Black-Scholes期權(quán)定價模型2025/3/112Black-Scholes期權(quán)定價模型2025/3/113Black-Scholes期權(quán)定價模型的基本思路期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價格波動的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化，期權(quán)價格受到標(biāo)的資產(chǎn)價格的影響。標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化過程是一個隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價格變化也是一個相應(yīng)的隨機(jī)過程。金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價格的變化可以用Ito過程來描述。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價格的Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價格所遵循的隨機(jī)過程。在股票價格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價格遵循的隨機(jī)過程中，Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個不確定性，從而使整個組合只獲得無風(fēng)險利率。從而得到一個重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解這一方程，就得到了期權(quán)價格的解析解。2025/3/114為什么要研究證券價格所遵循的隨機(jī)過程?期權(quán)是衍生工具，使用的是相對定價法，即相對于證券價格的價格，因此要為期權(quán)定價首先必須研究證券價格。期權(quán)的價值正是來源于簽訂合約時，未來標(biāo)的資產(chǎn)價格與合約執(zhí)行價格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實中，資產(chǎn)價格總是隨機(jī)變化的。需要了解其所遵循的隨機(jī)過程。研究變量運動的隨機(jī)過程，可以幫助我們了解在特定時刻，變量取值的概率分布情況。2025/3/115隨機(jī)過程隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。隨機(jī)過程的分類離散時間、離散變量離散時間、連續(xù)變量連續(xù)時間、離散變量連續(xù)時間、連續(xù)變量2025/3/116幾種隨機(jī)過程標(biāo)準(zhǔn)布朗運動（維納過程）起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運動的描述。設(shè)Δt代表一個小的時間間隔長度，Δz代表變量z在Δt時間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的Δz具有兩種特征：特征1：其中，ε代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機(jī)值。特征2：對于任何兩個不同時間間隔Δt

，Δz的值相互獨立。特征的理解特征1：;方差為特征2:馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。2025/3/117標(biāo)準(zhǔn)布朗運動（續(xù)）考察變量z在一段較長時間T中的變化情形：z（T）－z(0)表示變量z在T中的變化量又可被看作是在N個長度為Δt的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/Δt

。很顯然，這是n個相互獨立的正態(tài)分布的和：因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為NΔt=T，標(biāo)準(zhǔn)差為 。為何定義為：當(dāng)我們需要考察任意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時間長度成比例，不受時間劃分方法的影響。相應(yīng)的一個結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)檫B續(xù)時間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動：當(dāng)Δt

0時，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動2025/3/118普通布朗運動變量x遵循普通布朗運動：其中，a和b均為常數(shù)，z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。這里的a為漂移率（DriftRate），是指單位時間內(nèi)變量x均值的變化值。這里的b2為方差率（VarianceRate），是指單位時間的方差。這個過程指出變量x關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程。其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機(jī)項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。可以發(fā)現(xiàn)，任意時間長度后，x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為,方差為b2T.2025/3/119Ito過程和Ito引理伊藤過程（ItoProcess）：普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，我們就得到 其中，z遵循一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2都隨時間變化。這就是伊藤過程。Ito引理若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

其中，z遵循一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。由于a和b都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，它的漂移率為方差率為2025/3/1110證券價格的變化過程目的：找到一個合適的隨機(jī)過程表達(dá)式，來盡量準(zhǔn)確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡單性。基本假設(shè)：證券價格所遵循的隨機(jī)過程：其中，S表示證券價格，μ表示證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率），σ2

表示證券收益率單位時間的方差，σ表示證券收益率單位時間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱證券價格的波動率（Volatility），z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。一般μ和σ的單位都是年。很顯然，這是一個漂移率為μS、方差率為σ2S2的伊藤過程。也被稱為幾何布朗運動2025/3/1111Black-Scholes微分方程：基本思路思路：由于衍生證券價格和標(biāo)的證券價格都受同一種不確定性（dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑挘@種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑挘瑯?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險的。那么，在無套利機(jī)會的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無風(fēng)險利率。

2025/3/1112Black—Scholes微分方程B-S微分方程所需的假設(shè)條件：1、證券價格遵循幾何布朗運動，且期望收益率μ和波動率σ為常數(shù)2、允許賣空標(biāo)的資產(chǎn)3、沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的4、在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付5、不存在無風(fēng)險套利機(jī)會6、證券交易是連續(xù)的，價格變動是連續(xù)的7、在衍生證券的有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。布萊克——舒爾斯微分方程的推導(dǎo)

我們假設(shè)證券價格S遵循幾何布朗運動：則：

（1）假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則：

(2)

為了消除，我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，則：(3)在時間后：（4）將式（1）和（2）代入式（4），可得：

(5)

在沒有套利機(jī)會的條件下：把式（3）和（5）代入上式得：化簡為：

(6)這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。

2025/3/1116注：此方程有許多解，解方程時得到的特定衍生證券取決于使用的邊界條件，這些邊界條件確定了在S和t的可能取值的邊界上的衍生證券的價值。歐式看跌期權(quán)邊界條件為對于歐式看漲期權(quán)邊界條件為2025/3/1117BS公式的一個重要結(jié)論

——風(fēng)險中性定價原理

從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價（S）、時間（t）、證券價格的波動率（σ）和無風(fēng)險利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨立于主觀變量——風(fēng)險收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個可以大大簡化我們的工作的風(fēng)險中性假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。2025/3/1118風(fēng)險中性定價原理所謂風(fēng)險中性，即無論實際風(fēng)險如何，投資者都只要求無風(fēng)險利率回報。風(fēng)險中性假設(shè)的結(jié)果：我們進(jìn)入了一個風(fēng)險中性世界所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風(fēng)