2024-2025學年河南省安陽市林州市高二上學期9月月考數學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡的相應位置上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．已知向量，，則（

）A．2 B．3 C． D．2．已知空間直角坐標系中的點關于軸的對稱點為，則的值為（

）A． B．4 C．6 D．3．已知直線：與直線：，若，則（

）A． B．2 C．2或 D．54．已知圓過點，則圓心到原點距離的最小值為（

）A． B． C．1 D．5．如圖，已知正方體中，F為線段的中點，E為線段上的動點，則下列四個結論正確的是（

）

A．存在點E，使平面B．三棱錐的體積隨動點E變化而變化C．直線與所成的角不可能等于D．存在點E，使平面6．已知正方體的棱長為，是棱上的一條線段，且，點是棱的中點，點是棱上的動點，則下面四個結論中正確的個數是（

）①與一定不垂直

②二面角的正弦值是③的面積是

④點到平面的距離是常量A． B． C． D．7．若在圓上，總存在相異兩點到原點的距離等于1，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知點A在直線上，點在直線上，線段的中點為，且滿足，則的取值范圍為A． B． C． D．二．多選題（共3小題，每題6分，共18分。在每題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯的得0分。）9．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，將，，分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于點P，則下列結論正確的是（

）A． B．三棱錐的外接球的體積為C．點P到平面DEF的距離為 D．二面角的余弦值為10．已知四面體中，，，兩兩垂直，則以下結論中一定成立的是（

）A．； B．C．； D．11．已知圓：和直線，則（

）A．直線與圓的位置關系無法判定B．當時，圓上的點到直線的最遠距離為C．當圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1時，D．如果直線與圓相交于、兩點，則的中點的軌跡是圓的一部分三．填空題（共3小題，每題5分，共15分。）12．已知平面向量，滿足與的夾角為，且，則對一切實數的最小值是．13．如圖，在正四棱錐中，二面角為60°，E為的中點.已知F為直線上一點，且F與A不重合，若異面直線與所成角為60°，則=.14．設直線2x－y－＝0與y軸的交點為P，點P把圓(x＋1)2＋y2＝25的直徑分為兩段，則這兩段之比為．四．解答題（共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）（14分）15．已知的三個頂點分別為，，，其中點在直線上(1)若，求的邊上的中線所在的直線方程：(2)若當時，求實數的值．（14分）16．在平面直角坐標系中，橫?縱坐標都是整數的點稱為整點，對于任意相鄰三點都不共線的有序整點列與，其中，若同時滿足：①兩點列的起點和終點分別相同：②，其中，則稱與互為正交點列.(1)求的正交點列；(2)判斷是否存在正交點列？并說明理由.（16分）17．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為3的正方形，平面，，點是棱的中點，點是棱上的一點，且.

(1)證明：平面平面；(2)求平面和平面夾角的大小.（17分）18．設直線的方程為.(1)求證：不論a為何值，直線必過一定點P；(2)若直線分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點A，B，當面積最小時，求的周長；(3)當直線在兩坐標軸上的截距均為整數時，求直線的方程.（16分）19．已知四棱錐，底面為菱形，為上的點，過的平面分別交于點，且∥平面．

(1)證明：；(2)當為的中點，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.數學答案1．A【詳解】根據題意，，所以.2．D【詳解】因為關于軸的對稱點為，所以，所以，3．A【詳解】若,則，所以或.當時,重合,不符合題意,所以舍去;當時,符合題意.4．D【詳解】設圓心,由得，化簡得，即圓心在直線運動，圓心到原點距離的最小值即原點到直線的距離，故最小值為，5．D【詳解】在正方體中，以點D為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，

設正方體棱長為2，則，由在線段上運動，設（），則，平面的法向量，顯然，則直線與平面不平行，A錯誤；，設直線與所成角為，則，顯然當時，，，即存在點E使得直線與所成的角為，C錯誤；設平面的法向量為m=x,y,z，，則，令，得，當時，，因此平面，D正確；點在正方體的對角面矩形的邊上，則，而平面平面，則，又，可得平面，點到平面的距離為，則三棱錐的體積為定值，B錯誤.6．C【詳解】以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設、，其中，設點，其中，易知點，、、、、、、、，對于①，，，則，當點與點重合時，即，此時，即，故①錯；對于②，因為，，故平面即平面，設平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面即為平面，，設平面的法向量為，則，取，則，所以，，則，因此，二面角的正弦值是，故②對；對于③，，，所以，點到直線的距離為，所以，，故③對；對于④，由②知，平面的一個法向量為，所以，點到平面的距離為，④對.7．C【詳解】由題意可知，若在圓上，總存在相異兩點到原點的距離等于1，等價于圓和圓相交，則圓心與原點之間的距離為，，即，解得或，實數的取值范圍是.8．A【詳解】∵直線與直線平行，線段的中點為，，化簡可得解得，設，，即9．AC【詳解】對于A選項，作出圖形，取EF中點H，連接PH，DH，由原圖知和均為等腰三角形，故，，又因為，所以平面PDH，又平面PDH，所以，A正確；由PE，PF，PD三線兩兩垂直，如下圖構造長方體，長方體的外接球就是三棱錐的外接球，長方體的體對角線就是外接球的直徑，設為2R，則，則，所以所求外接球的體積為，B錯誤；根據題意，可知PE，PF，PD三線兩兩垂直，且，，在中，，，由等積法可得，得，C正確；由題意如上圖，，，則，，所以∠PHD為二面角的一個平面角，因為，，且，所以平面PEF，則，即，在中，，D不正確．10．ACD【詳解】由題意可知，，，兩兩垂直，所以，對于A選項，，，故，所以A選項正確；對于B選項，，當時，，否則不成立，所以選項B不正確；對于C選項，，所以選項C正確；對于D選項，，同理可得，，所以，選項D正確，11．BCD【詳解】圓：，即，圓心為，半徑為.直線，即，當時，，所以直線過定點.，所以點在圓內，所以直線與圓相交，A選項錯誤.時，直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最遠距離為，B選項正確.若圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，則圓心到直線的距離為，即，C選項正確.對于D選項，直線與圓相交于、兩點，設的中點Px,y，則，則，即點的軌跡是以為直徑的圓.由于直線的斜率存在，所以點的軌跡是以為直徑的圓，且除去與直線的交點（以外的另一點），所以D選項正確.

12．【詳解】由題知，則，則，故若使取最小值，則只需向量與向量反向，即，當且僅當時，等號成立.故13．11【詳解】取的中點G，與的交點為，以O為坐標原點，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，設因為二面角為60°，所以則.設，則從而整理得，解得(舍)，故.14．或【詳解】依題意令x＝0,得P（0，﹣3），（x+1）2+y2＝25圓心C（﹣1，0），∴|CP|＝＝2，∵半徑為5，∴其長度之比＝＝或＝，故答案為或．15．(1)(2)6【詳解】（1）當時，，AB的中點為，則，由直線的點斜式方程得MC的方程為，即；（2）設，，則，當時，，即，解得.16．(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）設點列的正交點列是，由正交點列的定義可知，設，由正交點列的定義可知，即，解得所以點列的正交點列是.（2）由題可得，設點列是點列的正交點列，則可設因為與與相同，所以有因為得方程，顯然不成立，所以有序整點列不存在正交點列.17．(1)證明見解析(2).【詳解】（1）如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

所以，設，則，解得，即.則，設平面的一個法向量為，則，即令，解得，所以平面的一個法向量為.因為，設平面的一個法向量為，所以即，令，解得，所以平面的一個法向量為，又，所以平面平面；（2），所以.設平面的一個法向量為，所以，即令，解得，所以平面的一個法向量為.設平面的一個法向量為，則，即令，解得，所以平面的一個法向量為.，所以平面和平面夾角的大小為18．(1)證明見解析(2)(3)見解析.【詳解】（1）由得:；則，解得所以不論為何值，直線必過一定點；（2）由得，當時，，當時，，又由，得，∴,當且僅當，即時取等號∴，，∴的周長為；（3）直線在兩坐標軸上的截距均為整數，即，均為整數，所以，均為整數，∴，，，，，0，，2，又當時，直線在兩坐標軸上的截距均為零，也符合題意，所以直線的方程為，，，，，，，.19．(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）設，則為的中點，連接，因為為菱形，則，又因為，且為的中點，則，，平面，所以平面，且