數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：人教B版必修第一冊占40%，必修第二冊第四、五章占40%，第六章到6.1.3占20%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合B，再由交集的定義求解即可.【詳解】因為，，所以．故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,即可求解.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：C．3.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加減運算法則得到答案.【詳解】．故選：B4.若函數是冪函數，且，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】設出冪函數解析式，根據條件得到方程，求出，代入求值.【詳解】設，由得，解得，所以，所以．故選：C5.在如圖所示的方格紙中，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在方格紙上作出，可得結論.【詳解】如圖，根據平行四邊形法則，可知，而.故選：B．6.有一名同學參加投籃訓練，一共進行了4組投籃，每組投籃10次，得到每組投籃的投中次數分別為5，6，8，9，則這些數據的75%分位數和方差分別為（）A.8.5和2.5 B.8和2.5 C.8.5和1.5 D.8和1.5【答案】A【解析】【分析】利用百分位數的定義計算即可求得75%分位數，利用方差的定義計算可求方差.【詳解】因為，所以這些數據的75%分位數為．因為平均數為，所以方差為．故選：A.7.在四邊形中，已知，，則四邊形一定是（）A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形【答案】D【解析】【分析】由已知可得四邊形是平行四邊形，進而可得，可得四邊形是菱形．【詳解】因為，即，所以四邊形是平行四邊形．因為，，所以是等邊三角形，則，所以四邊形是菱形．故選：D.8.已知正數x，y滿足，則的最大值為（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】A【解析】【分析】利用，可求的最大值.【詳解】因為，所以，當且僅當時，等號成立，即的最大值為8．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列結論正確的是（）A.速度和力是矢量，物體的質量是標量B.若，，是三個頂點，則C.零向量的相反向量是零向量D.若非零向量滿足，，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項，根據矢量和質量的定義得到A正確；B選項，利用向量加法法則得到B錯誤；C選項，根據零向量和相反向量的概念得到C正確；D選項，根據平行向量的概念得到D正確.【詳解】對于A，在物理中，速度和力是矢量，物體的質量是標量，A正確；對于B，，是零向量，不是0，B錯誤；對于C，零向量的相反向量是零向量，C正確；對于D，對于非零向量，，表示與的方向相同或相反，與的方向相同或相反，所以與的方向相同或相反，D正確．故選：ACD10.設函數，其中表示，，中數值大小排第二的數，則下列結論正確的是（）A. B.的值域為C.的圖象關于軸對稱 D.在上單調遞增【答案】ACD【解析】【分析】畫出，，的圖象，結合圖象逐個判斷即可；【詳解】在同一坐標系中作出函數，，的圖象，所以對于A，，故A正確；對于B，由圖可知圖象的最低點的縱坐標為4，所以的值域為，故B錯誤；對于C，由的解析式可知：當時，，由的解析式可知：，當時，，由解析式可知：，當時，，由的解析式可知：，當時，，由的解析式可知：，當時，，由的解析式可知：，當時，，由的解析式可知：，即為偶函數，故C正確；對于D，由圖可知在上的解析式為，則在上單調遞增，故D正確．故選：ACD11.對于任意兩個正數，，記曲線與直線，，軸圍成的曲邊梯形的面積為，約定，，德國數學家萊布尼茨（Leibniz）發現，下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由定義得到，進而逐項判斷即可；【詳解】由約定知，所以．當時，；當時，；當時，；當或時，．綜上，．對于A，因為，所以S13,1對于B，因為，故B正確；對于C，如圖，因為陰影部分的面積小于梯形的面積，所以，故C正確．對于D，取，，，故D錯誤．故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量滿足，，則的最小值為__________，當且僅當與的方向__________時取得最小值．【答案】①6②.相反【解析】【分析】利用向量不等式得到，與的方向相反時，等號成立，得到答案.【詳解】，當且僅當與的方向相反時等號成立，取得最小值．故答案為：6，相反13.已知二次函數的兩個零點為，則__________【答案】【解析】【分析】由二次函數根與系數的性質求解即可.【詳解】因為二次函數的兩個零點為，所以，，解得，，所以．故答案為：.14.已知向量，，，是非零向量，且，，則的面積為__________．【答案】6【解析】【分析】由已知可求得，進而得，，可求面積.【詳解】因為，，所以．由，，得，解得，從而，，故是直角三角形，為直角頂點，則該三角形的面積為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）求的值；（2）已知正數，滿足，證明：．【答案】（1）7；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由對數的運算規則和指數冪的運算即可得出答案.（2）由題意得，結合基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）解：．（2）證明：因為，所以，所以．因為，，所以，當且僅當時，等號成立，所以，當且僅當，時，等號成立．16.已知關于的方程有兩個不同的實數根，集合，．（1）是否存在實數，使得“”是“”的充要條件?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍．【答案】（1）存在，-8（2）．【解析】【分析】（1）假設存在，即，根據根與系數的關系求解即可；（2）由題意轉化為是的真子集，根據集合的包含關系列出不等式組求解即可.【小問1詳解】假設存在實數，使得“”是“”的充要條件，因為“”是“”的充要條件，所以，所以是的兩個實數根，所以，，所以．【小問2詳解】因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，又因為二次函數圖象的對稱軸方程為，所以f解得，即的取值范圍為．17.為了加強對學生動手操作能力的培養，將素質教育落到實處，某校開展了剪紙、刺繡、草藝、泥塑民間工藝活動，學校要求每名學生至少參加其中一項活動．為了解上述活動的開展情況，現從高一、高二、高三學生中各隨機選取了100名學生作為樣本進行調查，得到如下數據：工藝活動編號1234工藝活動名稱剪紙刺繡草藝泥塑高一學生參加活動人數50303060高二學生參加活動人數40258050高三學生參加活動人數40104040以頻率作為概率．（1）從樣本中隨機選取了1名學生，估計這名學生參加了剪紙活動的概率；（2）從高一、高二、高三學生樣本中各隨機選取了1名學生，估計這3名學生中恰有2人參加了剪紙活動的概率；（3）為了進一步了解不同年級學生對以上各項工藝活動的喜愛程度，現從高一、高二、高三學生樣本中各隨機選取了1名學生進行調查，設這3名學生均參加了第項工藝活動的概率為，求的最大值．【答案】（1）（2）0.32（3）0.12．【解析】【分析】（1）由古典概率的定義求解即可；（2）由相互獨立事件的乘法公式求解即可；（3）由相互獨立事件的乘法公式求出，比較大小即可得出答案.【小問1詳解】樣本中學生共有300人，參加了剪紙活動的學生人數為，所以這名學生參加了剪紙活動的概率為．【小問2詳解】從高一、高二、高三學生樣本中各隨機選取了1名學生，估計這3名學生中恰有2人參加了剪紙活動的概率為:．【小問3詳解】由題意可知，，，，，故最大，且為0.12．18.已知且，函數的圖象恒過點．（1）若，求的值；（2）判斷函數的奇偶性；（3）設函數，若關于的方程恰有唯一解，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）奇函數，理由見解析；（3）．【解析】【分析】（1）根據所過定點求出，又，求出；（2）先得到，得到，結合定義域關于原點對稱，得到函數的奇偶性；（3）由得到，由得到，解得或，根據恰有唯一解，得到不等式，求出答案.【小問1詳解】因為函數的圖象恒過點，所以，即，解得，所以，即．由，解得．【小問2詳解】為奇函數，理由如下：由（1）知，所以，所以，又的定義域為，關于原點對稱，所以是奇函數．【小問3詳解】由，得，所以由，得，解得．由，整理得，解得或．因為關于的方程恰有唯一解，所以或解得或，即實數的取值范圍為．19.已知函數（或）是定義在上的偶函數，）．（1）求的值，并判斷函數在上的單調性（不要求證明）；（2）設函數，，若對任意，存在，使得成立，求實數的取值范圍．【答案】（1），在上單調遞增．（2）【解析】【分析】（1）由題意可得是定義在上的奇函數，由時，，可求得，驗證即可；（2）由題意可得，分類討論求得，進而可求得實數取值范圍.【小問1詳解】因為函數（