“24.1銳角的三角函數---正切”教學設計安徽省淮北市海宮學校牛新榮一、教學內容解析教學內容上海科學技術出版社教材九年級上冊24.1銳角的三角函數第1課時教學內容的地位和作用本節課內容是有關“正切”的概念課，與以前學過的一次函數、二次函數及反比例函數有所不同，它揭示的是角度與數值（線段比值）的對應關系，且首次用符號來表示一種函數.銳角三角函數是函數知識的推廣和延伸，也是對直角三角形各元素之間關系的進一步探究，是三角學的起點.正切函數概念的建立是這節課的重點和難點，在形成概念和應用概念的過程中，學生通過自主學習、合作交流解決問題，積累數學活動經驗，培養抽象、建模等數學思想.銳角三角函數與勾股定理一樣都是解直角三角形很重要的知識內容之一，它揭示了直角三角形中邊與角之間的關系，被廣泛應用于測量、建筑、工程技術和物理學中，主要是計算距離、高度和角度.正確認識銳角三角函數，是學好解直角三角形的關鍵，也將為以后繼續學習三角函數奠定必要的基礎.對于滲透數學思想方法而言，本節課在引入概念、計算化簡、解決實際問題時，都要求學生通過畫圖幫助分析，由圖形找出直角三角形中邊、角的關系，加深對銳角三角函數概念的理解和應用，是詮釋數形結合的理想材料.而數與形的結合不僅是數學自身發展的需要，也是輔助概念性教學、增強元認知策略的需要，對加深理解數學知識、發展數學能力有不可替代的作用.二、教學目標設置1.知識與技能（1）理解正切、坡度的概念，正切與坡度的關系；（2）掌握正切的表示方法，并能運用正切、坡度解決問題.2.過程與方法讓學生經歷多次猜想、驗證，在不斷的否定與肯定的過程中，探究如何描述坡面的傾斜程度，培養學生思維的批判性、深刻性．3.情感、態度與價值觀經歷正切概念的探索過程，體會從生活中的問題抽象出數學模型的建模思想、數形結合的重要性、體驗角度和數值一一對應的函數思想，培養學生的符號意識.體會正切在生活中的應用.教學重點：正切概念的探究教學難點：1.在正切概念的探究過程中，如何想到利用直角三角形的對邊與鄰邊的比來描述坡面的傾斜程度以及把比值和角度聯系起來；2.理解正切的概念.三、學生學情分析在此之前學生已經學習過函數的定義和相似三角形，具備了學習銳角三角函數的知識基礎；九年級上學期的學生已經具有一定的空間觀念、想象力、幾何語言表達能力以及邏輯推理能力.學生已有的知識、經驗、能力和思想方法為新的認知活動提供了必要的基礎和條件.在研究如何描述坡面的傾斜程度的過程中，學生對所構建的直角三角形的單一元素的研究中得出：直角三角形的銳角可以用來描述坡面的傾斜程度，而三邊中的任何一條邊都不可以.學生可能會想到兩條邊而如何又會想到兩邊的比值呢？這種變換思考問題的角度對學生來說還是有困難的.另外，學生雖然學習了一些函數的知識，但是學生對角度與數值之間的對應還是第一次接觸，所以對銳角三角函數概念的理解仍顯抽象和困難.基于以上原因，我將本節課的教學難點確定為：1.在正切概念的探究過程中，如何想到利用直角三角形的對邊與鄰邊的比來描述坡面的傾斜程度以及把比值和角度聯系起來；2.理解正切的概念.突破難點一的策略：既然坡角可以用來描述坡面的傾斜程度，我們就想辦法利用這個結論.兩個銳角一樣大的直角三角形（畫出圖形，結合圖形說明）對應的坡面的傾斜程度是一樣的，而這兩個直角三角形相似，相似三角形的對應邊成比例，這樣就溝通了直角三角形中的邊、角關系，從而變換角度繼續探討：能不能利用直角三角形兩邊的比來描述坡面的傾斜程度呢？突破難點二的策略：借助幾何畫板，從運動的角度來實施動態化、形象化、直觀化教學，進行圖形的動畫演示、驗證，揭示了∠A的對邊與∠A的鄰邊的比和∠A這兩個變量之間一一的對應關系，因此學生會大膽地得出結論：正切就是反應直角三角形中銳角的對邊與鄰邊的比值和∠A之間的一種函數.從而確信正切概念建立的科學性.四、教學策略分析依據教學內容、教學目標以及學情分析，本節課的教學策略采用啟發式與自主探究相結合的模式.教師的教法突出探究活動的組織設計與方法的引導，學生的學法突出自主、合作、探究的學習理念.整節課的探究活動采用問題引導下的自主探究，在探究中發現并掌握相關知識．具體做法如下：以生活中的實際場景為背景創設情境，設計問題1：怎樣描述坡面的坡度（傾斜程度）呢？因為學生對親身經歷的爬山坡有體驗，所以對此展開探究.設計問題2：爬這兩段山坡會有什么不同的感受？哪個坡面更陡？你是如何判斷的？利用坡角的大小作出判斷，這是絕大多數學生首先想到的辦法，這個機會可以留給程度較差的學生，結合構建的圖形口頭敘述即可.而對于邊的探討，不少學生想不到，要引導學生將實際問題抽象成數學問題，構建直角三角形，利用構建的直角三角形通過舉反例不斷地否定.這里不光讓學生體會建模的思想，還要讓學生知道：在數學中說明一個結論不成立要舉反例.從而得出從單一的元素考慮：銳角可以描述坡面的傾斜程度，而三邊中的任何一條邊都不可以.既然只用一邊不行，我們綜合考慮兩條邊.引出問題3：如何改進呢？此時給學生留時間思考、交流.突然變換角度思考問題，大多數學生都很茫然，只有少數學生有不太清晰的思路，這部分學生可以在老師的適當幫助下獨立解決問題.對于多數學生，這時教師不只是引導，還要做必要的講解.學生在得到可以用直角三角形銳角的對邊與鄰邊的比來描述坡面的傾斜程度的同時，還得到：銳角和銳角的對邊與鄰邊的比的關系：銳角固定，銳角的對邊與鄰邊的比也固定.此時學生可能會想到問題4：如果角度變化了呢？這個比值會怎樣呢？對于角度和比值之間的一一對應的函數關系，多數學生理解起來還存在思維障礙.這時教師通過幾何畫板的動態演示，從運動的角度直觀化教學，使∠A的對邊與∠A的鄰邊的比和∠A這兩個變量之間的一一對應關系形象化，從而讓學生深刻理解了正切就是反應直角三角形中銳角的對邊與鄰邊的比值和∠A之間的一種函數.此處教師用“幾何畫板”的演示起到了媒介特殊的作用----突破難點.同時“幾何畫板”的運用，為課堂教學注入了生命的活力，進一步增強了學生學習的積極性和求知欲望.整個教學過程大致可以分為“提出問題---探索問題---解決問題”三個階段.問題解決的過程，正是學生情感態度、價值觀及學習能力全面發展的過程.在這樣的課堂上，學生不僅學會了有條理地表述自己的觀點想法，還學會了相互接納、贊賞與互助，并不斷對自己和別人的想法進行批判和反思.通過學生間的多向交流，可以使他們從多角度看到解決問題的途徑.學生探索數學新知的學習過程是一個以學生已有的知識和經驗為基礎的主動構建的過程，要靠學生在活動中去領會.所以我將學習知識的過程和探究知識的過程統一到“嘗試---探究”的全過程中來.盡可能做到讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發展，在“合作”中交流，在“探究”中創新.本節課就是這樣依據知識的發生發展過程和學生的思維規律，圍繞教學重點設計問題，引導學生的數學思維活動的.五、教與學互動設計（一）創設情境、引入新知怎樣描述坡面的傾斜程度呢？怎樣描述坡面的傾斜程度呢？人們在行走的過程中，自行車、汽車在行駛的過程中免不了爬坡.你有沒有想過：怎樣描述坡面的坡度（傾斜程度）呢？下面我們一起來探究.【設計說明】通過實際問題，創設情境，引發學生產生認知盲點，激發學生學習的興趣和探究的欲望.（二）合作交流、探究新知1.探究是不是可以用“坡角”來描述坡面的傾斜程度1.探究是不是可以用“坡角”來描述坡面的傾斜程度爬這兩段山坡會有什么不同的感受？哪個坡面更陡？你是如何判斷的？針對學生的回答教師點評并總結：坡角可以用來描述坡面的傾斜程度.【設計說明】學生對親身經歷的事情有體驗，更愿意積極投入去探究新知.除此之外，你還有其它辦法來比較哪個坡面更陡嗎？【設計說明】引導學生通過多種途徑去探討問題2.探究是不是可以用“直角三角形的一邊”來描述坡面的傾斜程度預案一:（預案二、三、四在最后）學生可能會說出：比較坡面的鉛直高度（學生可能會說出山高，這時老師注意引導其正確表述出是坡面的鉛直高度）你是怎樣用坡面的鉛直高度來比較哪個坡面更陡的？學生可能會說出：坡面的鉛直高度高的更陡.大家同意他的看法嗎？請不同意的同學舉反例說明（可以在黑板上畫圖說明，畫圖說明會更直觀、更形象.師總結：回答的好極了！這位同學值得表揚的有兩點：一是解決生活中的問題時，從中抽象出數學模型，構建直角三角形.把問題放到直角三角形中去研究，這是解決生活中問題的常用方法.二是具有批判精神，知道通過舉反例的方法來說明一個結論不成立，這是解決數學問題的常用方法.這位同學不僅抽象出了數學模型，而且給出了解決問題的方法.教師板書得到的結論：只用坡面的鉛直高度不能描述坡面的傾斜程度.【設計說明】將實際問題抽象成數學問題，讓學生體會建模的思想.同時讓學生知道否定一個結論的常用方法---舉反例.你還有其它的辦法來比較哪個坡面更陡嗎？類似地，通過畫圖舉反例的方法說明只用坡面的長度、水平寬度也不能描述坡面的傾斜程度.（以下是幾種預案共同使用）師總結：為了研究坡面的傾斜程度，大家把注意力放在直角三角形的邊、角這些基本元素的探討上，這是值得肯定的.從以上的研究可以看出：傾斜角可以描述坡面的傾斜程度.而只用坡面的長度、鉛直高度、水平寬度三者中的任何一個都不可以.因為它們都不能唯一確定坡面的傾斜程度.放到構建的直角三角形中從單一的元素去考慮就是：銳角可以描述坡面的傾斜程度，而三邊中的任何一條邊都不可以.【設計說明】經歷一次次的否定，培養學生思維的批判性.3．探究是不是可以用“直角三角形兩邊的比”來描述坡面的傾斜程度只用一邊不行.如何改進呢？我們綜合考慮兩條邊.（此處給學生留有探究的時間）（引導學生發現）既然坡角可以用來描述坡面的傾斜程度，我們就想辦法利用這個結論.兩個銳角一樣大的直角三角形（畫出圖形，結合圖形說明）對應的坡面的傾斜程度是一樣的，而這兩個直角三角形相似，相似三角形的對應邊成比例，這樣就溝通了直角三角形中的邊、角關系，從而變換角度繼續探討：能不能利用直角三角形兩邊的比來描述坡面的傾斜程度呢？這節課我們來研究傾斜角的對邊與鄰邊的比.所以我們猜想：可以利用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述坡面的傾斜程度.下面對我們的猜想給出證明.在銳角A的一邊上任取一點B，自點B向另一邊作垂線，垂足為C，得到Rt△ABC；再任取一點B1，自點B1向另一邊作垂線，垂足為C1，得到另一個Rt△AB1C1……這樣，我們可以得到無數個直角三角形，這些直角三角形有什么關系？在這些直角三角形中，銳角Ａ的對邊與鄰邊的比值,，……有怎樣的關系？CC1B1B2C2ACB由此你能得到什么結論？在這些直角三角形中，當銳角A的大小確定后，無論直角三角形的大小怎樣變化，∠A的對邊與∠A的鄰邊的比值總是唯一確定的.所以，傾斜角的對邊與鄰邊的比可以用來描述坡面的傾斜程度.【設計說明】通過相似溝通了直角三角形中的邊、角關系，從而變換角度繼續探討，符合學生的認知規律.此時學生的思維豁然開朗，同時培養了學生思維的深刻性.此環節的設計正是數學思維的開闊性，多角度，多方位性的展現.師生的共同努力淋漓盡致地演繹了數學體現在思維藝術上的美.從而解決了本節課的第一個難點.師強調：這里要告訴大家的是：在數學的學習中，說明一個結論不成立要舉反例；說明一個結論成立要給予證明.4.探究銳角和銳角的對邊與鄰邊的比之間的關系師：上面的結論告訴我們，銳角和銳角的對邊與鄰邊的比的關系：銳角固定，銳角的對邊與鄰邊的比也固定.如果銳角變化了呢？這個比值會怎樣呢？（幾何畫板演示）【設計說明】初步建立坡角和坡角的對邊與鄰邊的比二者之間的關系，為得到正切的概念打基礎.請同學們帶著問題：“在Rt△ABC中，只要銳角A的大小不變，無論這個直角三角形的大小如何，銳角A的對邊與鄰邊的比值總是一個固定值嗎？當銳角A取其它固定值時，銳角A的對邊與鄰邊的比值還是一個固定值嗎？”觀察幾何畫板的演示：（1）∠A不變，BC沿AC所在的直線滑動且BC⊥AC;(2)∠A的大小變化，BC沿AC所在的直線滑動且BC⊥AC.給學生留充分的時間觀察思考，由學生發現：（1）當∠A固定時，無論Rt△的大小如何變化，不變；（2）當∠A變化時，隨之改變.師：∠A的對邊與∠A的鄰邊的比（即）隨∠A的變化而變化，并且對于∠A的每一個值，都有唯一確定的值與之對應.你認為與∠A這兩個變量之間是一種什么關系？（函數）【設計說明】借助幾何畫板，從運動的角度來實施動態化、形象化、直觀化教學，進行圖形的動畫演示、驗證，揭示了∠A的對邊與∠A的鄰邊的比和∠A這兩個變量之間一一對應的函數關系.從而確信正切概念建立的科學性.幾何畫板為學生分散、突破難點提供了較好的素材.于是有在Rt△ABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA===【設計說明】給驗證結果下準確結論，并結合圖形進行準確地符號表達.類似地，你認為∠B的正切該如何表示？【設計說明】趁熱打鐵，讓學生表示出∠B的正切，有利于學生深入認識正切的定義，初步實現教學目標.5.回歸情境引入如何描述坡面的傾斜程度呢？介紹坡度的概念，記住關系式i==tanA.在日常生活中，刻畫傾斜程度常常用坡角（或傾斜角）的大小來表達，但是在大量實際問題中，坡角是不可測量的.所以，可以用坡角的正切描述坡面的坡度（傾斜程度）.可見，坡度(i=tanα)越大,坡角α越大,坡面就越陡.【設計說明】體會數學來源于生活并運用于生活，同時解決情境引入中提出的問題：坡度和坡角都可以用來判別坡面的傾斜程度.6.典例示范例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝5.求tanA和tanB.1212ACB5【設計說明】鞏固正切的概念，進一步落實教學目標.例2如圖表示甲、乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？CBACBA1213EFD58【設計說明】通過計算正切值判斷梯子的傾斜程度來解決實際問題，達到學以致用的目的.（三）題組訓練、鞏固新知1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC=12，tanA=，則BC＝___.CCAB122.在Rt△ABC中，∠C＝900，過點C作CD⊥AB于D，DDCAB（1）在Rt△ACD中，tanA可以用圖中那些線段的比來表示？在Rt△BCD中，tanB可以用圖中那些線段的比來表示？（2）tanA可以用圖中那些線段的比來表示？之前我們由證明三個直角三角形兩兩相似能得到==，而今天我們由在不同的直角三角形中表示∠A的正切得到==，方便簡潔多了.所以tanA溝通了直角三角形中的邊、角之間的關系，起到了橋梁的作用.3.已知斜坡AB的鉛直高度為6m，(1)若水平寬度為8m，則坡面的坡比為_______;(2)若坡比為3：4，則坡面長為_____.10106mCB8m【設計說明】練習題1、3是對基礎知識的訓練.練習2在對基礎知識鞏固的同時，發展了學生的思維能力，使思維進一步縝密，認識進一步深化.（四）總結反思、強化新知一節課下來：1.你學習了什么知識？2.你掌握了什么方法？3.你還有什么想法和疑惑？師生一起小結：在研究怎樣描述坡面的傾斜程度的過程中.我們首先從實際問題中抽象出數學模型，構建直角三角形.這里體現出將實際問題中抽象出數學模型的建模思想.這樣一來問題就轉化為對直角三角形的邊、角這些基本元素的探討上.經過大家的探討，單一元素中：可以用銳角來描述坡面的傾斜程度，而只用一條邊卻不可以.雖然多次遇挫，但大家沒有放棄，而且主動變換思考問題的角度去探究，從而得到可以用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述坡面的傾斜程度.同時還找到了傾斜角和傾斜角的對邊與鄰邊的比之間的關系.在這里要告訴大家的是：說明一個結論不成立要舉反例；說明一個結論成立要給予證明.基于前面的探討得出正切的定義.最終我們解決了課前提出的問題：既可以利用傾斜角來描述坡面的傾斜程度，還可以用傾斜角的對邊與鄰邊的比或傾斜角的正切來描述坡面的傾斜程度.結后語：通過本節課的學習還啟發我們：把數和形聯系起來，從而使我們的思維豁然開朗.同學們的各抒己見正是數學思維的開闊性，多角度，多方位性的展現.這節課，同學們的共同努力淋漓盡致地演繹了數學體現在思維藝術上的美.另外，也許你找不出解決問題的方法，但我們相互交流，共同探討，卻找到解決問題的辦法，這充分體現交流的益處——取他人之長，補自己之短.開拓視野，點燃思維碰撞的火花.【設計說明】引導學生學會反思、歸納所學的知識、總結學習方法.從知識和方法兩方面回顧，將所學的知識系統化，方法技能化.（五）布置作業、應用新知1.必做題：P\102:1、22.選做題：如圖，CD是平鏡，光線從A點出發經CD上點E反射后照射到點B.若入射角為α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD,垂足分別為C、D,且AC=3，BD=6，CD＝11.求tanα.336αFαααADBCE【設計說明】分層作業,各有收獲.尊重學生的個性差異，滿足不同學習層次的學生的學習需求，進一步拓展學生的能力，將知識的學習轉化為技能的提高.要求不同的學生在數學上有不同的發展.六、板書設計24.1.1正切24.