第第頁2025年中考數學總復習《二次函數與角度》同步測試題-附答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、已知兩角之比例1．（2024?香坊區三模）1．在平面直角坐標系中，拋物線分別交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點A的坐標為，點B的坐標為2,0．AI(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點Q、點P分別在第一、第二象限內的拋物線上，軸于點D，點F在第四象限內，連接交x軸于點E，連接、，且，若點P的橫坐標為t，點Q的橫坐標為，，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，點N在線段上，連接，作平分交線段于點M，連接，若與的度數比為，，求Q點的縱坐標．二、含特殊角例2．2．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A坐標為，點B坐標為．(1)求此拋物線的函數解析式．(2)點P是直線上方拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線交直線于點D，過點P作y軸的垂線，垂足為點E，請探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時P點的坐標；若沒有最大值，請說明理由．(3)點M為該拋物線上的點，當時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標．對應練習：（2024春?江北區校級期末）3．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于點和點B4,0，與軸交于點，連接，過點作交軸于點，連接．(1)求二次函數的表達式；(2)如圖1，點在第一象限內的拋物線上，連接、，當四邊形的面積最大時，求出此時點的坐標以及的最大值；(3)如圖2，將拋物線先向左平移3個單位，再向上平移1個單位得到新拋物線，若新拋物線與軸交于點，連接、，點在新拋物線的對稱軸上，滿足：，請直接寫出點的坐標．（2024?單縣三模）4．已知拋物線的頂點坐標為，與軸交于點和點，與軸交于點，點P為第二象限內拋物線上的動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點的坐標為，點為軸負半軸上的一點，，連接，若，請求出點的坐標；三、等角例3．（2024?沂源縣一模）5．如圖，已知拋物線經過A(，0)，B(，)兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連接CD．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P為該拋物線上一動點（與點B，C不重合），設點P的橫坐標為t．①當點P在直線BC的下方運動時，求的面積的最大值及點P的坐標；②該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．對應練習：（2024?萊蕪區模擬）6．拋物線的頂點坐標為，與x軸交于，B兩點，與y軸交于點C．(1)求這條拋物線的函數表達式；(2)如圖，點P在第四象限的拋物線上，連接與相交于點Q，與x軸交于點G，是否存在點P，使．若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．（2024?濟南一模）7．如圖，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，其對稱軸與線段交于點E，與x軸交于點F．連接．(1)若，求B點和C點坐標；(2)若，求m的值；8．如圖①，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，點P是直線下方拋物線上的點，于點D，軸于點F，交線段于點E，(1)求拋物線的解析式；(2)當的周長最大時，求P點的坐標；(3)如圖（2），點M是在直線上方的拋物線上一動點，當時，求點M的坐標．（2020春?云夢縣期中）9．如圖，拋物線過點軸上的和點，交軸于點，點是該拋物線上第一象限內的一動點，且．(1)拋物線的解析式為：；(2)若，在對稱軸左側的拋物線上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．（2024春?昆都侖區校級月考）10．如圖，拋物線與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，．(1)求該拋物線的函數解析式；(2)在拋物線上是否存在點P，使．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：1．(1)(2)(3)9【分析】（1）把A的坐標，點B的坐標2,0代入解方程組即可解答；（2）設，則，，根據平行四邊形的性質得到，求得，根據三角函數的定義即可解答；（3）設，則，由與的度數比為得到，求得，設，則，過N作于G，根據全等三角形的性質得到，延長交于點H，過H作于R，則，，求得，根據勾股定理得到，得到，求得，根據勾股定理得到，過點N作交的延長線于T，則，根據矩形的性質得到，，根據勾股定理得到，求得，得到，得到，求得，代入，得，得到或（舍），于是得到，代入（2）中的結論得，代入即可解得．【詳解】（1）解：把A的坐標與點B的坐標2,0代入可得：，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：設，則，，∵且，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，在中，，∴；（3）解：∵平分，∴，設，∴，∵與的度數比為，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，如圖2：過N作于G，∵軸于點D，∴，∵，，∴，∴，延長交于點H，過H作于R，則，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，過點N作交的延長線于T，則，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，將代入，得，解得：或（舍），∴，把代入（2）中的結論可得，把代入得，∴Q點的縱坐標為9．【點睛】本題屬于二次函數的綜合題，主要考查了待定系數法求函數的解析式、平行四邊形的判斷與性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理、解直角三角形等知識點，正確地作出輔助線是解題的關鍵．2．(1)(2)有最大值為，(3)點M的坐標為或【分析】（1）把點A坐標為，點B坐標為分別代入拋物線，后利用待定系數法確定解析式即可．（2）先確定直線的解析式為．設，則，則；從而得到，解得即可．（3）利用平移思想，三角函數，等腰三角形的性質，平行線的性質，分類想想計算即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，點∴，∴，故拋物線的解析式為．（2）解：有最大值為，且．理由如下：設直線的解析式為，將，代入直線的解析式得：，解得，∴直線的解析式為，設，則，則，，∴，∵點P在直線上方的拋物線上，∴，∵，∴有最大值，且當時，取得最大值，∴時，；故．∴有最大值為，且．（3）解：如圖，以為對角線作正方形，∴，∴直線與拋物線的另一個交點即為M，如圖，過T作x軸的平行線交y軸于Q，過B作于G，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∴，由可得，解得，∴，設直線的解析式為，∴，解得，故直線的解析式為，∴，解得，，∴，，，，正方形．同理可證，設直線的解析式為，∴，解得，故直線的解析式為，同理可得直線為，∴，解得，，∴，綜上所述，點M的坐標為或．【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，構造二次函數求最值，等腰直角三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，一次函數解析式確定，解方程組，熟練掌握待定系數法，解方程組是解題的關鍵．3．(1)(2)，(3)，【分析】（1）根據待定系數法求解即可；（2）先求出直線為，直線AD為，進而得，過點作軸交于點，設，則，利用面積公式構造二次函數，利用二次函數的性質求解即可；（3）利用平移性質求得新函數為，對稱軸為，進而求得，在軸上取，則，利用待定系數法求得直線為，進而利用證明，從而分當點在的下方和點在的上方時兩種情況分類討論求解即可．【詳解】（1）解：把點和點B4,0代入二次函數得，，解得，∴二次函數為；（2）解：當x=0時，，∴，設直線為，把，B4,0代入得，，解得，∴直線為，∵，∴設直線AD為，把代入得，解得，∴直線AD為，當x=0時，，∴過點作軸交于點，設，則，，∴當時，的最大值為，當x=2時，，∴，的最大值為；（3）解：∵，∴拋物線先向左平移個單位，再向上平移個單位得到新拋物線，得，即，∴新函數的對稱軸為，當x=0時，，∴，在軸上取，則，設直線為，把，代入，得，解得，∴直線為，∵軸，∴，∵，∴，∵，∴，∴，當點在的下方時，令交于點，與軸交于點，∵，∴，∵B4,0，，∴，∴，∵，∴，∴，∴即，∴，設直線為，把，B4,0代入，得，，解得，∴直線為，當時，，∴，當點在的上方時，∵，∴，∵直線為，∴設直線為，把B4,0代入，得，解得，∴直線為，當時，，∴，綜上可得，．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數，一次函數解析式，二次函數的平移，全等三角形的判定及性質，線段垂直平分線的性質等，熟練掌握二次函數的性質，全等三角形的判定及性質，線段垂直平分線的性質等是解題的關鍵．4．(1)；(2)．【分析】本題主要考查了二次函數綜合、三角形外角的性質．根據拋物線的頂點坐標為，可得關于、的方程組，解方程組得到、的值，即可求出拋物線的解析式；根據，可得，根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和可得，從而可得：，可知點的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式，解方程組求出點的坐標．【詳解】（1）解：拋物線的頂點坐標為，，解得：，拋物線解析式為；（2）解：如下圖所示，設直線交軸于點，，，，，點的坐標為，設直線的解析式為，把點、的坐標代入解析式，可得：，解得：，直線的解析式為，解方程組，得：，解得：，，，，點在軸左側，應舍去，當時，可得：點的坐標是．5．（1）；（2）①，P(，)，②存在，P(，)或(0，5)【分析】（1）將點A、B坐標代入二次函數表達式，即可求解；（2）①根據S△PBC=PG（xC-xB），即可求解；②分點P在直線BC下方、上方兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）將點A、B坐標代入二次函數表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：y=x2+6x+5…①，令y=0，則x=-1或-5，即點C（-1，0）；（2）①如圖1，過點P作y軸的平行線交BC于點G，將點B、C的坐標代入一次函數表達式并解得：直線BC的表達式為：y=x+1…②，設點G（t，t+1），則點P（t，t2+6t+5），，∵?＜0，∴S△PBC有最大值，當t=-時，其最大值為；②設直線BP與CD交于點H，當點P在直線BC下方時，∵∠PBC=∠BCD，∴點H在BC的中垂線上，線段BC的中點坐標為（-，-），過該點與BC垂直的直線的k值為-1，設BC中垂線的表達式為：y=-x+m，將點（-，-）代入上式并解得：直線BC中垂線的表達式為：y=-x-4…③，同理直線CD的表達式為：y=2x+2…④，聯立③④并解得：x=-2，即點H（-2，-2），同理可得直線BH的表達式為：y=x-1…⑤，聯立①⑤并解得：x=-或-4（舍去-4），故點P（-，-）；當點P（P′）在直線BC上方時，∵∠PBC=∠BCD，∴BP′∥CD，則直線BP′的表達式為：y=2x+s，將點B坐標代入上式并解得：s=5，即直線BP′的表達式為：y=2x+5…⑥，聯立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4），故點P（0，5）；故點P的坐標為P（-，-）或（0，5）．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、等腰三角形性質、圖形的面積計算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．6．(1)(2)存在，【分析】本題主要考查了求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、解直角三角形等知識點，掌握轉化思想是解題的關鍵．（1）設這條拋物線的函數表達式為，將點代入求得a的值即可解答；（2）如圖2，過點D作y軸的平行線交過點C與x軸的平行線于點E，則，易得，過點Q作軸于點T，易得，進而得到；過點P作軸交過點D與x軸的平行線于點N，可證，由正切的定義可得；設點，則，然后求出t的值即可解答．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，∴設拋物線的解析式為，將點代入，得：，解得：，∴，∴該拋物線的函數表達式為．（2）解：存在點P，使．理由如下：如圖2，過點D作y軸的平行線交過點C與x軸的平行線于點E，則，即，則，∴；過點Q作軸于點T，則，∴，若，則，過點P作軸交過點D與x軸的平行線于點N，∵軸，軸，∴，∴，在中，，設點，則，解得：（舍去）或，經檢驗，是方程的根，∴．7．(1)(2)【分析】本題主要考查了二次函數的性質，平行線分線段成比例定理，解直角三角形等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．（1）當時，，令，求得x的值可確定點B的坐標；令可求得點C的坐標；（2）由題意可得、，進而得到，可推出；連接，然后說明可得，即、；由正切的定義可得，，即，最后求得m的值即可解答．【詳解】（1）解：當時，，令，得，解得：，∵點A在點B的左側，∴，令，得，∴．（2）解：當時，，解得：，∵點A在點B的左側，且，∴，∵當時，，∴，∴，∵，∴，如圖1中，連接，∵，∴，∴，∵A、B關于對稱軸直線對稱，∴，∴，∴，∵，∴，即，∵，，∴，解得：或，經檢驗，是方程的根，∵，∴．8．(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）求出，由，得到，則，證明，得到，則，即可推出當最大時，的周長最大；求出直線解析式為，設，則，則，則當時，有最大值，即此時的周長最大，此時；（3）如圖所示，設直線交y軸于D，證明，得到，則，同理可得直線解析式為，聯立，解得或，則．【詳解】（1）解：把代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：在中，當時，，∴，∵，∴，∴，∵，軸，∴，又∵，∴，∴，∴，∴的周長，∴當最大時，的周長最大，設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，設，則，∴，∵，∴當時，有最大值，即此時的周長最大，此時；（3）解：如圖所示，設直線交y軸于D，∵，，∴，∴，∴，同理可得直線解析式為，聯立，解得或，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，解直角三角形，待定系數法求函數解析式，一次函數與幾何綜合，全等三角形的性質與判定等等，數量掌握二次函數的相關知識是解題的關鍵．9．(1)；(2)存在，．【分析】（1）根據可以求出點的坐標，利用待定系數法可以求出拋物線的解析式；（2）解方程求出點的坐標，根據，可得：，所以可知，利用可證，可得，得到點的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式，再與拋物線的解析式聯立，解方程組求出點的坐標．【詳解】（1）解：點的坐標