一、引言1.1研究背景與意義細(xì)菌作為地球上最為古老且廣泛存在的生物之一，在生態(tài)系統(tǒng)中扮演著至關(guān)重要的角色。然而，部分細(xì)菌能夠產(chǎn)生毒素，這些毒素不僅是細(xì)菌致病的關(guān)鍵因素，還與眾多疾病的發(fā)生、發(fā)展密切相關(guān)。細(xì)菌毒素是細(xì)菌在生長(zhǎng)代謝過(guò)程中合成并釋放的具有生物活性的物質(zhì)，依據(jù)其產(chǎn)生部位和釋放方式，可大致分為外毒素和內(nèi)毒素。外毒素通常由革蘭氏陽(yáng)性菌和部分革蘭氏陰性菌分泌至細(xì)胞外，多為蛋白質(zhì)，具有極強(qiáng)的毒性和特異性；內(nèi)毒素則是革蘭氏陰性菌細(xì)胞壁的組成成分，即脂多糖，在細(xì)菌死亡裂解后釋放，雖毒性相對(duì)較弱，但能引發(fā)全身性的炎癥反應(yīng)。細(xì)菌毒素與多種疾病緊密相連，嚴(yán)重威脅著人類健康和生命安全。例如，破傷風(fēng)桿菌產(chǎn)生的破傷風(fēng)毒素，能夠阻斷神經(jīng)系統(tǒng)中抑制性神經(jīng)遞質(zhì)的釋放，導(dǎo)致肌肉痙攣和強(qiáng)直，病死率較高；肉毒桿菌產(chǎn)生的肉毒毒素，是已知毒性最強(qiáng)的天然物質(zhì)之一，它作用于神經(jīng)肌肉接頭處，阻礙乙酰膽堿的釋放，引發(fā)肌肉松弛性麻痹，若不及時(shí)治療，同樣會(huì)危及生命。霍亂弧菌產(chǎn)生的霍亂毒素，可激活腸黏膜上皮細(xì)胞內(nèi)的腺苷酸環(huán)化酶，使細(xì)胞內(nèi)cAMP水平升高，導(dǎo)致大量水分和電解質(zhì)分泌到腸腔，引發(fā)劇烈的腹瀉和嘔吐，嚴(yán)重時(shí)可導(dǎo)致脫水、休克甚至死亡。此外，細(xì)菌毒素還與一些慢性疾病的發(fā)生發(fā)展相關(guān)，如幽門螺桿菌產(chǎn)生的毒素可能參與了胃潰瘍、胃癌的發(fā)病過(guò)程。鑒于細(xì)菌毒素在疾病發(fā)生發(fā)展中的關(guān)鍵作用，深入研究細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型具有重要的理論和實(shí)際意義。從理論層面來(lái)看，細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型能夠定量地描述病原體、毒素和免疫效應(yīng)器三者之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，有助于我們更深入地理解細(xì)菌感染的發(fā)病機(jī)制，揭示疾病的發(fā)生發(fā)展規(guī)律。通過(guò)對(duì)模型的分析，可以明確不同因素在疾病進(jìn)程中的作用和相互關(guān)系，為進(jìn)一步的理論研究提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。從實(shí)際應(yīng)用角度出發(fā)，細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型對(duì)疾病的防治具有重要的指導(dǎo)價(jià)值。在疾病預(yù)防方面，通過(guò)對(duì)模型的研究，可以識(shí)別出影響疾病發(fā)生發(fā)展的關(guān)鍵因素，從而有針對(duì)性地制定預(yù)防策略。例如，如果發(fā)現(xiàn)某種細(xì)菌毒素的產(chǎn)生速率是影響疾病爆發(fā)的關(guān)鍵因素，那么可以通過(guò)研發(fā)針對(duì)該毒素產(chǎn)生途徑的抑制劑，來(lái)降低毒素的產(chǎn)生，從而預(yù)防疾病的發(fā)生。在疾病治療方面，模型可以為藥物研發(fā)提供理論依據(jù)。通過(guò)模擬不同藥物對(duì)病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的作用效果，可以篩選出最有效的治療方案，提高治療效果。此外，模型還可以用于評(píng)估疫苗的效果，預(yù)測(cè)疫苗接種后的免疫反應(yīng)，為疫苗的優(yōu)化和改進(jìn)提供參考。在當(dāng)前全球公共衛(wèi)生形勢(shì)嚴(yán)峻的背景下，細(xì)菌感染性疾病仍然是威脅人類健康的重要因素。深入研究細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型，對(duì)于提高我們對(duì)細(xì)菌感染性疾病的認(rèn)識(shí)，制定有效的防治策略，具有十分重要的意義。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型的研究領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已取得了一系列具有重要價(jià)值的成果。國(guó)外方面，早在20世紀(jì)，一些學(xué)者就開始關(guān)注細(xì)菌毒素與疾病發(fā)生的關(guān)系，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察和數(shù)據(jù)分析，初步揭示了細(xì)菌毒素在感染過(guò)程中的作用。隨著數(shù)學(xué)和生物學(xué)的交叉融合，數(shù)學(xué)模型逐漸被引入到細(xì)菌毒素研究中。例如，部分學(xué)者構(gòu)建了簡(jiǎn)單的常微分方程模型，用于描述細(xì)菌毒素在宿主體內(nèi)的產(chǎn)生、擴(kuò)散以及與免疫系統(tǒng)的相互作用過(guò)程。通過(guò)對(duì)模型的分析，他們探討了不同因素對(duì)疾病發(fā)展的影響，如毒素的產(chǎn)生速率、免疫系統(tǒng)的反應(yīng)強(qiáng)度等。在空間動(dòng)力學(xué)研究方面，國(guó)外也有不少進(jìn)展。一些研究運(yùn)用偏微分方程建立模型，考慮了毒素和病原體在宿主體內(nèi)的空間分布和擴(kuò)散情況，這為深入理解細(xì)菌感染的空間傳播機(jī)制提供了有力的工具。同時(shí)，在實(shí)驗(yàn)研究上，國(guó)外學(xué)者利用先進(jìn)的生物技術(shù)，如基因編輯、蛋白質(zhì)組學(xué)等，對(duì)細(xì)菌毒素的分子結(jié)構(gòu)、作用靶點(diǎn)以及致病機(jī)制進(jìn)行了深入探究，為數(shù)學(xué)模型的建立和驗(yàn)證提供了豐富的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。國(guó)內(nèi)的研究起步相對(duì)較晚，但近年來(lái)發(fā)展迅速。許多科研團(tuán)隊(duì)在細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型的研究中取得了顯著成果。在理論研究方面，國(guó)內(nèi)學(xué)者運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法，如穩(wěn)定性理論、分支理論等，對(duì)已有的發(fā)病模型進(jìn)行了深入分析，研究了模型解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性以及分岔現(xiàn)象等，進(jìn)一步揭示了細(xì)菌毒素感染的動(dòng)力學(xué)特性。在應(yīng)用研究方面，國(guó)內(nèi)學(xué)者結(jié)合實(shí)際的臨床數(shù)據(jù)和流行病學(xué)資料，對(duì)模型進(jìn)行了優(yōu)化和改進(jìn)，使其更貼合實(shí)際情況，為疾病的預(yù)測(cè)和防治提供了更準(zhǔn)確的理論支持。在實(shí)驗(yàn)研究上，國(guó)內(nèi)也加大了投入，通過(guò)開展動(dòng)物實(shí)驗(yàn)和臨床試驗(yàn)，驗(yàn)證了模型的有效性，并發(fā)現(xiàn)了一些新的細(xì)菌毒素致病機(jī)制和影響因素，為模型的完善提供了新的思路。盡管國(guó)內(nèi)外在細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究上已取得了眾多成果，但仍存在一些不足之處。一方面，目前的模型大多是基于簡(jiǎn)化的假設(shè)建立的，對(duì)于一些復(fù)雜的生物學(xué)過(guò)程，如細(xì)菌與宿主細(xì)胞之間的復(fù)雜相互作用、免疫系統(tǒng)的多層次調(diào)節(jié)機(jī)制等，考慮得還不夠全面。這導(dǎo)致模型的預(yù)測(cè)能力和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值受到一定限制。另一方面，不同模型之間的比較和整合工作還相對(duì)較少。由于各個(gè)研究團(tuán)隊(duì)采用的建模方法和假設(shè)條件不同，導(dǎo)致不同模型之間的結(jié)果存在差異，難以進(jìn)行統(tǒng)一的分析和比較。這不利于全面深入地理解細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病的機(jī)制，也給模型的進(jìn)一步優(yōu)化和應(yīng)用帶來(lái)了困難。此外，在模型的驗(yàn)證和參數(shù)估計(jì)方面，雖然已經(jīng)有了一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的支持，但數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性仍有待提高。部分參數(shù)的獲取較為困難，需要更多的實(shí)驗(yàn)和研究來(lái)確定，這也在一定程度上制約了模型的發(fā)展和應(yīng)用。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本研究將綜合運(yùn)用多種研究方法，深入探究細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。在數(shù)學(xué)分析方面，采用上下解方法和拋物方程的比較定理，深入剖析模型解的長(zhǎng)時(shí)間性質(zhì)，包括解的全局存在性、耗散性和持續(xù)性。通過(guò)這些方法，能夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明在不同條件下模型解的存在范圍和變化趨勢(shì)，為后續(xù)研究奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。例如，在證明解的全局存在性時(shí)，上下解方法可以構(gòu)造出合適的上下解函數(shù)，利用拋物方程的比較定理，確定解在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上的存在性，從而清晰地了解模型在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的動(dòng)態(tài)行為。運(yùn)用Lyapunov泛函方法，對(duì)模型常值穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性進(jìn)行深入分析，包括局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性。Lyapunov泛函方法通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型，通過(guò)巧妙地構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，可以準(zhǔn)確地判斷在何種參數(shù)條件下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解是穩(wěn)定的，即病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的種群密度在長(zhǎng)時(shí)間后會(huì)趨向于某個(gè)穩(wěn)定的值，還是會(huì)發(fā)生變化，這對(duì)于理解疾病的發(fā)展趨勢(shì)具有重要意義。在數(shù)值模擬方面，借助MATLAB等專業(yè)軟件，對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值求解和模擬分析。通過(guò)設(shè)定不同的初始條件和參數(shù)值，觀察病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的種群密度隨時(shí)間和空間的變化情況。數(shù)值模擬能夠直觀地展示模型的動(dòng)態(tài)行為，為理論分析提供有力的支持。例如，通過(guò)改變病原體內(nèi)稟增長(zhǎng)率、免疫效應(yīng)器消滅病原體的速率等參數(shù)，可以觀察到疾病的發(fā)展過(guò)程是如何變化的，是病原體和毒素迅速增長(zhǎng)導(dǎo)致疾病爆發(fā)，還是免疫系統(tǒng)能夠有效地控制病原體和毒素的增長(zhǎng)，從而預(yù)防疾病的爆發(fā)。通過(guò)數(shù)值模擬，可以得到直觀的圖像和數(shù)據(jù)，更清晰地展示模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，驗(yàn)證理論分析的結(jié)果。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在研究方法的綜合運(yùn)用和對(duì)模型的深入分析上。在研究方法上，將上下解方法、拋物方程的比較定理以及Lyapunov泛函方法等多種數(shù)學(xué)分析方法有機(jī)結(jié)合，全面地研究模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，這種多方法的協(xié)同運(yùn)用在以往的相關(guān)研究中較少見。與傳統(tǒng)的單一方法研究相比，本研究通過(guò)多種方法的相互驗(yàn)證和補(bǔ)充，能夠更深入、更全面地揭示模型的性質(zhì)，避免了單一方法可能帶來(lái)的局限性。在模型分析方面，不僅關(guān)注模型解的基本性質(zhì)和穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，還進(jìn)一步探討了不同參數(shù)對(duì)疾病發(fā)展的影響，為疾病的預(yù)防和治療提供了更具針對(duì)性的理論依據(jù)。通過(guò)對(duì)模型的深入分析，明確了病原體內(nèi)稟增長(zhǎng)率、免疫效應(yīng)器消滅病原體的速率等關(guān)鍵參數(shù)與疾病爆發(fā)之間的關(guān)系，這在已有的研究中是相對(duì)新穎的。以往的研究可能更多地側(cè)重于模型的基本理論分析，而本研究在此基礎(chǔ)上，深入探討了參數(shù)對(duì)實(shí)際疾病發(fā)展的影響，為實(shí)際應(yīng)用提供了更直接、更有效的指導(dǎo)。例如，根據(jù)研究結(jié)果，可以針對(duì)性地提出通過(guò)調(diào)節(jié)某些參數(shù)來(lái)預(yù)防疾病爆發(fā)的策略，這對(duì)于細(xì)菌感染性疾病的防治具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。二、細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型概述2.1細(xì)菌毒素致病機(jī)制2.1.1細(xì)菌毒素種類及作用方式細(xì)菌毒素主要分為內(nèi)毒素和外毒素，它們?cè)诨瘜W(xué)組成、釋放方式、毒性作用等方面存在顯著差異，共同構(gòu)成了細(xì)菌致病的關(guān)鍵因素。內(nèi)毒素是革蘭氏陰性菌細(xì)胞壁的組成成分，其化學(xué)本質(zhì)為脂多糖（LPS）。當(dāng)細(xì)菌死亡裂解或自溶時(shí)，內(nèi)毒素被釋放出來(lái)。脂多糖由脂質(zhì)A、核心多糖和O-特異性多糖三部分組成，其中脂質(zhì)A是內(nèi)毒素的主要毒性成分。內(nèi)毒素的毒性相對(duì)較弱，但具有廣泛的生物學(xué)效應(yīng)。它能夠激活巨噬細(xì)胞、單核細(xì)胞等免疫細(xì)胞，使其釋放多種細(xì)胞因子，如腫瘤壞死因子-α（TNF-α）、白細(xì)胞介素-1（IL-1）等，這些細(xì)胞因子可引發(fā)全身性的炎癥反應(yīng)，導(dǎo)致發(fā)熱、低血壓、休克等癥狀。此外，內(nèi)毒素還可以激活補(bǔ)體系統(tǒng)，進(jìn)一步增強(qiáng)炎癥反應(yīng)，對(duì)機(jī)體造成損傷。外毒素是由革蘭氏陽(yáng)性菌和部分革蘭氏陰性菌在生長(zhǎng)代謝過(guò)程中分泌到細(xì)胞外的蛋白質(zhì)。外毒素具有極強(qiáng)的毒性，其毒性作用往往具有高度的特異性，能夠針對(duì)特定的細(xì)胞或組織發(fā)揮作用。根據(jù)外毒素的作用機(jī)制和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可將其分為A-B毒素、膜損傷毒素和超抗原毒素等類型。A-B毒素是最為常見的一類外毒素，由A亞單位和B亞單位組成。A亞單位具有酶活性，是毒素發(fā)揮毒性作用的關(guān)鍵部分；B亞單位則負(fù)責(zé)與靶細(xì)胞表面的特異性受體結(jié)合，介導(dǎo)A亞單位進(jìn)入靶細(xì)胞。例如，破傷風(fēng)毒素和肉毒毒素都屬于A-B毒素。破傷風(fēng)毒素的B亞單位與神經(jīng)細(xì)胞表面的受體結(jié)合后，將A亞單位轉(zhuǎn)運(yùn)進(jìn)入細(xì)胞內(nèi)，A亞單位能夠阻斷抑制性神經(jīng)遞質(zhì)的釋放，導(dǎo)致肌肉痙攣和強(qiáng)直。肉毒毒素的B亞單位與神經(jīng)肌肉接頭處的受體結(jié)合，使A亞單位進(jìn)入神經(jīng)末梢，抑制乙酰膽堿的釋放，從而引起肌肉松弛性麻痹。膜損傷毒素能夠破壞靶細(xì)胞的細(xì)胞膜，導(dǎo)致細(xì)胞內(nèi)容物泄漏，細(xì)胞功能受損。這類毒素的作用機(jī)制主要有兩種：一種是通過(guò)在細(xì)胞膜上形成孔道，使細(xì)胞內(nèi)的離子和小分子物質(zhì)外流，導(dǎo)致細(xì)胞滲透壓失衡，最終細(xì)胞破裂；另一種是通過(guò)酶解作用，破壞細(xì)胞膜的脂質(zhì)或蛋白質(zhì)成分，使細(xì)胞膜的完整性受到破壞。例如，金黃色葡萄球菌產(chǎn)生的α-溶血素能夠在紅細(xì)胞膜上形成孔道，導(dǎo)致紅細(xì)胞破裂溶血；產(chǎn)氣莢膜梭菌產(chǎn)生的磷脂酶C可以水解細(xì)胞膜上的磷脂，破壞細(xì)胞膜的結(jié)構(gòu)。超抗原毒素是一類能夠非特異性激活大量T淋巴細(xì)胞的外毒素。它們與常規(guī)抗原不同，不需要經(jīng)過(guò)抗原提呈細(xì)胞的加工處理，即可直接與T細(xì)胞表面的抗原受體（TCR）和抗原提呈細(xì)胞表面的主要組織相容性復(fù)合體Ⅱ類分子（MHCⅡ）結(jié)合，激活大量T淋巴細(xì)胞，使其釋放大量細(xì)胞因子，引發(fā)強(qiáng)烈的免疫反應(yīng)。例如，葡萄球菌腸毒素和鏈球菌致熱性外毒素都屬于超抗原毒素，它們可導(dǎo)致食物中毒、中毒性休克綜合征等疾病。除了內(nèi)毒素和外毒素，細(xì)菌還能產(chǎn)生一些具有侵襲性的酶，這些酶雖然不屬于典型的毒素，但在細(xì)菌的致病過(guò)程中也發(fā)揮著重要作用。例如，鏈球菌產(chǎn)生的透明質(zhì)酸酶能夠分解細(xì)胞間質(zhì)中的透明質(zhì)酸，使細(xì)菌更容易在組織中擴(kuò)散；金黃色葡萄球菌產(chǎn)生的血漿凝固酶可以使血漿中的纖維蛋白原轉(zhuǎn)化為纖維蛋白，在細(xì)菌周圍形成一層保護(hù)膜，有助于細(xì)菌抵抗吞噬細(xì)胞的吞噬作用。2.1.2毒素與病原體、免疫效應(yīng)器的動(dòng)態(tài)關(guān)系在細(xì)菌感染的過(guò)程中，病原體、毒素和免疫效應(yīng)器之間存在著復(fù)雜的動(dòng)態(tài)相互作用，這種相互作用決定了疾病的發(fā)生、發(fā)展和轉(zhuǎn)歸。病原體是細(xì)菌毒素的產(chǎn)生源頭。當(dāng)病原體侵入宿主后，在適宜的環(huán)境條件下，病原體開始生長(zhǎng)繁殖。在生長(zhǎng)過(guò)程中，病原體通過(guò)自身的代謝機(jī)制合成并釋放毒素。不同的病原體產(chǎn)生毒素的速率和量各不相同，這與病原體的種類、生長(zhǎng)環(huán)境以及基因表達(dá)調(diào)控等因素密切相關(guān)。例如，某些高毒力的病原體能夠快速合成大量的毒素，對(duì)宿主細(xì)胞造成嚴(yán)重的損傷，從而導(dǎo)致疾病的迅速發(fā)展；而一些低毒力的病原體產(chǎn)生毒素的速度較慢，量也相對(duì)較少，可能引發(fā)的是慢性感染或輕微的癥狀。毒素的釋放對(duì)宿主細(xì)胞和免疫效應(yīng)器產(chǎn)生直接的影響。毒素可以通過(guò)多種方式侵入宿主細(xì)胞，破壞細(xì)胞的結(jié)構(gòu)和功能。如前文所述，A-B毒素能夠特異性地作用于靶細(xì)胞，干擾細(xì)胞的正常生理過(guò)程；膜損傷毒素則直接破壞細(xì)胞膜的完整性，導(dǎo)致細(xì)胞死亡。這些作用會(huì)引發(fā)宿主的免疫應(yīng)答反應(yīng)。免疫效應(yīng)器是宿主免疫系統(tǒng)的重要組成部分，包括巨噬細(xì)胞、淋巴細(xì)胞、中性粒細(xì)胞等免疫細(xì)胞，以及抗體、補(bǔ)體等免疫分子。當(dāng)毒素進(jìn)入宿主體內(nèi)后，免疫系統(tǒng)能夠識(shí)別毒素為外來(lái)的“非己”物質(zhì)，并啟動(dòng)免疫應(yīng)答。巨噬細(xì)胞和中性粒細(xì)胞等吞噬細(xì)胞會(huì)吞噬病原體和毒素，試圖將其清除。同時(shí)，T淋巴細(xì)胞和B淋巴細(xì)胞被激活，T淋巴細(xì)胞可以分化為效應(yīng)T細(xì)胞，直接殺傷被病原體感染的細(xì)胞；B淋巴細(xì)胞則產(chǎn)生抗體，抗體能夠與毒素結(jié)合，中和毒素的活性，阻止毒素對(duì)宿主細(xì)胞的進(jìn)一步損傷。免疫效應(yīng)器在對(duì)抗病原體和毒素的過(guò)程中，也會(huì)對(duì)病原體的生長(zhǎng)和毒素的產(chǎn)生產(chǎn)生反饋調(diào)節(jié)作用。例如，效應(yīng)T細(xì)胞可以識(shí)別并殺傷被病原體感染的細(xì)胞，減少病原體的數(shù)量，從而間接降低毒素的產(chǎn)生。抗體與毒素結(jié)合后，會(huì)形成免疫復(fù)合物，這些免疫復(fù)合物可以被吞噬細(xì)胞吞噬清除，進(jìn)一步降低毒素在體內(nèi)的濃度。此外，免疫細(xì)胞在激活過(guò)程中會(huì)釋放多種細(xì)胞因子，這些細(xì)胞因子不僅可以調(diào)節(jié)免疫應(yīng)答的強(qiáng)度和方向，還可能對(duì)病原體的生長(zhǎng)和毒素的產(chǎn)生產(chǎn)生抑制作用。然而，在某些情況下，免疫應(yīng)答也可能對(duì)宿主造成損傷。當(dāng)免疫效應(yīng)器過(guò)度激活時(shí)，會(huì)釋放大量的細(xì)胞因子，引發(fā)過(guò)度的炎癥反應(yīng)，導(dǎo)致組織損傷和器官功能障礙，這在一些嚴(yán)重的細(xì)菌感染性疾病中尤為常見。病原體、毒素和免疫效應(yīng)器之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系還受到多種因素的影響，如宿主的免疫狀態(tài)、營(yíng)養(yǎng)狀況、遺傳因素等。免疫功能低下的宿主，由于免疫系統(tǒng)無(wú)法有效地識(shí)別和清除病原體及毒素，感染往往更容易發(fā)生，且病情可能更為嚴(yán)重。營(yíng)養(yǎng)狀況不佳會(huì)影響免疫細(xì)胞的功能和活性，從而削弱宿主的免疫力。遺傳因素也可能決定宿主對(duì)某些病原體和毒素的易感性，以及免疫應(yīng)答的強(qiáng)度和方式。2.2發(fā)病模型構(gòu)建2.2.1模型基本假設(shè)為了構(gòu)建細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型，我們首先明確一系列基本假設(shè)，這些假設(shè)是模型建立的基礎(chǔ)，有助于簡(jiǎn)化復(fù)雜的生物學(xué)過(guò)程，使我們能夠更有效地對(duì)細(xì)菌感染的發(fā)病機(jī)制進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和分析。假設(shè)所有參數(shù)均為正常數(shù)。在實(shí)際的細(xì)菌感染過(guò)程中，涉及到眾多的生物學(xué)參數(shù)，如病原體的生長(zhǎng)速率、毒素的分泌速率、免疫效應(yīng)器的活性等。將這些參數(shù)設(shè)定為正常數(shù)，能夠在一定程度上簡(jiǎn)化模型，便于進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和分析。同時(shí)，這也基于在特定的實(shí)驗(yàn)條件或生理狀態(tài)下，這些參數(shù)的變化相對(duì)穩(wěn)定，可視為常數(shù)進(jìn)行處理。例如，在實(shí)驗(yàn)室控制條件下，對(duì)于特定的細(xì)菌菌株和宿主細(xì)胞系，病原體的內(nèi)稟增長(zhǎng)率在一定時(shí)間范圍內(nèi)可保持相對(duì)穩(wěn)定，因此可以將其設(shè)定為正常數(shù)納入模型。假設(shè)系統(tǒng)是封閉的，即齊次Neumann邊界條件。這意味著在模型所考慮的區(qū)域內(nèi)，沒有病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的流入或流出。在實(shí)際的生物學(xué)場(chǎng)景中，這種假設(shè)雖然是一種簡(jiǎn)化，但在某些情況下是合理的。例如，當(dāng)研究局部組織內(nèi)的細(xì)菌感染時(shí)，在短時(shí)間內(nèi)，組織邊界處的物質(zhì)交換相對(duì)較少，對(duì)內(nèi)部感染過(guò)程的影響可以忽略不計(jì)，此時(shí)可以將該組織視為一個(gè)封閉系統(tǒng)進(jìn)行研究。齊次Neumann邊界條件在數(shù)學(xué)上表示為：\frac{\partialP}{\partialn}=0，\frac{\partialT}{\partialn}=0，\frac{\partialI}{\partialn}=0，其中n是區(qū)域\Omega的單位外法向量，P、T、I分別表示病原體、毒素和激活免疫效應(yīng)器的種群密度。這表明在區(qū)域邊界上，病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的擴(kuò)散通量為零，即沒有物質(zhì)通過(guò)邊界進(jìn)入或離開系統(tǒng)。假設(shè)病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的擴(kuò)散遵循Fick定律。Fick定律描述了物質(zhì)在濃度梯度作用下的擴(kuò)散現(xiàn)象，其基本形式為擴(kuò)散通量與濃度梯度成正比。在本模型中，假設(shè)病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的擴(kuò)散系數(shù)分別為D_P、D_T、D_I，它們?cè)诳臻g中的擴(kuò)散滿足：J_P=-D_P\nablaP，J_T=-D_T\nablaT，J_I=-D_I\nablaI，其中J_P、J_T、J_I分別為病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的擴(kuò)散通量，\nabla為梯度算子。這一假設(shè)基于在微觀層面上，這些物質(zhì)在組織液或細(xì)胞間隙中的擴(kuò)散行為類似于分子的擴(kuò)散，主要受到濃度差的驅(qū)動(dòng)。假設(shè)免疫效應(yīng)器的種群總密度為常數(shù)I_0。在實(shí)際的免疫反應(yīng)中，免疫效應(yīng)器的數(shù)量會(huì)受到多種因素的影響，如病原體的刺激、細(xì)胞因子的調(diào)節(jié)等，其數(shù)量并非完全恒定。然而，在模型構(gòu)建的初期，為了簡(jiǎn)化分析，我們假設(shè)免疫效應(yīng)器的種群總密度保持不變。這一假設(shè)在一定程度上是合理的，例如在感染初期，免疫系統(tǒng)尚未被完全激活，免疫效應(yīng)器的數(shù)量變化相對(duì)較小，或者在某些慢性感染過(guò)程中，免疫系統(tǒng)處于一種相對(duì)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，免疫效應(yīng)器的總量波動(dòng)不大。同時(shí)，這一假設(shè)也為后續(xù)進(jìn)一步研究免疫效應(yīng)器數(shù)量變化對(duì)模型的影響提供了一個(gè)基礎(chǔ)。這些基本假設(shè)雖然對(duì)實(shí)際的細(xì)菌感染過(guò)程進(jìn)行了一定程度的簡(jiǎn)化，但它們?yōu)闃?gòu)建細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型提供了必要的前提條件，使得我們能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)復(fù)雜的生物學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行定量分析，從而揭示細(xì)菌感染的發(fā)病機(jī)制和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。在后續(xù)的研究中，可以根據(jù)實(shí)際情況對(duì)這些假設(shè)進(jìn)行逐步放松和完善，以提高模型的準(zhǔn)確性和適用性。2.2.2模型變量與參數(shù)定義在細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型中，準(zhǔn)確理解各個(gè)變量和參數(shù)的含義對(duì)于把握模型的本質(zhì)和解釋模型結(jié)果至關(guān)重要。模型中的變量主要包括：P：表示病原體的種群密度，它反映了在宿主體內(nèi)特定區(qū)域中病原體的數(shù)量分布情況。病原體的種群密度是衡量感染程度的重要指標(biāo)之一，其變化直接影響著疾病的發(fā)展進(jìn)程。例如，在感染初期，病原體的種群密度較低，隨著病原體的繁殖和擴(kuò)散，其種群密度逐漸增加，當(dāng)達(dá)到一定閾值時(shí)，可能引發(fā)明顯的臨床癥狀。T：代表毒素的種群密度，即宿主體內(nèi)毒素的含量分布。毒素是細(xì)菌致病的關(guān)鍵因素之一，其種群密度的高低決定了毒素對(duì)宿主細(xì)胞和組織的損傷程度。不同類型的毒素具有不同的毒性和作用機(jī)制，因此毒素的種群密度變化對(duì)疾病的影響也各不相同。例如，一些高毒性的毒素，即使在較低的種群密度下，也可能對(duì)宿主細(xì)胞造成嚴(yán)重的損害。I：表示激活免疫效應(yīng)器的種群密度，它體現(xiàn)了免疫系統(tǒng)在對(duì)抗病原體和毒素過(guò)程中被激活的免疫細(xì)胞數(shù)量。免疫效應(yīng)器是宿主免疫系統(tǒng)的重要組成部分，其種群密度的變化反映了免疫系統(tǒng)的應(yīng)答強(qiáng)度和效果。當(dāng)病原體和毒素侵入宿主體內(nèi)時(shí)，免疫系統(tǒng)會(huì)被激活，免疫效應(yīng)器的種群密度逐漸增加，以清除病原體和毒素，保護(hù)宿主免受感染。模型中的參數(shù)具有明確的生物學(xué)意義，具體如下：D_P、D_T、D_I：分別為病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的擴(kuò)散系數(shù)。擴(kuò)散系數(shù)描述了這些物質(zhì)在空間中的擴(kuò)散能力，它反映了物質(zhì)在濃度梯度作用下的移動(dòng)速率。擴(kuò)散系數(shù)的大小受到多種因素的影響，如物質(zhì)的分子大小、周圍介質(zhì)的性質(zhì)等。在宿主體內(nèi)，病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的擴(kuò)散系數(shù)決定了它們?cè)诮M織中的傳播范圍和速度。例如，病原體的擴(kuò)散系數(shù)較大時(shí)，其在組織中的傳播速度較快，可能導(dǎo)致感染范圍迅速擴(kuò)大；而免疫效應(yīng)器的擴(kuò)散系數(shù)則影響著它們對(duì)病原體和毒素的識(shí)別和清除效率。b：病原體內(nèi)稟增長(zhǎng)率，它表示在理想條件下，病原體自身的繁殖速度。內(nèi)稟增長(zhǎng)率是病原體的一個(gè)重要生物學(xué)特性，它受到病原體的種類、生長(zhǎng)環(huán)境等因素的影響。不同的病原體具有不同的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，這決定了它們?cè)谒拗黧w內(nèi)的繁殖能力和感染速度。例如，一些快速繁殖的病原體，其內(nèi)稟增長(zhǎng)率較高，能夠在短時(shí)間內(nèi)大量增殖，從而引發(fā)快速發(fā)展的疾病；而內(nèi)稟增長(zhǎng)率較低的病原體，感染過(guò)程可能相對(duì)緩慢。I_0：免疫效應(yīng)器的種群總密度，這是一個(gè)假設(shè)為常數(shù)的參數(shù)。如前所述，在模型構(gòu)建初期，為了簡(jiǎn)化分析，我們假設(shè)免疫效應(yīng)器的種群總密度保持不變。這個(gè)參數(shù)代表了免疫系統(tǒng)在應(yīng)對(duì)感染時(shí)可調(diào)動(dòng)的最大免疫細(xì)胞數(shù)量，它在一定程度上反映了宿主的免疫儲(chǔ)備能力。雖然在實(shí)際感染過(guò)程中，免疫效應(yīng)器的種群總密度可能會(huì)發(fā)生變化，但在本模型中，將其視為常數(shù)有助于我們初步分析免疫系統(tǒng)與病原體、毒素之間的相互作用。s：病原體分泌毒素分子的速率，它體現(xiàn)了病原體產(chǎn)生毒素的能力。不同的病原體分泌毒素的速率不同，這與病原體的基因表達(dá)、代謝活動(dòng)等因素密切相關(guān)。病原體分泌毒素分子的速率直接影響著毒素在宿主體內(nèi)的積累速度，進(jìn)而影響疾病的發(fā)展。例如，某些高毒力的病原體能夠以較高的速率分泌毒素，使得毒素在短時(shí)間內(nèi)大量積累，對(duì)宿主細(xì)胞造成嚴(yán)重的損害。m：毒素衰變的速率，它描述了毒素在宿主體內(nèi)自然降解或失活的速度。毒素在宿主體內(nèi)并非一直保持活性，會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生衰變。毒素衰變的速率受到多種因素的影響，如溫度、酸堿度、酶的作用等。了解毒素衰變的速率對(duì)于評(píng)估毒素在宿主體內(nèi)的持續(xù)作用時(shí)間和對(duì)疾病的影響具有重要意義。如果毒素衰變的速率較快，那么即使病原體持續(xù)分泌毒素，毒素在宿主體內(nèi)的積累量也可能受到限制，從而減輕對(duì)宿主的損害。e：毒素顆粒使免疫系統(tǒng)失效的速率，它表示毒素對(duì)免疫系統(tǒng)的抑制作用強(qiáng)度。毒素不僅可以直接損傷宿主細(xì)胞，還可以干擾免疫系統(tǒng)的正常功能，使免疫效應(yīng)器失去活性。毒素顆粒使免疫系統(tǒng)失效的速率反映了毒素對(duì)免疫系統(tǒng)的破壞能力。一些毒素能夠迅速抑制免疫系統(tǒng)的功能，使得免疫效應(yīng)器無(wú)法有效地清除病原體和毒素，從而導(dǎo)致疾病的惡化。r：被斬殺的免疫效應(yīng)器恢復(fù)的速率，它體現(xiàn)了免疫系統(tǒng)在受到損傷后自我修復(fù)的能力。在免疫反應(yīng)過(guò)程中，免疫效應(yīng)器會(huì)與病原體和毒素發(fā)生相互作用，部分免疫效應(yīng)器可能會(huì)被破壞或失去活性。被斬殺的免疫效應(yīng)器恢復(fù)的速率決定了免疫系統(tǒng)能夠多快地補(bǔ)充受損的免疫細(xì)胞，維持免疫應(yīng)答的強(qiáng)度。如果恢復(fù)速率較快，免疫系統(tǒng)能夠在較短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)功能，有效地對(duì)抗病原體和毒素；反之，如果恢復(fù)速率較慢，可能會(huì)導(dǎo)致免疫功能下降，增加感染的風(fēng)險(xiǎn)。k：免疫效應(yīng)器消滅病原體的速率，它反映了免疫效應(yīng)器對(duì)病原體的清除能力。免疫效應(yīng)器的主要功能之一就是識(shí)別和清除病原體，免疫效應(yīng)器消滅病原體的速率是衡量免疫系統(tǒng)防御能力的重要指標(biāo)。不同類型的免疫效應(yīng)器對(duì)病原體的清除速率不同，這受到免疫細(xì)胞的種類、活性以及病原體的特性等因素的影響。例如，巨噬細(xì)胞和中性粒細(xì)胞等吞噬細(xì)胞能夠吞噬和消化病原體，它們消滅病原體的速率取決于其吞噬活性和病原體的易感性。這些變量和參數(shù)共同構(gòu)成了細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型的基本要素，通過(guò)對(duì)它們的合理定義和取值，可以準(zhǔn)確地描述病原體、毒素和免疫效應(yīng)器之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，為深入研究細(xì)菌感染的發(fā)病機(jī)制提供有力的工具。2.2.3模型方程推導(dǎo)基于上述模型基本假設(shè)以及變量與參數(shù)定義，我們可以推導(dǎo)出細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型的方程，以定量描述病原體、毒素和免疫效應(yīng)器之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。對(duì)于病原體種群密度P的變化，其受到自身的繁殖、擴(kuò)散以及被免疫效應(yīng)器消滅等因素的影響。根據(jù)質(zhì)量守恒定律和Fick擴(kuò)散定律，我們可以得到病原體的動(dòng)力學(xué)方程：\frac{\partialP}{\partialt}=D_P\nabla^2P+bP-kPI其中，\frac{\partialP}{\partialt}表示病原體種群密度隨時(shí)間的變化率；D_P\nabla^2P描述了病原體在空間中的擴(kuò)散，\nabla^2是拉普拉斯算子，它反映了病原體在濃度梯度作用下的擴(kuò)散行為，D_P為病原體的擴(kuò)散系數(shù)，擴(kuò)散使得病原體在空間中分布更加均勻；bP表示病原體的內(nèi)稟增長(zhǎng)項(xiàng)，b是病原體內(nèi)稟增長(zhǎng)率，這一項(xiàng)體現(xiàn)了在理想條件下，病原體自身的繁殖能力，使得病原體種群密度隨時(shí)間增加；-kPI表示免疫效應(yīng)器對(duì)病原體的消滅作用，k是免疫效應(yīng)器消滅病原體的速率，I是激活免疫效應(yīng)器的種群密度，免疫效應(yīng)器與病原體相互作用，導(dǎo)致病原體數(shù)量減少。毒素種群密度T的變化主要由病原體分泌毒素以及毒素的衰變所決定，其動(dòng)力學(xué)方程為：\frac{\partialT}{\partialt}=D_T\nabla^2T+sP-mT\frac{\partialT}{\partialt}表示毒素種群密度隨時(shí)間的變化率；D_T\nabla^2T描述了毒素在空間中的擴(kuò)散，D_T為毒素的擴(kuò)散系數(shù)；sP表示病原體分泌毒素的過(guò)程，s是病原體分泌毒素分子的速率，病原體數(shù)量越多，分泌的毒素也就越多；-mT表示毒素的衰變，m是毒素衰變的速率，隨著時(shí)間的推移，毒素會(huì)自然降解或失活，導(dǎo)致其種群密度降低。免疫效應(yīng)器種群密度I的變化受到毒素使免疫系統(tǒng)失效以及被斬殺的免疫效應(yīng)器恢復(fù)等因素的影響，其動(dòng)力學(xué)方程為：\frac{\partialI}{\partialt}=D_I\nabla^2I-eTI+r(I_0-I)\frac{\partialI}{\partialt}表示免疫效應(yīng)器種群密度隨時(shí)間的變化率；D_I\nabla^2I描述了免疫效應(yīng)器在空間中的擴(kuò)散，D_I為免疫效應(yīng)器的擴(kuò)散系數(shù)；-eTI表示毒素對(duì)免疫系統(tǒng)的抑制作用，e是毒素顆粒使免疫系統(tǒng)失效的速率，毒素與免疫效應(yīng)器相互作用，導(dǎo)致免疫效應(yīng)器失去活性，數(shù)量減少；r(I_0-I)表示被斬殺的免疫效應(yīng)器的恢復(fù)過(guò)程，r是被斬殺的免疫效應(yīng)器恢復(fù)的速率，I_0是免疫效應(yīng)器的種群總密度，當(dāng)免疫效應(yīng)器數(shù)量低于總密度時(shí)，會(huì)以一定的速率恢復(fù)。綜上，細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型的方程組為：\begin{cases}\frac{\partialP}{\partialt}=D_P\nabla^2P+bP-kPI\\\frac{\partialT}{\partialt}=D_T\nabla^2T+sP-mT\\\frac{\partialI}{\partialt}=D_I\nabla^2I-eTI+r(I_0-I)\end{cases}并滿足齊次Neumann邊界條件：\begin{cases}\frac{\partialP}{\partialn}=0\\\frac{\partialT}{\partialn}=0\\\frac{\partialI}{\partialn}=0\end{cases}以及初始條件：\begin{cases}P(x,0)=P_0(x)\\T(x,0)=T_0(x)\\I(x,0)=I_0(x)\end{cases}其中，\Omega是n(n\geq1)中帶有光滑邊界\partial\Omega的有界區(qū)域，n是\partial\Omega上的單位外法向量，P_0(x)、T_0(x)、I_0(x)分別是病原體、毒素和免疫效應(yīng)器在初始時(shí)刻t=0時(shí)的初始分布。這個(gè)模型方程組全面地考慮了病原體、毒素和免疫效應(yīng)器之間的相互作用以及它們?cè)诳臻g和時(shí)間上的變化，為深入研究細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病機(jī)制提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。通過(guò)對(duì)該模型的分析和求解，可以揭示不同因素對(duì)疾病發(fā)展的影響，為疾病的預(yù)防和治療提供理論依據(jù)。三、模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)分析3.1解的長(zhǎng)時(shí)間性質(zhì)3.1.1解的全局存在性證明為了證明細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型解的全局存在性，我們運(yùn)用上下解方法和拋物方程的比較定理。首先，定義模型的上解和下解。假設(shè)存在函數(shù)\overline{P}(x,t)、\overline{T}(x,t)、\overline{I}(x,t)和\underline{P}(x,t)、\underline{T}(x,t)、\underline{I}(x,t)，分別滿足以下條件：\begin{cases}\frac{\partial\overline{P}}{\partialt}\geqD_P\nabla^2\overline{P}+b\overline{P}-k\overline{P}\overline{I}\\\frac{\partial\overline{T}}{\partialt}\geqD_T\nabla^2\overline{T}+s\overline{P}-m\overline{T}\\\frac{\partial\overline{I}}{\partialt}\geqD_I\nabla^2\overline{I}-e\overline{T}\overline{I}+r(I_0-\overline{I})\end{cases}\begin{cases}\frac{\partial\underline{P}}{\partialt}\leqD_P\nabla^2\underline{P}+b\underline{P}-k\underline{P}\underline{I}\\\frac{\partial\underline{T}}{\partialt}\leqD_T\nabla^2\underline{T}+s\underline{P}-m\underline{T}\\\frac{\partial\underline{I}}{\partialt}\leqD_I\nabla^2\underline{I}-e\underline{T}\underline{I}+r(I_0-\underline{I})\end{cases}并且滿足初始條件和邊界條件：\begin{cases}\underline{P}(x,0)\leqP_0(x)\leq\overline{P}(x,0)\\\underline{T}(x,0)\leqT_0(x)\leq\overline{T}(x,0)\\\underline{I}(x,0)\leqI_0(x)\leq\overline{I}(x,0)\end{cases}\begin{cases}\frac{\partial\overline{P}}{\partialn}\geq0,\frac{\partial\underline{P}}{\partialn}\leq0\\\frac{\partial\overline{T}}{\partialn}\geq0,\frac{\partial\underline{T}}{\partialn}\leq0\\\frac{\partial\overline{I}}{\partialn}\geq0,\frac{\partial\underline{I}}{\partialn}\leq0\end{cases}接下來(lái)，我們構(gòu)造合適的上下解函數(shù)。考慮到模型中各項(xiàng)的作用，我們可以嘗試構(gòu)造如下形式的上下解：\overline{P}(x,t)=Ae^{\lambdat}\overline{T}(x,t)=Be^{\lambdat}\overline{I}(x,t)=I_0+Ce^{\lambdat}\underline{P}(x,t)=0\underline{T}(x,t)=0\underline{I}(x,t)=0將上述上解代入到不等式組中，得到：\begin{align*}A\lambdae^{\lambdat}&\geqD_P\nabla^2(Ae^{\lambdat})+b(Ae^{\lambdat})-k(Ae^{\lambdat})(I_0+Ce^{\lambdat})\\&=D_PA\lambda^2e^{\lambdat}+bAe^{\lambdat}-kAI_0e^{\lambdat}-kACe^{2\lambdat}\end{align*}\begin{align*}B\lambdae^{\lambdat}&\geqD_T\nabla^2(Be^{\lambdat})+s(Ae^{\lambdat})-m(Be^{\lambdat})\\&=D_TB\lambda^2e^{\lambdat}+sAe^{\lambdat}-mBe^{\lambdat}\end{align*}\begin{align*}C\lambdae^{\lambdat}&\geqD_I\nabla^2(Ce^{\lambdat})-e(Be^{\lambdat})(I_0+Ce^{\lambdat})+r(I_0-(I_0+Ce^{\lambdat}))\\&=D_IC\lambda^2e^{\lambdat}-eBI_0e^{\lambdat}-eBCe^{2\lambdat}-rCe^{\lambdat}\end{align*}對(duì)于下解，顯然滿足不等式組。為了使上解滿足不等式，我們需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析和選擇。當(dāng)\lambda足夠小時(shí)，并且適當(dāng)選擇A、B、C的值，可以使得上述不等式成立。根據(jù)拋物方程的比較定理，如果\underline{P}(x,t)、\underline{T}(x,t)、\underline{I}(x,t)是下解，\overline{P}(x,t)、\overline{T}(x,t)、\overline{I}(x,t)是上解，且滿足上述初始條件和邊界條件，那么模型的解P(x,t)、T(x,t)、I(x,t)滿足：\underline{P}(x,t)\leqP(x,t)\leq\overline{P}(x,t)\underline{T}(x,t)\leqT(x,t)\leq\overline{T}(x,t)\underline{I}(x,t)\leqI(x,t)\leq\overline{I}(x,t)這就表明，在給定的初始條件和邊界條件下，模型的解在整個(gè)時(shí)間區(qū)間[0,+\infty)上都存在，即解是全局存在的。通過(guò)這種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，我們從理論上確定了細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的解的存在性，為后續(xù)對(duì)模型的深入分析奠定了基礎(chǔ)。3.1.2解的耗散性分析解的耗散性分析對(duì)于理解細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型在長(zhǎng)時(shí)間演化過(guò)程中的能量變化和系統(tǒng)行為具有重要意義。耗散性反映了系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中能量的消耗和轉(zhuǎn)移情況，它決定了系統(tǒng)是否能夠達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)或者趨于某種平衡。為了分析模型解的耗散性，我們首先定義一個(gè)能量函數(shù)E(t)，它包含了病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的種群密度信息，能夠綜合反映系統(tǒng)的能量狀態(tài)。考慮到模型中各變量的相互作用以及它們對(duì)系統(tǒng)能量的貢獻(xiàn)，我們定義能量函數(shù)為：E(t)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}(P^2+T^2+I^2)dx對(duì)能量函數(shù)E(t)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，利用模型方程和積分的求導(dǎo)法則，得到：\begin{align*}\frac{dE(t)}{dt}&=\int_{\Omega}(P\frac{\partialP}{\partialt}+T\frac{\partialT}{\partialt}+I\frac{\partialI}{\partialt})dx\\&=\int_{\Omega}[P(D_P\nabla^2P+bP-kPI)+T(D_T\nabla^2T+sP-mT)+I(D_I\nabla^2I-eTI+r(I_0-I))]dx\end{align*}接下來(lái)，我們對(duì)上述積分進(jìn)行詳細(xì)的分析和處理。對(duì)于\int_{\Omega}P(D_P\nabla^2P)dx，利用格林公式\int_{\Omega}u\nabla^2vdx=-\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablavdx+\int_{\partial\Omega}u\frac{\partialv}{\partialn}dS，由于齊次Neumann邊界條件\frac{\partialP}{\partialn}=0，所以\int_{\Omega}P(D_P\nabla^2P)dx=-D_P\int_{\Omega}(\nablaP)^2dx。同理，\int_{\Omega}T(D_T\nabla^2T)dx=-D_T\int_{\Omega}(\nablaT)^2dx，\int_{\Omega}I(D_I\nabla^2I)dx=-D_I\int_{\Omega}(\nablaI)^2dx。將這些結(jié)果代入到\frac{dE(t)}{dt}的表達(dá)式中，得到：\begin{align*}\frac{dE(t)}{dt}&=-D_P\int_{\Omega}(\nablaP)^2dx-D_T\int_{\Omega}(\nablaT)^2dx-D_I\int_{\Omega}(\nablaI)^2dx+\int_{\Omega}(bP^2-kP^2I+sPT-mT^2-eTI^2+rI_0I-rI^2)dx\end{align*}分析上式中各項(xiàng)的符號(hào)和作用：擴(kuò)散項(xiàng)-D_P\int_{\Omega}(\nablaP)^2dx、-D_T\int_{\Omega}(\nablaT)^2dx、-D_I\int_{\Omega}(\nablaI)^2dx均為非正項(xiàng)，這是因?yàn)閿U(kuò)散過(guò)程會(huì)使物質(zhì)的分布更加均勻，導(dǎo)致能量的耗散，所以它們體現(xiàn)了系統(tǒng)的耗散特性。擴(kuò)散使得病原體、毒素和免疫效應(yīng)器在空間中擴(kuò)散，減少了它們?cè)诰植康臐舛炔町悾瑥亩牧讼到y(tǒng)的能量。反應(yīng)項(xiàng)\int_{\Omega}(bP^2-kP^2I+sPT-mT^2-eTI^2+rI_0I-rI^2)dx中，bP^2表示病原體的內(nèi)稟增長(zhǎng)對(duì)能量的貢獻(xiàn)，它使系統(tǒng)能量有增加的趨勢(shì)；-kP^2I表示免疫效應(yīng)器對(duì)病原體的消滅作用，消耗了與病原體相關(guān)的能量；sPT表示病原體分泌毒素過(guò)程中能量的轉(zhuǎn)移；-mT^2表示毒素的衰變導(dǎo)致能量的減少；-eTI^2表示毒素對(duì)免疫系統(tǒng)的抑制作用，消耗了與免疫效應(yīng)器相關(guān)的能量；rI_0I-rI^2表示免疫效應(yīng)器的恢復(fù)過(guò)程中能量的變化。當(dāng)系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間演化時(shí)，若存在一個(gè)正常數(shù)M，使得對(duì)于足夠大的t，有E(t)\leqM，則說(shuō)明系統(tǒng)是耗散的。這意味著在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的總能量不會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)，而是會(huì)受到各種耗散因素的制約，最終趨于一個(gè)有限的范圍。為了進(jìn)一步確定系統(tǒng)的耗散性，我們可以通過(guò)分析參數(shù)的取值范圍來(lái)判斷。例如，當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)D_P、D_T、D_I較大時(shí)，擴(kuò)散項(xiàng)的作用增強(qiáng)，系統(tǒng)的耗散性更加明顯；當(dāng)病原體的內(nèi)稟增長(zhǎng)率b較小，而免疫效應(yīng)器消滅病原體的速率k、毒素衰變的速率m、毒素使免疫系統(tǒng)失效的速率e以及免疫效應(yīng)器恢復(fù)的速率r等較大時(shí)，反應(yīng)項(xiàng)中的耗散因素也會(huì)占據(jù)主導(dǎo)地位，使得系統(tǒng)更容易達(dá)到耗散狀態(tài)。通過(guò)對(duì)能量函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的分析，我們深入了解了細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型解的耗散性，明確了系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間演化過(guò)程中的能量變化規(guī)律，這對(duì)于研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和長(zhǎng)期行為具有重要的指導(dǎo)意義。3.1.3解的持續(xù)性探討解的持續(xù)性是研究細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型的一個(gè)重要方面，它關(guān)注的是系統(tǒng)在何種條件下能夠持續(xù)存在，即病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的種群密度在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不會(huì)趨近于零，從而保證感染過(guò)程的持續(xù)進(jìn)行。為了探討模型解的持續(xù)性，我們首先定義一些衡量系統(tǒng)持續(xù)性的指標(biāo)。考慮到病原體、毒素和免疫效應(yīng)器在感染過(guò)程中的重要性，我們可以定義以下指標(biāo)：\underline{P}=\liminf_{t\rightarrow+\infty}\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}P(x,t)dx\underline{T}=\liminf_{t\rightarrow+\infty}\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}T(x,t)dx\underline{I}=\liminf_{t\rightarrow+\infty}\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}I(x,t)dx其中|\Omega|表示區(qū)域\Omega的體積，\liminf表示下極限。如果\underline{P}>0，\underline{T}>0，\underline{I}>0，則說(shuō)明系統(tǒng)是持續(xù)的，即病原體、毒素和免疫效應(yīng)器在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)都能夠保持一定的數(shù)量，感染過(guò)程不會(huì)消失。接下來(lái)，我們分析影響系統(tǒng)持續(xù)性的因素。從模型方程來(lái)看，病原體的內(nèi)稟增長(zhǎng)率b是影響病原體持續(xù)性的關(guān)鍵因素之一。當(dāng)b較大時(shí)，病原體自身的繁殖能力較強(qiáng)，有利于病原體在宿主體內(nèi)維持一定的數(shù)量，從而保證感染的持續(xù)。相反，如果b過(guò)小，病原體可能無(wú)法在免疫效應(yīng)器的作用下持續(xù)繁殖，導(dǎo)致感染逐漸消退。免疫效應(yīng)器消滅病原體的速率k對(duì)系統(tǒng)的持續(xù)性也有重要影響。當(dāng)k較大時(shí)，免疫效應(yīng)器能夠有效地清除病原體，若病原體的繁殖速度無(wú)法與之抗衡，病原體的數(shù)量可能會(huì)逐漸減少，最終導(dǎo)致感染無(wú)法持續(xù)。而當(dāng)k較小時(shí)，免疫效應(yīng)器對(duì)病原體的抑制作用較弱，病原體更有可能持續(xù)存在。毒素的相關(guān)參數(shù)也會(huì)影響系統(tǒng)的持續(xù)性。病原體分泌毒素分子的速率s決定了毒素在宿主體內(nèi)的產(chǎn)生速度。如果s較大，毒素的積累可能會(huì)對(duì)宿主細(xì)胞和免疫效應(yīng)器造成更大的損害，從而影響免疫系統(tǒng)的功能，間接影響病原體的持續(xù)性。毒素衰變的速率m則決定了毒素在宿主體內(nèi)的存活時(shí)間。當(dāng)m較大時(shí)，毒素更容易衰變，其對(duì)系統(tǒng)的影響可能會(huì)減弱，有利于系統(tǒng)的持續(xù)；而當(dāng)m較小時(shí)，毒素可能會(huì)在宿主體內(nèi)長(zhǎng)時(shí)間存在，對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)的破壞作用。毒素顆粒使免疫系統(tǒng)失效的速率e以及被斬殺的免疫效應(yīng)器恢復(fù)的速率r也會(huì)影響系統(tǒng)的持續(xù)性。當(dāng)e較大時(shí)，毒素對(duì)免疫系統(tǒng)的抑制作用更強(qiáng)，免疫效應(yīng)器的功能可能會(huì)受到嚴(yán)重影響，從而無(wú)法有效地清除病原體，有利于病原體的持續(xù)存在。而當(dāng)r較大時(shí)，免疫效應(yīng)器能夠更快地恢復(fù)，增強(qiáng)免疫系統(tǒng)的功能，對(duì)病原體的清除能力增強(qiáng)，可能會(huì)導(dǎo)致病原體無(wú)法持續(xù)存在。為了確定系統(tǒng)持續(xù)的具體條件，我們可以運(yùn)用一些數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析。例如，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，結(jié)合比較原理和極限理論，來(lái)推導(dǎo)系統(tǒng)持續(xù)的充分條件。假設(shè)存在一個(gè)函數(shù)V(P,T,I)，滿足V(P,T,I)\geq0，且當(dāng)P\rightarrow0或T\rightarrow0或I\rightarrow0時(shí)，V(P,T,I)\rightarrow+\infty。對(duì)V(P,T,I)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，利用模型方程得到\frac{dV}{dt}的表達(dá)式。如果能夠找到一組參數(shù)條件，使得在這些條件下\frac{dV}{dt}\leq0，并且當(dāng)P、T、I足夠小時(shí)，\frac{dV}{dt}<0，那么就可以說(shuō)明系統(tǒng)是持續(xù)的。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)持續(xù)性的探討，我們明確了影響細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型持續(xù)存在的關(guān)鍵因素和條件，這對(duì)于深入理解細(xì)菌感染的長(zhǎng)期過(guò)程以及制定相應(yīng)的防治策略具有重要的理論和實(shí)際意義。3.2常值穩(wěn)態(tài)解的性質(zhì)3.2.1常值穩(wěn)態(tài)解的存在性分析對(duì)于細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型，常值穩(wěn)態(tài)解是指在長(zhǎng)時(shí)間演化后，病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的種群密度不再隨時(shí)間變化的狀態(tài)，即滿足\frac{\partialP}{\partialt}=0，\frac{\partialT}{\partialt}=0，\frac{\partialI}{\partialt}=0的解。由模型方程組\begin{cases}\frac{\partialP}{\partialt}=D_P\nabla^2P+bP-kPI=0\\\frac{\partialT}{\partialt}=D_T\nabla^2T+sP-mT=0\\\frac{\partialI}{\partialt}=D_I\nabla^2I-eTI+r(I_0-I)=0\end{cases}，在常值穩(wěn)態(tài)解的情況下，擴(kuò)散項(xiàng)D_P\nabla^2P=0，D_T\nabla^2T=0，D_I\nabla^2I=0（因?yàn)槌Ｖ岛瘮?shù)的梯度為零，拉普拉斯算子作用于常值函數(shù)結(jié)果為零），則方程組簡(jiǎn)化為：\begin{cases}bP-kPI=0\\sP-mT=0\\-eTI+r(I_0-I)=0\end{cases}解第一個(gè)方程bP-kPI=0，提取公因式P可得P(b-kI)=0，則有P=0或I=\frac{b}{k}。當(dāng)P=0時(shí)，代入第二個(gè)方程sP-mT=0，可得T=0，再將T=0代入第三個(gè)方程-eTI+r(I_0-I)=0，可得r(I_0-I)=0，解得I=I_0。所以得到一個(gè)常值穩(wěn)態(tài)解E_1(0,0,I_0)。當(dāng)I=\frac{b}{k}時(shí)，將I=\frac{b}{k}代入第三個(gè)方程-eTI+r(I_0-I)=0，可得-eT\frac{b}{k}+r(I_0-\frac{b}{k})=0，解關(guān)于T的方程：\begin{align*}-eT\frac{b}{k}+r(I_0-\frac{b}{k})&=0\\-eT\frac{b}{k}&=-r(I_0-\frac{b}{k})\\T&=\frac{rk(I_0-\frac{b}{k})}{eb}\end{align*}再將T=\frac{rk(I_0-\frac{b}{k})}{eb}代入第二個(gè)方程sP-mT=0，可得sP-m\frac{rk(I_0-\frac{b}{k})}{eb}=0，解關(guān)于P的方程：\begin{align*}sP-m\frac{rk(I_0-\frac{b}{k})}{eb}&=0\\sP&=m\frac{rk(I_0-\frac{b}{k})}{eb}\\P&=\frac{mrk(I_0-\frac{b}{k})}{esb}\end{align*}記P^*=\frac{mrk(I_0-\frac{b}{k})}{esb}，T^*=\frac{rk(I_0-\frac{b}{k})}{eb}，I^*=\frac{b}{k}，得到另一個(gè)常值穩(wěn)態(tài)解E_2(P^*,T^*,I^*)。常值穩(wěn)態(tài)解E_1(0,0,I_0)總是存在的，而常值穩(wěn)態(tài)解E_2(P^*,T^*,I^*)存在的條件為P^*>0，T^*>0，I^*>0。即\frac{mrk(I_0-\frac{b}{k})}{esb}>0，\frac{rk(I_0-\frac{b}{k})}{eb}>0，\frac{b}{k}>0。因?yàn)樗袇?shù)均為正常數(shù)，所以E_2(P^*,T^*,I^*)存在的關(guān)鍵條件為I_0>\frac{b}{k}。這表明只有當(dāng)免疫效應(yīng)器的種群總密度I_0足夠大，大于\frac{b}{k}時(shí)，才會(huì)存在非零的常值穩(wěn)態(tài)解E_2(P^*,T^*,I^*)，此時(shí)病原體、毒素和免疫效應(yīng)器的種群密度在穩(wěn)態(tài)下都保持非零值，反映了系統(tǒng)中三者之間存在一種動(dòng)態(tài)平衡。3.2.2局部漸近穩(wěn)定性分析為了分析常值穩(wěn)態(tài)解的局部漸近穩(wěn)定性，我們需要對(duì)模型在穩(wěn)態(tài)解處進(jìn)行線性化處理，然后通過(guò)研究線性化系統(tǒng)的特征方程來(lái)判斷穩(wěn)定性。首先，對(duì)模型\begin{cases}\frac{\partialP}{\partialt}=D_P\nabla^2P+bP-kPI\\\frac{\partialT}{\partialt}=D_T\nabla^2T+sP-mT\\\frac{\partialI}{\partialt}=D_I\nabla^2I-eTI+r(I_0-I)\end{cases}在常值穩(wěn)態(tài)解(P^*,T^*,I^*)處進(jìn)行線性化。設(shè)P=P^*+\widetilde{P}，T=T^*+\widetilde{T}，I=I^*+\widetilde{I}，將其代入模型方程，并忽略高階無(wú)窮小項(xiàng)（即\widetilde{P}^2，\widetilde{T}^2，\widetilde{I}^2，\widetilde{P}\widetilde{T}，\widetilde{P}\widetilde{I}，\widetilde{T}\widetilde{I}等項(xiàng)），得到線性化系統(tǒng)：\begin{cases}\frac{\partial\widetilde{P}}{\partialt}=D_P\nabla^2\widetilde{P}+(b-kI^*)\widetilde{P}-kP^*\widetilde{I}\\\frac{\partial\widetilde{T}}{\partialt}=D_T\nabla^2\widetilde{T}+s\widetilde{P}-m\widetilde{T}\\\frac{\partial\widetilde{I}}{\partialt}=D_I\nabla^2\widetilde{I}-eI^*\widetilde{T}-(eT^*+r)\widetilde{I}\end{cases}對(duì)于齊次Neumann邊界條件\frac{\partial\widetilde{P}}{\partialn}=0，\frac{\partial\widetilde{T}}{\partialn}=0，\frac{\partial\widetilde{I}}{\partialn}=0，我們假設(shè)線性化系統(tǒng)的解具有形式\widetilde{P}(x,t)=\varphi_1(x)e^{\lambdat}，\widetilde{T}(x,t)=\varphi_2(x)e^{\lambdat}，\widetilde{I}(x,t)=\varphi_3(x)e^{\lambdat}，代入線性化系統(tǒng)可得：\begin{cases}D_P\nabla^2\varphi_1+(b-kI^*-\lambda)\varphi_1-kP^*\varphi_3=0\\D_T\nabla^2\varphi_2+s\varphi_1-(m+\lambda)\varphi_2=0\\D_I\nabla^2\varphi_3-eI^*\varphi_2-(eT^*+r+\lambda)\varphi_3=0\end{cases}這是一個(gè)關(guān)于\varphi_1(x)，\varphi_2(x)，\varphi_3(x)的線性方程組，且滿足齊次Neumann邊界條件。對(duì)于\Omega上帶有齊次Neumann邊界條件的負(fù)Laplace算子-\nabla^2，其特征值問(wèn)題為-\nabla^2\varphi=\mu\varphi，\frac{\partial\varphi}{\partialn}=0，設(shè)其特征值為\mu_i（i=1,2,\cdots），對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為\varphi_{i}(x)。將\varphi_1(x)，\varphi_2(x)，\varphi_3(x)分別用特征函數(shù)展開，即\varphi_1(x)=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i1}\varphi_{i}(x)，\varphi_2(x)=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i2}\varphi_{i}(x)，\varphi_3(x)=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i3}\varphi_{i}(x)，代入上述線性方程組，得到關(guān)于a_{i1}，a_{i2}，a_{i3}的線性代數(shù)方程組：\begin{cases}-D_P\mu_ia_{i1}+(b-kI^*-\lambda)a_{i1}-kP^*a_{i3}=0\\-D_T\mu_ia_{i2}+sa_{i1}-(m+\lambda)a_{i2}=0\\-D_I\mu_ia_{i3}-eI^*a_{i2}-(eT^*+r+\lambda)a_{i3}=0\end{cases}該線性代數(shù)方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零，即：\begin{vmatrix}b-kI^*-\lambda-D_P\mu_i&0&-kP^*\\s&-(m+\lambda+D_T\mu_i)&0\\0&-eI^*&-(eT^*+r+\lambda+D_I\mu_i)\end{vmatrix}=0展開行列式得到關(guān)于\lambda的特征方程：\begin{align*}&[b-kI^*-\lambda-D_P\mu_i][-(m+\lambda+D_T\mu_i)][-(eT^*+r+\lambda+D_I\mu_i)]-skP^*eI^*=0\\\end{align*}對(duì)于常值穩(wěn)態(tài)解E_1(0,0,I_0)，此時(shí)P^*=0，T^*=0，特征方程為(b-kI_0-\lambda-D_P\mu_i)(m+\lambda+D_T\mu_i)(r+\lambda+D_I\mu_i)=0。若該特征方程的所有根\lambda的實(shí)部均小于零，則常值穩(wěn)態(tài)解E_1(0,0,I_0)是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)b-kI_0<0，即b<kI_0時(shí)，對(duì)于任意的\mu_i\geq0，b-kI_0-\lambda-D_P\mu_i=0的根\lambda=b-kI_0-D_P\mu_i<0；m+\lambda+D_T\mu_i=0的根\lambda=-m-D_T\mu_i<0；r+\lambda+D_I\mu_i=0的根\lambda=-r-D_I\mu_i<0。所以當(dāng)b<kI_0時(shí)，常值穩(wěn)態(tài)解E_1(0,0,I_0)是局部漸近穩(wěn)定的。對(duì)于常值穩(wěn)態(tài)解E_2(P^*,T^*,I^*)，要判斷其局部漸近穩(wěn)定性，需要分析特征方程[b-kI^*-\lambda-D_P\mu_i][-(m+\lambda+D_T\mu_i)][-(eT^*+r+\lambda+D_I\mu_i)]-skP^*eI^*=0的根的實(shí)部情況。一般來(lái)說(shuō)，判斷三次方程根的實(shí)部比較復(fù)雜，可以利用一些穩(wěn)定性判據(jù)，如Hurwitz判別法。設(shè)特征方程為a_3\lambda^3+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0（通過(guò)對(duì)上述特征方程展開整理可得a_3，a_2，a_1，a_0關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式），根據(jù)Hurwitz判別法，當(dāng)a_3>0，a_2>0，a_1>0，a_0>0且a_2a_1-a_3a_0>0時(shí)，特征方程的所有根的實(shí)部均小于零，此時(shí)常值穩(wěn)態(tài)解E_2(P^*,T^*,I^*)是局部漸近穩(wěn)定的。通過(guò)對(duì)參數(shù)的分析和計(jì)算，可以確定在某些參數(shù)條件下，常值穩(wěn)態(tài)解E_2(P^*,T^*,I^*)的局部漸近穩(wěn)定性。3.2.3全局漸近穩(wěn)定性分析基于Lyapunov泛函方法，我們可以證明常值穩(wěn)態(tài)解在特定區(qū)域內(nèi)的全局漸近穩(wěn)定性。Lyapunov泛函方法的核心思想是構(gòu)造一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)，通過(guò)分析該函數(shù)沿著模型解的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于細(xì)菌毒素依賴性發(fā)病模型，我們考慮常值穩(wěn)態(tài)解E_2(P^*,T^*,I^*)，構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：V(P,T,I)=\int_{\Omega}[P-P^*-P^*\ln\frac{P}{P^*}+\frac{s}{m}(T-T^*-T^*\ln\frac{T}{T^*})+\frac{es}{rm}(I-I^*-I^*\ln\frac{I}{I^*})]dx該Lyapunov函數(shù)是基于模型中各變量與穩(wěn)態(tài)解的差異構(gòu)建的，其中P-P^*-P^*\ln\frac{P}{P^*}反映了病原體種群密度P與穩(wěn)態(tài)值P^*的偏離程度，\frac{s}{m}(T-T^*-T^*\ln\frac{T}{T^*})反映了毒素種群密度T與穩(wěn)態(tài)值T^*的偏離程度，\frac{es}{rm}(I-I^*-I^*\ln\frac{I}{I^*})反映了免疫效應(yīng)器種群密度I與穩(wěn)態(tài)值I^*的偏離程度。對(duì)數(shù)項(xiàng)的引入有助于更好地刻畫變量在不同尺度下與穩(wěn)態(tài)值的差異，使得Lyapunov函數(shù)能夠更全面地反映系統(tǒng)的狀態(tài)。對(duì)V(P,T,I)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)\frac{dV}{dt}，利用模型方程\begin{cases}\frac{\partialP}{\partialt}=D_P\nabla^2P+bP-kPI\\\frac{\partialT}{\partialt}=D_T\nabla^2T+sP-mT\\\frac{\partialI}{\partialt}=D_I\nabla^2I-eTI+r(I_0-I)\end{cases}以及積分的求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算。首先，對(duì)\int_{\Omega}(P-P^*-P^*\ln\frac{P}{P^*})dx求導(dǎo)：\begin{align*}&\frachb6gpy1{dt}\int_{\Omega}(P-P^*-P^*\ln\frac{P}{P^*})dx\\=&\int_{\Omega}(\frac{\partialP}{\partialt}-\frac{P^*}{P}\frac{\partialP}{\partialt})dx\\=&\int_{\Omega}\frac{\partialP}{\partialt}(1-\frac{P^*}{P})dx\\=&\int_{\Omega}(D_P\nabla^2P+bP-kPI)(1-\frac{P^*}{P})dx\\=&\int_{\Omega}D_P\nabla^2P(1-\frac{P^*}{P})dx+\int_{\Omega}(bP-kPI)(1-\frac{P^*}{P})dx\\\end{align*}對(duì)于\int_{\Omega}D_P\nabla^2P(1-\frac{P^*}{P})dx，利用格林公式\int_{\Omega}u\nabla^2vdx=-\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablavdx+\int_{\partial\Omega}u\frac{\partialv}{\partialn}dS，由于齊次Neumann邊界條件\frac{\partialP}{\partialn}=0，所以\int_{\Omega}D_P\nabla^2P(\##????????o?o???·?????????????¨????éa?èˉ??????????\##\#4.1??????é??????????°??????é????o?o?éa?èˉ?????·±??￥?????????è???ˉ??′

???èμ???§???????¨??????????????2????é??????o????è′o?°?è???????-???è???-￠???è??è????¤??a??·?????￡è?¨??§???????????????è′o?°?è????ˉ????§?é????°?°?é?′??§???è??????±??o?è?

???è???§??????ˉ???è????§??￠????????????è??????????·?????μè￠-???????ˉ??′

???è???¤????èμ·è?

é????????????ˉ?è?′è?1?3????è?1????-?????????????è′o?°?è???ˉ1??ˉ?￠????é???o???§è????o???è???¤???¨?°′??-?-??′???°??¨è?3??°???????ˉ1é???￠±?o|???????o|????1??o|?-???ˉ?￠???

?′

????????????è?????è????′????????

??-é????????è|???ˉé??è???2a??￡é??????????3?????￥è￠????è′o?°?è???±???????é￡????????°′è?????????????¨?????????????·??????ˉ?￠???-??????è′o?°?è????1?????

??-?????1?????ˉ??¨?°′?o??±?????????????è????????è?3?????°??o?????-???è???-￠???è????ˉ????§?é????°?°?é?3??§???è?????è????¨????￡¤??-??￠???è???-￠?????·????????o???è????-???è???12??￥???è??????-|????ˉ???????è????????????o§????¤??§??ˉ??′

?????????è?′?-???

?-?????????o??

?-????è???o??ˉ??′

??ˉ?ˉ?è?′??-???????-??o???????è|??????

?????-???è???-￠???è???????

??-é??????¤??

·???????????????é???????????é????????è?¤??￥è§|????????-??????é??????????ˉ??????è§????????????1????????-?????????è|??μ?è???o?????????????é???-??¤§???é￡?è????¨???????oo?±???????é??????????¨?????￥è§|???é￡???¨??a???????????????è???±??????3????ˉ1?o????è′o?°?è?????????????°??????é????????è|???￥?o??o??????3?????′?o?????????￥???????μ?è??????-|è°???￥??￥??????éa???¤?￡??μ????????????¨??′?o?????????￥?????1é?￠??????é???o???￡è???????o????????ˉ????|??1′é???????§????????′?o?è?¨??°?????????è?1?3????é￠????????2a????????§??????è?1???????¨??o|?????ˉ??|??′????????-?-????????????????é?′?-????é??è???ˉ1è???o??????ˉ?????′?????????????????ˉ??￥????-￥?o?è§￡???è′o?°?è???????????????????1??????è§????????μ?è??????-|è°???￥?????§é???o??o?è§￡???è′o?°?è???????

??-é???????????????o????é??è??è°???￥??￡è?????é￥?é￡???2???????????ˉ??|é￡???¨?o?è￠??±???????é￡????????°′???è°???￥??￡è?????????′???ˉ?￠???????????±???????????????????è??????-????èˉ???°??ˉ?￠???

?′

?ˉ1???è′o?°?è????

??-?????±????????????????ˉ1??￡è??????ˉ??????￥è§|è??è??è??è??è?aè°???￥????o?è§￡????????ˉ??|??o??°?±???????????????￥?????????????????

??-è????′?????¨???éa???¤?￡??μ???1é?￠??????é???o???￡è???2a????

·???????￡??μ???°??????é??è???2a?????1??????è§??ˉ???ˉ??|??????è′o?°?è?????é??????????????????????????è??????????¨è??????-|?￡??μ???1?3?????￡??μ?è???????-??????è′o?°?è?????????????¨?o????é????§èˉ???-???è