13§2.2

函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)4一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限以下分別用記號(hào)x沿負(fù)方向無限增大x沿正負(fù)方向無限增大x沿正方向無限增大5問題如何用數(shù)學(xué)語言來定義此極限.6記作或72.另兩種情形例討論極限是否存在?定義域值域解可見和都存在,但它們不相等.故不存在.例討論極限是否存在?10圖形完全落在:11例證12例證要使成立.有從函數(shù)圖形易觀察出：為一條水平漸近線13oxy1(horizontalasymptote).14例試證證注意有為了使只要使有15相應(yīng)的函數(shù)無限接近某一常數(shù)

A.記作設(shè)函數(shù)在附近有定義.如果隨著x無限靠近二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限研究函數(shù)變化趨勢.

161oxy1-1217用數(shù)學(xué)語言如何刻劃問題18設(shè)函數(shù)有定義.記作或恒有在點(diǎn)x0某去心鄰域內(nèi)19注意也將越小.一般地說,越小,(3)不要求最大的

只要求

存在即可.20圖形完全落在21例證例證22例證函數(shù)在點(diǎn)處沒有定義.要使例證min24例證注意25試證[提示]僅需在附近討論問題,

可限定在范圍內(nèi)討論問題.這時(shí)例26證練習(xí)27(1)證明證由于要使解出只要可取有解不等式,練習(xí)28(2)證明證可取有同樣有29左極限右極限4.單側(cè)極限30且性質(zhì)常用于判斷分段函數(shù)當(dāng)x趨近于分段點(diǎn)時(shí)的極限.31例如,32左右極限存在但不相等,例證33注意：1.談到函數(shù)的極限時(shí),必須明確指出自變量x的趨向,一般來說不同的趨向,函數(shù)的極限是不同的.2.函數(shù)趨向A的方式通常有三種:(1)f(x)大于A趨向于A.(2)f(x)小于A趨向于A.(3)f(x)一會(huì)大于A,一會(huì)小于A趨向于A.3.只有常數(shù)C的極限永遠(yuǎn)為常數(shù)C.x的趨向一共有六種:

34

函數(shù)極限與數(shù)列極限相比,有類似的性質(zhì).定理(極限的唯一性)定理(局部有界性)三、函數(shù)極限的性質(zhì)35定理證對(duì)從而有總之,36定理(局部保號(hào)性)推論(或A<0),(f(x)<0).(f(x)≤0),(A≤0).其它極限過程，局部保號(hào)性，也有相應(yīng)的形式37(函數(shù)極限與其子列極限的關(guān)系)1.定義2.函數(shù)的子列定理四、函數(shù)的子列定理(并歸原則）也稱海涅(Heine)定理38證明自學(xué)39函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系有定義,有40例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系若函數(shù)極限存在，則它的任何子列的極限都存在,且相等.41推論1推論242例證二者不相等,43的不同數(shù)列法1

找一個(gè)數(shù)列且使法2

找兩個(gè)趨于及使不存在.441.

函數(shù)極限的或定義;2.

函數(shù)極限的性質(zhì)局部保號(hào)性;小結(jié)唯一性;局部有界性;3.函數(shù)的左右極限判定極限的存在性.45思考題1(A)先給定

后惟一確定

;極限定義中

與

的關(guān)系是().(C)先確定

后給定

;(D)與

無關(guān).

B(1)(B)先確定

后確定

,但

的值不惟一;46(2)

如果

與

存在,則().(B)存在但不一定有(C)不一定存在;(D)一定不存在.(A)存在且C47思考題2解答不能保證.例有48