z.ADB=90°,AD=2V5,BD=4V5,

(2025年)

j22

AB=<AD2+BD2=J（2V5）+（4A/5）=10,

???點尸從點a出發以每秒I個單位長度的速度沿射線4B方向運動t秒,

AF—t,

EF1AB,

???^AFE=乙ADB=90。,

???Z.EAF=Z-BAD,

???△AEFABD,

.AE_EF_AF叩絲_EF___t_

-AB~BD~AD"10-4V5-2忖

AE=EF=23

??.DE=AD-AE=2V5-V5t,

,??四邊形EFMN是矩形，

??.FM=EN,EN||FM,艮PEN||AB,

??.△DENDAB,

.EN_DE日REN_2V5-V5t

ABAD102V5

???EN=10-53

???EF=2FM,

2t=2(10—5t),

解得：t=l;

(2)解：由(1)得，AF=t,EF=2t,

???EF=2FM,

1

???FM=-EF=t,

2

當owe<2時，點E在邊/D上，

BM=AB-AF-FM=10-t-t=10-23

當2Vt<8時，點E在邊OC上，點M在邊AB上，如圖,

(2025年)

圖②

過點D作。H14B于點H,

則DHSB=?BD,即10OH=2V^X4近，

???DH=4,

EF=DH=4,

1

FM=-EF=2,

2

BM=AB-AF-FM=10-t-2=8-t,

當8<t<10時，點M在線段48的延長線上，如圖,

圖③

■：AB=10,AF=t,FM=2,

BM=AF+FM-AB=t+2-10=t-8,

綜上所述，線段BM的長為10-2t(0<t<2)或8-t(2<t<8)或t-8(8<t<10)；

(3)解：如圖，當2<tW8時，重疊部分為梯形EGKN,

圖④

過點。作DH于點H,

由(2)知：DH=4,

AH=y/AD2-DH2=J(2伺f-42=2,

■■■HF=AF-AH=t-2,

(2025年)

vDHLABfEFlAB,

??.DH||EF,

vAB||CD,

???四邊形OEFH是平行四邊形，

???乙DHF=90°,

???四邊形DEFH是矩形，

DE=HF=t-2,DN=t—2+2=3

EGNKADEGNK2^5

tanzCDB=—=—=—,R即n一=—=一，

DEDNBDt-2t4近

EG=—,NK=-,

22

S——x(EG+NK)xEN——x―F5)x2—t-1,

如圖，當8<tW10時，重疊部分為五邊形EGBKN,

圖⑤

過點B作BT1CD于點T,

則87=4,BF=10-t,=2-(10-t)=t-8,

???FG=BF-tanzXBD=(10-t)x|=等，KM=2BM=2(t-8),

S=S矩形EFMN—S^BFG—SABMK

111

=8——x(10—t)x—x(10—t)——x(t—8)x2(t—8)

=--t2+21t-81,

4

(t—1(2<t<8)

綜上所述，S與t的函數關系式為：S=5,2上

[―-tz+21t—81{8<t<10)

(4)解：如圖，過點。作OWLAB于點W,OLLMN于點3

(2025年)

圖⑥

當0<t<2時，AF=FM=t,EF=2t,

???點。為8。的中點，

OB=OD,

???OW1AB,DH1AB,

??.OW||DH,

W是的中點,

AB-AH10-2&

???BW=-----=-------=4,

22

??.OL=MW=AB-BW-AF-FM=10-4-t-t=6-2tf

?.?矩形石尸”可與仆OMN的面積比為k,

2d_

t(6-2t)-'

1

fc<1,

12t2

A-<——<1,

2-t(6-2t)一

解得：1<t<p

當2<tW4時,如圖,

則4F=3EF=MN=4,FM=2,0L=4-t,

?.?矩形OMN的面積比為k,

1

v-<fc<l,

(2025年)

此時無解，

Zo—Zt

當4<t<12時，AF=t,EF=MN=4,FM=2,OL=t-4,

,矩形￡7"17與4OMN的面積比為k,

-^―=k,

2t-8

1

V-<fc<1,

A-<—<1,

2-2t-8-

解得：8<t<12,

總上所述，t的取值范圍為：1<1<|或8型412.

10.(1)解回點尸以lcm/s的速度由/向。運動，

胤4P=t,

回ZD=12cm

回PD=12—tcm,

團點Q以3cm/s的速度由C向B運動，BC=15cm,

團QC=3t,

回BQ=15—3t；

(2)解：設點4至UBC的距離為九,

???四邊形PQCD的面積是四邊形4BQP面積的2倍，

-11

=

團S口PQCD2slzi/BQp,即&x(PD+QC)xh=2x-x(AP+BQ)xh,

?e?—x(12—t+3t)x/i=2x—x(t+15—31)x/i,

???t=3；

(3)解：vADIIBC,

???當/尸=BQ時，四邊形APQB是平行四邊形，

t=15—33

t,=一15；

4

???運動號s時，四邊形4PQB是平行四邊形

4

(4)解：-：AD//BC,

.?.當PD=BQ時，四邊形2PQB是平行四邊形，

（2025年）

12—t=15—3t,

??.t=-,

2

團運動|s時，四邊形APQB是平行四邊形；

11.解：(1)?.?一次函數y=x+4的圖象與坐標軸交于4B兩點，點C的坐標為(2,0),

???/(-4,0),8(0,4),

??,點C的坐標為(2,0),

???直線BC的解析式：y=-2x+4；

(2)解：過點。作無軸的垂線，垂足為P,

???點。在線段上，橫坐標為機，

???縱坐標為(771+4),貝5尸=m+4,

ii

,*'S>ACD~2“0,DP,S^AOB=2,“°,B。=8,

??.-x6(m+4)=8,

解得，m=-1,m+4=|,

二點D的坐標為(—表9，

(3)???四邊形BCDE是菱形，B(0,4),C的坐標為(2,0)

BC=DC=BE=DE,

???CD2=BC2=OB2+OC2=20,

設￡)(771,771+4),其中―4<機<0,

0CD2=(2—m)2+(m+4)2=20,

解得：mi=-2,m2=0(不合題意舍去)，

即點。(—2,2),

???四邊形BCDE是菱形，

回點E坐標為(一2-2,2+4)即(-4,6),

12.解：(1)團在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱

形、正方形，

回菱形和正方形一定是垂美四邊形，

故答案為：菱形、正方形；

(2)證明：如圖，連接4C,8。交于點0.

(2025年)

???四邊形4BCD是垂美四邊形，

AC1BD,

：.AAOD=^AOB=Z-BOC=乙COD=90°.

由勾股定理，^AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

：.AD2+BC2=AB2+CD2.

(3)如圖，連接CG,BE.

■：Z.CAG=/.BAE=90°,

???NCAG+乙BAC=ABAE+4BAC,即NGAB=乙CAE.

在△GAB和△C4E中，AG=AC,^GAB=/.CAE,AB=AE,

GAB三ACAE(SAS),

???Z.ABG=Z.AEC.

又：^AEC+AAME=90°,

???^ABG+^AME=90°.

又?：乙BMC=^AME,

???/.ABG+/.BMC=90°,

CEJ.BG,

???四邊形CGEB是垂美四邊形.

由(2)可知CG2+852=CE2+GE2,

■.■AC=4,AB=5,

由勾股定理，WCB2=AB2-AC2=9,CG2=2AC2=32,BE22aB2=50,

???GE2=CG2+BE2-CS2=32+50-9=73,

(2025年)

GE=V73.

13.(1)解：過點E作EH_L2B,垂足為H,

回在平行四邊形ABCD中，AB||CD,AD\\BC

S^DBA=/.BDC

回NB4D=4BDC,

^Z-BAD=乙BDA,

胤4。=BD,

^\Z.ADB=60°,ADWBC,

0AAOB是等邊三角形，/.ABD=乙DBC=60°,

國乙EBH=60°,

⑦乙BEH=30°,

又回4E=2BE=4,即：BE=2

國BH=-BE、x2=l,EH=y/BE2-EH2=V22-l2=V3,

22

團在Rt2\AE”中，AH=-JAE2-EH2=J42-(V3)2=V13,

回AB=AH-BH=V13-1；

(2)證明：延長0"、GB交于點"，在。M上取點N,使MN=BG,

^Z.HDG=乙DGB=60°,

0ADMG是等邊三角形，

團DG=GM=DM,4M=乙DGB=60°,

MNG會△GBD(SAS),

團NG=BD,乙BDG=^NGM,

團乙。NG=ZM+乙MGN=60°+乙MGN,

/-ADH=4ADB+乙BDG-乙DHG=120°+乙BDG-60°=60°+乙BDG

^ADH=(DNG,

(2025年)

由(1)可知40=BD,

胤4D=NG,

又同上AHD=乙GHN

0AAHD三△G”N(AAS),

即H=HN,

團DN=2DH=DM—MN,

WG-BG=DM-MN=2DH.

(3)解：延長至IJ。，使CQ=BC,作等邊△BQP,在尸0上取一點〃，使QM=

連接CM、AQ,A'M,

Q

,，小

回BQ=2BC,

由平移可知，AAf=D?,且||DDL

^\Z.ADB=60°,BD=6,由(1)可知A。=BD,

0A4DB是等邊三角形，AD=AB=BD=6,乙ABD=60°,

團在平行四邊形ABC。是菱形，乙DBC=Z.CDB=60°,

團BC=AB=CQ=6,

團在等邊^BQP中，2BQP=乙DBC=60°

回QM||BD,

回44z=DDr=QM,AAf||DDf||QM,

回四邊形44'QM是平行四邊形，

固4'M=AQ,BM=MD',

在△。0(和4QMC中，

CD=CQ

乙BDC=(CQM=60°,

DD'=QM

0ADD'C三匕QMC(SAS)

回CD'=CM,

(2025年)

回CO'+CA'=CM+CA'>A'M=AQ,

過點。作QHLBP,垂足為兄

團在等邊ABQP中，^QBP=60°,BQ=2BC=12,

0SH=6,QH=y/BQ2-BH2=V122-62=6A/3,

EL4H=AB+BH=12,AQ=JAH2+QH2=J122+(6A/3)2=6夕,

B\A'M=AQ=6V7,

團當4,C,M三點共線時，+CA取得最小值4M=AQ=6V7,

此時，如圖，

回當4,C,M三點共線時，4M交于K,

回“CM=4KCB

在4BCK中，

乙QCM=乙KCB

CQ=BC,

/CQM=乙CBK=60°

0AQCM=△BCK(ASA)

EIQM=BK,

團四邊形44'QM是平行四邊形，

回QD'IIMK,

又I3QM||BD

回四邊形QMK。是平行四邊形，

SQM=D'K,

1

WD'=D'K=KB=-BD=2,

3

即：當平移將AaDF沿射線DB方向平移2個單位時,4,C,M三點共線，此時C?+CA=4Q,

值最小，

SCD'+CA'=2Q最小值為：6V7.

（2025年）

(方法2：如圖，4c與BD交于點連接AB、A'D\AC.取8C的中點N,連接2N、MN,

作NH1AB,

由方法1可知：AABC=120°,BN=^BC=3,

回乙NBH=60°,4BNH=30°,

SBH=-BN=NH=y/BN2-BH2=-V3,

222

SAH=6+|=y,AN=y/AH2+NH2=J（掙+（|V3）2=3夕,

由平移可知，AD=A'D',且⑷

又13在平行四邊形4BCD中，AD=BC,