專題10數列

目錄

易錯點01忽略數列的定義域出錯

易錯點02由S.求an忽略n=\的討論

易錯點03等比數列問題忽略公比q的討論

易錯點04裂項相消法求和時漏項、添項或忽視系數而致錯

易錯點05錯位相減求和錯判項數、公比或符號出錯

易錯點01：忽略數列的定義域出錯

易錯陷阱與避錯攻略

典例(2025高三?全國?專題練習)數列包,｝的通項公式為%="-2而伽=1,2「.).若｛。“｝為遞增數列，

則2的取值范圍是()

A.[1,+<?)B.[T'+s]C(一°°，1]D.1

【答案】D

【分析】由數列｛%｝的通項公式為4=*-2加(〃=1,2,…)，且｛凡｝為遞增數列，所以凡<a?+1對于wN*都

成立，即+；對于V/zeN*都成立，從而求得參數的取值范圍.

【詳解】因為數列｛q｝的通項公式為a,="-2加(〃=1,2,…)，且｛4｝為遞增數列，

所以％<an+l對于y,7GN*都成立，

所以/-2/U<(〃+1)?—+1)對于VMGN*都成立，即“2-2力z<n2+2n+l-2An-2A,

所以”<2〃+1對于V〃wN*都成立，所以力<〃+；對于V〃eN*都成立,

所以2<l+g=|,即2的取值范圍是

故選：D.

【易錯剖析】

本題容易混淆數列｛a,｝的定義域與函數/(%)=*—2尢c定義域的差異而得出彳<1出錯.

【避錯攻略】

1.數列的概念及一般形式

（1）數列的定義：按照一定次序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項，各項

依次成為這個數列的第1項（或首項），第2項……，組成數列的數的個數稱為數列的項數。

（2）數列的一般形式可以寫成巧,出，生，……，%,……,其中4表示數列的第〃項（也稱〃為a“的

序號，其中〃為正整數，即〃cN+）,稱為數列的通項。此時一般將整個數列簡記為｛4｝

【解讀】與集合中元素的性質相比較，數列中的項的性質具有以下特點：

①確定性：一個數是或不是某一數列中的項是確定的，集合中的元素也具有確定性；

②可重復性：數列中的數可以重復，而集合中的元素不能重復出現（即互異性）；

③有序性：一個數列不僅與構成數列的“數”有關，而且與這些數的排列順序有關，而集合中的元素

沒有順序（即無序性）；

④數列中的每一項都是數，而集合中的元素還可以代表除數字外的其他事物.

2.數列的通項公式

一般地，如果數列的第〃項斯與〃之間的關系可以用。“=黃”）來表示，其中五"）是關于w的不含其他未

知數的表達式，則稱此關系式為這個數列的通項公式.

【解讀】①數列的通項公式實際上是一個以正整數集N+或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝為定義域的函

數解析式.

②和所有的函數關系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數列都有通項公式.

③有通項公式的數列，其通項公式在形式上不一定是唯一的.

易錯提醒：（1）從函數的觀點看，數列可以看作是特殊的函數，關系如下表：

定義域正整數集N+（或它的有限子集｛1,2,3,…，?））

解析式數列的通項公式

值域由自變量從小到大依次取正整數值時對應的函數值構成

表示方法（1）通項公式（解析法）；（2）列表法；（3）圖像法

（2）在處理數列的求值、分析數列的性質時一定要注意數列的定義域是離散的，不是連續的，故不能對數列

的通項公式求導.

舉—反三

1.（24-25高三上?江蘇徐州?階段練習）函數"V7,若數列｛%｝滿足%=/（“），WEN*,

Cl,X〉/

且｛%｝是遞增數列，則實數a的取值范圍是（）

A.|,3jB.（I，3]C.（1,3）D.（2,3）

2.（24-25高三上?河南?期中）已知函數=V—南+l（6eR）,若。“=/（〃）,則“匕42”是“｛%｝是遞增數

歹曠的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

3.（24-25高三上?廣東汕頭?開學考試）己知數列則數列｛%｝的前100項中的最小

項和最大項分別是（）

A?%,4100B.〃45'044C.〃45，4D.〃44，"100

易錯題通關

1.（24-25高二上?全國?課后作業）若數列｛。”｝的通項公式為。“=4”-5,則關于此數列的圖象敘述正確的是

（）

A.此數列不能用圖象表示

B.此數列的圖象僅在第一象限

C.此數列的圖象為直線y=4x-5

D.此數列的圖象為直線y=4尤-5上滿足xeN+的一系列孤立的點

2.（24-25高三上?甘肅天水?階段練習）已知數列｛4｝的通項公式-9〃-10,記S“為數列｛外｝的前〃項

和，若使S“取得最小值，則〃=（）

A.5B.5或6C.10D.9或10

3.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）已知5”為數列｛。“｝的前〃項和，且S“=2%-2,若加2Zlog?。,,+3

對任意正整數〃恒成立，則實數4的最小值為（）

75

A.4B.-C.3D.-

22

4.（24-25高三上?天津?階段練習）在無窮數列｛風｝中，%=1,QI+2%=0（〃〉2,〃￡N*）,數列｛q｝的前〃

項和為S〃，則S”的最大值與最小值的差為（）

1

D.無法確定

c.2

（|—Q]〃+2,M>8*

5.（24-25高三上?安徽六安?階段練習）已知數列｛可｝滿足%=（2）,若對于任意“eN*

a,!-7,M<8

都有則實數。的取值范圍是（）

〃一2

6.（24-25高三上?云南玉溪?階段練習）已知數列｛麗｝的通項公式為二前w項的和為則S"取得

2?-13

最小值時”的值為（）

A.5B.6C.7D.8

易錯點02：由Sn求斯忽略n=l的討論

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三?江蘇淮安?期中）數列｛。“｝的前〃項和為S“，若4=1,a?+1=3S?（n>l）,則g=（）

4453

A.3x4B.3X4+1C.4D.4+1

【答案】A

【分析】利用退位相減法可得數列從第2項起，是以g=3為首項，4為公比的等比數列，故可求必，或者

利用結論可求

【詳解】已知4+i=3S",則當時，4=3%,

兩式作差，得--6=3⑸-S“_J=3%,

即4+1=4%,也即數列從第2項起，是以g=3為首項，4為公比的等比數列，

從而%=3-4"-2,讓2.

f1,〃=1,

由于％=1,%=3%=3,則為=平-2于是g=3'4.

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略〃=1的討論，而錯誤的得出數列的通項公式為a“=4'T出錯.

【避錯攻略】

1.已知S,=/(w)求an

已知S“=/5）求通項，步驟可分為三步：（1）當"22時見=s“-S”T；（2）當〃=1時，4=1；（3）

檢驗能否合寫，即〃=1和“22兩種情況能否合寫成一個公式，否則就寫為分段的形式.

2.已知Sn與an的關系求an

根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化.

（1）利用a〃=S“一Si（n>2）轉化為只含s”Si的關系式，再求解；

（2）利用S“一（M>2）轉化為只含出,的關系式,再求解.

易錯提醒：利用S“與詼的關系求％,作差后往往會得到一個項或和的遞推關系式，這是一定要檢驗遞推關

系是否對所有的正整數都成立，然后再根據遞推關系求通項公式.

舉一反三

1.（23-24高二下?北京大興?期中）已知數列｛與｝的前〃項和S"=1+l,則數列｛%｝的通項公式為（）

A.an=7?+1B.an=2n-\

2,”=1,

C.a=2M+1D.a=

nn2n-l,n>2

2.（24-25高二上?天津紅橋?階段練習）已知數列｛g｝的前〃項和為S“，且S“=2/+3〃-1,則數列的通項公

式為a”=

3.（24-25高三上?全國?課后作業）已知數歹!）｛%｝的前〃項和S“滿足S”=2-則｛4｝的通項公式為

易錯題通關

1.（24-25高三上?遼寧?期中）數列｛氏｝中，已知對任意自然數〃嗎+生+。3+…+。“=2〃-1,則

H-----F等于()

2.（24-25高二上?甘肅酒泉?期中）設S“為數列｛a“｝的前〃項和，若S"=2a,-1,則的值為（）

"10十42

A.8B.4C.-D.-

48

3.（23-24高二下?廣東汕頭?階段練習）設數列｛4｝的前〃項和為S,，4=2,2S“,/ieN\則%=.

4.（24-25高三上?湖南益陽?階段練習）己知數列｛q｝的前〃項和為S“，且S“=-5%+23,〃eN*,則數列｛a,,｝

的通項公式是.

5.（2024高三.全國?專題練習）已知數列｛凡｝的前〃項和為S“，若％=1,2邑=。用，則數列｛q｝的通項公

式.

3

6.（24-25高三上?河南?階段練習）使不等式二二VI成立的一個必要不充分條件是（）

2-x

A.（fo,-l）U（2,+oo）B.（-oo,-l]U（2,+oo）

C.（-oo,-1）D[2,+oo）D.（-oo,-1]D[2,+oo）

7.（24-25高二上?黑龍江牡丹江?階段練習）設數列｛%｝的前〃項和是S”,如果它的前〃項和S.=/—2幾+3,

那么=

8.（2024高三?全國?專題練習）已知數列｛4｝的前〃項和為S“，且滿足a?+3ssl=0（〃22且〃eN*）,6=g,

則S“=.

9.（24-25高二上?天津東麗?階段練習）在數列｛4｝中，4=6,且圖1M—（7z+2）S“=〃（〃+1）（〃+2）,則

易錯點03:等比數列問題忽略公比q的討論

易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024.新疆烏魯木齊.二模）設等比數列｛4｝的首項為1,公比為4,前〃項和為%若應+1｝也是等

比數列，則0=（）

A.1或2B.g或2C.1D.2

【易錯剖析】

本題容易忽略等比數列的求和公式成立的前提條件,沒有對q=l或gw1的討論而出錯.

【避錯攻略】

1.等比數列的概念及公式

（1）等比數列的定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，那么這

個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。

數學語言表達式："二q（ra>2,q為非零常數）.

an-\

（2）等比中項性質：如果三個數a,G,〃成等比數列，那么G叫做。與6的等比中項，其中G=±疝.

注意：同號的兩個數才有等比中項。

（3）通項公式及前”項和公式

①通項公式：若等比數列｛〃“｝的首項為%,公比是4,則其通項公式為。“=%0口；

nm

通項公式的推廣：an=amq-.

②等比數列的前〃項和公式：當q=i時，s“=叼；當"W1時，

1-q1-q

2.等比數列的性質

已知｛4｝是等比數列，5,是數列｛4｝的前n項和.

（1）等比數列的基本性質（了解即可）

①相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即％,ak+m,%+2?,,…仍是等比數列，公比為

②若｛%｝，帆｝（項數相同）是等比數列，則｛取｝（人0）,1｝［，｛砌，｛%也｝,］修仍是等比數列.

③若左+/=加+〃（左，/，加,〃eN*）,則有縱9=44,推廣：a；=a時卜-a*k（n,k￡N*,且n-kN1）

（2）等比數列前〃項和的性質

⑴在公比qW-1或q=T且"為奇數時,S“S2n-Sn,S3n-S2n,……仍成等比數列,其公比為q"；

nal9q=l

易錯提醒：注意等比數列的求和公式是分段表示的：s,=<q,］,所以在利用等比數列求和公式

求和時要先判斷公比是否可能為1,,若公比未知，則要注意分兩種情況q=l和q+\討論.

舉一反三

1.（24-25高二?全國?課后作業）已知數列a,a（l-a）,a。-”）"..是等比數列，則實數。的取值范圍是（）.

A.awlB.或awlC.D.且awl

2.（24-25高三上?浙江紹興?期中）已知等比數列｛4｝,首項為%,公比為4,前〃項和為S,，若數列｛S”+l｝

是等比數列，則（）

A.ax-q=\B.q-ax=\

n

C.Sn-q〃WD.Sn-axq=\

3.（2025高三?全國?專題練習）已知在等比數列也｝中，%=7,前三項之和S3=21,則公比4的值是（）

A.1B.--C.1或一白D.—I或!

222

>易錯題通關.

1.（24-25高二下?浙江湖州?期末）設S“為等比數歹!],“｝的前幾項和，已知3邑=%—3,3邑=的一3,則公比

q=（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2024高三.全國.專題練習）已知正項等比數列｛““｝的首項為1,前〃項和為S“〃eN*,若5s3-55-4=0,

則$2024=（）

A.22024B.22023C,22024-lD.22023-l

3.（24-25高三上?安徽?期中）記S.為正項等比數列｛%｝的前〃項和，若Ss=3,Sg=21,則Sf=（）

A.6B.9C.12D.15

4.（24-25高三上?山東淄博?階段練習）（多選）已知等比數列｛%｝中（”eN*）,其公比為4,前〃項和為S.，

則下列選項正確的是（）

A.若數列｛%｝為遞增數列，則一定有4>0

B.若%<%，則數列｛。“｝為遞增數列

C.若%=3",數列7-導_n的前〃項和恒成立

D.Sn,Sln-Sn,S”-邑“一定成等比數列

5.（24-25高三上?廣東深圳?階段練習）S“是等比數列｛4｝的前〃項和，已知%+83=6,83=3%，貝U

6.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習）設等比數列｛%｝的前〃項和為S“，若4s2=3'+$3,貝i],=.

7.（24-25高三上?江蘇泰州?期中）記S“為等比數列｛%｝的前〃項的和，若星=（，56=y,貝ij%=.

易錯點04：裂項相消法求和時漏項'添項或忽視系數而致錯

易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024.湖南長沙.模擬預測）數列｛%｝為等差數列，為正整數，其前〃項和為數列｛2｝為等比

數列，且4=3,偽=1,數列｛%｝是公比為64的等比數列，研2=64.

⑴求見也；

,1113

（2）求證：-+—+

【答案】⑴%=2〃+1也=8"T

⑵證明見解析.

【分析】（1）利用基本量代換，列方程組求出&q,即可得到％,為；

（2）利用裂項相消法求和即可證明.

【詳解】（1）設｛q｝的公差為d,｛2｝的公比為分則d為正整數，

%=3+（“-=q"T

bn3+nd

-^±L=-----==64=2，

依題意有％/+（"—”①.

S2b2=（6+d）g=64

由（6+d）q=64知4為正有理數，故1為6的因子1,2,3,6之一，

解①得4=2應=8

故%=3+2(九-1)=2〃+1,2=8'i

(2)S?=3+5+...+(2n+l)=n(n+2),〃(〃+2)

1111111

*---1----F…H=-----1------1------F…H；-----

￥S2Sn1x32x43x5〃(幾+2)

111]

—+--+?

232435n+2

31113

------------1------<—

42\n+1n+24

即證.

【易錯剖析】

利用裂項相消法求數列的和時要注意兩點，一是裂項是否需要湊系數，二是相消后前后各剩幾項，這

是在解題過程中最容易出錯的地方.

【避錯攻略】

裂項相消法就是把數列的每一項分解(常見分解為兩式之差)，使得相加后項與項之間能夠相互抵消,

但在抵消的過程中，有的是依次項抵消，有的是間隔項抵消.

裂項常見形式：

(1)分母兩項的差等于常數

1_1(11)；上』1+___________________1______

n(n+k)knn+k4H2—122n-l2〃+l4n2-14(2?+l)(2?-l)

⑵分母兩項的差與分子存在一定關系

2〃11

(2〃一1)(2n+1-l)2n—12"i—l'

2n+l11n+1_111

n2(n+l)2n2(n+1)2.n2(n+2)24/-5+2)2

(3)分母是三項的積

1_11]

n(n+1)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)

1_]_J_1]

n(n2-1)n(n-1)(H+1)2(n-l)n+1)

3〃+l_4(幾+1)(〃+3)_火」])_(」])

(n+l)(n+2)(〃+3)(〃+l)(n+2)(〃+3)n+2n+3n+1n+2

(4)分母含無理式

勒布=戶i—丑行%；1后一向

易錯提醒：用裂項相消法求和時，裂項后可以產生連續相互抵消的項，但是要注意抵消后并不一定只剩下

第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，一般來說前面剩余幾項后面也剩余幾項，若前

面剩余的正數項，則后面剩余的是負數項。

舉一反三

1.(2025高三?全國?專題練習)己知數列｛“"｝滿足對任意正整數p，q恒有+且

出一8%+8=0,么=(〃+]；；+2),貝IJ｛2｝的前30項的和為()

A.225B.225-1C.226D.226-1

2.(24-25高三上?陜西?階段練習)已知在數列｛4｝中，“2=44,且當“22時，a?=3an_x+2.

（1）求｛叫的通項公式;

（2）設或=烏色，數列｛2｝的前〃項和為S“，證明：S“＜；

anan+l4

3.（23-24高三下?山東德州?開學考試）已知數列｛4｝前九項和為S“，滿足6s,=（3”+2）%+2.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

⑵若bn=㈠Ml）,求數列出｝的前I。。項和小.

a?a?+l

，易錯題通關.

1.（24-25高二上?天津濱海新?階段練習）等比數列｛〃"｝中，4=3,%=81,則數列----:------的前2022

[10g3iZ?-10g3fZ?+J

項和為（）

20202021—20222021

A.------B.------C.------D.------

4044202220234046

2.（23-24高二下.重慶九龍坡.階段練習）數列｛%｝的前〃項和為%且S“=1+2”,

2

bn=（nGN*,n>1）則數列｛2｝的前〃項和為北=）

A.y/2n+1—y/2n—1B.V2M+3-1

c.C"2D.V2/1+3-V3

（T）"（4〃+4）

3.（2024高二?全國?專題練習）設〃=則數列也｝的前2〃項和Q=.

（2n+l）（2zz+3）

4.（2024高二?全國?專題練習）已知數列的前〃項和S“=9,?的值為.

5.（24-25高三上?河北?期中）已知數列｛%｝為等差數列，且為=4,S4=20.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

⑵數列｛2｝滿足2=gf，求數列也｝的前〃項和卻

6.（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習）已知數列｛g｝的前〃項和為S“，且滿足S“=2（%-1）,?GN,.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

⑵設a=魯」，設數列｛4｝的前〃項和1,求證：Tn<\.

7.（24-25高三上?天津河東?階段練習）己知等比數列｛0｝的各項均為正數，2a5、%、4%成等差數列，且

滿足包=4心等差數列數列也｝的前〃項和S“，2+瓦=6,,54=10.

⑴求數列｛%｝和也,｝的通項公式；

（2）設4=與5冊,weN*,｛4｝的前〃項和（，求

“2〃+1。2〃+3

易錯點05：錯位相減求和錯判項數'公比或符號出錯

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?天津濱海新?階段練習）設數列｛%｝的前〃項和為S“，若對任意的〃?N*,都有邑“=茯.

（左為非零常數），則稱數列也,｝為“和等比數列”，其中左為和公比.若｛2｝是首項為1,公差不為0的等差

數列，且也｝是“和等比數列“，令、=號,數列｛%｝的前鼠項和為

（1）求也｝的和公比；

⑵求T,；

3"+4

⑶若不等式（-節魯對任意的“eN*恒成立，求機的取值范圍.

【答案】（1）4

8_J?±￡

□"99x221

3

⑶（《）?

【分析】（1）設等差數列出,｝的公差為』，前〃項和為4，由題意4“=也，化簡可得％值；

（2）由（1）得%,用錯位相減法求和；

（3）設匕=（-第二，匕”-匕>0,按〃的奇偶性分類求解可得參數范圍.

【詳解】（1）設等差數列電｝的公差為d,前〃項和為4,則4=她+及/14=弓/+（1一:1）〃，

所以4〃=2d"+（2-d）n,

kdkd

因為｛么｝是“和等比數列“，所以4“二風，即2而2+（2_〃）〃=券/+伏_m泣，對任意〃CN*恒成立,

2d=—

2k=4

所以,解得

d=2

2-d=k-—

2

所以｛或｝的和公比為4；

(2)由(1)知勿=1+2(〃-1)=2〃一1,cn=^^

所以LHg+A…+號，

匕匚21_12n-\n

所以您(=垓+尹+…+聲r+聲r，

相減得％=；+5+*+…+/f_卡r*小n23〃+4

1-22n+1-3-3x22n+1

1-

所以北=|-3〃+4

9x22n-1

3〃+483〃+43〃+48103〃+4

（3）設巴=看一--------XZ~7~

99x22n-1-22n-199----22n-1

Pnl~Pn=-2空-一也±1）>0,

+9922〃-14〃

匕+1＞4，｛匕｝是遞增數歹U,

3n+4

不等式（一黃F＞（T）"機一2對任意的"eN*恒成立，即不等式匕2對任意的“eN*恒成立,

當〃為奇數時，-機-2＜（匕）1nto=q=-3,則加＞1,

13

當〃為偶數時，m-2＜（Pn）nin=P2=--,則根

3

綜上，m的取值范圍是（L》

【易錯剖析】

本題在求解過程容易將等比誤認為!而出錯。

_____________2

【避錯攻略】

錯位相減法

如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的,這個數列的前〃項和可

用錯位相減法求解.

錯位相減法求和時，應注意：①在寫出“S,”與“qS“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，

以便于下一步準確地寫出“S“-qS,J的表達式.

②應用等比數列求和公式必須注意公比q是否等于i,如果g=1,應用公式"=〃4.

易錯提醒：利用錯位相減法求和時，首先要判斷兩邊需要乘的公比是多少；二是相減后最后一項要變號；

三是利用等比數列求和公式求和時要判斷項數，四是要注意對結果化簡，另外可以用n=l代入檢驗結果是

否成立.

舉一反三

1.（2024高三.全國.專題練習）已知數列｛%｝的前"項和為s“，且/=M（〃eN*）.若恒成立，則

左的最小值是（）

79

A.—B.4