2025高考數學考二輪專題復習-第十一講-概率(四大考向)-專項訓練

一：考情分析

命題解讀考向考查統計

2022?新高考□卷，

1.高考對概率的考查，重點是5

古典概型

2024?新高考□卷，

(1)理解古典概型及其概率

計算公式；14

2024?新高考□卷，

(2)會計算一些隨機事件所

9

包含的樣本點及事件發生的概正態分布

率；2022?新高考□卷，

13

(3)理解隨機事件的獨立性

2023?新高考□卷，

和條件概率的關系，會利用全

概率公式計算概率；7

2023?新高考□卷，

(4)理解兩點分布、二項分獨立事件的乘法公式

12

布、超幾何分布的概念，能解

2024?新高考□卷，

決一些簡單的實際問題；

18

(5)借助正態分布曲線了解

2022?新高考口卷，

正態分布的概念，并進行簡單

20

應用。條件概率、全概率公式

2022?新高考□卷，

19

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷考查了與排列組合綜合的古典概型問題，這也是高考常考

點之一。同時在多選題中考查了正態分布及其應用。口卷考查了獨立事件的乘法公

式，體現在大題中。從今年的考題來看，概率大題已經不是必考了，而且可以用來作

填空的壓軸題。這需要大家引起重視，對于概率難題要適當的練習，說不定在19題中

也會出現它的影子。預計2025年高考還是主要考查古典概型和求隨機變量的分布列與

數學期望。建議大家要留意一下全概率公式，它將會是一個新的出題點，思維難度會

略大。

三：試題精講

一、多選題

1.（2024新高考口卷-9）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植

區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值元=2.1,樣本方差$2=o,oi,已知該種

植區以往的畝收入X服從正態分布假設推動出口后的畝收入y服從正態

分布貝U（）（若隨機變量Z服從正態分布

P（Z<〃+b）a0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（r>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

二、填空題

2.（2024新高考□卷44）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的

卡片上分別標有數字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數字2,4,6,8,兩人進行四

輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片

上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡

片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概

率為.

三、解答題

3.（2024新高考□卷T8）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比

賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊

被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名

隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得。分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總

和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為0,乙每次投中的概率為

q,各次投中與否相互獨立.

（1）若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分

的概率.

⑵假設o<p<g,

(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比

賽？

(ii)為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比

賽？

高考真題練

一、單選題

1.(2022新高考口卷5)從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互

質的概率為()

A.-B.-C.1D.-

6323

二、多選題

2.(2023新高考口卷T2)在信道內傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發送0

時，收到1的概率為收到0的概率為l-a；發送1時，收到0的概率為

"。收到1的概率為1-6.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次

傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需

要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信

號中出現次數多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為

(l-a)(l-^)2

B.采用三次傳輸方案，若發送1,則依次收到1,0,1的概率為￡(1-￡)2

C.采用三次傳輸方案，若發送1,則譯碼為1的概率為夕(1-02+(1_03

D.當0<c<0.5時，若發送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次

傳輸方案譯碼為0的概率

三、填空題

3.(2022新高考□卷T3)已知隨機變量X服從正態分布N(2,"),且

P(2<X<2,5)=0.36,貝!JP(X>2.5)=.

四、解答題

4.(2022新高考口卷-20)一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生

習慣(衛生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查

了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照

組)，得到如下數據：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，/表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，8表示事件

“選到的人患有該疾病”.得S與需粵的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風

P(B|A)P(B|A)

險程度的一項度量指標，記該指標為R

P(A|B)P(A|B)

證明:

(H)P(A|B)P(A|B)

(□)利用該調查數據，給出尸(A|3),P(A|皮的估計值，并利用(口)的結果給出R的

估計值.

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5.（2023新高考□卷21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中

則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的

命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1

次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P（X，=1）=1-P（X,=O）=西=1,2,…則

E1之X,]=記前"次（即從第1次到第"次投籃）中甲投籃的次數為乙求

Vi=lJz=l

召（。

6.（2022新高考□卷T9）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患

者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

頻率

0.023

0.020

0.017

0102030405060708090年齡(歲)

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區間的中點值為代

表)；

(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間［20,70)的概率；

(3)已知該地區這種疾病的患病率為0.1%,該地區年齡位于區間［40,50)的人口占該地區

總人口的16%.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間［40,50),求此人患這種疾

病的概率.(以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的

概率，精確到0.0001).

知識點總結

一、古典概型

(1)定義

一般地，若試驗E具有以下特征：

□有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

口等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.

稱試驗￡為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間。包含“個樣本點，事件A包含其中的k個樣

本點，則定義事件A的概率尸(A)=：=卷.

二、概率的基本性質

(1)對于任意事件A都有：04P(4)41.

(2)必然事件的概率為1,即P(Q)=1;不可能事概率為0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件8互斥，則P(A3)=尸(A)+P(B).

推廣：一般地，若事件A，4，…，4彼此互斥，則事件發生(即4，4，4

中有一個發生)的概率等于這〃個事件分別發生的概率之和，即:

P(4+4+…+A“)=P(A)+尸⑷)+...+P(A“).

(4)對立事件的概率：若事件A與事件5互為對立事件，則尸0)=1-尸(3),

P(B)=1-P(A),且尸(AB)=P(A)+P(B)=1.

(5)概率的單調性：若A=則P(A)4P(B).

(6)若A,8是一次隨機實驗中的兩個事件，則尸(AlB)=P(A)+P(B)-P(AB).

三、條件概率

(-)定義

一般地，設A,3為兩個事件，且尸(A)>0,稱尸(21A)=曳辿為在事件A發生的條件

P(A)

下，事件5發生的條件概率.

注意：(1)條件概率P(B|A)中“門后面就是條件；(2)若P(A)=O,表示條件A不可能

發生，此時用條件概率公式計算P(BIA)就沒有意義了，所以條件概率計算必須在

P(A)>0的情況下進行.

(二)性質

(1)條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在0和1之間，即

0<P(B|A)<1.

(2)必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0.

(3)如果3與C互斥,則:(8C\A)=P(B\A)+P(C\A).

注意：(1)如果知道事件A發生會影響事件5發生的概率，那么尸(2)看尸(3|A)；

(2)已知A發生，在此條件下B發生，相當于鈣發生，要求尸(例㈤，相當于把A看

n(AB)

作新的基本事件空間計算4?發生的概率，即「(2|4)=跳1=坐!=誓”.

n(A)n(A)P(A)

〃(。)

四、相互獨立與條件概率的關系

(-)相互獨立事件的概念及性質

(1)相互獨立事件的概念

對于兩個事件A,B,如果P(3|A)=PCB),則意味著事件A的發生不影響事件B發生

的概率.設P(A)>0,根據條件概率的計算公式，p?)=p(B|A)=C黑，從而

P(AB)=P(A)P(B).

由此我們可得：設A,8為兩個事件，若P(AB)=P(A)P(3),則稱事件A與事件8相互

獨立.

(2)概率的乘法公式

由條件概率的定義，對于任意兩個事件A與8,若尸(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A).我們稱上式為概率的乘法公式.

(3)相互獨立事件的性質

如果事件A，8互相獨立，那么A與月，Z與3,Z與否也都相互獨立.

(4)兩個事件的相互獨立性的推廣

兩個事件的相互獨立性可以推廣到〃(〃>2,〃eN*)個事件的相互獨立性，即若事件A,

A,4相互獨立，則這〃個事件同時發生的概率尸(AAA)=P(A)(4)P(4).

(-)事件的獨立性

(1)事件A與3相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)-P(B).

(2)當尸(2)>0時，A與3獨立的充要條件是尸(加8)=尸(4).

(3)如果尸(A)>0,A與8獨立，則尸(例A)=°(AB)=尸(A)?—=尸(為成立.

P(A)P(A)

五、全概率公式

(一)全概率公式

(1)P(B)=尸(A)尸(21A)+P(A)P(B|A)；

(2)定理1若樣本空間。中的事件4,4,…，滿足：

□任意兩個事件均互斥，即AA,=0,i,j=1,2,,n,iHj；

□4+4++4=0；

□P(4)>0,z=l,2,,n.

則對。中的任意事件B,者陌3=%+%++時,且

P(B)=XP(%)=EP(A)P(BIA).

z=li=l

注意：(1)全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若

干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題.

(2)什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可

能，在這多種可能中均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概

率公式.

(二)貝葉斯公式

(1)一般地，當O<P(A)<1且P(B)>0時，有

⑶=尸(A)P(8|A)=P(A)P⑷,_

1-尸(B)-P(A)P(B|A)+P(A)P(BIA)

(2)定理2若樣本空間。中的事件A，4,,4滿足：

□任意兩個事件均互斥，即A,Aj=0,z,j=l,2,,n,i^j；

□A+4++4=。；

□O<P(4)<1>i=l,2,,n.

則對。中的任意概率非零的事件3,都有3=班+%++%,,

且「(A,⑻=…⑻A)=…⑻4)

JP(4)P(BIA)

Z=1

注意：(1)在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據試驗發生的結果

尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問

題的方法就是使用貝葉斯公式.貝葉斯公式的意義是導致事件3發生的各種原因可能

性的大小，稱之為后驗概率.

(2)貝葉斯公式充分體現了尸(川2),P(A),P(B),P(B\A),P(B|A),尸(AB)之間

的轉關系，即P(A|B)=今篙，P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B\A)P(A),

尸(B)=尸(A)P(B|A)+P(A)P(B摩)之間的內在聯系.

六、離散型隨機變量的分布列

1、隨機變量

在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字

表示.在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化.像這種隨著試驗結果變

化而變化的變量稱為隨機變量.隨機變量常用字母X,Y,〃，…表示.

注意：(1)一般地，如果一個試驗滿足下列條件：口試驗可以在相同的情形下重復進

行；口試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；□每次試驗總是恰好出現這

些可能結果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現哪個結果.這種試

驗就是隨機試驗.

(2)有些隨機試驗的結果雖然不具有數量性質，但可以用數來表示.如擲一枚硬幣，

X=0表示反面向上，X=1表示正面向上.

(3)隨機變量的線性關系：若X是隨機變量，Y=aX+b,a,匕是常數，則Y也是隨

機變量.

2、離散型隨機變量

對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量.

注意：(1)本章研究的離散型隨機變量只取有限個值.

(2)離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：□如果隨機變量的可能取值是

某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量；口離散型隨機變量與連續

型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果，但離散型隨機變量的結果可以按一定的

次序一一列出，而連續型隨機變量的結果不能一一列出.

3、離散型隨機變量的分布列的表示

一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為再，%,，匕，.，%,X取每一個值看

(2=1,2,,〃)的概率尸(X=%)=p,,以表格的形式表示如下：

Xx2%Xn

PP1PiPiPn

我們將上表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.有時為了簡單

起見，也用等式尸(X=%)=口，i=\,2,，〃表不X的分布列.

4、離散型隨機變量的分布列的性質

根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：

(1)/?,>0>i=l,2,,n;(2)R+必+.+q=1.

注意：

口性質(2)可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參

數.

□隨機變量J所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概

率.

七、離散型隨機變量的均值與方差

1、均值

若離散型隨機變量X的分布列為

X%%Xn

PPl，2PiPn

稱E(X)=%巧+々必+?+%~++七0"=1為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了

離散型隨機變量取值的平均水平.

注意：(1)均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”，這是隨機變量X的一個重要特

征；

(2)根據均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值.但反過來，兩個不

同的分布可以有相同的均值.這表明分布描述了隨機現象的規律，從而也決定了隨機

變量的均值.而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完

全決定隨機變量的性質.

2、均值的性質

(1)E(C)=C(。為常數).

(2)^Y=aX+b,其中a,6為常數，則V也是隨機變量，且E(aX+6)=aE(X)+6.

(3)E(X1+Xz)=夙XJ)+E(X2).

(4)如果X],X2相互獨立,則反用二2)=4乂).夙乂2).

3、方差

若離散型隨機變量X的分布列為

X%XiXn

pPlPlPiPn

則稱D(X)=￡(Xj-E(X)yPj為隨機變量x的方差，并稱其算術平方根JO(X)為隨機

Z=1

變量X的標準差.

注意：(1)(%_￡底))2描述了可0=1,2,,”)相對于均值E(X)的偏離程度，而D(X)

是上述偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.隨機

變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度.方差或標準差越

小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小；

(2)標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方.

4、方差的性質

(1)^Y^aX+b,其中a,6為常數，則Y也是隨機變量，且。(aX+b)="O(X).

(2)方差公式的變形：D(X)=E(X2)-[￡(X)]2.

八、兩點分布

1、若隨機變量X服從兩點分布，即其分布列為

X01

PP

其中0<p<l,則稱離散型隨機變量X服從參數為p的兩點分布.其中P(x=l)稱為成

功概率.

注意：

(1)兩點分布的試驗結果只有兩個可能性，且其概率之和為1;

(2)兩點分布又稱。-1分布、伯努利分布，其應用十分廣泛.

2、兩點分布的均值與方差：若隨機變量X服從參數為p的兩點分布，則

E(X)=lxp+Ox(l-p)=p,D(X)=/?(1-P)?

九、"次獨立重復試驗

1、定義

一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為"次獨立重復試驗.

注意：獨立重復試驗的條件：□每次試驗在同樣條件下進行；□各次試驗是相互獨立

的；□每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生.

2、特點

(1)每次試驗中，事件發生的概率是相同的；

(2)每次試驗中的事件是相互獨立的，其實質是相互獨立事件的特例.

十、二項分布

1、定義

一般地，在〃次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A

發生的概率為p,不發生的概率4=1-p,那么事件A恰好發生左次的概率是

P(X=k)=C：pkq…(左=0,1,2,…，n)

于是得到X的分布列

X01kn

ck_k-n—k一〃

PC〃pqCcl〃p1q1CnPQc“pq~0

由于表中第二行恰好是二項式展開式

(q+p)"=C°?p°qn+C；p["T+…+C：pl""+.,+C：pnq°各對應項的值，稱這樣的離散

型隨機變量X服從參數為w,p的二項分布，記作X?并稱p為成功概率.

注意：由二項分布的定義可以發現，兩點分布是一種特殊的二項分布，即”=1時的二

項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式.

2、二項分布的適用范圍及本質

(1)適用范圍：

□各次試驗中的事件是相互獨立的；

□每次試驗只有兩種結果：事件要么發生，要么不發生；

□隨機變量是這〃次獨立重復試驗中事件發生的次數.

(2)本質：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的.

3、二項分布的期望、方差

若X?B(n,p),則E(X)=〃p,D(X)=np(l-p).

H^一■、超幾何分布

1、定義

在含有加件次品的N件產品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=%｝發生的

概率為尸(X=%)=￥^,k=0,i,,

2m,其中m=min,n],且〃WN,

MWN,n,M,NeN*,稱分布列為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超

幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布.

X01m

「〃一1^n-m

P

瑪

2、超幾何分布的適用范圍件及本質

(1)適用范圍：

□考察對象分兩類；

□已知各類對象的個數；

門從中抽取若干個個體，考察某類個體個數y的概率分布.

(2)本質：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相

同的.

十二、正態曲線

1、定義：我們把函數0"(x)=e20-2,xe(F),+co)(其中〃是樣本均值，o■是

樣本標準差)的圖象稱為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線.正態曲線呈鐘形，即中

間高，兩邊低.

2、正態曲線的性質

(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關于直線對稱；

(3)曲線在x=〃處達到峰值(最大值)二:；

(4)曲線與無軸之間的面積為1；

（5）當b一定時，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移，如圖甲所

不：

（6）當〃一定時，曲線的形狀由b確定.b越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越

集中；b越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：

甲乙

十三、正態分布

1、定義

隨機變量乂落在區間（4,切的概率為/）（4<*46）=［以式；0及，即由正態曲線，過點

（a,0）和點3,0）的兩條x軸的垂線，及無軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影

部分所示，就是X落在區間（a,句的概率的近似值.

一般地，如果對于任何實數a,b{a<b）,隨機變量X滿足P（a<X4，）=/%。0）及，

則稱隨機變量X服從正態分布.正態分布完全由參數〃，b確定，因此正態分布常記

作"（〃，/）.如果隨機變量X服從正態分布，則記為X

其中，參數〃是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本的均值去估計；

。是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計.

2、3b原則

若XN（/j,a2）,則對于任意的實數a>0,尸。<X4〃+a）=『："b"（尤）改為下圖

中陰影部分的面積，對于固定的〃和。而言，該面積隨著。的減小而變大.這說明。越

小，X落在區間(4-a,〃+a］的概率越大，即X集中在〃周圍的概率越大

特另U地，有P(H-b<X4〃+cr)=0.6826；P(〃-2b<X44+2。)=0.9544；

尸(〃一3。<X4〃+3cr)=0.9974.

由尸(〃-3cr<XW〃+3b)=0.9974,知正態總體幾乎總取值于區間("-3cr,"+3cr)之

內.而在此區間以外取值的概率只有0.0026,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不

可能發生，即為小概率事件.在實際應用中，通常認為服從于正態分布N(〃，/)的隨

機變量X只取(〃-3cr,〃+3cr)之間的值，并簡稱之為3cr原則.

【概率常用結論】

一、古典概型

1、解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數〃與事件A中所包含的基本事件

數.

因此要注意清楚以下三個方面：

(1)本試驗是否具有等可能性；

(2)本試驗的基本事件有多少個；

(3)事件A是什么.

2、解題實現步驟：

(1)仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；

(3)分別求出基本事件的個數〃與所求事件A中所包含的基本事件個數%；

(4)利用公式尸⑷=4包:經?蔓告1個數求出事件A的概率.

3、解題方法技巧:

(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

□任一隨機事件的概率都等于構成它的每一個基本事件概率的和.

□求試驗的基本事件數及事件/包含的基本事件數的方法有列舉法、列表法和樹狀圖

法.

二、隨機變量的分布列和數學期望

1、超幾何分布和二項分布的區別

(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；

(2)超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的；

而二項分布是“有放回”抽取(獨立重復)，在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的.

2、在解決有關問題時，通常認為服從正態分布N(〃,4)的隨機變量x只取

(〃-3b,〃+3b)之間的值.如果服從正態分布的隨機變量的某些取值超出了這個范圍

就說明出現了意外情況.

3、求正態變量x在某區間內取值的概率的基本方法：

(1)根據題目中給出的條件確定〃與。的值.

(2)將待求問題向(〃-cr,〃+cr],(〃-2cr,〃+2cr],(〃-3cr,〃+3bl這三個區間進

行轉化；

(3)利用x在上述區間的概率、正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出

最后結果.

4、假設檢驗的思想

(1)統計中假設檢驗的基本思想：根據小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生的原

則和從總體中抽測的個體的數值，對事先所作的統計假設作出判斷：是拒絕假設，還

是接受假設.

(2)若隨機變量。服從正態分布則。落在區間(〃-3b,〃+3日內的概率為

0.9974,亦即落在區間（〃-3b,〃+3cr］之外的概率為0.0026,此為小概率事件.如果

此事件發生了，就說明彳不服從正態分布.

（3）對于小概率事件要有一個正確的理解：

小概率事件是指發生的概率小于3%的事件.對于這類事件來說，在大量重復試驗中，

平均每試驗大約33次，才發生1次，所以認為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發生

的.不過應注意兩點：一是這里的“幾乎不可能發生”是針對“一次試驗”來說的，如果

試驗次數多了，該事件當然是很可能發生的；二是當我們運用“小概率事件幾乎不可能

發生的原理”進行推斷時，也有3%犯錯的可能性.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?內蒙古?三模）三人被邀請參加一個晚會，若晚會必須有人去，去幾人自行決

定，則恰有一人參加晚會的概率為（）

A.1B.-C.-D.-

2738

2.（2024?河北保定?三模）某火鍋店在每周的周一、周三、周五、周日會安排員工跳舞

蹈“科目三”，已知某人在一周的七天中，隨機選擇兩天到該店吃火鍋，則該人能欣賞

到舞蹈“科目三”的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

7777

3.（2024?湖南長沙?三模）已知隨機變量X服從正態分布且

尸（X<2—Q=P（X>2+6=0.3,左>0,貝I］尸（2<XV2+Q=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

4.（2024?安徽?三模）已知正方體的棱長為1,若從該正方體的8個頂點中任取4個,

則這4個點可以構成體積為g的四面體的概率為（）

A.上B.Ac.2D.A

35353535

5.（2024?山東日照?三模）從標有1,2,3,4,5的5張卡片中有放回地抽取三次，每

次抽取一張，則出現重復編號卡片的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

25252525

6.（2024?河南?三模）已知

P^JU-CT<X<〃+cr）=0.6827,尸（〃-2cr4X<〃+2cr）=0.9545,P（〃-3crWX<〃+3cr）=

0.9973.某體育器材廠生產一批籃球，單個籃球的質量F（單位：克）服從正態分布

N（600,4）,從這一批籃球中隨機抽檢300個，則被抽檢的籃球的質量不小于596克的

個數約為（）

A.286B.293C.252D.246

7.（2024?江西鷹潭?三模）拋擲一枚骰子兩次，將得到的點數分別記為貝普涉,6能

構成三角形的概率是（）

A.—B.—C.-D.-

121233

8.（2024?四川內江?三模）文明是一座城市最靚麗的底色，也是一座城市最暖的名

片.自內江市開展“讓文明出行成為甜城靚麗風景”文明實踐日活動以來，全市廣大學

子以實際行動提升城市文明形象，助力全國文明城市創建工作.在活動中，甲、乙兩

名同學利用周末時間到交通路口開展文明勸導志愿服務工作，他們可以從4瓦C,。四

個路口中隨機選擇一個路口，設事件M為“甲和乙至少有一人選擇了A路口”，事件N

為“甲和乙選擇的路口不相同”，則P（N|M）=（）

9.（2024?貴州畢節?三模）某學生的。。密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字

母，后六位是數字共九個符號組成.該生在登錄QQ時，忘記了密碼的最后一位數

字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數，則不超過兩次就輸對密碼的概率為（）

10.（2024?四川眉山?三模）四名同學參加社會實踐，他們中的每個人都可以從A,B,C

三個項目中隨機選擇一個參加，且每人的選擇相互獨立.這三個項目中恰有一個項目沒

有被任何人選擇的概率為（）

11.（2024?江西景德鎮?三模）六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學，小朋

友們隨機排成一列隊伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機分兩列隊伍依次排隊站在幼兒

園門口的兩側，每列3人廁爸爸們不需要通過插隊就能接到自己家的小朋友的概率為

（）

A.-B.—C.—D.

63672108

12.（2024?河南南陽?三模）甲袋中有3個紅球，3個白球和2個黑球；乙袋中有2個紅

球，2個白球和4個黑球.先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，分別以A,B,C表示

事件“取出的是紅球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球“；再從乙袋中隨機取出一球，

以D表示事件“取出的是白球“，則下列結論中不正確的是（）

A.事件A,B,C是兩兩互斥的事件B.事件A與事件。為相互獨立事件

19

C-P(0A)=|D.P(D)=—

72

13.（2024?四川涼山?三模）涼山地區學生中有50%的同學愛好羽毛球，60%的同學愛

好乒乓球，70%的同學愛好羽毛球或乒乓球.在涼山地區的學生中隨機調查一位同

學，若該同學愛好羽毛球，則該同學也愛好乒乓球的概率為（）

A.0.4B.0.5C.0.8D.0.9

14.（2024?安徽馬鞍山?三模）甲、乙等5名學生參加學校運動會志愿者服務，每個人

從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機選擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿

者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為（）

二、多選題

15.(2024?浙江紹興?三模)已知隨機變量XN(4,2),若尸(X>6)=“,

P(4<X<6)=6,貝I」()

A.a+b=—B.P(X<2)=a

2

C.E(2X+1)=4D.D(2X+1)=8

16.（2024?湖南長沙?三模）某校在運動會期間進行了一場“不服來戰”對抗賽，由籃球

專業的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進行對抗比

賽.具體規則為甲組的同學連續投球3次，乙組的同學每人各投球1次.若甲組同學和乙

組3名同學的命中率依次分別為不個口，貝U（）

3256

13

A.乙組同學恰好命中2次的概率為卷

B.甲組同學恰好命中2次的概率小于乙組同學恰好命中2次的概率

C.甲組同學命中次數的方差為g

D.乙組同學命中次數的數學期望為II

17.（2024?云南昆明?三模）在一個有限樣本空間中，事件A3,C發生的概率滿足

P（A）=P（B）=P（C）=|,尸（A/與C互斥，則下列說法正確的是（）

/一\1

A.P（AC）=-B./與8相互獨立

1Q

C.P（ABC）^—D.P（AB_c）＜-

18.（2024?山東青島?三模）某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產量和銷量

數據如下表所示

年份201520162017201820192020202120222023

產量（萬臺）3.37.213.114.818.723.736.644.343.0

銷量（萬臺）2.35.713.614.915.015.627.129.731.6

記“產銷率”=^>xlOO%,2015-2023年新能源電車產量的中位數為加，則（）

A.根=18.7

B.2015-2023年該廠新能源電車的產銷率與年份正相關

2

C.從2015-2023年中隨機取1年，新能源電車產銷率大于100%的概率為§

D.從2015-2023年中隨機取2年，在這2年中新能源電車的年產量都大于的

條件下，這2年中新能源電車的產銷率都大于70%的概率為!

O

19.（2024?福建三明?三模）假設甲袋中有3個紅球和2個白球，乙袋中有2個白球和

2個紅球.現從甲袋中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.下列選項正

確的是（）

3

A.從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為:

B.從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為主

C.從乙袋中取出的2個球是紅球的概率為3奇7

D.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為

18

方

20.（2024?河南?二模）現有編號分別為A1=1,2,3）的三個盒子，其中A盒中共20個小

球，其中紅球6個，4盒中共20個小球，其中紅球5個，4盒中共30個小球，其中

紅球6個.現從所有球中隨機抽取一個，記事件A：“該球為紅球”，事件4：“該球出自

編號為4?=1,2,3）的盒中”，則下列說法正確的是（）

A.尸（人田）=歷

B尸⑷屋

D.若從所有紅球中隨機抽取一個，則該球來自4盒的概率最小

三、填空題

21.（2024?上海?三模）將一枚質地均勻的骰子連續拋擲6次，得到的點數分別為1,

2,4,5,6,x,則這6個點數的中位數為4的概率為.

22.（2024?上海閔行?三模）3名男生和2名女生排成一排，則女生互不相鄰的排法的概

率為.

23.（2024?山東濟寧?三模）甲和乙兩個箱子中各裝有6個球，其中甲箱子中有4個紅

球、2個白球，乙箱子中有2個紅球、4個白球，現隨機選擇一個箱子，然后從該箱子

中隨機取出一個球，則取出的球是白球的概率為.

24.（2024?北京?三模）在統計調查中，對一些敏感性問題，要精心設計問卷，設法消

除被調查者的顧慮，使他們能夠如實回答問題.否則，被調查者往往會拒絕回答，或

不提供真實情況.某中學為了調查本校中學生某不良習慣/的發生情況，對隨機抽出

的200名中學生進行了調查.調查中設置了兩個問題：

問題1：你的陽歷生日日期是否偶數？問題2：你是否有/習慣？

調查者準備了一個不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質量完全一樣的5個白球和5

個紅球.每個被調查者隨機從袋中摸出1個球（摸出的球再放回袋中并攪拌均勻），摸

到白球的學生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”

的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不做.已知調查結束后，盒子

里共有55個小石子.據此估計此中學學生中有習慣力的人數的百分比為.

25.（2024?天津濱海新?三模）隨著我國經濟發展越來越好，外出旅游的人越來越多，

現有兩位游客慕名來天津旅游，他們分別從天津之眼摩天輪、五大道風景區、古文化

街、意式風情街、海河觀光游船、盤山風景區，這6個隨機選擇1個景點游玩，兩位

游客都選擇天津之眼摩天輪的概率為.這兩位游客中至少有一人選擇天津之

眼摩天輪的條件下，他們選擇的景點不相同的概率.

26.（2024?廣東廣州?三模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為L2,3,4的四個外觀相

同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關閉，也就是主持人知道

獎品在哪個箱子里，當抽獎人選擇了某個箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機打

開了另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇以便增加中獎概率.現在

已知甲選擇了1號箱，用4表示i號箱有獎品（7=1,2,3,4）,用及表示主持人打開i號箱

子（，=2,3,4）,則尸（國A）=，若抽獎人更改了選擇，則其中獎概率為.

27.（2024?河北張家口?三模）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分

打到10:10時，需要一人比另一人多得兩分，比賽才能結束.已知甲贏得每一分的概率

為:，在兩人的第一局比賽中，兩人達到了10:10,此局比賽結束時，兩人的得分總和

4

為n,則此時的概率尸伽）=.

四、解答題

28.（2024?重慶九龍坡?三模）在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽

采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先四人抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區”，敗者進

入“敗區”；接下來，“勝區”的兩人對陣，勝者進入最后決賽；“敗區”的兩個對陣，敗者

直接淘汰出局并獲得第四名；緊接著“敗區”的勝者和“勝區”的“敗者”對陣，勝者晉級到

最后的決賽，敗者獲得第三名：最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠

軍，敗者獲得第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為且不同對陣結果

相互獨立.

（1）若。=0.4,第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁.

□求甲獲得第四名的概率；

□求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望.

（2）除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：四人抽簽決定兩兩對陣，兩場比賽

的勝者晉級到冠軍決賽，敗者參加三、四名比賽，哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理

由.

29.（2024?新疆喀什?三模）某企業監控汽車零件的生產過程，現從汽車零件中隨機抽

取100件作為樣本，測得質量差（零件質量與標準質量之差的絕對值）的樣本數據如

下表：

質量差（單位：mg）5458606364

件數（單位：件）52545205

⑴求樣本質量差的平均數K假設零件的質量差X其中/=4,用輸作為

〃的近似值,求尸（62<XW64）的值；

（2）已知該企業共有兩條生產汽車零件的生產線，其中第1條生產線和第2條生產線生

產的零件件數比是3:1.若第1、2條生產線的廢品率分別為0.004和0.008,且這兩條

生產線是否產出廢品是相獨立的.現從該企業生產的汽車零件中隨機抽取一件.

（口）求抽取的零件為廢品的概率；

（□）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產線的概率.

參考數據：若隨機變量XN出吟,貝1」尸（〃—b<XW〃+b）”0.6827,

P（/J-2CT<X<〃+2cr）a0.9545,P（〃-3cr<XV〃+3cr卜0.9973

30.（2024?安徽合肥?三模）在2024年高考前夕，合肥一六八中學東校區為了舒展年級

學子身心，緩解學子壓力，在一周內（周一到周五）舉行了別開生面“舞動青春，夢想

飛揚”的競技活動，每天活動共計有兩場，第一場獲勝得3分，第二場獲勝得2