專題三（三）指數函數及對數函數思維導圖1.2知識點識記1、根式性質及推廣（1）負數沒有偶次方根。指數推廣。冪運算（1）；（2）；（3）。（）3、指數函數圖像及性質指數函數解析式圖像性質定義域：R值域：圖像過定點（1,0）定義域R上為減函數，當x＞0；0＜y＜1；當x＜0；y＞1。定義域R上為增函數，當x＞0；y＞1；當x＜0；0＜y＜1。對數及對數函數負數和0無對數；1的對數為0，即loga1=0；底的對數為1，即logaa=1；；若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，則：；。換底公式：。對數函數解析式圖像性質定義域：值域：R圖像過定點（1,0）定義域上為減函數，當x＞1；y＜0；當0＜x＜1；y＞0。定義域上為增函數，當x＞1；y＞0；當0＜x＜1；y＜0。1.2.2基礎知識測試1、將化成對數式可表示為（）〖解析〗D。對數與指數相互轉化：；故答案為D。2、設對數函數，則（）A.在區間內為增函數B.在區間內為減函數C.在區間內為增函數D.在區間內為增函數〖解析〗對數函數知，底數a=3＞1，結合對數函數的圖像：在定義域內為單調遞增函數；故答案為D。3、設指數函數（）A.在區間內為增函數B.在區間內為減函數C.在區間內為增函數D.在區間內為增函數〖解析〗B。對.數函數知，底數，結合指數函數的圖像：在定義域內為單調遞減函數；故答案為B。4、設函數，則（）A.1B.-1C.2D.0〖解析〗結合對數函數的圖像可知，恒過定點（1，0），即當x=1時，對應函數值y=0；故答案為D。5、用分數指數冪表示下列各式：（1）；（2）?！冀馕觥剑?）；（2）。（1）；（2）。用對數形式表示下列各式：（1）；（2）?！冀馕觥剑?）；（2）。指數函數?！冀馕觥?。由指數函數定義并結合圖像可知：底數滿足條件；所以實數a的取值范圍為。已知函數，其定義域為?！冀馕觥?。由對數函數定義可知，；所以答案為。函數的定義域為。〖解析〗。由函數定義可知：；結合指數函數圖像過定點（0，1），即當x≤0時，函數值y=2x≤1，所以其定義域為。10、一批設備價值a萬元，由于使用磨損，每年比上一年價值降低b%，則n年后這批設備的價值為。〖解析〗。設新設備的價值為單位1，每年消耗為b%，則第二年設備的價值為（1-b%），所以經過n年后此批設備的價值為。1.2.3職教高考考點直擊函數部分在職教高考中為常見考點，分值較高，考頻較高，選擇題在4-5道左右，解答題1-2道，總分值在20分上下。其內容以函數定義域、奇偶性及單調性為主要考查點，常與不等式、解析幾何、數列等知識結合考查，難度中等，復習中加強此部分學習將會在考試中起到事半功倍的效果。1.2.4高考經典例題剖析例1（2013年山東春季高考）若點（）。A.B.C.D.〖解析〗A?！唿cp與p’關于原點對稱，∴，故答案為A?！键c評〗考查關于原點對稱的坐標之間的對應關系及指數與對數之間的互相轉化的運算方法與技巧。變式1（）。1B.2C.-1D.-2〖解析〗C。；故答案為C。例2設x＞0，y＞0，a＞0，a≠1，下列等式正確的是（）。B.C.D.〖解析〗A。對數及指數運算法則：；；所以答案A。〖點評〗考查對數及指數運算法則。例3（2016年山東春季高考）若實數a＞0，下列等式成立的是（）。A.B.C.D.〖解析〗D。A中，故A錯誤；B中；任何非零實數的0次冪均為1，故C錯誤；所以答案為D?！键c評〗考查實數指數冪的運算法則。變式2下列等式中正確的個數是（）。（1）；（2）；（3）；（4）。1B.2C.3D.4〖解析〗C。；，（2）錯誤；，（3）正確；，（3）正確。故答案為C。則下列關系正確的是（）。0＜a＜b＜1B.0＜a＜1＜bC.0＜b＜1＜aD.a＜0＜1＜b〖解析〗B。由右圖可知：指數函數y=ax在定義域上單調遞減，所以0＜a＜1；對數函數y=logbx在定義域上單調遞增，所以b＞1；故答案為B?！键c評〗綜合考查指數函數與對數函數性質和圖像。變式3?！冀馕觥紻。由題意可知a＞1，即a-1＞0，所以直線斜率k＞0，且與y軸截距大于1，可排除選項B，C；又a＞1，即，所以指數函數圖像在定義域內單調遞減；故答案為D。（2015年山東春季高考）已知函數。(1)求實數a的值；(2),〖解析〗（1）討論a的值。當0＜a＜1時，函數f（x）在區間[-2,4]上減函數，即f（x）max=f（-2）=16，a-2=16,解得a=；a＞1時，函數f（x）在區間[-2,4]上增函數，即f（x）max=f（4）=16，a4=16,解得a=2；綜上所述，a=或a=2。由題意可知：，又有（1）中a=或a=2，所以a=2。題設不等式可等價為，即0＜1-2t≤2，解得；所以實數t的取值范圍為?！键c評〗綜合考查指數函數、對數函數、函數單調性和極值及與一元二次不等式的相結合及具體應用。例5、(2016年山東春季高考)下列說法正確的是()A．函數y＝（x＋a）2＋b的圖象經過點（a，b）B．函數y＝ax（a>0且a≠1）的圖象經過點（1，0）C．函數y＝logax（a>0且a≠1）的圖象經過點（0，1）D．函數y＝xα（α∈R）的圖象經過點（1，1）〖解析〗D。由二次函數的性質和圖象知，選項A中函數的圖象經過點(－a，b)；由指數函數的性質和圖象知，選項B中函數的圖象經過點(0，1)；由對數函數的性質和圖象知，選項C中函數的圖象經過點(1，0)；由冪函數的性質和圖象知，選項D中函數的圖象經過點(1，1)，故選D?！键c評〗函數圖像可以直觀的反映自變量與因變量的關系及變化趨勢，復習時需要著重練習掌握。變式4（）。A．a>1，b>0 B．0<a<1，b<0C．a>1，b<0 D．0<a<1，0<b<1〖解析〗B。由題意知，對數函數值y＜0且圖像在定義域內單調遞增，則其自變量a滿足0<a<1；指數函數值y＞1，且其圖像在定義域內單調遞減，則其自變量b滿足b<0；故答案為B。例6、(2016年山東春季高考)已知某城市2015年年底的人口總數為200萬，假設此后該城市人口的年增長率為1%(不考慮其他因素)。(1)若經過x年該城市人口總數為y萬，試寫出y關于x的函數關系式．(2)如果該城市人口總數達到210萬，那么至少需要經過多少年(精確到1年)?〖解析〗(1)y關于x的函數關系式是y＝200×(1＋1%)x＝200×1.01x，x≥0。(2)設至少需要經過x年該城市人口達到210萬。則200×1.01x＝210，1.01x＝1.05，xlg1.01＝lg1.05，解得x≈5，答：至少需要經過5年，該城市人口總數達到210萬?！键c評〗指數函數的應用及與對數的相互轉化運算為?？贾R點。1.2.5考點鞏固練習一、選擇題1、如果0＜a＜b＜1，那么loga5與logb5的大小關系是()。A．loga5＜logb5 B．loga5＝logb5C．loga5＞logb5 D．無法確定〖解析〗C?！?＜a＜b＜1，∴log5a＜log5b＜0，∴loga5＜logb5；故答案為C。2、函數y＝(2a－1)x在R上是增函數的充要條件是()A. B．C． D．〖解析〗C。指數函數在R上為增函數充要條件為2a－1＞1，即a＞1；故答案為C。3、已知函數，則的圖象為（）。A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據單調性排除C,D,再取特殊點確定選項。【詳解】是減函數，故排除選項C，D，又當時，，排除A，故選：B。【點睛】本題考查指數函數圖象與性質，考查基本分析判斷能力，屬基礎題。4、函數y＝loga(2x－3)(a＞0且a≠1)的圖象過定點P，則點P的坐標是()。A．(1，0) B．(0，1)C．(2，0) D．(0，2)〖解析〗C。函數圖像過定點等價于函數自變量與因變量的取值與其他參數無關，即當2x-3=1時，(任意非零實數的零次冪均為1)x=2，對應函數值y=1；故答案為C。5、在同一坐標系中，函數y=ax+a與y=ax的圖象大致是（）。A． B．C． D．【答案】B【分析】一方面，函數y=ax橫過點（0，1）且在a＞1時遞增，在0＜a＜1時遞減；另一方面再結合函數y=ax+a與y軸的交點為（0，a）作出判斷。【詳解】解：∵函數y=ax橫過點（0，1）且在a＞1時遞增，在0＜a＜1時遞減，而函數y=ax+a與y軸的交點為（0，a），因此，A中、由y=ax的圖象遞增得知a＞1，由函數y=ax+a與y軸的交點（0，a）得知a＜1，矛盾；C中、由y=ax的圖象遞減得知0＜a＜1，由函數y=ax+a與y軸的交點（0，a）得知a＞1，矛盾；D中、由y=ax的圖象遞減得知0＜a＜1，函數y=ax+a遞減得知a＜0，矛盾；故選：B。【點睛】本題考查對數函數的圖象與性質，著重考查一次函數y=ax+a與指數函數y=ax之間的對應關系，考查數形結合的分析能力，屬于基礎題。6、某電子產品自投放市場以來，經過三次降價，單價由375元降到192元，若每次降價的百分率相同，這種產品每次降價的百分率是()。A．18% B．20%C．19% D．17%〖解析〗B。設每次降價的百分率為x，則375×(1－x)3＝192，(1－x)3＝0.512，1－x＝0.8，x＝20%；答案為B。7、若函數定義域為，則的取值范圍是（）。A． B．且 C． D．【答案】B【分析】由題意可得x2﹣ax+1＞0恒成立，故有，由此解得a的范圍?！驹斀狻坑深}意可得：要使f（x）的定義域為R，則對任意的實數x都有x2﹣ax+1＞0恒成立，故有解得0＜a＜1，或1＜a＜2，即a的范圍為（0，1）∪（1，2）。故選：B?！军c睛】本題考查了對數函數的定義域和性質的綜合應用，也考查了二次函數的性質，屬于中檔題。8、若函數y=g(x)的圖象與的圖象關于直線y=x對稱，則g(x)=（）。A.B.C.D.〖解析〗B。函數y=g(x)的圖象與的圖象關于直線y=x對稱，則滿足函數自變量與因變量位置互換，即；故答案為B。9、已知，則函數（，且）與函數（，且）的圖像可能是（）。A． B． C． D．【答案】B【分析】根據得到，得到，確定函數與函數互為反函數，進而可得出結果?！驹斀狻俊?，∴，∴?！?又∵，∴函數與函數互為反函數，且函數圖像關于直線對稱。故選B?！军c睛】本題主要考查函數圖像的識別，熟記對數函數與指數函數的圖像即可，屬于常考題型。10、下面是一幅統計圖，根據此圖得到的以下說法中，正確的個數是（）。①這幾年生活水平逐年得到提高；②生活費收入指數增長最快的一年是2014年；③生活價格指數上漲速度最快的一年是2015年；④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數也略有降低，因而生活水平有較大的改善。A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】認真觀察圖形就可以判斷。【詳解】由圖知，“生活費收入指數”減去“生活價格指數”的差是逐年增大的，故①正確；“生活費收入指數”在2014～2015年最陡；故②正確；“生活價格指數”在2015～2016年最平緩，故③不正確；“生活價格指數”略呈下降，而“生活費收入指數”呈上升趨勢，故④正確。故選：C。11、（2019年山東春考）已知指數函數，對數函數的圖像，如右圖所示，則下列關系成立的是（）。A.B..C.D.〖解析〗B。由圖像可知指數函數圖像單調遞減則0＜a＜1；對數函數圖像單調遞增，則b＞1；綜合得出可知；故答案為B。已知函數。A.B.C.D.〖解析〗D。圖像如右圖所示，故答案為D。二、填空題11、。〖解析〗。，即。12、函數在區間[1,2]上的最大值比最小值大，則實數的值是_____?！敬鸢浮炕颉痉治觥扛鶕笖岛瘮档膯握{性分類討論，列方程求解a。【詳解】若，則函數在區間[1,2]上單調遞減，根據題意有，解得或0（舍去），所以；若，則函數在區間[1,2]上單調遞增，根據題意有，解得或0（舍去），所以。綜上所述，或。故答案為：或。13、?！冀馕觥健Ｓ深}意可聯立方程組：。14、函數f(x)=2·ax-1