高一開學考試數學試卷一、單選題（每題5分）1.下列敘述中正確的個數是①若，則；②若，則與的方向相同或相反；③若，，則；④對任一向量，是一個單位向量A.0 B.1 C.2 D.32.已知，，則（）A. B. C. D.3.已知函數，則函數的單調遞增區間為A. B.C D.4.一個扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是（）弧度A.2 B.3 C.4 D.55.已知集合，若，則實數a取值集合為（）A. B. C. D.6.若冪函數在單調遞減，則（）A.8 B.3 C.-1 D.7.若函數，則（）A.-2 B.-1 C.0 D.28.已知，則不等式等價于（）A.或 B.或C.或 D.二、多選題（每題6分，部分選對按比例得部分分，選錯得0分）9.下列運算正確的是（）A. B.C. D.10.（多選）如果由函數的圖象變換得到函數的圖象，那么下列變換正確的是（）A.圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍B.圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半C.向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的一半，縱坐標不變D.將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的一半，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度11.關于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（）A B.0 C.1 D.5三、填空題（每題5分）12.化簡_________．13.若指數函數最大值與最小值之和等于6，則______．14.若f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3個不同的根，則實數k的取值范圍是______．四、解答題（13+15+15+17+17分）15.（1）設，求的值；（2）若，求的值．16已知且，求：（1）；（2）．17.已知，，．（1）求與的夾角；（2）若，且，求及．18.設函數，（1）已知，函數是偶函數，求的值；（2）設，求的單調遞減區間.19.已知函數的表達式為.（1）若，求函數的值域；（2）當時，求函數的最小值；（3）對于（2）中的函數，是否存在實數，同時滿足下列兩個條件：（i）；（ii）當的定義域為，其值域為；若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

高一開學考試數學試卷一、單選題（每題5分）1.下列敘述中正確的個數是①若，則；②若，則與的方向相同或相反；③若，，則；④對任一向量，是一個單位向量A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用向量概念判斷①；共線向量判斷②③，零向量判斷④【詳解】向量不能比較大小，①錯誤；由于零向量與任一向量共線，且零向量的方向是任意的，故②錯誤；對于③，若為零向量，與可能不是共線向量，故③錯誤；對于④，當時，無意義，故④錯誤故選：A【點睛】本題考查向量概念，共線向量及性質，注意零向量考查是易錯題2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得的范圍，又，可得的值，根據，利用兩角差的余弦公式，展開即可求解.【詳解】解：因為所以，又，所以所以故選：D【點睛】本題考查同角三角函數基本關系，兩角差的余弦公式，考查了配湊求角的思想，是常見的湊角形式，考查分析理解，化簡求值的能力，屬中檔題.3.已知函數，則函數的單調遞增區間為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先用兩角差的正弦公式和降冪公式，再用輔助角公式把函數解析式化成正弦型函數解析式形式，最后利用正弦型函數的單調性性質求出單調遞增區間即可.【詳解】因為，所以函數的單調遞增區間是.故選C.【點睛】本題考查了兩角差的正弦公式和降冪公式以及輔助角公式，考查了正弦型函數的單調性.4.一個扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是（）弧度A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】結合扇形面積公式及弧長公式可求，，然后結合扇形圓心角公式可求.【詳解】設扇形半徑r，弧長l，則，解得，，所以圓心角為，故選：A.5.已知集合，若，則實數a的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據一元二次方程解的情況，結合子集關系，即可分類討論求解.【詳解】由于，故時，則且，若中只有一個元素，①中的方程為一元二次方程，則，此時,不合題意，舍去；②中的方程為一元一次方程，則，則，則，此時不符合，舍去，當時，則符合題意，綜上可知：或，故選：D.6.若冪函數在單調遞減，則（）A.8 B.3 C.-1 D.【答案】D【解析】【分析】根據題意得出關于的等式和不等式，解出即可.【詳解】∵是冪函數，∴解得或又函數在單調遞減，則即有冪函數，∴故選：D.7.若函數，則（）A.-2 B.-1 C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】根據條件結合對數的運算法則得到，即可得到結論．【詳解】∵，∴函數的定義域為R，，故.故選：A8.已知，則不等式等價于（）A.或 B.或C.或 D.【答案】C【解析】【分析】由分式不等式去分母，轉化為二次不等式直接求解得出答案.【詳解】因為，所以，由可得或，由可得或，求交集可得，或故選：C【點睛】本題主要考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，屬于中檔題.二、多選題（每題6分，部分選對按比例得部分分，選錯得0分）9.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據對數的運算法則及對數恒等式,換底公式即可選出選項.【詳解】解:由題,關于選項A:,故選項A正確;根據對數恒等式可知,選項B正確;關于選項C:,故選項C錯誤;根據換底公式可得:故選項D正確.故選:ABD10.（多選）如果由函數的圖象變換得到函數的圖象，那么下列變換正確的是（）A.圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍B.圖象上所有點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半C.向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的一半，縱坐標不變D.將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的一半，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度【答案】CD【解析】【分析】根據三角函數圖像的變換關系求解即可.【詳解】函數,函數,函數圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到的圖象，故A不正確；函數圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半，得到的圖象，故B不正確；將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，再將所有點的橫坐標縮短到原來的一半，縱坐標不變，得到函數的圖象，故C正確；將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的一半，縱坐標不變，得到函數的圖象，再將圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，故D正確；故選:CD.11.關于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（）A. B.0 C.1 D.5【答案】ABD【解析】【分析】由方程有意義可得且，并將方程化為；根據方程解集中僅含有一個元素可分成三種情況，由此可解得所有可能的值.【詳解】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一個元素，則有以下三種情況：①方程有且僅有一個不為和的解，，解得：，此時的解為，滿足題意；②方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；③方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；綜上所述：或或.故選：ABD三、填空題（每題5分）12.化簡_________．【答案】1【解析】【分析】先將根式轉化為分數指數冪，然后根據分數指數冪的運算性質即可求解.【詳解】解：原式，故答案為：.13.若指數函數的最大值與最小值之和等于6，則______．【答案】2【解析】【分析】根據指數函數的單調性即可求解.【詳解】因為是嚴格單調函數，所以，解得（舍去）或.

故答案為：2.14.若f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3個不同的根，則實數k的取值范圍是______．【答案】[-，-）∪（，]【解析】【分析】利用周期與對稱性得出f（x）的函數圖象，根據交點個數列出不等式得出k的范圍．【詳解】∵當x＞2時，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期為1的函數，作出y=f（x）的函數圖象如下：∵方程f（x）=kx恰有3個不同的根，∴y=f（x）與y=kx有三個交點，若k＞0，則若k＜0，由對稱性可知.故答案為[-，-）∪（，].【點睛】本題考查了函數零點與函數圖象的關系，函數周期與奇偶性的應用，方程根的問題常轉化為函數圖象的交點問題，屬于中檔題．四、解答題（13+15+15+17+17分）15.（1）設，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）將指數式轉化為對數式，代入目標式，利用對數的運算性質計算即可；（2）求出，代入目標式，利用對數的運算性質計算即可.【詳解】（1）由已知得，，所以．（2）方法一因為，所以，所以．方法二因為，所以，所以，所以．16.已知且，求：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】先由同角的平方關系得到的值，從而得到，結合萬能公式，分別代入（1）（2）中計算即可.【小問1詳解】因為，所以，于是．設．．【小問2詳解】

．17.已知，，．（1）求與的夾角；（2）若，且，求及．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用向量數量積運算律和數量積定義即可求出；（2）根據向量數量積運算律得，再平方計算即可.【小問1詳解】，所以，又，所以.【小問2詳解】由題意知，解得，，，所以．18.設函數，（1）已知，函數是偶函數，求的值；（2）設，求的單調遞減區間.【答案】（1）或；（2）減區間為，【解析】【分析】（1）根據為偶函數得到，由范圍可確定最終取值；（2）利用二倍角公式和輔助角公式可將函數整理為，令，解不等式求得范圍即為所求單調遞減區間.【詳解】為偶函數，又或（2）由題意得：令，解得：的單調遞減區間為，【點睛】本題考查根據奇偶性求解參數值、正弦型函數單調區間的求解問題；關鍵是能夠利用二倍角公式和輔助角公式將所求函數化簡為正弦型函數的形式，進而利用整體對應的方式來求解單調區間.19.已知函數的表達式為.（1）若，求函數的值域；（2）當時，求函數的最小值；（3）對于（2）中的函數，是否存在實數，同時滿足下列兩個條件：（i）；（ii）當的定義域為，其值域為；若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由，利用的范圍可得的范圍，進而可得答案；（2）