南寧二模數(shù)學(xué)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共50分）

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-5$，則函數(shù)的對(duì)稱中心是：

A.（1，2）B.（1，3）C.（1，-2）D.（1，-3）

2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，4），B（-2，-1），若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），則線段AB的長度為：

A.5B.10C.5√2D.10√2

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3^n-2^n$，則數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$為：

A.$3^n-2^n$B.$3^n+2^n-3$C.$3^n+2^n$D.$3^n-2^n+3$

4.若$y=2x-3$，$x=4$，則$y$的值為：

A.5B.7C.9D.11

5.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），則下列說法正確的是：

A.$a>0$，$b<0$，$c<0$B.$a>0$，$b<0$，$c>0$C.$a<0$，$b<0$，$c<0$D.$a<0$，$b<0$，$c>0$

二、填空題（每題5分，共25分）

6.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為2，公差為3，則第10項(xiàng)$a_{10}$的值為__________。

7.在△ABC中，已知角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則角C的度數(shù)為__________。

8.函數(shù)$f(x)=x^2+2x+3$的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________。

9.已知函數(shù)$g(x)=2x^3-3x^2+4x-5$，則$g'(x)$的值為__________。

10.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（1，2）到直線$2x+y-5=0$的距離為__________。

三、解答題（每題10分，共20分）

11.（1）若函數(shù)$f(x)=x^2-4x+5$的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3^n-2^n$，求$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$。

12.（1）已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-5$，求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）若函數(shù)$g(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），求函數(shù)的解析式。

四、解答題（每題10分，共20分）

13.（1）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)分別為3，5，7，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2-2n$，求第10項(xiàng)$a_{10}$的值。

14.（1）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（3，4）關(guān)于直線$y=2x+1$的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+5$，求函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

五、應(yīng)用題（每題15分，共30分）

15.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2-2n$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式和第10項(xiàng)$a_{10}$的值。

16.在平面直角坐標(biāo)系中，直線$y=x+b$與圓$(x-1)^2+y^2=1$相交于點(diǎn)A和B，求直線$y=x+b$的截距b的取值范圍。

六、證明題（每題15分，共30分）

17.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），證明：$b^2-4ac>0$。

18.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為2，公差為3，證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有$a_n>0$。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題5分，共50分）

1.答案：C

解析思路：函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-5$的對(duì)稱中心可以通過求導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)來找到，即求$f'(x)=6x^2-6x+4=0$的解，解得$x=1$，將$x=1$代入原函數(shù)得$f(1)=2(1)^3-3(1)^2+4(1)-5=-2$，所以對(duì)稱中心為（1，-2）。

2.答案：C

解析思路：中點(diǎn)公式為$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A（3，4）和B（-2，-1）得中點(diǎn)為（\frac{3-2}{2},\frac{4-1}{2})=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，線段AB的長度為$\sqrt{(\frac{1}{2}-3)^2+(\frac{3}{2}-4)^2}=\sqrt{(\frac{-5}{2})^2+(\frac{-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{26}{4}}=5\sqrt{2}$。

3.答案：B

解析思路：數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$可以通過將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求和公式得到，即$S_n=\sum_{i=1}^{n}(3^i-2^i)$，這是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題，根據(jù)等比數(shù)列求和公式，$S_n=\frac{3(1-3^n)}{1-3}-\frac{2(1-2^n)}{1-2}=3^n-2^n-3+2=3^n-2^n-1$。

4.答案：A

解析思路：直接將$x=4$代入$y=2x-3$，得$y=2(4)-3=8-3=5$。

5.答案：B

解析思路：函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過求導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)來找到，即求$f'(x)=2ax+b=0$的解，解得$x=-\frac{b}{2a}$，將$x=-1$代入得$2a(-1)+b=0$，即$b=2a$，由于圖像開口向上，$a>0$，所以$b>0$，故選B。

二、填空題（每題5分，共25分）

6.答案：$a_{10}=3+3(10-1)=3+3(9)=3+27=30$

解析思路：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入首項(xiàng)2和公差3，得$a_{10}=2+(10-1)\cdot3=2+27=29$。

7.答案：$C=90^\circ$

解析思路：根據(jù)余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入a=3，b=4，c=5，得$5^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cosC$，解得$\cosC=\frac{3^2+4^2-5^2}{2\cdot3\cdot4}=\frac{1}{4}$，所以$C=90^\circ$。

8.答案：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2+2x+3$是一個(gè)二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過求導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)來找到，即求$f'(x)=2x+2=0$的解，解得$x=-1$，將$x=-1$代入原函數(shù)得$f(-1)=(-1)^2+2(-1)+3=1-2+3=2$，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）。

9.答案：$g'(x)=6x^2-6x+4$

解析思路：函數(shù)$g(x)=2x^3-3x^2+4x-5$的導(dǎo)數(shù)為$g'(x)=6x^2-6x+4$。

10.答案：距離為$\frac{1}{\sqrt{5}}$

解析思路：點(diǎn)到直線的距離公式為$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入點(diǎn)P（1，2）和直線$2x+y-5=0$的系數(shù)，得$d=\frac{|2\cdot1+1\cdot2-5|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|-1|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。

三、解答題（每題10分，共20分）

11.（1）答案：$a=2$

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2-4x+5$關(guān)于x軸對(duì)稱，說明其圖像在x軸上方，即開口向上，因此a>0。對(duì)稱軸的方程為$x=-\frac{b}{2a}$，代入對(duì)稱中心（1，2）得$1=-\frac{-4}{2a}$，解得$a=2$。

（2）答案：$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(3^n-2^n)=\infty$

解析思路：由于$3^n$的增長速度遠(yuǎn)大于$2^n$，當(dāng)$n$趨向于無窮大時(shí)，$3^n-2^n$也趨向于無窮大。

12.（1）答案：極值點(diǎn)為$x=1$

解析思路：函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-5$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，這是函數(shù)的極值點(diǎn)。

（2）答案：函數(shù)的解析式為$g(x)=2x^2-4x+4$

解析思路：函數(shù)$g(x)=ax^2+bx+c$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），代入得$2=a(-1)^2+b(-1)+c$，即$2=a-b+c$。由于圖像開口向上，$a>0$，所以$2=a-b+c$，又因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），代入得$2=a(-1)^2+b(-1)+c$，即$2=a-b+c$，解得$a=2$，$b=-4$，$c=4$，所以函數(shù)的解析式為$g(x)=2x^2-4x+4$。

四、解答題（每題10分，共20分）

13.（1）答案：通項(xiàng)公式為$a_n=3+3(n-1)=3n$

解析思路：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入首項(xiàng)3和公差3，得$a_n=3+3(n-1)=3n$。

（2）答案：$a_{10}=3\cdot10=30$

解析思路：將n=10代入通項(xiàng)公式$a_n=3n$，得$a_{10}=3\cdot10=30$。

14.（1）答案：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-5，0）

解析思路：點(diǎn)P（3，4）關(guān)于直線$y=2x+1$的對(duì)稱點(diǎn)Q可以通過找到直線$y=2x+1$的垂線，然后找到垂足，最后根據(jù)對(duì)稱性找到點(diǎn)Q的坐標(biāo)。垂線的斜率為直線$y=2x+1$斜率的負(fù)倒數(shù)，即$-\frac{1}{2}$，垂足的坐標(biāo)可以通過解方程組得到，解得垂足為（-5，0），因此點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-5，0）。

（2）答案：函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2-4x+5$與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可以通過解方程$f(x)=0$得到，即$x^2-4x+5=0$，解得$x=2$和$x=3$，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）。

五、應(yīng)用題（每題15分，共30分）

15.（1）答案：通項(xiàng)公式為$a_n=3n$，$a_{10}=30$

解析思路：根據(jù)題意，數(shù)列的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2-2n$，由數(shù)列的前$n$項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系可得$a_n=S_n-S_{n-1}$，代入得$a_n=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5$，所以通項(xiàng)公式為$a_n=6n-5$，代入n=10得$a_{10}=6\cdot10-5=55$。

（2）答案：直線$y=x+b$的截距b的取值范圍為$b\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

解析思路：直線$y=x+b$與圓$(x-1)^2+y^2=1$相交，說明直線與圓的距離小于等于圓的半徑，即$\frac{|1-b|}{\sqrt{2}}\leq1$，解得$b\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。

六、證明題（每題15分，共30分）

17.（1）答案：$b^2-4ac>0$

解