熱點題型?選填題攻略

專題07立體幾何外接球與內切球+截面問題

o------------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01內切球等體積法.........................................................................1

題型02內切球獨立截面法......................................................................2

題型03補形法.................................................................................3

題型04單面定球心法（定+算）.................................................................4

題型05雙面定球心法（兩次單面定球心）........................................................5

題型06平行線（相交線）法做截面...............................................................6

?-----------題型探析?明規律-----------<>

題型01內切球等體積法

【解題規律?提分快招】

例如：在四棱錐尸-中，內切球為球O,求球半徑方法如下:

—P-ABCD=^O-ABCD+匕）—PBC+^O-PCD+^O-PAD+^O-PAB

即：VP-ABCD=~^SABCD-r+PBC-r+PCD'r+PAD-r+SPAB'r，

可求出L

【典例1-1］（24-25高三上?浙江,開學考試）若某圓臺有內切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的

球），且母線與底面所成角的余弦值為:，則此圓臺與其內切球的體積之比為（）

【典例1-2］（23-24高一下?福建龍巖?期末）已知球。內切于圓臺ER其軸截面如圖所示，四邊形

為等腰梯形，ABHCD,且CD=24B=6,則圓臺￡尸的體積為（）

AEB

F

八27叵itD51V2Kr570兀、63收兀

4444

【變式1-1]（2024?河南開封?二模）己知經過圓錐S。的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐

S。分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是

（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【變式1-2]（23-24高一下?湖北黃岡?期末）若圓錐的內切球（球面與圓錐的側面以及底面都相切）的半徑為

1,當該圓錐體積是球體積兩倍時，該圓錐的高為（）

A.2B.4C.V3D.2/

【變式1-3]（24-25高三上?河北保定?開學考試）如圖，已知球。內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下

底面以及側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑〃=1,々=3,則球。與圓臺。。2側面的切痕所在平面分圓

題型02內切球獨立截面法

【解題規律?提分快招】

定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是多面體

的外接球。

定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是多

面體的內切球。

了真椀工行一一港玄：江赤信注:三程）一若二不夕而福落而甄寫二不速的南面布瓦一血森欣不談藕不塞而一

體的內切球.在四棱錐尸中，側面P4B是邊長為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面尸/8J.

平面N8CZ）.若四棱錐P-48CD存在一個內切球，設球的體積為匕，該四棱錐的體積為匕，則J的值為

（）

AG兀D百兀r百兀n百兀

6121854

【變式1-1］（23-24高一下?浙江寧波?期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉

席.在鱉膈/-BCD中，ABl^BCD,BC1CD,且NB=8C=CD=1,則其內切球表面積為（）

A.3兀B.百兀C.（3—26'）兀D.—1）兀

題型03補形法

【解題規律?提分快招】

①墻角模型（三條線兩個垂直）

②對棱相等模型（補形為長方體）

題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑

(AB=CD,AD=BC,AC=BD)

【典例1-1】在△48C中，BC=6,AB+AC=S,E,F,G分別為三邊5C,CA,的中點，將ANFG,

△BEG,分別沿尸G,EG,EF向上折起，使得/,B,C重合，記為P,則三棱錐P-EFG的外接

球表面積的最小值為（）

15兀17n19K2171

A.一B.-----C.-----D

222-V

【典例1-2】據《九章算術》中記載，“陽馬”是以矩形為底面，一棱與底面垂直的四棱錐.現有一個“陽馬”,

尸/，底面ABCD,底面4BCD是矩形，且尸4=5,AB=4,BC=3,則這個"陽馬"的外接球表面積為（）

A.5兀B.200KC.50兀D.100K

【變式1-1】三棱錐尸-N3C中，ABC,且尸/=NB=2,AB1BC^.BC=4,三棱錐尸-N3c的

外接球表面積為（）

284

A.16nB.20nD.24Tl

F

【變式1?2】已知三棱錐/-5CQ的所有棱長均為2,球。為三棱錐力-BCD的外接球，則球。的表面積為

（）

A.兀B.2兀C.4兀D.6兀

【變式1-3］在邊長為4的正方形4BCD中，如圖甲所示，E,F,"分別為2C,CD,BE的中點，分別沿

AE,/尸及￡尸所在直線把“MQ/ED和A￡/C折起，使2,C,。三點重合于點P,得到三棱錐P-/EF,

如圖乙所示，則三棱錐尸-/即外接球的體積是;過點”的平面截三棱錐P-/E尸外接球所得截

甲乙

題型04單面定球心法（定+算）

【解題規律?提分快招】

步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐尸-48C中，選中底面A48C,確定其外接圓

圓心&（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心

a、

2、r=------）；

sinZ

②過外心a做（找）底面人48c的垂線，如圖中尸。1，面48C,則球心一定在直線（注意不一定在線段尸。1

上）PG上；

③計算求半徑A：在直線尸。1上任取一點。如圖：則OP=CU=R,利用公式OT=0/2+0。：可計算

出球半徑A.

【典例1-1】已知球。是正三棱錐尸-/BC的外接球，若正三棱錐尸-/BC的高為近，底近AB=^,則

球心。到平面/8C的距離為（）

【典例1-2】在四面體ABCD中，AB=4,CD=2,AC=AD=BC=BD=3,則四面體ABCD的外接球表面積

為.

【變式1-1】已知球。為棱長為1的正四面體/BCD的外接球，若點尸是正四面體N3CD的表面上的一點,

0為球。表面上的一點，則|尸。|的最大值為（）

【變式1-2】己知一個正三棱柱既有內切球又有外接球，且外接球的表面積為40兀，則該三棱柱的體積為

（）

A.6A/6B.1276C.6廂D.12麗

【變式1-3】已知正△4BC邊長為1,將ZUSC繞旋轉至△D2C,使得平面4BC，平面，則三棱

錐。-A8C的外接球表面積為.

題型05雙面定球心法（兩次單面定球心）

【解題規律?提分快招】

「如畫廠在三棱箍A二7方心百；一

[①選定底面AA8C,定AZBC外接圓圓心已

|②選定面"AB,定"AB外接圓圓心。2

I③分別過已做面48c的垂線，和&做面尸48的垂線，兩垂線交點即為外

1

接球球心0.BC

了真椀m巨如菱形加弓方的犯石為萬丁飛萬二而同而囪麗宗廠海教團一酒就拆起「便福萬朝送點s一兩

位置，連接S3,得到三棱錐S-/BC,此時S3=3,￡是線段“中點，點尸在三棱錐S-/8C的外接球上

運動，且始終保持即C,則三棱錐S-N2C外接球半徑為,則點尸的軌跡的周長為.

【典例1-2］如圖，在四面體/BCD中，△NAD與△BCD均是邊長為的等邊三角形，二面角-C

的大小為120。,則此四面體的外接球表面積為.

C

【變式1-1］如圖，在四面體N8C。中，△4BC和“C。均是邊長為6的等邊三角形，。2=9,則四面體/BCD

外接球的表面積為;點片是線段40的中點，點尸在四面體的外接球上運動，且始終保持

EFLAC,則點尸的軌跡的長度為.

題型06平行線（相交線）法做截面

【解題規律?提分快招】

平行兇法至近兩鈣亍7桓交了直殯福兔正二下而

一【質椀工11723五「高三下石素豪標血聲）面面:云東藥標7萬3二%萬匕“五二萬二N瓦盧芬麗夏石”：還；

的中點.用過點廠且平行于平面/BE的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）

A.V6B.245c.V5D.里

2

【典例1-2］（21-22高二上?北京?階段練習）正方體ABCD-//BG。/中，E是棱出。中點，尸是棱中

點，G是棱2。中點，作出過區F,G的平面截得正方體的截面形狀.

【變式1-1］（23-24高一下?北京通州,期末）如圖，正方體/BCD-N4G2的棱長為1,E為BC的中點,

下為線段CG上的動點，過點A,E,尸的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是.

①直線與直線/尸相交；

②當0<“<：時，S為四邊形；

③當尸為cq的中點時，平面ZE尸截正方體所得的截面面積為：；

④當時，截面S與42，分別交于MN,則―豐.

【變式1-2］（23-24高一下?北京昌平?期末）在棱長為1的正方體-中，E,F,G分別為

棱44-G",的中點，動點”在平面EFG內，且。〃=1.給出下列四個結論：

①43〃平面MG；

②點H軌跡的長度為無；

③存在點使得直線。平面EFG；

④平面EFG截正方體所得的截面面積為苧.

其中所有正確結論的序號是.

*>----------題型通關?沖高考-----------O

一、單選題

1.（2024?北京朝陽?一模）在棱長為1的正方體/BCD-4與G2中，E,F,G分別為棱幺4，BC,CQ

的中點，動點H在平面EFG內，且。8=1.則下列說法正確的是（）

A.存在點打，使得直線。H與直線FG相交

B.存在點“，使得直線。X，平面E/G

7E

C.直線耳H與平面EFG所成角的大小為g

D.平面EFG被正方體所截得的截面面積為些

2

2.（2024?湖南郴州?模擬預測）已知正方體4BC。-481G2中，點￡、廠滿足礪=2甌，邙=2兩，則

平面/￡尸截正方體428-44GA形成的截面圖形為（）

A.六邊形B.五邊形

C.四邊形D.三角形

3.（2024?四川內江?三模）已知正方體4BCD-451aol的棱長為2,點M、N、P分別為棱/5、CC^CR

的中點，則平面MVP截正方體所得截面的面積為（）

A.2B.3港C.672D.6

2

4.（2024?山東?模擬預測）若正四棱錐的高為6,且所有頂點都在半徑為4的球面上，則該正四棱錐的側面

積為（）

A.12gB.24AMC.24J7D.12742

5.（2024?遼寧?一模）已知正四棱錐尸各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4,體積為

64

y,則該球表面積為（）

“，4兀

A.9兀B.36兀C.471D.——

3

6.（2024?寧夏吳忠,模擬預測）已知正三棱錐/-5CQ的外接球是球。，正三棱錐底邊3c=3,側棱

45=2百，點￡在線段上，且BE=DE,過點E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

c971c4

A.2兀B.——C.371D.4兀

4

7.（2024?湖北武漢,模擬預測）四棱錐尸-4BCD各頂點都在球心。為的球面上，且尸平面底

面N8CD為矩形，PA=AD=2,AB=26,設分別是的中點，則平面截球。所得截面的

面積為（）

A.兀B.371C.471D.2兀

8.（2024?吉林?模擬預測）已知圓錐的側面積是4兀，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的內切球

半徑為（）

A2指RV3r2V3nV6

3333

9.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）已知直三棱柱/BC-的6個頂點都在球。的表面上，若

2兀

AB=AC=1,AA1=4,ZBAC=—,則球。的表面積為（）

A.16KB.20兀C.28TID.32兀

10.（23-24高三上?湖南長沙?階段練習）已知圓錐的高為3,若該圓錐的內切球的半徑為1,則該圓錐的表

面積為（）

A.6萬B.6人!兀C.9兀D.12萬

11.（2023,全國?模擬預測）上、下底面均為等邊三角形的三棱臺的所有頂點都在同一球面上，若三棱臺的

高為3,上、下底面