4.2

一元線性回歸模型

第4章學習目標1.結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義.2.了解最小二乘法的原理，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相關的統計軟件.核心素養：數據分析、數學建模、數學運算新知學習概念解析一、回歸直線方程與回歸分析1.回歸直線方程找出與散點圖中各點散布趨勢相似的直線，使各點經過或充分靠近該直線，這樣所得到的直線就可以比較科學地反映實際問題中兩個變量之間的相關關系.這條直線叫作回歸直線，這條直線的方程叫作回歸直線方程.2.回歸分析由散點圖求出回歸直線并進行統計推斷的過程叫作回歸分析.在回歸分析中，被預測或被解釋的變量稱為因變量，用y表示.用來預測或解釋因變量的變量稱為自變量，用x表示.對于具有相關關系的兩個變量，可以用一個線性方程來表示它們之間的關系.3.一元線性回歸方程如果具有相關關系的兩個變量x，y可用方程y＝a+bx（1）

來近似刻畫，則稱（1）式為y關于x的一元線性回歸方程，其中a，b稱為回歸系數.

水稻產量/kg320330360410460470480施肥量/kg15202530354045例

下面是水稻產量與施肥量的一組統計數據：（1）將上表中的數據制成散點圖.（2）你能從散點圖中發現施肥量與水稻產量近似有什么關系嗎？水稻產量會一直隨施肥量增加而增加嗎？（3）若近似呈線性關系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性關系.解

（1）以x軸表示施肥量，y軸表示水稻產量，

可得散點圖如圖所示.（2）從圖中可以發現施肥量與水稻產量近似呈線性關系，當施肥量由小到大變化時，水稻產量大致由小變大.但水稻產量只是在一定范圍內隨著施肥量的增加而大致增加.（3）近似直線如圖所示.二.最小二乘法概念解析

【知識拓展】最小二乘法（又稱最小平方法）通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配.在統計學中，利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，并使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和最小.概念解析

x14569y2035506580

三.非線性回歸分析概念解析在實際問題中，如果從數據的散點圖可以看出兩個變量之間有明顯的非線性關系，就需要選擇一個合適的曲線方程，按照這個曲線方程對原始數據進行代換.目的是把變量間的非線性關系轉化近似的線性關系，然后用建立線性回歸方程的方法確定未知參數.解決非線性回歸問題的方法及步驟：（1）確定變量：確定解釋變量x，預報變量y；（2）畫散點圖：通過觀察散點圖并與學過的函數（冪函數、指數函數、對數函數、二次函數）做比較，選取擬合效果好的函數模型；（3）變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題；（4）分析擬合效果：通過計算相關系數等來判斷擬合效果；（5）寫出非線性回歸方程.例

為了研究某種細菌隨時間x變化時，繁殖個數y的變化，收集數據如下：（1）用天數x作解釋變量，繁殖個數y作預報變量，作出這些數據的散點圖.（2）描述解釋變量x與預報變量y之間的關系.天數x/天123456繁殖個數y/個612254995190

x123456z1.792.483.223.894.555.25一、求線性回歸方程例1

一個車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，測得數據如下：請判斷其是否具有線性相關關系，如果具有線性相關關系，求線性回歸方程.解在直角坐標系中畫出數據的散點圖，如圖所示零件數102030405060708090100加工時間/分626875818995102108115122典例剖析觀察判斷出散點在一條直線附近，故具有線性相關關系.由測得的數據列表如下：ixiyi

xiyi110621006202206840013603307590022504408116003240550892500445066095360057007701024900714088010864008640990115810010350101001221000012200合計5509173850055950

二、線性回歸方程的性質

開業天數1020304050每天銷售額/萬元62758189B

解析當生產創收總額為1萬元時，工資約為1500元，A錯誤；當生產創收總額提高1萬元時，工資平均提高600元，B錯誤，C正確；當月工資為2700元時，生產創收總額約為3萬元，D錯誤.C三、利用回歸方程對總體進行估計例3

在本章第1.1節的練習中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數Y（單位：杯）與當天氣溫X（單位：℃）之間存在近似的線性關系.數據如表

（1）試用最小二乘法求出Y關于X的線性回歸方程；（2）如果某天的氣溫是-3℃，請預測這天可能會賣出熱茶多少杯.氣溫X

/

℃261813104-1杯數Y

/

杯202434385064

ixiyi

xiyi12620676520218243