河北省邯鄲市九縣區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四五總分評分一、選擇題1．?i(3?5i)=()A．?5?3i B．?5+3i C．5?3i D．5+3i2．記△ABC的內(nèi)角AB，C的對邊分別為a，b，c，若sinA=56，a=5，A．12 B．13 C．143．如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖為△A'B'CA．2 B．2 C．5 D．54．已知向量AB=(?1,2)，AC=(2,A．-16 B．16 C．23 D．5．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=2，則A．112 B．3 C．3226．若一扇形的圓心角為43π，面積為A．253π B．45π 7．如圖，在圓柱O'O中，AB，A'B'分別為圓O，圓O'的直徑，C為AB上靠近A的三等分點，C'為AA．24 B．22 C．778．老虎甲在A地發(fā)現(xiàn)野鹿乙在北偏東15°方向上的B地，立刻以103m/s的速度進(jìn)行追捕，與此同時，野鹿乙以102m/s的速度往北偏東A．60s B．80s C．100s D．120s二、多項選擇題9．若向量a=(3,11)，bA．a(chǎn)?b=?47C．(b+c10．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//CD，AB=3，AD=2CD=2，以AD所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則()A．該幾何體為棱臺 B．該幾何體的母線長為2C．該幾何體的表面積為(10+82)π 11．已知復(fù)數(shù)z的虛部大于0，且z2A．z=3+6iB．zC．|z+1|=2D．復(fù)數(shù)z?7i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限12．在三棱錐A?BCD中，△ABC和△BCD均是邊長為23的正三角形，二面角A?BC?D的平面角為2πA．BC⊥ADB．點A到平面BCD的距離為3C．三棱錐A?BCD外接球的球心到平面ABC的距離為2D．三棱錐A?BCD外接球的表面積為28π三、雙空題13．已知向量a=(?3,3)，|b|=1，且a，b的夾角為π6，則b在四、填空題14．已知4根細(xì)鋼絲的長度分別為2，3，4，6，用其中的3根細(xì)鋼絲圍成一個三角形，則該三角形最小內(nèi)角的余弦值可以是.15．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，E為棱BB16．在平行四邊形ABCD中，∠ABC=2π3，AB=3BC=6，BE=EC，DF五、解答題17．已知復(fù)數(shù)z=m（1）若z為實數(shù)，求m的值.（2）若z為純虛數(shù)，求m的值.18．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cosC=23（1）求△ABC外接圓的周長；（2）若2a=3b，求△ABC的周長.19．如圖，在三棱柱ABC?DEF中，G，O，H，M分別為DE，DF，AC，BC的中點，N為GC的中點.（1）證明：MN//平面ABED.（2）證明：平面GOH//平面BCFE.20．如圖，某海產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，AB，AC為直線海岸線，AB=10063m，（1）求B與C之間的直線距離.（2）在海面上有一點D（A，B，C，D在同一平面上），沿線段DB和DC修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，若DB和DC上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益，且∠BDC=π21．如圖1，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家里的地板是正六邊形木質(zhì)地板組合而成的，便臨摹出了家里地板的部分圖形，其平面圖如圖2所示，其中O為正六邊形ABCDEF的中心.（1）用AB，AF表示AO，AL；（2）若|AB|=2，求22．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，AD⊥平面ABP，AD=2AB=2BP=4，E為BC的中點.（1）證明：平面PED⊥平面PAD.（2）若點A到平面PED的距離為45

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：?i(3?5i)=5i故答案為：A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和乘方運算求解.2．【答案】B【解析】【解答】解：由正弦定理知：asinA=故答案為：B.【分析】利用正弦定理計算即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：依題意由直觀圖可得如下平面圖形如圖所示：因為A'所以AB=A'B所以BC=A故答案為：C.【分析】首先得到平面圖形，再根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出線段長度.4．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得BC=AC?因為B，C，D三點共線，所以BC∥則m+1=?15，得m=?16.故答案為：A.【分析】先求出BC和BD，根據(jù)B，C，D三點共線得到BC∥BD，進(jìn)而列出方程求解5．【答案】A【解析】【解答】解：因為cosB=所以sinB=則△ABC的面積為12故答案為：A.【分析】根據(jù)余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)該圓錐的母線長為l，底面半徑為R，高為h，則12×4π3l由4π3×3=2πR，

得R=2.h=3圓錐的體積為13故答案為：C.【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的面積為6π，假設(shè)該圓錐的母線長為l，底面半徑為R，求得母線長，再根據(jù)圓心角為437．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：連接CC'，AO'，因為C'O'∥CO，所以異面直線AC'與OC的夾角為因為AC'=AC2+C所以異面直線AC'與OC夾角的正切值為故答案為：D.【分析】根據(jù)圖像做輔助線，連接CC'，AO'，C'O'，AC，由C8．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意畫出圖象，

如圖所示：假設(shè)甲最快捕獲乙的地點是點C，甲能夠一次性捕獲乙的最短時間為t（單位：s），則AC=103t?m，由圖象得B=180利用余弦定理AC2=A得t2解方程得t=100或?100(2?3故答案為：C.【分析】解三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)題意畫圖，利用余弦定理解三角形即可得到結(jié)果.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A：由題意得a?b=?3?44=?47，A正確；

對于C：因為b+c=(0,?1)，

(b+對于D：因為a?c=(3?1,11?3)=(2故答案為：ABD.【分析】根據(jù)向量a=(3,11)，b10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：根據(jù)題意，直角梯形ABCD中以AD所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體為圓臺，故A選項不正確；對于B：該圓臺的母線長為BC=2對于C：該圓臺的表面積為π(1+9+1×22對于D：該圓臺的體積為13故答案為：BCD.【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)判斷為圓臺，用勾股定理計算BC，利用圓臺的表面積公式和體積公式即可計算即可得到答案.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：設(shè)z=a+bi（a，b∈R，且b>0），

則z=a-bi，

因為z2=6z?9，將z=a+bi，即a2?b2+2abi=6a?9?6bi，解得a=?3b=6，

所以z=?3+6i，z對于C：|z+1|=|?2+6i|=210對于D：因為z?7i=?3?i，

所以復(fù)數(shù)z?7i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，故D錯誤.故答案為：BC.【分析】根據(jù)z2=6z?9得到12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：如圖：

對于A：取BC的中點M，連接AM，DM.

∵AM⊥BC，DM⊥BC，

且AM∩DM=M，

所以BC⊥平面AMD；

根據(jù)線面垂直得性質(zhì)得：

BC⊥AD，故A正確；

對于B：過A作直線DM的垂線，垂足為N，

即AN⊥DM，

又BC⊥平面AMD，且AN?面AMD

所以BC⊥AN，

根據(jù)線面垂直的判定定定理得：

AN⊥平面BCD，

因為二面角A?BC?D的平面角為2π3，即∠AMD=2π3，

所以∠AMN=π3，

又因為△AMN為直角三角形，且AM=3，∠AMN=π3

所以AN=△ABC外接圓的圓心O1在AM上，AO1=2O1M=2，

△BCD外接圓的圓心O2在DM上，DO2=2O2M=2.

過O1，O2分別作平面ABC和平面BCD的垂線并相交于O點，

則O點為三棱錐外接球的球心.

連接OO1，OO2，OA，OM，OD，則三棱錐外接球的半徑為OA.

所以故答案為：ABD.【分析】根據(jù)題意畫出圖象，對于A利用線面垂直的性質(zhì)即可判斷出答案；對于B，利用線面垂直的判定定理得到AN⊥平面BCD，結(jié)合△AMN為直角三角形，利用勾股定理即可得到結(jié)果；對于CD分別求出△ABC，△BCD外心所在，利用△OO1M≌△OO2M結(jié)合13．【答案】(?34【解析】【解答】解：因為a=(?3,3)，所以，b在a上的投影向量的坐標(biāo)為：

|b而，|a→?故答案為：(?34【分析】直接利用投影向量的公式和向量的模的公式，即可求得本題答案.14．【答案】78或【解析】【解答】解：根據(jù)三角形三邊數(shù)量關(guān)系，

則用長度分別為2，3，4或3，4，6的3根細(xì)鋼絲圍成三角形，根據(jù)小邊對小角的性質(zhì)，利用余弦定理求最小角的余弦值：

16+9?42×3×4=7故答案為：78或【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及邊角關(guān)系，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.15．【答案】10+2【解析】【解答】解：

利用基本事實三做出過A1，E，C三點的截面：

1.延長A1E，交AB于點G，

2.延長GC，交AD于點H，

3.連接A1H，交DD1于點F，

4.連接A1FCE，即可得到過A1，E，C三點的截面，

即A1，E，C三點的截面為A1ECF；

又BE=3B1E，

則D1F=3FD，

故答案為：10+2【分析】畫出圖象，利用三線交點法（即基本事實三）做出截面，利用正方體的邊長求出截面A116．【答案】5【解析】【解答】解：因為在平行四邊形ABCD中∠ABC=2π3，則可以利用坐標(biāo)法求解，

以A為原點，AB所在直線為橫軸，

過C作CM⊥x軸于M點，

由題意可得CB=2,∠CBM=π3則B(6,0)，D(1,3)，C(7得AE=(132所以cos∠BGE=故答案為：543【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積公式計算即可.17．【答案】（1）解：由題意得5m2?20=0，得（2）解：由題意得m2?m?2=(m?2)(m+1)=05m2【解析】【分析】（1）根據(jù)z為實數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為0，即可求出結(jié)果.（2）根據(jù)復(fù)數(shù)表示純虛數(shù)的，則z的實部為0，虛部不為0列方程或不等式求參數(shù)m即可.18．【答案】（1）解：由題意得0<C<π，所以sinC=設(shè)△ABC外接的半徑為R，則2R=csinC故△ABC外接圓的周長為2πR=3π.（2）解：由余弦定理c2=a由2a=3b，得94b2所以b=2，a=3.故△ABC的周長為5+5【解析】【分析】（1）由題意得sinC=53，結(jié)合c=5，利用由正弦定理（2）由余弦定理可得a2+b2?43ab=5，結(jié)合19．【答案】（1）證明：如圖，連接BG.∵M(jìn)為BC的中點，N為GC的中點，∴MN//BG.∵BG?平面ABED，MN?平面ABED，∴MN//平面ABED.（2）證明：∵G，O分別為DE，DF的中點，∴GO∥EF.∵EF?平面BCFE，GO?平面BCFE，∴GO∥平面BCFE.∵OF∥HC且OF=HC，∴四邊形OFCH是平行四邊形，

∴OH∥FC.∵FC?平面BCFE，OH?平面BCFE，∴OH∥平面BCFE.又GO∩OH=O，∴平面GOH∥平面BCFE【解析】【分析】（1）利用三角形中位線求得MN//BG，再根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明.（2）先把面面平行性質(zhì)求得GO∥平面BCFE以及OH∥平面BCFE，再利用平面與平面平行的判定定理即可證明出結(jié)果.20．【答案】（1）解：在△ABC中，∠ACB=π?2π由正弦定理BCsin得BC=AB故B與C之間的直線距離為100m.（2）解：在△BCD中，由余弦定理BC即10000=(BD+CD)得10000+3BD?CD=(BD+CD)14(BD+CD)2當(dāng)且僅當(dāng)BD=CD=100m時，等號成立，故這兩段網(wǎng)箱獲得的最高經(jīng)濟(jì)總收益為200×30=6000元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先求∠ACB的大小，再利用正弦定理BCsin（2）需要獲得的最高經(jīng)濟(jì)總收益，轉(zhuǎn)化成求這兩段網(wǎng)箱和的最大長度，即求BD+CD的最大值，所以先利用余弦定理求出10000=(BD+CD)21．【答案】（1）解：如圖所示：連接OB，OF，由正六邊形性質(zhì)，得四邊形ABOF為平行四邊形，所以AO=AL==2AF（2）解：由正六邊形性質(zhì)，得∠BAF=2π因為ID=所以AL?=6AB【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，畫出向量，結(jié)合平面向量加減法以及線性運算求解；（2）因為正六邊形性質(zhì)，得夾角大小∠BAF=2π22．【答案】（1）證明：如圖，取PD的中點F，PA的中點G，連接EF，F(xiàn)G，BG.∵AD⊥平面ABP，BG?平面ABP，∴AD⊥BG.∵AB=BP，∴BG⊥AP.∵AP，AD?平面PAD，AP∩AD=A，∴BG⊥平面PAD∵FG//AD，F(xiàn)G=12AD，BE//AD∴FG//BE，F(xiàn)G=BE，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴EF//BG，∴EF⊥平面PAD，又EF?平面PED，∴平面PED⊥平面PAD.（2）解：（2）取AB的中點H，連接PH，AC.∵BC⊥平面ABP，BP?平面ABP，∴BC⊥BP，∴PE