第03講平面向量基本定理及坐標表示

T模塊導航AT素養目標A

模塊一思維導圖串知識1.掌握平面向量基本定理，不僅僅局限在直角坐

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）標系，更應該學會用基底表示平面向量

模塊三核心考點舉一反三2.會利用坐標法，理解和掌握兩個向量是否共線

模塊四小試牛刀過關測的判斷.

3.掌握平面向量數量積的坐標表示，會進行平面

向量數量積的坐標運算；

加模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理

知識點1平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果ere2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量°,有且只有一對實數4,4，

使a=44+%02.

若q,e2不共線，我們把，｛《Ie；｝叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

知識點2平面向量基本定理的有關結論

(1)設4,e2是平面內一組基底，若，當4=。時，a與e2共線；當4=0時，a與6共

線；當4=4=0時，a=o，同樣的。=0時，4=%=。.

Y—X

(2)設a,b是同一平面內的兩個不共線的向量，若%。+%〃=%2。+%人，貝！P「_:.

知識點3平面向量的正交分解

(1)把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)在不共線的兩個向量中，垂直是一種特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一種分解.

在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,會給問題的研究帶來方便.

知識點4平面向量的坐標表示I/

(1)向量的坐標表示

在直角坐標系中，分別取與X軸、y軸方向相同的兩個不共線單位向量,?、，作為基底，。1,?，

對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數X,y使得

a=xi+yj,則把有序數對(x,y),叫做向量°的坐標.記作a=(x,y),此式叫做向/

量a的坐標表示，其中x叫做°在x軸上的坐標，V叫做a在V軸上的坐標，|；/;

注意：①對于q,有且僅有一對實數(x,y)與之對應:匕";----*

②兩向量相等時，坐標一樣

③i=(l,0)，，=(0,1),0=(0,0)

④從原點引出的向量04的坐標(x,y)就是點A的坐標

(2)點的坐標與向量的坐標的關系

區別：①表示形式不同向量a=(x,y)中間用等號連接，而點4Xy)中間沒有等號

②意義不同點A(x,y)的坐標(x,y)表示點A在平面直角坐標系中的位置，a=(x,y)的坐標(x,y)既表示

向量的大小，也表示向量的方向.另夕卜(x,y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點(x,y)或向

量(x,y).

聯系：當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.

知識點5平面向量的坐標表示

(1)兩個向量和(差)的坐標表示

兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).

坐標表示：a=(%,%),彼=(X2，%)則：

a+b=(x1+x2,yi+%)；a-b=(xl-x2,yl-y2)

(2)任一向量的坐標

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標

4(%,%),B(X2,y2),貝！JAB=(X2-石,%一乂).

(3)向量數乘的坐標表示

實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.

坐標表示：a=(x,>),貝UAa=(Ax,Ay).

知識點6平面向量共線的坐標表示

設。=(%,%),/2=(%2，%)，其中則abo當且僅當存在唯一實數幾，使得口=用；

用坐標表示，可寫為。/?0(石,乂)=〃%2，%)，即：

，再消去幾得到：七%—々%=0.

這就是說,向量a/(。#0)共線的充要條件是%%-々%=0.

知識點7平面向量數量積的坐標表示

在平面直角坐標系中，設〃j分別是％軸，V軸上的單位向量.向量。=(七,%)方=(%,%)分別等

價于a=xj+yj,b=x2i+y2j,根據向量數量積的運算，有：

=，)?(%2，+%/)=石+石％3/+由于，，，為正交單位向量，故，：=1，

j1=1，i-j=0,從而。山=%%2+%%.即+其含義是：兩個向量的數量積等于它們

對應坐標的乘積的和.

知識點8兩個向量平行、垂直的坐標表示

已知非零向量a=(%,%),〃=(%,%),

(1)a-Lboa?》=0oX]%+X%=0.

(2)a6=尤]%—尤2%=0

知識點9向量模的坐標表示

（1）向量模的坐標表示

若向量a=（x,y）,由于，所以|a|=Jx2+）.

其含義是：向量的模等于向量坐標平方和的算術平方根.

（2）兩點間的距離公式

已知原點。（0,0）,點4（石,%）,6（工2，%），則48=06-。4=（兀2，%）-（玉,%）=（42-%,%-乂），于是

IA51="（8一3了+⑴一乂］.

其含義是：向量的模等于A，5兩點之間的距離.

（3）向量q的單位向量的坐標表示

設a=（x,y）,@表示°方向上的單位向量

\a\

知識點10兩向量夾角余弦的坐標表示

Z7.A玉馬+必為

已知非零向量〃=（玉,％）/=（%2，%），。是Q與b的夾角，貝！Icos8=--------=/2,21I2,~?

一一Itz||/??y玉十必yz十為

模塊三核心考點舉一反三

考點一：用基底表示向量

（24-25高三上?陜西漢中?期中）如圖，在VABC中，BD=|DC,則AO=（)

13

B.-AB+-AC

44

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【變式1-1］（2024高三?全國?專題練習）在AABC中，點。為A5的中點，記渣=味，CB=n,則8=（）

11

A.m+nB.m-nC.—m+—nD.";工

2222

【變式1-2］（23-24高一下?福建福州?期末）在平行四邊形ABCZ）中，E是BC的中點，則。石=（）

-1-11--1-

A.AB+-ADB.-AB+-ADC.AB——ADD.-AB——AD

2222

【變式1-3］（23-24高一下?湖北武漢?期末）平行四邊形ABC。中，點M是線段3C的中點，N是線段CZ>

的中點，則向量MN為（）

1,1,1,3,

MN=-AB--ADB.MN=-AD+-AB

2244

MN=-AD--ABD.MN=-AD--AB

2244

考點二：根據平面向量基本定理求參數

%例2.（23-24高一下?貴州貴陽?階段練習）在VABC中，。為邊8C的中點，E,F分別為邊AB,AC

上的點，且A2=3AE,AC=4AF,AD=AAE+/JAF,則值為（）

7

A.1B.-C.3D.5

2

【變式2-1］（2024高三?全國?專題練習）如圖，在VABC中，點。,E分別在邊AS3c上，且均為靠近

8的四等分點，CZJ與AE交于點/，^BF=xAB+yAC,則3x+y=（）

【變式2-2］（2025高三?全國?專題練習）在三角形048中，點尸為邊4B上的一點，&AP=2PB，點。為

直線。尸上的任意一點（與點。和點P不重合），且滿足則停=.

【變式2-3］（2024高三?全國?專題練習）如圖，在VABC中，點。，E分別在BC,AC上，且BD=DC,

AE=2EC,^DE=xAB^yAC9貝!|工+》=.

A

E

BDC

考點三：平面向量正交分解及坐標表示

例3.（2024高一下?全國?專題練習）如圖，向量”，b，c的坐標分別是，

【變式3-1］（23-24高二上?上海虹口?階段練習）若向量AB=2i+3j,BC=i-2九則AC對應的位置向量

的終點坐標是.

【變式3-2］（24-25高一下?全國?課堂例題）如圖，設乩/｝為一組標準正交基，用這組標準正交基分別表

示向量〃，b,c,d，并求出它們的坐標.

考點四：平面向量坐標運算

.例4.（2024?山東一模）已知向量d=（l,-3）,。=（一2,4）,若4。+（36-2a）+e=0,則向量0的坐標為

）

A.（1,-1）B.（-1,1）

C.（T,6）D.（4,-6）

【變式4-1］（2024高二上?黑龍江佳木斯?學業考試）若。=（2,1）力=（-1,0）,則q-b的坐標是（）

A.（1,-1）B.（-3,-1）C.（3,1）D.（2,0）

【變式4-2］（23-24高一下?新疆?期中）已知向量。=（2,1）,6=（1,3）,則.+36=（）

A.（10,5）B.（1,8）C.（5,10）D.（7,6）

【變式4-3](23-24高一下?廣西南寧?期末)已知向量。=(3,1),6=(-1,3),若c滿足a-26+c=0,則

考點五：根據坐標求模運算

例5.(23-24高一?上海?課堂例題)已知向量。=(一2,3),*=(2,-5),求為-6的坐標及忸-4

【變式5-1](2024高三?全國?專題練習)已知向量)=(2,1),力=(-2,4),貝巾-力卜()

A.2B.3C.4D.5

【變式5-2](24-25高二上?湖南長沙?開學考試)平面內給定兩個向量。=(3,2)/=(-1,2).

⑴求COSQ,Z?；

(2)求忸―耳.

【變式5-3](23-24高一下?江蘇徐州?期末)已知向量。=(3,2),3=(-2,-1),則以+2昨.

考點六：平面向量數量積的坐標表示

：''例6.(24-25高三上?廣東深圳?期中)設a=(2,-1),6=(-3,1),c=(l,-2),則(a+2b)/=()

A.-2B.1C.-6D.-7

【變式6-1](24-25高三上?黑龍江?階段練習)向量。6=(-1,2),則(2a+b>a=()

A.-1B.0C.-2D.1

【變式6-2](24-25高三上?浙江?階段練習)已知平面向量卜代，-1),6=卜26,4),則°力=()

A.2B.10C.-D.2>/3

【變式6-3](2024高三?全國?專題練習)已知向量。=(1』)，6=(2,0),貝!!(。+6}(2°-6)=.

考點七：向量垂直的坐標表示

%例7.(24-25高三上?浙江?開學考試)已知向量a=(x,l)力=(l,x),若(a+6)_L6,貝!|x=()

A.1B.2C.-1D.-2

【變式7-1](23-24高二下?貴州六盤水?期末)已知向量。=(相，-3),b=(3m,m+2),S.alb,則根=()

A.2B.-1C.2或-1D.2或-2

【變式7-2](2024高三?全國?專題練習)已知向量。=(〃?,3),6=(1,租+1).若。,匕，則機=.

【變式7-3](24-25高三上?安徽?期中)已知平面向量。=(-1,2),》=(八-3)滿足。+6),則

考點八：向量投影

例8.（23-24高二下?河北石家莊?期末）設向量a=（3,4）力=（1,-1）,則〃在b方向上的投影向量為（）

A.(2,-2)B.(-2,2)C.D.

【變式8-1］（24-25高二上?陜西?期中）已知向量a，b滿足b=（2,0）,且a/=-2,貝必在6上的投影向量

的坐標為（）

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.(2,0)

【變式8-2］（23-24高一下?河北?期末）已知q,4是夾角為學的單位向量，則G在方向上的投影向量為

)

B.李C.顯e,

A.-D.e

22x

【變式8-3］（24-25高三上?遼寧?期中）已知向量。=（-3,1）,b=（2,l）,貝!|“在b方向的投影向量為.

考點%向量夾角

'例9.（23-24高一下?河北邯鄲?階段練習）已知向量4=（3,-2）力=（4,4

⑴求a-b與卜+。|；

⑵求。與b的夾角的余弦值.

【變式9-1］（24-25高二上?云南昭通?期中）若。=（2,0）,6=［-1,1）,則cosR$}=（）

A④n1「1n拒

A.------B.—C.—D.一

2222

【變式9-2］（23-24高三上?貴州黔東南?開學考試）已知向量d=。,3）,6=（-2,1）,則向量a與。夾角的余

弦值為.

【變式9-3］（23-24高一下?吉林?期末）已知向量。=（1,2）,6=（2-2,22）,若a與b的夾角為銳角，則實

數X的取值范圍為.

【變式9-4］（2024高二下?湖北）已知平面內兩個向量"=（2%,1）,b=m若。與》的夾角為鈍角，則

實數上的取值范圍是

考點10：向量數量積的最值范圍問題

''例10.（23-24高一下?浙江臺州?期末）已知P是邊長為2的正六邊形所內（含邊界）一點，M

為邊3C的中點，則AP.AM的取值范圍是（）

A.[-2,6]B.[-1,9]C.[-2,4]D.[-1,61

【變式10-1]（23-24高一下?江蘇泰州?階段練習）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民

間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正

八邊形ABCDEFC歸的邊長為2,P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點，則4尸.48的最大值為（）

圖1圖2

A.亞B.4+2后C.2+>/2D.20

【變式10-2]（23-24高一下?上海?期中）如圖，這個優美圖形由一個正方形和以各邊為直徑的四個半圓組

成，若正方形A3CD的邊長為4,點尸在四段圓弧上運動，則AP.48的取值范圍為.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學業考試）設向量2）,6=（6,3）.若°，貝（Jx=（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學業考試）若a=（2,1）,。=（-1,0）,則“_匕的坐標是（）

A.（1,-1）B.（-3,-1）C.（3,1）D.（2,0）

3.（23-24高二上?吉林?期中）已知AB=（2,1）,BC=（-1,0）,則卜（）

A.V2B.2C.V10D.10

4.（24-25高三上?海南?階段練習）已知向量。=（-1,3）,人=（2,0）,c=（l,3）,若。與26-c平行，則實數幾

的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

5.（2024高二下?安徽?學業考試）已知時=2,6卜百，a-b=V10,貝!|a與b的夾角為（）

A.土B.陰C.生

446

6.（2024高三?全國?專題練習）已知同=4,忖=3,a-b=-12,則向量。在〃方向上的投影向量為（）

33-44

A.——aB.--bC.——bD.—a

4433

7.（2024?廣東?模擬預測）已知向量a=（x+3,4）/=（x,—l）,^\a+b\=\a-b\,則實數無的值為（）

A.4B.T或1C.-1D.4或—1

8.（2024高三?全國?專題練習）已知向量4=（-0=則下列關系正確的是（）

A.(Q+匕)"-b)B.(a+b)_Lb

C.(a+b)-L(d-bD.(Q+b)_l_Q

二、多選題

9.（24-25高三上?重慶?階段練習）已知點4（0,2）、磯2,0）、C（l,y）,其中yeR,則（）

A.若A、B、C三點共線，貝！Iy=lB.若A8LAC,貝！1尸3

C.若網=國,則y=2-五D.當y=2時，=：

10.（2024?江西?一模）已知向量“=（-2,1）,6貝()()

A.若a16,則"-5B.若a,/,共線，貝！|f=-2

C.6不可能是單位向量D.若r=0,貝42a_"=5

11.（24-25高二上?湖南郴州?開學考試）設向量。=（3