2024-2025學年河北省邯鄲市高二上學期第二次月考（12月）

數學檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.直線2x-l=0的斜率為（

A.不存在

2.在空間四邊形P/8C中，PA+AB-CB^

A.PCB.PAc.AB

3.已知數列妻,加,舊,3夜，后，…，則5及是這個數列的（）

A.第11項

B.第12項

C.第13項

D.第14項

4.兩平行直線4』-2了一麗=04：2x-3廂=0之間的距離為（）

572

A.^5B.3C.2D.2亞

5.已知拋物線C：x2=16y的焦點為b，點為拋物線C上一點，若

MF3

\\=y0>則上|=（）

A.4B.4^2C.8D.8及

6.如圖，長為a（。是正常數）的線段的兩個端點A,2分別在互相垂直的兩條直

線上滑動，點初是線段上靠近/的三等分點，則下列說法正確的為（）

A.點M的軌跡是圓B.點M的軌跡是橢圓且離心率為2

C.點M的軌跡是橢圓且離心率大小與。有關D.點M的軌跡不能確定

7.如圖，。。的半徑等于2,弦平行于x軸，將劣弧8c沿弦對稱，恰好經過

原點O,此時直線了=一無+加與這兩段弧有4個交點，則m的取值可能是（）

B|C

54

A.7B.拒一，C.5D.2V2-2

8.在正四棱柱/5⑺-44GA中，蝎=2哈4,點E在線段0G上，且CG=4CE,

點F為BD中點,則點'到直線EF的距離（）

旦V74

A.3B.2c.2-D.亍

二、多選題（本大題共3小題）

9.設等差數列｛""｝的前〃項和為S，.若$3=°,%=4,則（）

A,凡=4"一8B.%,二2〃-4

C.S.=2〃2-6”口.Sn=n2-3n

10.如圖，拋物線C：V=2px（p>0）的焦點為

F,過拋物線C上一點P（點P在第

一象限）作準線/的垂線，垂足為H,A/酬為邊長為8的等邊三角形.則（）

A.P=2B.P=4

C.點P的坐標為（66WD.點P的坐標為（海）

已知雙曲線：2x2=1則（

ii.cy~~,）

A.雙曲線c也叫等軸雙曲線

B.雙曲線C的一個焦點尸到一條漸近線的距離為V2

C.若過原點的直線/與雙曲線C相交，則直線/的傾斜角的取值范圍為

D.直線/過雙曲線C的右焦點F,且直線/與雙曲線的一條漸近線平行，直線/

與雙曲線C相交于點，，與雙曲線C的另一條漸近線相交點于B,則點/是線段

BF的中點

三、填空題(本大題共3小題)

12.在平面直角坐標系xS中，圓°工+/=2被直線尸x+a截得的弦長2,則實數

a的值為.

Sn_7n?3__

13.設兩個等差數列｛"/和色｝的前"項和分別為S"和北，且北9/7+4,則仇

22

C:\+4=l(a>6>0)

14.已知橢圓ab的左，右焦點分別為呼丹，過耳且傾斜角為

6。°的直線/與C交于尸，。兩點(點尸在第一象限)，若3PFz=2FQ,則。的離心

率是.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知數列｛%｝是等差數列，且％=_25,2%+%=_50.

(1)求的通項公式；

(2)若數列｛“"｝的前，項和為S",求'的最小值.

16.已知半徑為2的圓C的圓心在射線y=x(x>0)上，點在圓C上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)求過點8(T，0)且與圓C相切的直線方程.

17.已知拋物線c：、=2px(P>0)過點

(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；

(2)過該拋物線的焦點，作傾斜角為60。的直線，交拋物線于A,2兩點，求線段42

的長度.

18.如圖，在四棱錐尸—N8C。中，底面四邊形N8C。為直角梯形，

AB//CD,ABLBC,AB=2CD=2BC,O為BD的中點，

BD=4,PB=PC=PD=4^

(1)證明：0尸,平面4sCD；

(2)求平面尸/。與平面必C的夾角的余弦值.

xy1,7八、

—7^-=1(Q>6>0)T-.

19.已知橢圓C：/b2在左、右焦點分別為4，％,上頂點為點A,

若根月片是面積為的等邊三角形.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知/，N是橢圓C上的兩點，且|"N|=46，求使AOMN的面積最大時直線

九W的方程(。為坐標原點).

答案

1.【正確答案】A

1

X=-

【詳解】2龍-1=0,即2,則其斜率不存在，

故選：A.

2.【正確答案】A

【詳解】PA+^B-CB=^B~^B=^B+^C=^C,

故選：A.

3.【正確答案】B

【詳解】由數列的前幾項觀察歸納，知根號內的被開方數是以6為首項，4為公差的

等差數列，所以通項公式4=j4〃+2,當〃=12時，/2=病=5五.

4.【正確答案】C

【詳解】由題意'J即為直線/|：2x-4y_2&J=0,72：2x-4y+3&U=0,

|3函?2而)5及

所以兩平行直線之間的距離為聲語2.

故選：C

5.【正確答案】B

【分析】

根據拋物線定義得加‘k％+4=3%,求出盟,再分析求解即可.

【詳解】

根據拋物線定義得：眼目=%+4=3/，解得為=2,所以"16%=32,

所以闖=4后.

故選：B.

6.【正確答案】B

【詳解】設M(x,y),由于點M是線段N2上靠近/的三等分點，

--1―?

設)(〃?,0),8(0,〃)，則

(x—加，y)=g(一加，及)故加=gx,〃=3y

2

9x22

由|/即=">°,故機2+/=/,即4+9)——a,

9x29y2

------1-------I1

整理得到4//，點"的軌跡是焦點在橫軸上的橢圓，

故離心率為V9

故選：B

7.【正確答案】C

【詳解】解：因為圓°的劣弧8C關于弦8c對稱的圖形恰好經過坐標原點0,

所以2(-省,-1),C(V3,-1),

如圖所示，當直線過C(g,-1)時，

將C(G,-1)代入y=-x+m中，

故T=-G+W,

解得心=T+G,

由對稱性可知，圓弧50c對應的圓的圓心在>軸上，設為7(0,。,

則\OT\=\TC|,即A/6W=7(0-V3)2+(?+l)2,

解得"-2,且劣弧8c對應的圓的半徑為2,

故劣弧8C對應的圓方程為一+8+2)2=4,

|-2一川匚2

當直線/與劣弧5c相切時，由V2,

角牟得加=2亞一2(加=-2行一2舍),

結合圖形可知，當T+6<加<2收-2時，直線V=f+加與兩段弧有4個交點，可排

除B、D,

—<-l+V3

由7,可排除A,

-l+V3<-<2V2-2一

由5,故比的取值可能是5.

故選：C.

8.【正確答案】A

【詳解】

連接即1,以〃為原點，以℃。2所在直線為x，》，z軸建立空間直角坐標系,

由題意可得〃（°,°,4），￡（°，2，1），小，1，°）,

則西=（0,-2,3）,麗=（1,一1,一1）,

9.【正確答案】BD

fS3=3?j+3（7=0J%=-2

【詳解】由題意，1%=卬+3"=4,解得[d=2,

s-2"I2〃（"T）_”23"

所以。“=_2+（"_1>2=2〃-4,"2

故選：BD

10.【正確答案】BD

【分析】根據題意結合拋物線的定義運算求解.

尸化,o]x=~~

【詳解】由題意可得：拋物線C的焦點為12'人準線為"2,

設拋物線C的準線與x軸的交點為Q,

在RtAHFQ中,則NHFQ=ZPHF=60°（\QF\=P,

\HF\=―—=2p=8

可得cosZHFQ,解得P=4,故A錯誤，B正確；

..匹|=|的tan?0=?=4百,則點尸的橫坐標為附一園=8-2=6,且點尸在第

一象限，

故點P的坐標為（6'48），故C錯誤，D正確.

故選：BD.

11.【正確答案】ACD

【詳解】對于A,由雙曲線C：/一/=一1,可得/-/=：!,貝°.=6=1,可知A正

確；

對于B,由雙曲線C的漸近線方程為y=±x,右焦點的坐標為S。）,可求得焦點F

ZT-----------------|

到直線V=x的距離為V2，故B錯誤；

對于c,由雙曲線c的漸近線方程為＞=±x,若直線/與雙曲線相交，只需要直線/

的斜率*e（Tl）,貝utanae（Tl）,可求得直線/的傾斜角的取值范圍為

L刈I4人故c正確；

對于D,如下圖，由雙曲線c的漸近線方程為y=±七直線/與雙曲線的一條漸近線平

行，設"）'=一6一逝），可知△08尸為等腰直角三角形，|0司=拒，可知點8的橫坐

故選：ACD.

12.【正確答案】土血

【分析】由圓的弦長公式轉化為點到直線的距離即可求解.

①=1

【詳解】因為廠=/，所以圓心°到直線的距離"=7^=1,所以Vi+1,解得

a=±5/2

故土0

13.【正確答案】7

(%+%)，5

/_2%_2_工_7x5_35_5

區一西一(.+4)-5-7-9x5+4-49-7

【詳解】由題意可得2

故5

2

14.【正確答案】5/0,4

【詳解】如圖，連結，耳，°片，\PF2\=2t,\QF2\=3t則|尸用=2"2仆0周=2”3/,

在以耳此中,由余弦定理，得陷「=熙『+|耳可-2附|M閭cosl20。,

即(2〃-2。2=(2/)2+4c2+2c2c,整理得：a2-c2=tc+2ta,

在Ag中,由余弦定理，得幽「=|四|■內對-2|0閶Mpcos60。,

a2-c2=r3ta——3tc

整理得：2

c+2a=3a--ca=-c

則2,即2,

_2

所以C的離心率6-5.

2

故M

15.［正確答案］⑴6=5”35

(2)-105

J%=-30

【分析】(1)根據等差數列通項公式列方程，解方程得到1"=5,然后寫通項即可;

S——n--n

（2）根據等差數列求和公式得到22,然后借助二次函數的性質求最值即可

]%+d=-25Jq=-30

【詳解】（1）設口｝的公差為d,則12（q+21）+%+4d=-50,解得fd=5

所以%=q+GT”=5〃_35；

（2）由（1）知"1=-3°,d=5,得

九（一30+5〃一35）〃（5〃一65）〃565

3“=-------------=----------------------=------------=—n2--n

22222.

當"=6或"=7時，S，有最小值-105.

16.【正確答案】（l）（xT>+（yT）2=4

（2）%=-1或3%+4?+3=0

【詳解】（1）由圓c的圓心在直線了=無上，可設圓心c的坐標為（私加）（加＞°）,

又圓C的半徑為2,點“（T，l）在圓C上，有|/。|=血”（-1/+（加一1）2=2,

解得加=-1（舍去）或機=1,

故圓C的標準方程為（x-l）2+（y-l）2=4.

（2）①當切線的斜率不存在時，直線x=-l與圓C相切；

②當切線的斜率存在時，設切線的方程為y=Mx+l）,整理為依-了+后=0,

由題知〃+1，解得4,

33八

—x~y—=00/1cA

可得切線方程為4-4,整理為3x+4y+3=0,

由①②知，過點8（T°）且與圓C相切的直線方程為x=-l或3x+4y+3=0

17.【正確答案】（l）V=4x,準線方程為x=-l

16

⑵3

【詳解】⑴J=2/（p>0）過點/（1,2）,

...2p=4,解得2=2,

???拋物線c：y2=4x,準線方程為x=-l.

（2）由（1）知，拋物線焦點為0°）,

設直線/8：昨百6-1）,/（占,必），8（x2，%）,

y=V3（x-l）_io

由U=4x,得：3X2-10X+3=0,則-3,

|/卻=占+9+0=；+2=/

則33.

18.【正確答案】見詳解

【詳解】（1）證明:如圖，連接℃,

在R18CZ）中，由AD=4可得OC=2,

PB=PD=5OB=OD=2

OP±BD,OP=個PB?-OB?=V5^4=1

OP=l,OC=2,PC=區PC-=OP2+OC2

:.OP±OC

?.?OP±BDQP±OC,5。,OCu平面ABCD,BDcOC=O

OP_L平面ABCD.

(2)解:由(1)和等腰三角形BCD可知，℃°瓦00兩兩垂直，以°為坐標原點，

向量°民℃,°尸方向分別為x，%z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

可得0(0,0,0),5(2,0,0),￡)(-2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,1),

又由皮=(2,2,0),有益=2皮=(4,4,0),可得點力的坐標為(-2,-4,0),

設平面必C的法向量為m=(x,y,z\

m-BC=-2x+2y=0,

由前=(—2,2,0),麗=(—2,0,1),有m-BP=-2x+z=0,

取x=l，y=l，z=2,可得平面P8C的一個法向量為/”=(1,1,2)

設平面尸/。的法向量為〃=S，6，c),

n-DP=2Q+c=0,

——{—

由。尸=(2,0,1),ND=(0,4,0),有n-AD=4b=0,取a=1/=0,c=—2,可得平面

的一個法向量為〃=(1，0，-2).

由陽?〃=-3,|陽|=6,|"|=6，可得平面R4D與平面PBC的夾角的余弦值為

|-3|_V30

75x76-10

22

土+匕=1

19.【正確答案】解(1)1612一.(2)了=6或k一百.

be=4@

<

【詳解】(1)由人4片鳥是面積為4g的等邊三角形，得〔6=百°,

所以c=2,b=26,從而”4,

二1

所以橢圓C的標準