重難點專題23解三角形壓軸小題十一大題型匯總

題型1正余弦定理................................................................2

題型2取值范圍問題..............................................................6

?類型1轉(zhuǎn)化角度法........................................................7

?類型2正弦定理法.......................................................11

?類型3正弦定理+輔助角..................................................15

?類型4轉(zhuǎn)化正切法.......................................................20

?類型5余弦定理法.......................................................27

?類型6建系法............................................................32

?類型7轉(zhuǎn)化函數(shù).........................................................40

?類型8二次型取值范圍...................................................45

?類型9基本不等式.......................................................51

題型3中線問題.................................................................55

題型4角平分線問題.............................................................61

題型5高線問題.................................................................64

題型6四邊形問題...............................................................69

題型7多三角形問題.............................................................75

題型8與向■結(jié)合問題...........................................................80

題型9實際問題.................................................................88

題型10正余弦定理與立體幾何...................................................96

題型11正余弦定理與解析幾何..................................................108

題型1正余弦定理

'f^f5

-l,O.、?ffij.#?<、5、、

正弦定理和余弦定理是解決三角形問題的重要工具，根據(jù)已知條件和所求未知量的不同，選

擇合適的方法可以更加高效地解決問題，通過運用這兩個定理，可以幫助我們求解各種未知

邊長和角度，在解題過程中，我們還可以利用三角形內(nèi)角和為180度來輔助求解.

【例題1］（多選）（2023?山西陽泉統(tǒng)考三模）設小力8c內(nèi)角A例，C的對邊分別為a,b,

C.若sin2=cosB=tanC,則下列說法正確的是（）

A.A+B=—B.2,A+C=—C.a>bD.c>b

22

【答案】BCD

【分析】由sinA=cosB，得到力+B=三或4+］-B=TT,推出24+C=今，判斷AB；由

A>B得到C正確；由三角函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合導數(shù)得到D正確.

【詳解】因為△4BC中，sinA=cosB=sin一8）,所以4+B=］或4+］-B=TT,

當4+8=］時，C=》由于tanC無意義，A錯誤；

當4+1—3=11時，力=：+B,

此時C=五一月一3=11-4一（4一9=當一24,故24+C=y,B正確；

因為4=；+B，所以力>B,由大角對大邊，得a>b,C正確；

因為C=1一2B,所以cosB=tanC=tane一2B）=上段,

2\2/sm2B

BP2sinBcos2B=cos2B=>2sin3B—2sin2B—2sinB+1=0,

令t=sinBe（0,1）,f（t）=2t3-2t2-2t+l,t6（0,1）,

則廣⑴=6t2-4t-2=2(3t+l)(t-1)<0,所以/(t)單調(diào)遞減,

又/■0=L-1+1<0,f(sinB)=0,所以sinB<|,

所以B<5a<F，C>2,所以c>b，故D正確.

636

故選：BCD.

【變式1-1]1.（2023?全國?高三專題練習）在423。中,^CAB=90。，AB=3,AC=4,

P為AABC內(nèi)一點,若4PBA=/-PCB=/.PAC=a,則tana=.

【答案】n

【詳解】設P4=K,PB=y,PC=z，在△P48中，由余弦定理得cosa=3(?=2+亭W

又S0P4B=|X3xyxSina,所以sina=2又一詈,易知cosa力0,

2

所以tana=,鑿?，即(9+好一x)tana=4SAPAB,①

2

同理可得，(25+Zz-y)tana=4SAPBC,②

(16+x2—z2)tancr—4sApc③

①②③相加，得50tana—^(S^PAB+S^PBC+SAPCA),

又S^PAB+S^PBC+SAPCA=^AABC~6,所以tana=—.

【變式1-1]2.(2023?全國?高三專題練習)△力BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a+

6=8,cosC=|,HAABC的面積為3遍,則c=.

【答案】2V7

【分析】根據(jù)平方關(guān)系求出sinC，由余弦定理得320-5c2=12ab①，由=3遍求出ab

代入①可得答案.

【詳解】因為0<C<TT,cosC=|,所以。<C<，

所以sinC=71—cos2c=11――——,

\255

由余弦定理得cosC=答了(a+&)2-2aZ?-c2_1

2ab~5

即320-5。2=12ab①,

由SAABC=|d^sinC—^abx=3V6,

得ab—15代入①可得c=-2V7(舍去),c-2-\/7.

故答案為：2V7.

【變式1-1】3.(2022?全國?高三專題練習)已知△力8c的內(nèi)角A,B,C滿足sin24+

sin(4-B+C)=sin(C一4一B)+]△4BC的面積S滿足1WSW2,記a,b,C分別為A,

B,C所對的邊，則下列不等式一定成立的是()

A.czb(a+b)>16-72B.bc(b+c)>8

C.6<abc<12D.12<abc<24

【答案】B

【分析】根據(jù)三角恒等變換公式得到sin力sinBsinC=:，確定R?=4s，根據(jù)面積范圍得到2<

RM2a,得至1」8<abc<16a,再依次判斷每個選項得到答案.

【I羊sin2i4+sin(i4—B+C)=sin(C—A—B)+—,

貝[]sin2Z+sin(n-28)=sin(2C—Tl)+1f即sin24+sin2B+sin2c=|z

故sin24+sin[(B+C)+(B-C)]+sin[(8+C)—(5—C)]=]

2sin4cosZ+2sin(B+C)cos(B—C)=|,

即2sinZ(cos(B—C)—cos(B+C))=1,2sin/?(2sinBsinC)=|z

整理得至(JsinAsinBsinC=

8

設外接圓的半徑為R,由正弦定理可得：號=號=三=2R,

sin4sinBsinC

S=^absinC,故sin/sinBsinC=2=g,即R2=4s,

1<S<2,故/(%)=Zsin(3%+(p),即2<R<2^2,

abc=sinZsinBsinC?8R3=R3,貝!]8<abc<16V2,

對選項A：ab(a+b)>abc>8,即ab(a+b)>8,但ab(a+b)>16魚不一定正確；

對選項B：bc(b+c)>abc>8,即bc(6+c)>8,正確；

對選項C：8<abc<16>/2,不一定正確；

對選項D：8<abc<16V2,不一定正確；

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了三角恒等變換，三角形面積公式，正弦定理，以此考查學生

的計算能力轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中利用三角恒等變換公式將條件轉(zhuǎn)化為8<abc<

16立是解題的關(guān)鍵.

【變式1-U4.(2023?江西贛州統(tǒng)考模擬預測)已知△力BC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長

分別為a,b■已知△ABC的面積S滿足(b+。尸=(4V3+8)S+a2則角A的值為.

【答案】=

o

【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式化簡已知條件，得cos4+1-(V3+2)sinX

求解cos4可得角A的值.

【詳解】由已知得爐+?2-+2bc=(4V3+8)S,

根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，

得2bccos4+2bc—(V3+2)-2bcsinA,

化簡為cos4+1=(V3+2)sinX,

由于Ae(O,TT),所以cosA+1=(V3+2)V1—cos27l,

化簡得(4+2V3)cos2X+cos4-(3+2百)=0,

即[(4+2V3)cosX-(3+2V3)](cosX+1)=0,

解得cos4=y,或cos力=-1(舍)，

由于AG(O,TT),所以4=?

故答案為：=

o

【變式1-1]5.(2023?全國?高三專題練習)在Rt△4BC中，斜邊為，點。在邊8C上，若

tanzBXD=—,sinz-ADC?sinB=-,則=，標二

4'3'ABAD--------------

【答案】號1

【分析】由tan/BAD=乎,結(jié)合同角關(guān)系求出sinzBA。,COSNBA。，結(jié)合三角形面積公式

證明BD=AC,AB-AD=3BD2,再根據(jù)余弦定理列關(guān)系式求喘等即可.

【詳解】因為tanMAD=f,所以包答=當,又(sin/B皿2+2=

4COSZ.BAD4(coszFXD)1

/BADeM),所以sin/B力D=|,COS/LBAD=『,

△4BD的面積S=-AB-ADsin^BAD=-AB-AD,

26

△ABD的面積S=^BD-AC,所以3BD-AC=AB-AD,

因為sin/ADC-sinB=-,所以竺,故34C?AC=AB?4D,

3ADAB3

所以8。-AC^AC-AC,故8。=AC,所以48-AD=3AC-AC=3BD2

由余弦定理可得C0SNB20=AB黑了,又COSNB4D=歿,

ZAD-AD3

er-pi2V2_AB2+AD2BD2_AB2+AD21

叨人3-2ABAD2ABAD-2ABAD6'

cr-i\iAB2+AD24V2+1

所ABAD--3-'

故答案為：粵.

題型2取值范圍問題

邪一型重點,

解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問

題，或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，

或其他的限制，通常采用這種方法;

③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

?類型1轉(zhuǎn)化角度法

【例題2-1](2023?全國?高三專題練習)△力BC中，角A,B,C滿足cos24-cos2B=

2sinC(sin5-sinC),則高+高的最小值為

【答案】^/|V3

【分析】利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得4,利用三角函數(shù)的最值的求法求得

熹+熹的最小值?

【詳解】依題意,cos2X—cos2B=2sinC(sinB-sinC),

1—2sin12i4—(1—2sin2B)=2sinCsinB—2sin2C,

sin2B+sin2c—sin2i4=sinBsinC,由正弦定理得廬+c2—a2=bc,

所以cosa=號土=l>0,所以a為銳角，且a=*

2bc23

11cosBcosCsin^cosC+cosBsinC

-----1-----=------1-----=-------------------

tanBtanCsinBsinCsinBsinC

_sin(B+C)_sinA_V3

-sinBsinC-sinBsin(B+A)~2sinBsin(B+J)

_V3V3

?.fl..A/3\sin2B+V3sinFcosB

2smBDIsinnD+百cosBD1

_V3_V3

1一,28+乎sin2B^sin2fi-|cos2S+1

=-7^V，由于0<B(事且B拜，

sin\2B--]+-32

所以一<28—三<?且23—三十『，

ooooo

所以-?<sin(28—<1,0<sin(28—^|,

2\6/\6/22

所以」fn32學，當—?=三是等號成立.

s\n\2B--j+-36233

所以白的最小值為尊

LaiiDLaricD

故答案為：誓

【點睛】利用正弦定理或余弦定理來求角時，要注意角的范圍，如Sina=i,則4可能是?或

Zo

”.求解含角的表達式的最值或范圍時，首先將表達轉(zhuǎn)化為一個角的形式，如轉(zhuǎn)化為y=

O

Zsin（3%+9）+8等開鄉(xiāng)式，再木艮據(jù)3%+R的范圍求得y=Zsin（3%+@）+B的范圍.

【變式2-1]1.（2023秋?重慶?高三重慶一中校考開學考試）在△ABC中，若sinA=

2cOSBcOSC,則COS28+COS2c的最大值為

【答案】等

【分析】先由題證明得cos2a+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=1,再化簡得+

COS2c=i-fsin（22+9,再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出最大值.

zZ4

【詳解】首先證明：在aABC中，有cos2z+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=1,

在SBC中，由余弦定理得小+b2—c2—2abcosC=0,

由正弦定理得sinZ?+sinB2—sinC2—2sinXsinBcosC=0,

令cos?4+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=M,

上述兩式相加得M=2+cos2c—sin2c+2(cosy4cosB-sirt4sinB)cosC

=2+cos2c—sin2c+2cos(/+B)cosC

=2+cos2c—sin2c—2cos2c=2—(cos2c+sin2C)=1

所以COS2J5+COS2c=1—cos24—2cosXcosBcosf

l+cos2/11

=1-----------sin/cos/=---(sin2X+cos24)

=*sin(2A+》W空，

當sin(22+》=-1即4=|IT時取等.

故答案為：

【變式2-1]2.（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知銳角A4BC中,內(nèi)角人B、C的

對邊分別為a、b、c,a2=b2+be,若cos(C-B)+AcosA存在最大值,則實數(shù)4的取值范

圍是()

A.(0,V2)B.(1,V3)C.(0,2)D.(2,4)

【答案】C

【分析】利用余弦定理結(jié)合正弦定理化簡可得出4=2B,根據(jù)△ABC為銳角三角形可求得

角8的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導公式化簡得出cos(C-8)+2cosX=-2cos22B+

ACOS2B+1，求出cos28的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于實數(shù)4的不等式，

解之即可.

【詳解】由余弦定理可得a?—b2+c2-2bccosA-b2+be,則c—2bcosA—b,

由正弦定理可得sinB=sinC—2sin8cosZ=sin(X+B)—2cosXsinB

=sinXeosB+cosXsinB—2cosXsinB=sin4cos8—cosXsinB=sin(X—B),

因為△48c為銳角三角形，貝!JO<4<T,o<B<],所以，一T<a—B<],

又因為函數(shù)y=sinx在(-若)內(nèi)單調(diào)遞增，所以，力-B=B,可得4=2B,

/TC/TC

0<A<-0<2B<-

22

由于為銳角三角形，貝妹0<8V；即0<8V與，解得

0<C<-0<n-3B<-

I2I2

cos(C—8)+AcosA=cos(Tl-48)+4cos2B=Acos28—cos4B

=-2COS22B+Acos2B+1,

因為T<28<],貝UO<cos2B<|,

J,-I

因為一2cos?2B+Acos2B+1存在最大值，貝為<-<-,解得0<A<2.

42

故選：c.

【點睛】方法點睛：三角函數(shù)最值的不同求法：

①利用sin久和cosx的最值直接求；

②把形如y=asinx+bcosx的三角函數(shù)化為y=力sin(3久+⑴)的形式求最值；

③利用sinx±cos*和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；

④形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.

【變式2-1]3.(多選)(2023秋?河南?高三鄭州一中校聯(lián)考階段練習)用長為3的鐵絲

圍成△ABC,記4ABC的內(nèi)角力,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=60。，則()

A.存在△4BC滿足a,b,c成公差不為0的等差數(shù)列

B.存在△ABC滿足a,b,c成等比數(shù)列

C.A2BC的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為1

D.可以完全覆蓋AABC的最小圓的半徑為當

【答案】BCD

【分析】利用余弦定理及等差中項結(jié)合條件可判斷A,利用等比中項的性質(zhì)結(jié)合條件可判斷

B,利用余弦定理及三角形面積公式可得三角形內(nèi)切圓半徑的最大值進而判斷C,利用正弦

定理及三角函數(shù)的性質(zhì)可得三角形外接圓半徑的最小值判斷D.

【詳解】依題意知a+b+c=3,由余弦定理,得t>2-a2+c2-2acC0SB-a2+c2-ac.

對A,若a,b,c成等差數(shù)列，貝112b=a+c,所以絲詈=a2+c2-ac,

所以(a-c)2=0,a=6=c,a,6,c為常數(shù)列，故A錯誤；

對B,若a,b,c成等比數(shù)列，則塊=ac,所以ac=a?+c?—ac,即(a-c)2=0,a=b=c,

所以當△ABC為等邊三角形時a,b,c成等比數(shù)列，故B正確；

對C,由匕2—a2+c2—ac-(3—a—c)2,得ac-2(a+c)—3>4y/ac—3,解得ac<1或

ac29(舍)，

所以△力BC的面積S=iacsinB<曰,△4BC的內(nèi)切圓半徑為等<整,當且僅當a=c=

24a+b+c6

b=1時取等號，

所以△力BC的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為手,故C正確；

O

對D,由正弦定理可得：2R=baa+b+c3，其

sin60°sinAsinCsin60°+sinA+sinC尸sinA+sin(120。-4)

中R為AABC外接圓半徑,

因為sinX+sin(120°—X)—sinX+sinl20°cosX—cosl20°sinX=|sin-^+-^cosX=

V3sin(X+30°)<V3,當且僅當4=B=C=60。時，等號成立，

所以2R2裊R瀉’所以可以完全覆蓋△麗的最小圓的半徑為乎,故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的CD項較難，關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的內(nèi)切圓半徑及外

接圓半徑，然后利用基本不等式及三角形的有關(guān)知識即得.

?類型2正弦定理法

【例題2-2］（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習）△ABC中，sine-B）=cos24,則*的

\乙/AD

取值范圍是（）

【答案】B

【分析】化簡得到cosB=cos2力，從而得到24=B，得到C=TT-34，46（0,歐，利用正

弦定理得到誓=-^―,從而得到M的取值范圍.

AB2coSi4+lAB

【詳解】sin-B）=cosB=cos24,

在4ABC中，e（0,n）,故24=8或24+8=2n,

當24+B=2Tl時，力+：=TT,故4+8>TT,不合要求，舍去，

所以2Z=B,C=TC-A—B=K—A—2A=TI—3A,

因為4Be(0,n),所以24e(0,n),即ae(0彳),

因為C=n-34e(0,n),所以ae(o,§,

由正弦定理得J=AB_BC

sinCsinA

故AC-BCsinB-sinA_sin24-sirh42sini4cosi4-sinyl2sinAcosA-sirL4因為4e(O,TT),所以

ABsinCsin(n-3i4)sin(2i4+i4)sin2i4cos?l+cos2i4sini4

sinZW0,

C-BC_2coSi4-l_2coSi4-l_2cosZ-1

AB2COS2A+COS2A4COS271-1(2coSi4-l)(2coSi4+l)

因為46(0^),所以28sA-1>OZ

rAC-BC_1

'AB2coSi4+l

因為ae(o(),所以COS4eQ.l),2cos4e(1,2),2cos4+1e(2,3),

.AC-BC_1￡(1

'AB-2cos4+1\3

故選：B

【變式2-2J1.(2022秋安徽馬鞍山?高三馬鞍山二中校考期中)在銳角21A8C中,A=2B,

則胎的取值范圍是

A.(-1,3)B.(1,3)

C.(V2,V3)D.(1,2)

【答案】D

【分析】根據(jù)在銳角4aBe中，每個角都是銳角確定B的范圍，利用正弦定理以及三倍角的

正弦公式，化簡表達式，求出范圍即可.

【詳解】在銳角2L4BC中,

71

0<2(B<-

71

{0<ZB<-

i2

71

0<7T—3(B<—

2

可得￡〈乙B＜三,

64

COSBe(y,y),COS2BG(1,|),

所以由正弦定理可碟=”篝sin3B_3sinB-4s\n^B

sinBsinB

=3-4sin2B=4cos2B-1G(1,2),故選D.

【點睛】本題考查正弦定理在解三角形中的應用，三倍角的正弦公式，屬于中檔題.正弦定

理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種:（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一

邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對

邊；（3）證明化簡過程中邊角互化;（4）求三角形外接圓半徑.

【變式2-2]2.（2023?全國?高三專題練習）在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分

別為a,b,c,已知acosB-bcosA=b,則“-的取值范圍是（）

a+c

A.好與B.（2-V3,l）

C.（2-V3,V2-1）D.（V2+1,V3+2）

【答案】C

【分析】由正弦定理邊化角得到4=2B,由銳角三角形求出？<B<：,然后將白的取值范

64a+c

圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解即可.

【詳解】因為acosB-bcosA=b,所以由正弦定理得：sinXcosB-sinBcosA=sinB,

即sin（A一B）=sinB,所以力一B=B,即4=28,又A+B+C=IT,所以C=TT-3B.

0<A<^（0<2B<

0<B<=gpJ0<B<=,解得?<B<=

{0<CI0<n-35<

bsinBsinBsinB

a+csin4+sinCsin2B+sin（TT-38）sin2B+sin3B

_sinB_1_1

sin2B+sin2BcosB+cos2BsinB2cosB+2cos2B+2cos2J3-l4cos2B+2cosB-l，

令cosB=t,因為￡VB<；,所以tEi

則看=小在單調(diào)遞減,

所以T-E（2—V3,V2—1）.

a+c、J

故選：c.

【變式2-2]3.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）在AaBC中,角的對邊分別為a,b,c,

若cos(2+2C)=sin2c—cos4,C,則受；"+13的值可為()

A.4V3B.6V2C.873D.I6V2

【答案】D

【分析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合條件可得B==+C,然后利用正弦定理可得空手+13=

2c/

12sin2C+-^-,再通過換元法，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進而即得.

sinzC

【詳解】由題知cosQ4+C+C）=sin2c—cos（X+C—C）,

則cos(Z+C)cosC—sin(y1+C)sinC=sin2c—[cos(71+C)cosC+sinQ4+C)sinC],

即2cosQ4+C)cosC=sin2c=2sinCcosC,

因為C豐/所以COSCW0,貝！]cosQ4+C)=sinC,

所以sinC=-cosS=sin(B-以，則B=]+C,B為鈍角,C為銳角,

3sin2g—2C)+cos2c

3a2+b23sin24+sin2S

2F13=:-Yr+13=+13

c乙sinzcsin2c

3cos22c+cos2C

=----------------------+13

3(l-2sin2C)24-l-sin2C.?

sin2c+1312sMC+嬴,

因為B=工+C,則A=TT—B—C=E—2C>0,貝！|0<C<2,貝!JO<sin2c<%,

2242

令t=sin2ct貝[|12sin2c—.2c=,令/(t)=12t+—,0vt<—,

則廣⑴=12—5=工會<0,

所以f(t)在(01)上單調(diào)遞減，又fG)=14,則四薩+13>14,

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過三角恒等變換得到B==+C,然后利用邊角互化

及換元法把問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值，再利用導數(shù)即得.

【變式2-2]4.（2023?廣西南寧?南寧三中校考模擬預測）在銳角M8C中，角4B,C所對

的邊分別為a,b,c,若cosA=等,則系的取值范圍是（）

A?)

C.(1,+00)D.C，+8)

【答案】A

【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得sin(A-C)=sinC,進而有

A=2C,再把弓化為一并確定C的范圍，應用余弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.

【詳解】由cosZ=，受/n。,貝！]sinB-sinC=2sinCcosA,

所以sin(Z+C)—sinC=sirL4cosc+cos/sinC—sinC=2sinCcosZ,

貝(JsinZcosC—cos/sinC=sin(Z—C)=sinC,

所以/-C=Cs^A—C+C=Z=TI(舍)，故4=2C,

幺士上2c_2sinC_2sinC_2sinC且sinC>0

'c+bsinC+sinBsinC+sin(i4+C)sinC+sin3c'

所以匹=--------生空--------

c+bsinC+sin2CcosC+cos2CsinC'

_2sinC_1

sinC+2sinCcos2C+(2cos2C-l)sinC2cos2c'

-<^+C=3C<n

2

由銳角MBC,貝必0<X=2C<=，可輟<B<1,則1<cosC<f,

Zo4ZZ

0<c<-

I2

所以2cos2c6(1)|),故言6(|,1).

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：將條件由邊化角求角的關(guān)系，即4=2C,再把目標式，由邊化角得彳

c+b

求范圍.

2coszC

?類型3正弦定理+輔助角

【例題2-3](2023秋?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習)在銳角△ABC

中，角的對邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，a=2，且2S=a?—(b—c)2，則△48C

的周長的取值范圍是()

A.(4,6]B.(4,2V5+2]

C.(6,2V5+2]D.(4,V5+2]

【答案】C

【分析】利用面積公式和余弦定理可得tan'=j,tanX=]然后根據(jù)正弦定理及三角變換可

得b+c=|(sinB+sinC)=2遙sin(B+(p),再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到B的范圍，

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域的問題.

【詳解】2S=a2—(b—c)2=a2—b2—c2+2bc—2bc—2bccosA,

???S=be—bccosA=-besinA.

2

/.I—cos/=|sin?l,即2sin2m=sincos1,4為銳角，

A1.14..4.3-r—；c

..tan-=-ftanA=—=&,sm4=-,cosA=-,乂a=2,

4

由正弦定理可得-、=號=三=I,

smAsmBsmC2

所以b+c=|(sinB+sinC)=|[sinB+sinQ4+B)]

5/34\

=-sinB+-sinB+-cosB=4sinB+2cosB

2\55)

=2V5sin(^+9),其中tan@=1@,

因為△ABC為銳角三角形，

所以1-A<B<^,貝嶺-A+(p<B-^-(p<^+(p,

即：工一2<8+9〈巴+2，

22*22

所以cos?<sin(B+<p)<1,又cos?=磊,

.-.4<2V5sin(B+(p~)<2V5，即b+ce(4,2痛],

故AABC的周長的取值范圍是(6,2颶+2].

故選：C.

【變式2-3]1.（2022秋?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學校考期中）在

AABC中,BC=V3XC,^BAC=g，點。與點B分別在直線4C的兩側(cè)，且AD=1,DC=V3,

則B。的長度的最大值是（）

A.V3B.3V3C.3D.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件可以判斷△ABC是直角三角形，且隨著乙4DC的變化A48C三條邊的

長度也會隨著發(fā)生改變，因此先根據(jù)余弦定理和正弦定理確定乙4DC與邊的變化關(guān)系，再構(gòu)

造一個關(guān)于8。邊的三角形，根據(jù)乙4DC與邊的關(guān)系在新構(gòu)造的三角形中解出BD的表達式，

找出最大值.

【詳解】由BC=V34C—=V3=tanNBAC可知，△4BC是乙4BC=-,/LACB='的直

AC62

角三角形，如圖所示：

A

設4c=久，BC=遮x,/.ABC=9,則由余弦定理

得AC?=AD2+CD2_2AD.CD-cos0,即*2=1+3-2V3cos0=4-2V3cos0

由正弦定理得.=苦，所以xsinNACD=sin?.

smz.ACDsm6

連接BO,在^BCO中，由余弦定理，得802=BC2+CD2-2BC?CD?cos乙BCD

BD2=3x2+3—2A/3xV3xcos+4ACD)

=3x2+3+6xsinZ.ACD

=3x2+3+6sin0

=3(4—2v5cos6)+3+6sin0

=15+6sin0—6V3cos0

=15+12sin(d-^<27

當e*+g=詈時，8。的長度取得最大值，為3次

故選:B

【點睛】思路點睛：

可變動圖形與某一變量的變化關(guān)系引出的求邊求角類問題（以本題為例）：

①確定變動圖形的變化規(guī)律：如上題△ABC的變化是角度不變，邊長可等比例變化

②確定圖形變化與某個變量的聯(lián)系：乙4DC變化-AC發(fā)生變化一△ABC整體變化

③找到有直接聯(lián)系的兩個變量的數(shù)學關(guān)系，然后推廣到整體變化上：此處最為困難，需要學

生根據(jù)已知條件活用所學的數(shù)學知識.

【變式2-3]2.（2022秋?四川綿陽?高三綿陽中學校考階段練習）在銳角△ABC中，若

V3sinX（^^+胃￡）=sinBsinC,且gsinC+cosC=2,貝!|a+b的取值范圍是（）

A.（2V3,4]B.（2,2網(wǎng)C.（0,4]D.（2,4]

【答案】A

【分析】由百sinC+cosC=2,可得；再結(jié)合正弦定理將gsin4（等+等）=

sinBsinC中的角化邊，化簡整理后可求得已=&=三=竽；根據(jù)銳角4ABC^C=?,

smAsmBsmC33

可推出4e（7,7）,再根據(jù)正弦定理可得a+b=￥（sin力+sinB）,最后結(jié)合正弦的兩角差

oz3

公式、輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.

【詳解】由gsinC+cosC=2sin(C+巴)=2,得C+&=2+2/OT,keZ,

662

.V3

0，-

「一/八兀、》Ti_i_3-cos/l,cosCsinBsinC_i_cos24,cosC7匕

CE(°，5)，???C=g?由B題丁+—=而]，由正弦無理有丁+丁=稀=五，故

￡2^+cose_b即cosA?sinC+sin4?cosC=約叫=—,故sin(/+C)=sinB=—,

sinAsmC2smA24'、'4

即號=竽,由正弦定理有白=白=3=竽，故a=竽sinA,b=4sinB,又銳角

sinB3sm4smBsinC333

△ABC,且C=9???4W(05)(0《)，解得A￡(".??a+b=^(sinZ+

sinB)=?[sin/+sin(學—/)]=言(sin4+苧cos/+1sin/)=4sinQ4+￡),

?"E《號，2*(9號，sin(4+^)E(y,1],

a+b的取值范圍為（2百,4].

故選：A.

【變式2-3J3.（2022秋?廣東廣州?高三中山大學附屬中學校考期中股4的面積為S,

Z.BAC=0,已知希?照=4,2WSW2b,則函數(shù)/'⑻=V3sin2+^）+cos?。的值域

為.

【答案][2+施,1+2勺

【分析】由向量數(shù)量積公式和三角形面積公式得到1<tan。<V3,求出9eg,=],三角恒

等變換化簡得到f（。）=sin（28+習+萼，結(jié)合。的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖象求出值域.

【詳解】由題意存■AC=\AB\'閑|cos。=4,2<||AB|?|XC|sin0<2g,

所以1Wtan。<V3,所以8e曲"，/⑹=V3sin2（0+?）+cos20=y[1—cos（26+

n\ll+cos26

2〃十2

=—sin20+-cos20+上亞=sin（20+-）+上遺,

222\6/2

因為8C[%露所以26+1w目片],

L4DJoL3oJ

所以當29+卜$即。=?時J⑹取得最小值,最小值為竽；

663Z

當2。+>與，即”即寸，f⑹取得最大值，最大值為富；

故人。）G[萼，鴦斗

故答案為：[十，誓]

【變式2-3]4.（2023?全國?高三專題練習）在AABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c,

若警乎=咨+咨，且的面積〃的二日④+廣一?），則￡的取值范圍

3SinAClC4CLiD

是?

【答案】g（l）

【分析】由面積公式及余弦定理求出c,再由正、余弦定理將角化邊，即可求出C,再由正

弦定理及三角恒等變換公式將三轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的三角函數(shù)，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)計算可

a+b

得；

【詳解】解:由SAABC=苧(。2+b2-c2),jahsinC=y(a2+b2-c2),

又,2=a2+h2-2abcosC,所以，bsinC=j2abeosC,

tanC=V3z???0<C<yr,C=60°,

qsinB

sinBsinCcosZ,cosC12_cos?lcosC

一"rI??zx~r.

3sinAac'3sinAac

V3b_b2+c2-a2+a2+b2-c2_2-2_b

—x——c=2V3

6a2abc2abc2abcac

由正弦定理得2R=三=駕=4,

所以a+b=4sin4+4sinB=4sin4+4sin(9—4)

2TI27r

4sin4+4sin—cos?l-