高一數學2022.7本試卷共4頁．滿分150分．考試時間120分鐘．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在正方體中，與棱異面的棱有A.8條 B.6條 C.4條 D.2條【答案】C【解析】【分析】在正方體12條棱中，找到與平行的、相交的棱，然后計算出與棱異面的棱的條數.【詳解】正方體共有12條棱，其中與平行的有共3條，與與相交的有共4條，因此棱異面的棱有條，故本題選C.【點睛】本題考查了直線與直線的位置關系，考查了異面直線的判斷.2.下列命題正確的是（）A.若向量，，則B.模相等的兩個平行向量是相等向量C.方向不同的兩個向量不可能是共線向量D.若向量，則分別在x軸，y軸上的投影的數量之和為－9【答案】D【解析】【分析】根據平行向量、相等向量、向量投影的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，若，則A不正確；對于B，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，故B不正確；對于C，與任意向量共線，故C不正確；對于D，若向量，則分別在x軸，y軸上的投影分別為，所以它們的數量之和為－9，故D正確.故選:D.3.下列各式化簡結果為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用和差角的三角函數公式、二倍角的正余弦公式逐項化簡計算，判斷作答.【詳解】對于A，，A不是；對于B，，B不是；對于C，，C是；對于D，，D不是.故選：C4.定義域是復數集的子集的函數稱為復變函數，就是一個多項式復變函數．給定多項式復變函數之后，對任意一個復數，通過計算公式，，可以得到一列值，，，，，．若，，當時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，計算，，，在時，確定數的性質，取對數探討與的關系即可推理、計算作答.【詳解】依題意，，當時，，由得：，而，則，當時，，顯然也滿足上式，所以當時，，.故選：A5.在中，若，，，則此三角形解的情況是（）A.有一解 B.有兩解 C.無解 D.有解但解的個數不確定【答案】B【解析】【分析】由，根據作圓法結論可得結果.詳解】，，有兩解.故選：B.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角余弦公式和正余弦齊次式的求法可分別求得和，相乘即可得到結果.【詳解】，，.故選：A.7.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為線段AD，CD的中點，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的線性運算，結合其幾何應用求得、、、，即可判斷選項的正誤.【詳解】，即A不正確；連接AC，知G是△ADC的中線交點，如下圖示由其性質有∴，即B不正確；，即C正確；同理，即∴，即D不正確；故選：C.8.已知函數，若圖像在區間上有且只有2個最低點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡為，根據的范圍，可求出的范圍，根據題意分析可得，計算可求出答案.【詳解】由題意，因為，所以，，解得：故選：C.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知正四棱臺上、下底面邊長分別為，側棱長為，則（）A.正四棱臺的高為 B.正四棱臺的斜高為C.正四棱臺的表面積為 D.正四棱臺的體積為【答案】BCD【解析】【分析】由正四棱臺的結構特征可知其高即為對角面的等腰梯形的高，斜高即為側面等腰梯形的高，由上下底長度和腰長可確定AB正誤；根據棱臺表面積和體積的求法可確定CD正誤.【詳解】對于A，正四棱臺上下底面對角線長為，正四棱臺的高，A錯誤；對于B，正四棱臺的斜高，B正確；對于C，正四棱臺側面積為，上下底面面積分別為，正四棱臺的表面積，C正確；對于D，正四棱臺的體積，D正確.故選：BCD.10.設為復數，且，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】由反例可知AC錯誤；由可得，得到，知B正確；設，，根據共軛復數定義和復數乘法及模長運算可求得，知D正確.【詳解】對于A，若，，則，此時，A錯誤；對于B，，，又，，即，B正確；對于C，若，則，若為虛數，則，C錯誤；對于D，設，，則，，，，，，D正確.故選：BD.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數的最小正周期為B.函數的圖象關于直線對稱C.函數的圖象關于點對稱D.函數在上單調遞減【答案】BCD【解析】【分析】根據余弦函數的性質一一判斷即可；【詳解】解：因為，所以函數的最小正周期，故A錯誤；，所以函數的圖象關于直線對稱，故B正確；，所以的圖象關于點對稱，故C正確；若，則，因為在上單調遞減，所以在上單調遞減，故D正確；故選：BCD12.在中，P，Q分別為邊AC，BC上一點，BP，AQ交于點D，且滿足，，，，則下列結論正確的為（）A.若且時，則，B.若且時，則，C.若時，則D.【答案】AD【解析】【分析】根據向量共線定理的推論，得到，，代入相應的變量的值，求出其他變量，從而判斷AB選項，對上式變形得到，假設成立，推導出，得到矛盾，故C錯誤，根據向量共線定理的推論得到，，變形得到.【詳解】由題意得：，，，，即即，所以，因為三點共線，所以，當且時，，解得：，，，，所以，即，即，所以，因為三點共線，所以，當且時，，解得：，故A正確；若且時，，，解得：，B錯誤；，變形為：，①若時，則，代入①式得：假設成立，則，解得：，此時，顯然無解，故假設不成立，故C錯誤；同理可得：，，所以，，所以D正確.故選：AD【點睛】利用向量共線定理的推論得到關系式，然后解決向量的倍數關系，本題中要能在多個等式中進行適當變形，然后找到等量關系三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．13.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則______．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理及同角三角函數的基本關系計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，所以，又，所以；故答案為：14.已知正三棱柱的底面邊長為1，側棱長為2，則其外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理求出底面外接圓的半徑，設正三棱柱外接球的半徑為，則，最后根據球的表面積公式計算可得；【詳解】解：因為正三棱柱的底面邊長，側棱長，所以底面外接圓的半徑，設正三棱柱外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積；故答案為：15.如圖所示，為測算某自然水域的最大寬度（即A，B兩點間的距離），現取與A，B兩點在同一平面內的兩點C，D，測得C，D間的距離為1500米，，，，則A，B兩點的距離為______米．【答案】【解析】【分析】在，中分別求出邊AD，BD，再在中利用余弦定理求解作答.【詳解】如圖，在中，，而，則，因此，，在中，，則，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得，所以A，B兩點的距離為（米）.故答案為：16.在平面直角坐標系xOy中，給定，，假設O，A，B不在同一直線上，利用向量的數量積可以方便的求出的面積為．已知三點，，，則面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】分析給定面積公式的構成，再求出，利用給定公式列式，借助均值不等式求解作答.【詳解】依題意，在中，，，則的面積為，當，，時，，則面積，顯然面積取最大值時，必有，因此，當時，，當且僅當時取“=”，所以面積的最大值為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，，，是復平面內的四個點，其中，且向量對應的復數分別為，且．（1）求；（2）若復數，，在復平面內對應的點在第四象限，求實數的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）結合向量坐標表示可用表示出，根據復數運算和復數的相等可構造方程組求得，由此可得；（2）根據復數除法運算法則可化簡得到，由此可得對應點坐標；根據點位于第四象限可構造不等式組求得的范圍.【小問1詳解】，，，，，則，解得：，，.【小問2詳解】由（1）知：，則對應的復平面內的點為，又位于第四象限，，解得：，即實數的取值范圍為.18.已知向量，，．（1）若，求t的值；（2）若與的夾角為銳角，求t的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出的坐標，再由，可得，從而可求出t的值，（2）由于與的夾角為銳角，所以，且與不共線，從而可求出t的取值范圍【小問1詳解】因為，，，所以，因為，所以，解得【小問2詳解】因為與的夾角為銳角，所以，且與不共線，由，得，解得，當與共線時，，解得，所以當且時，與的夾角為銳角，所以所求的t的取值范圍為19.在中，點P在邊BC上，，，記AC的長為m，PC的長為n，且．（1）求∠APB；（2）若的面積為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得到方程組，即可求出、，從而得到，此時為等邊三角形，從而可求．（2）由已知利用三角形的面積公式可求，的值，作交于，利用勾股定理求得的值，進而在中，由正弦定理可求的值．【小問1詳解】解：在中，因，，又，，，由余弦定理可得：，即，所以，解得，則，此時為等邊三角形，從而．小問2詳解】解：由，可得，則，作交于，由（1）可知，在等邊中，，，在中，，在中，由正弦定理可得，所以．20.某景區為提升游客觀賞體驗，搭建一批圓錐形屋頂的小屋（如圖）．現測量其中一個屋頂，得到圓錐的底面直徑長為，母線長為（如圖）．（1）現用鮮花鋪設屋頂，如果每平方米大約需要鮮花朵，那么裝飾這個屋頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（參考數據：）；（2）若是母線的一個三等分點（靠近點），從點到點繞屋頂側面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圓錐側面積公式可求得側面積，由此可求得結果；（2）將圓錐側面展開，可知所求最小長度即為，由扇形弧長公式可求得展開圖圓心角，利用余弦定理可求得.【小問1詳解】由題意知：圓錐的底面半徑，母線長，圓錐的側面積（），裝飾屋頂大約需要朵鮮花.【小問2詳解】將圓錐側面沿母線展開，是側面展開圖為如圖所示的扇形，則的長度即為燈光帶的最小長度，，，在中，，，，解得：，即燈光帶的最小長度為.21.已知函數．（1）求函數的單調遞增區間；（2）若函數在區間上有且僅有兩個零點，求實數k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡，再利用正弦函數的單調性即可得出答案.（2）函數在區間上有且僅有兩個零點轉化為曲線與直線在區間上有且僅有兩個交點，即可求實數k的取值范圍.【小問1詳解】，令，所以，所以函數的單調遞增區間為：【小問2詳解】函數在區間上有且僅有兩個零點，即曲線與直線在區間上有且僅有兩個交點，由，當時，，設，則，當時，曲線與直線區間上有且僅有兩個交點.22.已知函數，圖像上相鄰的最高點與最低點的橫坐標相差，是的一條對稱軸，且．（1）求的解析式；（2）將函數的圖像向右平移個單位得到函數的圖像，若存在，，，滿足，且（，），求m的最小值；（3）令，，若存在使得成立，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）12（3）【解析】【分析】（1）根據題意可得周期，代入可得或，再分