Black-Scholes期權定價模型2025/3/112Black-Scholes期權定價模型2025/3/113Black-Scholes期權定價模型的基本思路期權是標的資產的衍生工具，其價格波動的來源就是標的資產價格的變化，期權價格受到標的資產價格的影響。標的資產價格的變化過程是一個隨機過程。因此，期權價格變化也是一個相應的隨機過程。金融學家發現，股票價格的變化可以用Ito過程來描述。而數學家Ito發現的Ito引理可以從股票價格的Ito過程推導出衍生證券價格所遵循的隨機過程。在股票價格遵循的隨機過程和衍生證券價格遵循的隨機過程中，Black-Scholes發現，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數量的衍生證券和標的證券，建立一定的組合，可以消除這個不確定性，從而使整個組合只獲得無風險利率。從而得到一個重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解這一方程，就得到了期權價格的解析解。2025/3/114為什么要研究證券價格所遵循的隨機過程?期權是衍生工具，使用的是相對定價法，即相對于證券價格的價格，因此要為期權定價首先必須研究證券價格。期權的價值正是來源于簽訂合約時，未來標的資產價格與合約執行價格之間的預期差異變化，在現實中，資產價格總是隨機變化的。需要了解其所遵循的隨機過程。研究變量運動的隨機過程，可以幫助我們了解在特定時刻，變量取值的概率分布情況。2025/3/115隨機過程隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。隨機過程的分類離散時間、離散變量離散時間、連續變量連續時間、離散變量連續時間、連續變量2025/3/116幾種隨機過程標準布朗運動（維納過程）起源于物理學中對完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運動的描述。設Δt代表一個小的時間間隔長度，Δz代表變量z在Δt時間內的變化，遵循標準布朗運動的Δz具有兩種特征：特征1：其中，ε代表從標準正態分布（即均值為0、標準差為1.0的正態分布）中取的一個隨機值。特征2：對于任何兩個不同時間間隔Δt

，Δz的值相互獨立。特征的理解特征1：;方差為特征2:馬爾可夫過程：只有變量的當前值才與未來的預測有關，變量過去的歷史和變量從過去到現在的演變方式與未來的預測無關。標準布朗運動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。2025/3/117標準布朗運動（續）考察變量z在一段較長時間T中的變化情形：z（T）－z(0)表示變量z在T中的變化量又可被看作是在N個長度為Δt的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/Δt

。很顯然，這是n個相互獨立的正態分布的和：因此，z（T）-z（0）也具有正態分布特征，其均值為0，方差為NΔt=T，標準差為 。為何定義為：當我們需要考察任意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨立的正態分布，期望值和方差具有可加性，而標準差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時間長度成比例，不受時間劃分方法的影響。相應的一個結果就是：標準差的單位變為連續時間的標準布朗運動：當Δt

0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動2025/3/118普通布朗運動變量x遵循普通布朗運動：其中，a和b均為常數，z遵循標準布朗運動。這里的a為漂移率（DriftRate），是指單位時間內變量x均值的變化值。這里的b2為方差率（VarianceRate），是指單位時間的方差。這個過程指出變量x關于時間和dz的動態過程。其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。可以發現，任意時間長度后，x值的變化都具有正態分布特征，其均值為aT，標準差為,方差為b2T.2025/3/119Ito過程和Ito引理伊藤過程（ItoProcess）：普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數，我們就得到 其中，z遵循一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數，變量x的漂移率為a，方差率為b2都隨時間變化。這就是伊藤過程。Ito引理若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數G將遵循如下過程：

其中，z遵循一個標準布朗運動。由于a和b都是x和t的函數，因此函數G也遵循伊藤過程，它的漂移率為方差率為2025/3/1110證券價格的變化過程目的：找到一個合適的隨機過程表達式，來盡量準確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實現數學處理上的簡單性。基本假設：證券價格所遵循的隨機過程：其中，S表示證券價格，μ表示證券在單位時間內以連續復利表示的期望收益率（又稱預期收益率），σ2

表示證券收益率單位時間的方差，σ表示證券收益率單位時間的標準差，簡稱證券價格的波動率（Volatility），z遵循標準布朗運動。一般μ和σ的單位都是年。很顯然，這是一個漂移率為μS、方差率為σ2S2的伊藤過程。也被稱為幾何布朗運動2025/3/1111Black-Scholes微分方程：基本思路思路：由于衍生證券價格和標的證券價格都受同一種不確定性（dz）影響，若匹配適當的話，這種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個包括一單位衍生證券空頭和若干單位標的證券多頭的投資組合。若數量適當的話，標的證券多頭盈利（或虧損）總是會與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時間內該投資組合是無風險的。那么，在無套利機會的情況下，該投資組合在短期內的收益率一定等于無風險利率。

2025/3/1112Black—Scholes微分方程B-S微分方程所需的假設條件：1、證券價格遵循幾何布朗運動，且期望收益率μ和波動率σ為常數2、允許賣空標的資產3、沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的4、在衍生證券的有效期內沒有紅利支付5、不存在無風險套利機會6、證券交易是連續的，價格變動是連續的7、在衍生證券的有效期內，無風險利率r為常數。布萊克——舒爾斯微分方程的推導

我們假設證券價格S遵循幾何布朗運動：則：

（1）假設f是依賴于S的衍生證券的價格，則：

(2)

為了消除，我們可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，則：(3)在時間后：（4）將式（1）和（2）代入式（4），可得：

(5)

在沒有套利機會的條件下：把式（3）和（5）代入上式得：化簡為：

(6)這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。

2025/3/1116注：此方程有許多解，解方程時得到的特定衍生證券取決于使用的邊界條件，這些邊界條件確定了在S和t的可能取值的邊界上的衍生證券的價值。歐式看跌期權邊界條件為對于歐式看漲期權邊界條件為2025/3/1117BS公式的一個重要結論

——風險中性定價原理

從BS微分方程中我們可以發現：衍生證券的價值決定公式中出現的變量為標的證券當前市價（S）、時間（t）、證券價格的波動率（σ）和無風險利率r，它們全都是客觀變量，獨立于主觀變量——風險收益偏好。而受制于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結論，作出一個可以大大簡化我們的工作的風險中性假設：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。2025/3/1118風險中性定價原理所謂風險中性，即無論實際風險如何，投資者都只要求無風險利率回報。風險中性假設的結果：我們進入了一個風險中性世界所有證券的預期收益率都可以等于無風險利率所有現金流量都可以通過無風險利率進行貼現求得現值。盡管風