期中考前滿分沖刺之優質壓軸題

【類型覆蓋】

類型一、循環周期問題

1.生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型.在營養和生存

空間沒有限制的情況下，我們就用數學模型2"來表示.即：21=2，22=4,23=8,

24=16,25=32,…，請你推算223的個位數字是（）

A.6B.4C.2D.8

2.現有一列數%,電,%，…，。98，%9，%00,…，其中4=2024,%=-2022,。98=T，且滿足任意

相鄰三個數的和為同一個常數，則為+出+%+…+。98+。99+%00的值為（）

A.1989B.-1989C.2055D.-2055

3.將一列有理數-1,2,-3,4,-5,6,...如圖所示有序排列，根據圖中的排列規律可知,

"峰1"中峰頂的位置（C的位置）是有理數4,那么，"峰6”中C的位置是有理數,-2023

在/、B、C、D、E中的______位置.

4-9C

八八八

-3-5810BD

/\/\/\

-1-26-?-7-11-?“4E—?

峰1峰2峰"

A.30,AB.-29,BC.-31,CD.28,B

4.一列有理數按照以下規律排列：

-1,2-2,0,3,-1,1,4,0,2.…

根據以上你發現的規律，請問第2024個數是______.

5.將一列有理數-1,2,-3,4,-5,6…如圖所示有序排列,4所在位置為峰1,-9所在

位置為峰2....

4C

廠

-9

（1）處在峰5位置的有理數是_____；

（2）2024應排在N,B,C,D,E中的位置上.

6.將一串有理數按以下列規律排列，則第2023個數排在對應于/,B,C,。中的

字母位置（填字母）.

-14—?-58—>-9A—B

Jt

2—>-36—?—710―????C―?D

類型二、陰影部分面積

1.如圖，有三張邊長分別為a,b,c的正方形紙片，將三張紙片按圖1,圖2兩種不同方

式放置于同一長方形中，若圖1中陰影部分周長與圖2中陰影部分的周長之差已知，則能求

出哪條線段的長（）

圖1圖2

A.線段N8B.線段2cC.線段/ED.線段尸8

2.如圖，大小兩個正方形的邊長分別是4和3,疊放在一起后兩個陰影部分的面積分別為

a,b[a<b）,則2a（a-l）-2（/-6）的值為（）

3.將圖（1）中的長方形紙片剪成1號、2號、3號、4號、5號五個正方形和6號長方形,

將它們拼在周長為150的長方形圖（2）中，若圖（1）的大長方形周長為96,則圖（2）陰

影部分的周長為.

4.把六張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖1）不重疊地放在一個底面為長方形（長

為*m,寬為xcm）的盒子底部（如圖2）,盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則

圖2中兩塊陰影部分周長的和是cm.（用含x或y的代數式來表示）

圖1圖2

5.如圖，長為。，寬為6的長方形被分割成7部分，除陰影部分尸,。外，其余5部分為形

狀和大小完全相同的小長方形〃，其中小長方形〃的寬為3.

a

⑴求小長方形M的長（用含。的代數式表示）.

⑵若6=10,你能否求出陰影圖形P與陰影圖形。的周長之和，若能，請求出來，若不能，

請說明理由.

6.兩個邊長分別為。和6的正方形按如圖1放置，記未疊合部分（陰影）的面積為岳.在

圖1大正方形的右下角再擺放一個邊長為b的小正方形（如圖2）,記兩個小正方形疊合部

分（陰影）的面積星.

（1）用含a,6的代數式分別表示H，S2.

（2）若a=5,b=3,求4+￡的值.

（3）若E+S?=64,求圖3中陰影部分的面積邑.

類型三、收費問題

1.某市出租車的收費標準如下(不足1千米按1千米計算):

里程收費

3千米及3千米以內8.00元

3千米以上，單程，每增加1千米1.60元

3千米以上，往返，每增加1千米1.20元

(1)小明乘出租車從家到外婆家，相距5.6千米，應付車費多少錢？

⑵王老師從學校去相距6千米的教育局取一份資料后立即回到學校，他怎樣坐車比較合算？

算一算需付多少元出租車費.

2.為鼓勵人們節約用水，某市居民生活用水實行“階梯水價”收費，具體收費標準是：用戶

每月用水量在20噸及以內的為第一級水量基數，按一級用水價格收取；超過20噸且不超過

30噸的部分為第二級水量基數，按一級用水價格的L5倍收取；超過30噸的部分為第三級

水量基數，按一級用水價格的1.8倍收取.為節約用水量，小高記錄了：1~7月份他家每月1

(2)己知小高家2月份的水費為36元，試求他家6月份需繳納水費多少元？

(3)7月份放暑假后，小高的爺爺、奶奶來到家里和小高一起生活，用水量明顯增加，比6月

份多用水14噸，試求小高家7月份需繳納水費多少元？

⑷為節約水資源，請你提出一條生活中節約用水的合理建議.

3.某市對出租車運價進行調整，下表是調價前與調價后運價的收費標準的對照表：

調價前調價后

車起步車行程在2千米以內(含2千米)收7車行程在1千米以內(含1千米)收3

價元元

車行程:1~1.5千米（含1.5千米）收4元

車行程1.5~2.0千米（含2.0千米）收5

元

車千米車行程超過2千米后，每增加1千米加車行程超過2千米后，每增加1千米加

價收1.6元收1.5元

根據上表提供的信息，解決如下問題：

⑴如果某乘客乘出租車行駛了20千米的路程，那么調價前和調價后應付費多少元？調價后

的收費標準對顧客是否有利？

⑵按調價后的收費標準收費，如果乘出租車行駛的路程為工千米，應付費為y元，請寫出乘

坐出租車的付費情況；

⑶某人乘坐出租車到4）千米遠的某地辦事，去時從原地一次乘車到目的地；回時，分

T千米、T千米兩次乘車回到原地.按調價后的收費標準，去時與回時乘車方式的付費相比

較，哪一種更省錢？請說明理由.

4.為鼓勵居民節約用水，某市自來水公司實施階梯水價：如果每月用水不超過8噸，按每

噸2.3元收費；如果每月用水量超過8噸，則超出部分按每噸3.5元收費，設每月用水量為尤

噸.

（1）當每月用水量不超過8噸時，用含x的代數式表示用水費用為元;

⑵當每月用水超過8噸時，需交水費多少元？（用含x的代數式表示）

⑶若小紅家8月份用水12噸，則需交水費多少元？

5.徐州某商業區停車場24小時營業.24小時內小型車收費上限為60元其收費方式如下表

所示：

停車時間段2小時內收費（含2小時）超過2小時后收費

3元/半小時

7：30-19：30

最高不超過45元/次?車位

2元/半小時

1元/半小時

19：30-次日7：30

最高不超過15元/次?車

不足半小時，按半小時收費；跨時段停車按上述標準分時段累計收費.

小李自駕一輛小型車去該商業區，需將車停在該停車場.

⑴若停車2小時，則應付停車費元；

（2）若在7：30-19：30之間停車4.2小時，請計算應付停車費多少元；

⑶小李在10：30進場停車，停了x小時后離場，x為整數.若小李駕車離場時間介于當日

的19：30~24：00間，則小李此次停車的費用為多少元？

6.為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，某市采用價格調控的手段達到節水的目的,

該市自來水收費的價目表如表（注：水費按一個月結算一次）：請根據價目表的內容解答下

列問題：

每月用水量（冽3）單價（元/加3）

不超出26m3的部分3

超出26加不超出34M的部分4

超出34M的部分7

（1）填空：若該戶居民1月份用水20立方米，則應收水費元；若該戶2月份用水30立

方米，則應收水費元；

（2）若該戶居民3月份用水無立方米（其中26<xV34）,則應收水費多少元？（結果用含x

的代數式表示）

⑶若該戶居民3月份用水。立方米（其中a>34）,則應收水費多少元？（結果用含。的代

數式表示）

類型四、銷售打折問題

1.某商店的促銷方式如下:

一次性所購物品的原價優惠辦法

不超過200元沒有優惠

超過200元，但不超過600元200元部分沒有優惠，超過200元部分打九折優惠

超過600元所購物品可以協商打折優惠，但不低于七五折

（1）小張一次性所購物品的原價為500元，他實際付款兀;

(2)老王和小趙一起前往該商店購物，兩人所購的物品各自付款需180元和425元，兩人合

在一起后共付款504元，問商店給他們打了幾折？

2.某商場經銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價35元，且利潤為進價的;；乙種商品每

4

2

件進價30元，進價比售價少1.

⑴求每件甲種商品的進價及每件乙種商品的售價分別是多少元？

2

⑵該商場購進甲、乙兩種商品共100件，且乙種商品比甲種商品少瓦，若全部賣出，求該

商場的利潤是多少元？

⑶在元旦期間，該商場對甲、乙兩種商品進行如下優惠促銷活動：

打折前一次性購物總金額優惠措施

不超過300元不優惠

超過300元且不超過400元售價一律打九折

超過400元售價一律打八折

按上述優惠條件，若小李第一天只購買甲種商品一次性付款210元，第二天只購買乙種商品

打折后一次性付款360元，那么這兩天他在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少件？

3.每到秋冬季節，南方的熱帶水果紛紛成熟，受益于現代物流產業和保鮮技術的發達，過

去在內地難得一見的熱帶水果也都進入了我們的超市中，某水果超市最近新進了一批新鮮荔

枝，每斤7元.為了合理定價，在第一周試行機動價格，賣出時每斤以10元為標準，超出10

元的部分記為正，不足10元的部分記為負，超市記錄第一周荔枝的售價情況和售出情況：

星期一二三四五六H

每斤價格相對于標準價格(元)+1-2+3-1+2+5-4

售出斤數2035103015550

⑴這一周超市售出的荔枝單價最高的是星期.

(2)這一周超市出售此種荔枝的收益如何？(盈利或虧損的錢數)

⑶超市為了促銷這種荔枝，決定從下周一起推出兩種促銷方式；

方式一：購買不超過5斤荔枝，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折;

方式二：每斤售價10元.

①顧客買M龍>5）斤荔枝，則按照方式一購買需要元，按照方式二購買需要元

（請用含X的代數式表示）

②如果某顧客決定買40斤荔枝，通過計算說明用哪種方式購買更省錢.

4.某種墨水筆的批發價為1.5元/支.開學季，文具批發店推出兩種優惠活動（一次只能參

加一種優惠活動）如下：

活動一：滿減活動：購物金額滿99元減10元；滿199元減25元；滿299元減60元；

活動二：打折活動：若一次購買100支以上，全部打8折.

某文具店老板批發了n支此款墨水筆.

（1）若150<?<199,用代數式表示在兩種優惠活動下文具店老板需要支付的費用；

⑵使用活動二批發此款墨水筆，會不會出現多買比少買花錢少的情況？說明理由.

5.某校為提升生態環境質量，面向全市招募綠化養護公司，已知/、5兩家公司每月每平

方米綠化養護費用均為10元，且各自推出了如下收費方案：

公司出每月每平方米綠化養護費用均打八折；

公司2：每月綠化面積在200平方米以內（含200平方米）不打折，超過200平方米的部分

每月每平方米打六折.

設該校每月綠化面積為x（x>200）平方米.

⑴請用含x的式子分別表示選擇/、B兩家公司每月所需的綠化養護費用；

（2）如果該校目前每月的綠化面積是600平方米，請通過計算說明選擇哪家公司比較合算

6.旭東中學附近某水果超市最近新進了一批百香果，每斤8元，為了合理定價，在第一周

試行機動價格，賣出時每斤以10元為標準，超出10元的部分記為正，不足10元的部分記為

負，超市記錄第一周百香果的售價情況和售出情況：

星期一二三四五六日

每斤價格相對于標準價格（元）+1-2+3-1+2+5-4

售出斤數203510301554

⑴這一周超市售出的百香果單價最高的是星期;

⑵這一周超市出售此種百香果的收益如何？（盈利或虧損的錢數）；

⑶超市為了促銷這種百香果，決定從下周一起推出兩種促銷方式：

方式一：購買不超過5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折;

方式二：每斤售價10元.

①顧客買”（“>5）斤百香果，則按照方式一購買需要-----------元，按照方式二購買需

要-----------元；

②于老師決定買35斤百香果，通過計算說明用哪種方式購買更省錢.

類型五、數軸中的點重合問題

1.如圖，一根木棒放在數軸上，數軸的1個單位長度為1cm,木棒的左端與數軸上的點A

重合，右端與點B重合.

___?__r~~~i—T~~LI___>

064B24

⑴若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點8時，它的右端在數軸上所對應的

數為24；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數軸上

所對應的數為6,由此可得到木棒長為on.

（2）由（1）的啟發，請你借助"數軸”這個工具解決下列問題：

一天，小麗問馬老師年齡時，馬老師說："我像你這么大時，你只有1歲；等你到我這年齡

的時候，我已經52歲了."請求出小麗和馬老師現在多少歲了？

2.綜合與探究：

數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，利用數軸可以解決很多問題，班里三個小組

分別設計了三個問題，請你與他們共同解決：

⑴勤奮小組：在圖所示的數軸上，把數-2,4,-;，2.5表示出來，并用"〈"將它們連

接起來.

（2）勵志小組：折疊數軸，使表示1的點與表示3的點重合，在這個操作下回答下列問題：

①表示-2的點與表示的點重合；

②若數軸上5兩點間的距離為7（4在3的左側），且折疊后2兩點重合，則點/

表示的數為.

⑶攀登小組：假如在原點處放立一擋板（厚度不計），有甲、乙兩個小球（忽略球的大小,

可看成一點），小球甲從表示數-2的點處出發，以1個單位長度/秒的速度沿數軸向右運動,

同時小球乙從表示數4的點處出發，以2個單位長度/秒的速度沿數軸向左運動，兩個小球

在碰到擋板后即刻按原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為/秒.

①當/=3時，求甲、乙兩個小球之間的距離；

②用含/的代數式表示甲、乙兩個小球之間的距離.

3.折疊紙面，若在數軸上-1表示的點與5表示的點重合，回答以下問題：

（1）數軸上10表示的點與—表示的點重合.

⑵若數軸上M、N兩點間的距離為2024（加在N的左側），且M、N兩點經折疊后重合，

求M、N兩點表示的數是多少？

⑶如圖，邊長為2的正方形有一頂點/落在數軸上表示-3的點處，將正方形在數軸上,

向右滾動（無滑動），正方形的一邊與數軸重合記為滾動一次，求正方形滾動2023次后，數

軸上表示點A的數與折疊后的哪個數重合？

4，"'、、、44

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-5-3-101~35~7~9

4.折疊數軸，若在數軸上-1表示的點與5表示的點重合，回答以下問題：

-3-2-102345

⑴數軸上9表示的點與表示的點重合.

⑵若數軸上M、N兩點之間的距離為2024在N的左側），且M、N兩點經折疊后重合,

求M、N兩點表示的數各是多少？

⑶如圖，邊長為2的正方形有一頂點落在數軸上表示-1的點處，將正方形在數軸上向右滾

動（無滑動），正方形的一邊與數軸重合記為滾動一次，求正方形滾動100次后，落在數軸

上一邊的右端點表示的數與折疊后的哪個數重合？

5.數軸是一個非常重要的數學工具，它把數和數軸上的點建立了對應關系，形象地揭示了

數與數軸上的點之間的內在聯系，是數形結合的基礎.小明在一條長方形紙帶上畫了一條數

軸，進行如下操作探究：

I[i~~iir-

-10I2345

折施

⑴操作1：折疊紙帶，使數軸上表示3的點與表示-1的點重合，則表示數-6的點與表示數.

的點重合，表示數的點與表示數_（用含。的式子表示）的點重合；

⑵操作2：在計算滿足,+[=3的x的值時，也可以通過折疊數軸的方法來解決：先在數軸

上取表示-1的點，然后沿著該點折疊數軸，最后找到距離該點3個單位長度的點，讀取數

據得」利用該方法求出滿足卜+3區8的x的取值范圍為二

⑶操作3：在數軸上/、B兩點對應的數分別為-40、20,數軸上一點C對應的數為x,

數軸上一點。與點C始終保持18個單位長度（點。位于點C的左側）.折疊數軸，使

得C、D重合，且折疊后/、B兩點之間的距離為10,求出x的值.

6.我國著名的數學家華羅庚曾說過："數形結合百般好，隔離分家萬事非.”可見數形結合

對于數學學習是多么重要，數學課上老師讓同學們將數軸對折探究其中的數學問題.

ABECDF

11111111111AII11AII??>

-5-4-3-2-1012345-13ab

圖①圖②圖③

（1）如圖①，勤學小組的同學將數軸對折，使表示2的點與表示-2的點重合.

①對折后表示5的點與表示的點重合；

②對折后表示加的點與表示的點重合.（用含加的代數式表示）

（2）如圖②，善思小組的同學將數軸對折，使表示3的點與表示-1的點重合.

①對折后表示7的點與表示的點重合；

②對折后數軸上的點A與點B重合（點A在點B的左側），且點A與點B之間的距離為8,

則點A表示的數為,點8表示的數為.

⑶如圖③，智慧小組的同學將數軸對折，使。表示的點C與b表示的點。重合（“<6）,經

對折后數軸上的點E與點尸重合（點E在點尸的左側），且點E和點尸之間的距離為10,則

點￡表示的數為，點尸表示的數為.（用含。力的代數式表示）

類型六、數軸中的最值問題

1.我們知道一個數x的絕對值的幾何意義是：在數軸上表示這個數x的點離原點（表示數

0)的距離，在數軸上表示兩個數x,y的點之間的距離可以表示為卜-".如|尤+2|+及-1|可

以表示點X與點1之間的距離跟點X與-2之間的距離的和，根據圖示易知：當點X的位置在

點/和點3之間(包含點/和點2)時，點工與點工的距離跟點x與點2的距離之和最小,

且最小值為3,即卜+2|+卜-1|的最小值是3,且此時的x的取值范圍為_24x〈l.請根據

以上閱讀，解答下列問題：

(1)表示3的點與-1的點之間的距離表示為_；

(2)|X+2|+國+|x-1|的最小值是此時x的值為_；

⑶當|x+l|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5時，求出。的值及x的值.

2.同學們都知道，|3-(-2)|表示3與-2之差的絕對值，實際上也可理解為3與-2兩數在數

軸上所對應的兩點之間的距離，試探索：

(1)|5-(-1)|=；

⑵同理|x+2|+|x-1|表示數軸上有理數x所對應的點到一2和1所對應的兩點距離之和,請你

找出所有符合條件的整數x，使得|x+2|+|x-l|=3;

⑶由以上探索猜想對于任何有理數x,|x+6|+|x-2|是否有最小值？如果有，求出最小值;

如果沒有，說明理由.

3.點42在數軸上所對應的數分別是x,y,其中滿足|x-3|+|y+5|=0.

⑴求x，y的值.

7

(2)數軸上有一點使得+忸叫=點/可，求點M所對應的數.

⑶點。是的中點，。為原點，數軸上有一動點尸，直接寫出|以|+|尸耳的最小值是

:忸必尸。|的最小值是;|尸/|+|尸目+忸必-|尸。|取最小值時，點尸對應的數a

的取值范圍是.

4.閱讀下面的材料：

點48在數軸上分別表示有理數a,b,A,3兩點之間的距離表示為

當48兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖①所示,

\AB\=\OB\=\b\=\a-b\；

0(A)B0AB

0(a)b0ab

②

BA0B0A

ba0b0a

③④

當48兩點都不在原點時，

a.如圖②所示，點48都在原點的右邊，

\AB\=\OB\-=|^|-|a|=6-a=|a-b\；

b.如圖③所示，點43都在原點的左邊，

\AB\=|O5|-|CM|=|&|-|a|=-b-(-a^=\a-b\；

c.如圖④所示，點48在原點的兩邊，

\AB\=\OA\+\0B\=Id+\b\=a+(-6)=\a-b\.

綜上，數軸上43兩點之間的距離

回答下列問題：

⑴數軸上表示2和5的兩點之間的距離是數軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是一，數

軸上表示1和-3的兩點之間的距離是_；

(2)數軸上表示x和一1的兩點A和B之間的距離是如果|/兇=2,那么x為」

⑶當卜+4%廿-7|取最小值時，x=_,y=_.

5.數軸上表示數〃?和數"的兩點之間的距離等于I加-"I.例如數軸上表示數2和5的兩點

距離為|2-5|=3；數軸上表示數3和-1的兩點距離為13-(-1)|=4；由此可知|6+3］的意義可

理解為數軸上表示數6和-3這兩點的距離；|x+41的意義可理解為數軸上表示數x和-4這

兩點的距離；

(1)如圖1,在工廠的一條流水線上有兩個加工點/和8,要在流水線上設一個材料供應點P

往兩個加工點輸送材料，材料供應點P應設在_________時，才能使P到A的距離與P到B

的距離之和最小？

(2)如圖2,在工廠的一條流水線上有三個加工點4B,C,要在流水線上設一個材料供應點

尸往三個加工點輸送材料，材料供應點P應設在_________時，才能使尸到4B,C三點的

距離之和最小？

⑶如圖3,在工廠的一條流水線上有四個加工點4B,C,D,要在流水線上設一個材料供

應點尸往四個加工點輸送材料,材料供應點尸應設在時,才能使P到4B,C,D

四點的距離之和最小？

⑷①|x+31+141的最小值是,止匕時x的范圍是；

②|x+6|+|x+3|+|x-2|的最小值是,此時x的值為;

③|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|的最小值是,此時x的范圍是.

6.|4-1|表示4與1兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離：|4+1|可以看做|4-表示

4與-1兩數在數軸上所對應的兩點間的距離.

IIIIIIIIIII?

-5-4-3-2-1012345

(1)在數軸上，有理數5與-3所對應的兩點之間的距離為；

⑵結合數軸找出所有符合條件的整數X,使得k+[=3,貝心=；

⑶利用數軸分析，若x為整數，|x+3|+|x-2|=5,則滿足條件的所有x的值的和為；

⑷若x為有理數，則,+,+2|+,+3|+…+,+106怕勺最小值為.

類型七、代數式的新定義

1.定義：若兩個數的和為。，則稱這兩個數是關于。的友好數.例如：2+5=7,就稱2

與5是關于7的友好數.

(1)2與是關于3的友好數，5-x與是關于3的友好數(填一個含x的代數

式);

(2)若a=/+6x-i,Z)=X2-2(X2+3X-1)+2,判斷。與6是否是關于3的友好數，并說明

理由；

⑶若c=b-1,d=x-4,且c與4是關于3的友好數，若x為正整數，求非負整數人的值.

2.2023年6月4日，神舟十五號載人飛船成功返回地球，結合這么具有紀念意義的歷史時

刻，王老師給出一個新定義：A、8的兩個整式，如果2/+38=124,那么A叫做B的"神

舟式

(1)若/=-3》+5,8=-5》-4,當x=-6時，求A、8的值，請你判斷此時A是否為3的“神

舟式"，并說明理由；

⑵若N=-X2-3X+5,A是8的“神舟式”,求整式B.

3.定義：對于依次排列的多項式x+"、x+b>x+c、x+d(°、b、c、d是常數)，當它們

滿足(x+a)(x+d)-(x+b)(x+c)=M,且M是常數時，則稱a、b、c、d是一組平衡數，M

是該組平衡數的平衡因子.例如，對于多項式x+2、x+1、x+6、x+5來說，因為

(X+2)(X+5)-(X+1)(X+6)=(X2+7X+10)-(X2+7X+6)=4,所以2、1、6、5是一組平衡數,

4是這組平衡數的平衡因子.

(1)已知2、4、7、9是一組平衡數，則該組平衡數的平衡因子

M={x+2)(x+9)-(x+4)(x+7)=；

(2)若-4、2、加、3是一組平衡數，求心的值及該組平衡數的平衡因子；

⑶當。、從c、d之間滿足怎樣的數量關系時，它們是一組平衡數，請說明理由.

4.閱讀材料：對于任意一個兩位數x,如果x滿足個位數字與十位數字互不相同，且都不

為零，那么我們稱這個兩位數為"迥異數"，將一個"迥異數"的個位數字與十位數字對調后得

到一個新的兩位數，把這個新兩位數與原兩位數的和與11的商記為/(x),例如：x=23,

對調個位數字與十位數字得到新的兩位數32,新兩位數與原兩位數的和為23+32=55,和

與11的商為55+11=5,所以"23)=5.

根據上述定義，回答下列問題：

(1)填空：

①下列兩位數26,66,54中，是"迥異數"的為；

②計算"17)=.

（2）如果一個“迥異數”。的十位數字是加，個位數字是2加+3,且請求出“迥異

數"。的值.

3344

5.觀察下列兩個等式：1-了=3'以丁-2,2-三=3'2、口-2,給出定義如下：我們稱使等

4477

式“-8=3仍-2成立的一對有理數。,6為"同心有理數對"，記為（。/），如:數對

都是“同心有理數對”.

⑴判斷數對（3,1）,是"同心有理數對”嗎？如果是，請說明理由；

（2）若（私〃）是"同心有理數對”，

①則（一a-加）“同心有理數對"（填"是"或"不是"）；

②求3加（〃-1）+[2%-"+2（"-3）]的值.

6.定義：若一個多項式的各項系數之和為7的整數倍，則稱這個多項式為“7倍系數多項

式”，稱這個多項式的各項系數之和為"7倍系數和”.

例如：多項式20x+8了的系數和為20+8=28=7x4,所以多項式20x+8了是"7倍系數多項

式"，它的"7倍系數和"為28.

請根據這個定義解答下列問題：

（1）在下列多項式中，屬于“7倍系數多項式”的是_；（在橫線上填寫序號）

①2x?-9x;②3。+56；③19x?-4》+2了-3孫.

⑵若多項式4蛆-”y是關于X、y的"7倍系數多項式"（其中〃?，〃均為整數），則多項式

2機x+3〃y也是關于小y的"7倍系數多項式”嗎?若是，請說明理由；若不是，請舉出反例.

類型八、方案問題

1.某商店1月1日舉行促銷優惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案.

方案1：若不購買會員卡，則購買商店內任何商品，一律按商品價格的9折優惠；

方案2：用168元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內任何商品，一律按商品價格

的7折優惠.

已知小明1月1日前不是該商店的會員，在促銷期間，他購買商品價格為x元.

⑴請分別用含x的代數式表示兩種購買方案下小明應該支付的費用；

⑵若小明購買商品價格為1200元，你認為選擇哪種購買方案較為合算？說明理由.

2.某冷庫一天的冷凍食品進出記錄如下表（運進用正數表示，運出用負數表示）:

進出數量（單位：噸）-34-12-5

進出次數21332

⑴這天冷庫的冷凍食品比原來增加了還是減少了？增加或減少了多少噸？

⑵根據實際情況，現有兩種方案：

方案一：運進每噸冷凍食品費用是500元，運出每噸冷凍食品費用是800元；

方案二：不管是運進還是運出，每噸冷凍食品費用都是600元.

從節約運費的角度考慮，選用哪一種方案比較合適？

3.某校組織學生到井岡山革命博物館研學，旅行社報價每人收費400元，當研學人數超過

50人時、旅行社給出兩種優惠方案：

方案一：研學團隊先交1500元后，每人收費320元.

方案二：5人免費，其余每人收費打九折

⑴當參加研學的總人數是x（x>50）時，請用含x的式子表示：

①用方案一共收費元.

②用方案二共收費元.

⑵當參加旅游的總人數是80時，采用哪種方案省錢？請判斷并說明理由.

4.云南成為全國首個"吃螃蟹”的省份，將中考體育從50分提升到100分，某校為適應新的

中考要求，決定在網上訂購一批某品牌排球和跳繩.在京東商城發現排球每個定價140元,

跳繩每條定價30元.現有/、3兩家網店均提供包郵服務，并提出了各自的優惠方案.A

網店：買一個排球送一條跳繩；B網店：排球和跳繩都按定價的9折付款.已知要購買排球

60個，跳繩。條（a>60）.

⑴若在/網店購買，需付款一元（用含。的代數式表示）；若在8網店購買，需付款一元（用

含。的代數式表示）；

⑵若。=100時，通過計算比較此時在哪家網店購買省錢？

⑶當。=100時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法，并計算需付

款多少元？

5.閱讀下面材料并解決問題：

兩個數量的大小可以通過它們的差來判斷，如果兩個數。和b比較大小，那么，當a>b時,

有。一6>0；當a=6時，有。一6=0；當時，有。一6<0；反過來也對，即當。一6>0

時，有。>6；當。一6=0時，有。=6；當。一6<0時，有a<b.

因此，我們經常把兩個要比較的對象先數量化，再求它們的差，根據差的正負判斷對象的大

小.像這樣判斷兩數大小關系的方法叫做求差法，請你用求差的方法解決以下問題：

郎?

(1)若P=2加+3,Q=2m-1,則尸一。0,PQ(填>,=或<)；

(2)如圖，圖1長方形1的周長—,圖2長方形II的周長N=—,用求差法比較M、

N的大小；

⑶制作某產品有兩種用料方案，方案一：用3塊/型鋼板，用5塊8型鋼板；方案二：用

2塊/型鋼板，用6塊8型鋼板.N型鋼板的面積比8型鋼板的面積大.設/型鋼板和8

型鋼板的面積分別為x和丹從省料角度考慮，應選哪種方案？

6.如圖，一塊原邊長分別為必b(a>l,b>l)的矩形，現將原矩形一邊增加1,另一邊減少

1，變化后的面積為$2或

a

4a

bS3

bSbS2

圖1圖2圖3

；(用含的式子表率)

(1)§=，S[=,S3=a,6

(2)當a=6時，變化后的面積會；(增加或減少)

⑶當a>b時，有兩種方案，第一種方案如圖2,第二種方案如圖3.請你比較這兩種方案,

確定哪一種方案變化后的面積比較大.

類型九、代數式的規律

1.如圖是一組有規律的圖案，它們是由邊長相等的等邊三角形組合而成，第1個圖案有4

個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形…照此規律擺下去：

AMkAvWE?…

第1個第2個第3個第4個

（1）照此規律，擺成第5個圖案需要個三角形；

⑵照此規律，擺成第〃個圖案需要個三角形（用含"的代數式表示）；

⑶照此規律，擺成第2021個圖案需要幾個三角形？

2.如圖所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的圖形中，第"個圖形由〃個.正方形組成.

圖形標號n=\n=2n=3〃二4n=5

火柴棒根數47

（1）按圖示規律填表：

⑵按照這種方式拼下去，則拼第"個圖形需要火柴棒的根數為二（含〃的代數式表示）

⑶按照這種方式拼下去，用（2）中的代數式求第2023個圖形需要的火柴棒根數.

3.已知有下列兩個代數式：①屋-的②伍+與（”6）.

（1）當。=7力=3時，代數式①的值是；代數式②的值是.

⑵當a=-2,b=-5時，代數式①的值是____________一；代數式②的值是_______

⑶觀察（1）和（2）中代數式的值，你發現代數式/--從和(a+b)(a-b)的關系為

⑷利用你發現的規律，求20232-2024?的值.

111_111111_1-

?1^2-~292^3-2-3?3^4-3-4?而二

⑴第5個式子是_____；第〃個式子是_____；

⑵從計算結果中找規律，利用規律計算：J-+J-+111

++,,,+

1x22x33x44x52023x202/

⑶計算：（由此拓展寫出具體過程）：上+'+上1

+,,,+.

1x33x55x799x101

5.觀察下列等式：

第1個等式：（2x1+3）2-22=3x7；

第2個等式：（2x2+3）2-42=3x11；

第3個等式：（2x3+3）2-62=3x15；

第4個等式：（2x4+3）2-82=3x19；

按照以上的規律，解決下列問題：

⑴寫出第5等式：；

（2）直接寫出你猜想的第"個等式，并證明該等式（用含字母〃的式子表示等式）.

6.觀察下列表格中兩個代數式及其相應的值，回答問題：

X-2-1012

3x-2-8m-214

—3x+1741n-5

（1）【初步感知】根據表中信息可知：m=；〃=.

（2）【歸納規律】表中3》-2值的變化規律是：x的值每增加1,3x-2的值就增加3；類似地,

3x+l值的變化規律是：x的值每增加1,-3x+l的值就.

⑶【計算驗證】當x的值從。增加到。+1時，猜想關于x的代數式h-1"為一次項的系

數，且左片0）的值會怎樣變化，并通過計算加以說明.

類型十、數軸動點求t

1.若/、B、C為數軸上三點，若點C到N的距離是點C到B的距離2倍，我們就稱點C

是口,8】的好點.例如，如圖1,點/表示的數為-1,點8表示的數為2.表示1的點C

到點/的距離是2,到點B的距離是1,那么點C是【/,的好點；又如，表示0的點。

到點/的距離是1,到點B的距離是2,那么點。就不是【/,8】的好點，但點。是［8,

A1的好點.

ADCB

iiiiiii?

-3-2-10123

圖1

MN

iiiiiiii?

-3-2-101234

圖2

AP<-------B

-----------------1--------------------------1---------------------------------------------------1_?

-20040

(圖3)

AP<-------B

-----------------1--------------------------1---------------------------------------------------1~A

-20040

(備用圖)

AP<-------B

----------1--------------11_>

-200---------------------------40

知識運用：如圖2,M、N為數軸上兩點，點〃所表示的數為-2,點N所表示的數為4.

(1)數_所表示的點是【M,N】的好點；

(2)如圖3,/、B為數軸上兩點，點/所表示的數為-20,點8所表示的數為40.現有一只

電子螞蟻P從點8出發，以2個單位每秒的速度向左運動，到達點/停止.當/為何值時，

P、/和B中恰有一個點為其余兩點的好點？

2.【閱讀理解】

若/,8,C為