【例11】已知實數滿足，且，求的最小值.【解析】令則.當且僅當即即時取得等號.【評注】在解決不等式問題時，如果分母里的字母較多較復雜，不妨考慮先換元化簡分母，這樣更容易看清題目的本質.這里其實是我們非常熟悉的一次和與倒數和的不等式應用，只是將等式轉化為不等式時，注意檢驗等能否取到.【例12】已知正數a,b滿足則的最小值為【答案】【解析】令則所以,故問題轉化為分式函數求值域的問題.易得當即時.【例13】若實數滿足則的最大值是【答案】【解析】令則問題轉變為求圓弧上一點到原點的距離的平方減3的最大值，故.【例14】已知為正實數,且則的最小值是【答案】【解析】解法1：解法2:令則，則【評注】換元法有助于簡化問題，看穿本質.【例15】已知正數滿足則的最大值是【答案】【解析】解法1：今得，則當且僅當即時取得等號.解法2令則令則,當且僅當，即時取得等號.【例16】已知則的最大值是【答案】【解析】解法1:令則,目標函數為畫出,點所在的可行域,如圖，目標函數與相切時則當且僅當，即時取得.解法2:令則所以.解法3:三角換元令則令則故.解法4：令，則，【評注】解法4用的是不等式中的“極化恒等式”思想，即【例17】已知為實數,且則的最小值是【答案】【解析】解法1：令，，則，且，所以解法2:齊次化,轉化為函數求值域問題.今則,令則【例18】若正數滿足則的最小值為【答案】【解析】解法1：分母復雜，采用換元法令則問題等價于:已知求的最小值.當且僅當即時取得等號.解法2：齊次化記視為線段上的點與坐標原點連線的斜率,則令,【評注】解法2計算量很大，主要是題目設計數據的問題，但齊次化思路還是清晰的.十二最值之最，合并再求【例1】設則的最小值等于A. B. $ $【答案】B【解析】設，則上述六式相加得，當時等號成立.故選.【評注】求最大值的最小值，宜用最值疊加法.變式訓練設則的最小值等于（）A. B. C. 【例2】若求的最小值.【解析】由題意得則故【例3】若求的最小值.【解析】相加得即當時等號成立.【例4】設函數，若對任意的正數和實數，總存在，使得則實數的取值范圍是【答案】【解析】解法1：由題意知，，相加得，故即.解法2:設的最大值為令,當時,函數單調遞減,故.因為所以.由解得.(1)若;(2)若(3)若綜上可得,即.【例5】設二次函數,若對任意的實數,都存在實數使得不等式成立,則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得，令，得，設當時,只有才能保證圖象上下平移時,其絕對值不小于1.否則當任意變化到使時,對任意的,（如圖)故原命題等價于(1)當時，在上單調遞增，即(2)當時，在上不一定單調，在上單調遞減,在，上單調遞增,所以當時在上單調遞增;當時在上單調遞減,在上單調遞增或，解得當時在上單調遞減,此時解得.綜上得【評注】另解:設,則有相加得恒成立,即恒成立,即恒成立,則以上解法為何不對，請讀者研究.拓展提升已知函數(1)當時,求證：在(0,2)上是減函數(2)若對任意的實數,都存在使得成立,求實數的取值范圍.【例6】記為兩數的最大值,當正數變化時的最小值為【答案】10【解析】則相加得所以變式訓練定義為實數中較小的數.已知其中均為正實數,求的最大值.【例7】設記中的最人數為，求的最小值.【解析】,所以，當時等號成立.【例8】若的最大值為，求的最小值.【解析】顯然取到最小值時，二次函數的對稱軸在之間.因為，故所以當時,等號成立.所以的最小值為.【例9】設函數若對一切恒成立,則的最小值為【答案】【解析】令，故即或由于故.由圖象得故.【例10】設函數其中(1)求使得等式成立的的取值范圍(2)(i)求的最小值(ii)求在[0,6]上的最大值.【解析】(1)由于故當時,當時.所以,使得等式成立的的取值范圍為[2,2a].(i)設函數,則所以由的定義知即(ii)當時,當時所以拓展提升設函數，記為函數的圖像上的點到直線的距離的最大值，則的最小值是【例11】已知關于的函數其導函數為.令,記函數在區間[-1,1]上的最大值為M.(1)如果函數在處有極值試確定的值;(2)若|b|>1,求證:對任意的c,都有;(3)若對任意的恒成立,試求的最大值.【解析】(1)由在處有極值,可得解得若則此時沒有極值;若則當變化時，的變化情況如下表:↘極小值↗極大值↘故當時,有極大值故即為所求.(2)證法1：當時,函數的對稱軸位于區間[-1,1]之外,故在[-1,1]上的最值在兩端點處取得,則應是和中較大的一個,所以即證法反證法因為所以函數的對稱軸位于區間[-1,1]之外,故在上的最值在兩端點處取得,應是和中較大的一個.假設則將上述兩式相加得，導致矛盾,所以假設不成立,.(3)解法1：.(1)當時,由(2)可知;(2)當時,函數的對稱軸位于區間[-1,1]內,此時由知(i)若則于是(ii)若則于是綜上,對任意的,都有.而當時在區間[-1,1]上的最大值故對任意的恒成立的的最大值為.解法2：①當時,由(2)可知;②當時，函數的對稱軸位于區間[-1,1]內,此時即下同解法1變式訓練設函數函數在區間[-1,1]上的最大值為.(1)若求的值(2)若對任意的恒成立,求的最大值.十三多元最值，合理轉換【例1】已知求的最小值.【解析】解法1：當且時，兩個等號都成立.故當且時,可取到最小值:4解法2：,當且僅當時等號成立.故當時，可取到最小值4.【評注】特別提醒：最值探求時務必注意等號的驗證.【例2】設是大于0的常數,函數若恒成立,則的取值范圍是（） B. C. D.【答案】D【解析】由，解得故選變式訓練1.設二次函數的值域為則的最大值為2.若成等差數列,成等此數列,則的取