二次函數

一、選擇題

1.（3分）如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，且過點A（3,0）,二次函數圖象的對稱軸是

直線x:l,下列結論正確的是（）

A.b2<4acB.ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=0

【分析】根據拋物線與x軸有兩個交點有b2-4ac>0可對A進行判斷；由拋物線開口向上得a>0,由拋

物線與y軸的交點在x軸下方得c<0,則可對B進行判斷；根據拋物線的對?稱軸是x=l對C選項進行判斷;

根據拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點為（-1,0）,所以a-b+c=0,貝I］可對D選項進行判斷.

【解答】解：???拋物線與x軸有兩個交點，

.*.b2-4ac>0,HPb2>4ac,所以A選項錯誤;

???拋物線開口向上，

.\a>0,

???拋物線與y軸的交點在x軸下方，

Ac<0,

/.ac<0,所以B選項錯誤；

???二次函數圖象的對稱軸是直線產1,

???-11,，2a+b=0,所以C選項錯誤：

2a

???拋物線過點A（3,0）,二次函數圖象的對稱軸是x=l,

???拋物線與x軸的另一個交點為（-1,0）,

/.a-b+c=0,所以D選項正確;

故選:D.

【點評】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c（a#0）的圖象為拋物線，當a

>C,拋物線開口向上；對稱軸為直線x=--L；拋物線與y軸的交點坐標為（0,c）；當b2-4ac>0,拋物

2a

線與x軸有兩個交點；當b??4ac=0,拋物線與x軸有一個交點；當b'/lacVO,拋物線與x軸沒有交點.

2.（2018?四川成都?3分）關于二次函數y=2r2+4x-l,下列說法正確的是（）

A.圖像與軸的交點坐標為（°，1）B.圖像的對稱軸在軸的右側

C.當XVO時，的值隨值的增大而減小I）.的最小值為-3

【答案】D

【考點】二次函數的性質，二次函數的最值

【解析】【解答】解：A、當x=0時，y=-l,圖像與軸的交點坐標為（0,-1）,因此A不符合題意；B、

對稱軸為直線x:-1,對稱軸再y軸的左側，因此B不符合題意；

C、當xVT時y的值隨值的增大而減小，當TVxVO時，y隨x的增大而增大，因此C不符合題意；

［）、a=2>0,當x=-l時,y的最小值=2-4-1=-3,因此D符合題

意；故答案為：D

【分析】求出拋物線與y軸的交點坐標，可對A作出判斷；求出拋物線的對稱軸，可對B作出判斷；

根據二次函數的增減性，可對C作出判斷；求出拋物線的頂點坐標，可對I）作出判斷；即可得出答案。

1.（2018?ft東薄澤?3分）已知二次函數y=ax?+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數kbx+a與反比例函數

y二軍也在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）

x

【考點】G2：反比例函數的圖象；F3：一次函數的圖象；112：二次函數的圖象.

【分析】直接利用二次函數圖象經過的象限得出a,b,c的值取值范圍，進而利用一次函數與反比例函數

的性質得出答案.

【解答】解：???二次函數y=ax?+bx+c的圖象開口向上，

Aa>0,

???該拋物線對稱軸位于y軸的右側，

，a、b異號,即b<0.

???當x=l時，y<0,

:.a+b+cVO.

???一次函數y=bx+a的圖象經過第一、二、四象限，

反比例函數出±2的圖象分布在第二、四象限，

x

故選：B.

V,

【點評】此題主要考查了反比例函數、一次函數、二次函數的圖象，正確把握相關性質是解題關鍵.

2.(東濱州?3分)如圖，若二次函數y=ax2+bx+c(aWO)圖象的對稱軸為x=l,與y軸交于點C,與x

軸交于點A、點B(-1,0),則

①二次函數的最大值為a+b+c；

②a-b+cVO；

③y?4acV0；

④當y>0時，?l〈xV3,其中正確的個數是()

【分析】直接利用二次函數的開口方向以及圖象與x軸的交點，進而分別分析得出答案.

【解答】解：①：二次函數y=ax?+bx+c(a^O)圖象的對稱軸為x=l,且開口向下，

，x=l時，y=a+b+c,即二次函數的最大值為a+b+c,故①正確;

②當x=-1時，a-b+c=O,故②錯誤；

③圖象與x軸有2個交點，故b?-4ac>(),故③錯誤；

④：圖象的對稱軸為x=l,與x軸交于點A、點B(-l,0),

AA(3,0),

故當y>0時，-1<XV3,故④正

確.故選:B.

【點評】此題主要考查了二次函數的性質以及二次函數最值等知以，正確得出A點坐標是解題關鍵.

1.(2018?湖南省衡陽?3分)如圖，拋物線y二ax、bx+c與x軸交于點A(-1,0),頂點坐標(1,n)與

y-1；③對于任意

實數m,a+b>am2+bm總成立；④關于x的方程ax2+bx+c=n-I有兩個不相等的實數根.其中結論正確的

個數為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：:拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1,0）,

x=-1時，y=0,即a-b+c=0,

而拋物線的對稱軸為直線上=1,即b=-2a,

2a

???3a+c=0,所以①錯誤；

??，2WcW3,而

c=-3a,

???2W-3aW3,

???-lWa<-2,所以②正確；

3

???拋物線的頂點坐標（1,n）,

，x=l時，二次函數值有最大值n,

:.a+b+c2am2+bm+c,

即a+b2am'+bm,所以③正確；

???拋物線的頂點坐標（1，n）,

工拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點，

???關于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根，所以④正

確.故選：C.

1.（青島?3分）已知一次函數上>x+c的圖象如圖，則二次函數y=ax2+bx+c在平面直角坐標系中的

【分析】根據反比例函數圖象一次函數圖象經過的象限，即可得出bvo、c>0,由此即可得出：二次函數

a

y=ax2+bx+c的圖象對稱軸上>0,與y軸的交點在y軸負正半軸，再對照四個選項中的圖象即可得出

2a

結論.

【解答】解：觀察函數圖象可知：kvo、c>0,

a

???二次函數y=ax2+bx+c的圖象對稱軸-y->0,與y軸的交點在y軸負正半

軸.故選：A.

【點評】本題考查了一次函數的圖象以及二次函數的圖象，根據一次函數圖象經過的象限，找出也<0、c

a

>。是解題的關鍵.

2.（2018?ft東泰安?3分）二次函數y=ax+bx+c的圖象如圖所示，則反比例函數且與一次函數y=ax+b

x

在同一坐標系內的大致圖象是（）

【分析】首先利用二次函數圖象得出a,b的值，進而結合反比例函數以及一次函數的性質得出答案.

【解答】解：由二次函數開口向上可得：a>0,對稱軸在y軸左側，故a,b同號，則b>0,

故反比例函數總圖象分布在第一、三象限，一次函數y=ax+b經過第一、二、三象

x

限.故選:C.

【點評】此題主要考查了二次函數、一次函數、反比例函數的圖象，正確得出a,b的值是解題關鍵.

3.（2018?ft東威海?3分）如圖，將一個小球從斜坡的點0處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數y=4x

-JLX?刻畫，斜坡可以用一次函數y2x刻畫，下列結論錯誤的是（）

22

A.當小球拋出高度達到7.5m時，小球水平距0點水平距離為3m

B.小球距0點水平距離超過4米呈下降趨勢

C.小球落地點距()點水平距離為7米

D.斜坡的坡度為1：2

【分析】求出當y=7.5時，x的值，判定A；根據二次函數的性質求出對稱軸，根據二次函數性質判斷B；

求出拋物線與直線的交點，判斷C,根據直線解析式和坡度的定義判斷D.

【解答】解：當y=7.5整理得x2-

8x+15=0,

解得,x尸3,X2=5,

???當小球拋出高度達到7.5m時，小球水平距0點水平距離為31n或5側面cm,A錯誤,符合題意;

"12

y=4x-?--x

乙

=￡(x4)2+8,

則拋物線的對稱軸為x=4,

???當x>4時，y隨x的增大而減小，即小球距0點水平距離超過4米呈下降趨勢，B正確，不符合題意;

12,.

y=~yx+4x

1

X2-7

解得，

7'

二0y2=2

則小球落地點距0點水平距離為7米，C正確，不符合題意;

???斜坡可以用一次函數刻畫，

???斜坡的坡度為1：2,D正確，不符合題意;

故選：A.

【點評】本題考查的是解直角三角形的-坡度問題、二次函數的性質，掌握坡度的概念、二次函數的性質

是解題的關鍵.

4.（2018?ft東威海?3分）拋物線y=ax'+bx+c（aWO）圖象如圖所示，下列結論錯誤的是（）

A.abc<0B.a+c<bC.b'+8a>4acD.2a+b>0

【分析】根據二次函數的圖象與系數的關系即可求出答案.

【解答】解：（A）由圖象開口可知：a<0

由對稱軸可知：-^->0,

/.b>0,

???由拋物線與y軸的交點可知：c>0,

/.abc<0,故A正確；

（E）由圖象可知：x=-1,y<0,

Ay=a-b+c<0,

/.a+c<b,故B正確；

（C）由圖象可知：頂點的縱坐標大于2,

2

A4acHb>2tavo,

4a

/.4ac-b2V8a,

/.b'+8a>4ac,故C正確；

k

（D）對稱軸'V1,a<0,

???2a+bV0,故D錯誤;

故選:D.

【點評】本題考查二次函數的綜合問題，解題的關鍵是正確理解二次函數的圖象與系數之間的關系，本題

屬于中等題型.

5.（濰坊-3分）已知二次函數尸?（x?h）2（h為常數），當自變量x的值滿足2WxW5時，與其對應

的函數值y的最大值為-1,則h的值為（）

A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6

【分析】分hV2、2WhW5和h>5三種情況考慮：當h<2時，根據二次函數的性質可得出關于h的

一元二次方程，解之即可得出結論；當2WhW5時，由此時函數的最大值為0與題意不符，可得出該情

況不存在；當h>5時，根據二次函數的性質可得出關于h的一元二次方程，解之即可得出結論.綜上即

可得出結論.

【解答】解：當h<2時，有?（2?h）2=-1,

解得:hi=l,h2=3（舍去）；

當2WhW5時，y=-（x-h）2的最大值為0,不符合題意；

當h>5時，有-（5-h）2=-1,

解得:hs=4（舍去），

hi=6.綜上所述：h的值為1

或6.故選：B.

【點評】本題考查了二次函數的最值以及二次函數的性質，分h<2、2/hW5和h>5三種情況求出h值

是解題的關鍵.

1.（北京?2分）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一.運動員起跳后的6行路線可以看作是拋物線的一

部分，運動員起跳后的豎直高度），（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系

+云+c、（awO）.下圖記錄了某運動員起跳后的x與），的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出

該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為

y/m

57.9f

54.0?I

I

46.2J---------------?

--------------11

O20------------40--------Um

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

【答案】B

【解析】設對稱軸為x=h,

+40

由（0,54.0）和（40,46.2）可知，<0=2（）,

2

由（0,54.0）和（20,57.9）可知，//>0+20=10,

2

/.10</?<20,故選B.

【考點】拋物線的對稱軸.

2.（甘肅白銀，定西，武威?3分）y=ax2+bx+c（，，是常數，a#0）圖象的一部分，與軸的交點在點

（2,0用1（3,0）之間,對稱軸是x=l.對于下列說法:?ab<0；②2a+b=0；?3a+c>0；

@a+b2m（am+b）（為實數）；⑤當T<x<3時，y>0,其中正確的是（）

x-1

A.B.①?⑤C.②?④D.③④⑤

【答案】A

【解析】【分析】由開口方向和對稱軸的位置可判斷①；由對稱軸為直線產1可判斷②；由肝3時y<0可

判斷③；根據函數在x=l時取得最大值，可以判斷④，由7〈晨3時，函數圖象位于x軸上方可判斷⑤.

【解答】???拋物線的開口向下，

???水0,

拋物線的對稱軸x=--=1>0,

2a

可知：b>0,

故①正確；

???拋物線的對稱軸x=-2=l.

2a

:.b=-2a,即2NZ+ZT=0,故②正確；

由圖象知當年3時，y=9a+3b+cv0.

把為一2a代入得：3a+c<0,故③錯誤；

故④正確；

由圖象可知，當-1<><3時'函數圖象有些部分位于x軸上方，故⑤錯誤.

故選A.

【點評】考查二次函數的圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，不等式等知識點，難度適中,

屬干高頻考點.

1.(2018?湖南省永州市?4分)在同一平面直角坐標系中，反比例函數也(bWO)與二次函數yqN+bx

x

【分析】直接利用二次函數圖象經過的象限得出a,b的值取值范圍，進而利用反比例函數的性質得出答案.

【解答】解：A、拋物線y=ax2+bx開口方向向上，則a>0,對稱軸位于y軸的右側，則a、b異號，即b<0.所

以反比例函數上的圖象位于第二、四象限，故本選項錯誤；

x

B、拋物線y=ax?+bx開口方向向上，則a>0,對稱軸位于y軸的左側，貝Ua、b同號，即b>0.所以反比例

函數上的圖象位于第一、三象限，故本選項錯誤；

x

C、拋物線y=axabx開口方向向下，則aVO,對稱軸位于y軸的右側，則a、b異號，即b>0.所以反比例

函數上的圖象位于第一、三象限，故本選項錯誤：

x

D、拋物線y=ax'+bx開口方向向下，則aVO,對稱軸位于y軸的右側,則a、b異號,即b>0.所以反比例

函數y=?旦的圖象位于第一、三象限，故本選項正確；

x

故選：I).

【點評】此題主要考查了反比例函數的圖象，以及二次函數的圖象，要熟練掌握二次函數，反比例函數中

系數與圖象位置之間關系.

2.(2018?株洲市?3分)y=2的圖象上()

x

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(2,3)D.(2,-3)

【答案】C

【解析】分析：根據拋物線的開口方向可得出a>0,再利用反比例函數圖象上點的坐標特征，即可找出點

(2,3)可能在反比例函數y=的圖象上，此題得

解.詳解：???拋物線y=ax?開口向上，

Aa>0,

???點(2,3)可能在反比例函數y=的圖象

上.故選：C.

點睛：本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的圖象，由二次函數圖象開口向上找出a

>0是解題的關

鍵.3.

1.(天津?3y=ax2+bx+c(，,為常數，a#O)經過點(0,3),其對稱軸在軸右側，有下列結論:

①拋物線經過點(1,0)；

②方程ax?+bx+c=2有兩個不相等的實數根；

(§)-3<a+b<3.

其中，正確結論的個數為()A.

0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】分析：根據拋物線的對稱性可以判斷①錯誤，根據條件得拋物線開口向下，可判斷②正確；根據

拋物線與x軸的交點及對稱軸的位置，可判斷③正確，故可得解.

詳解：拋物線丫=2*2+6*+￡，，為常數，2￥。)經過點(?1,0)，其對稱軸在軸右側，故拋物線不能經過點(1,0)，

因此①錯誤；

拋物線y=ax?+bx+c(，，為常數，a#O)經過點(-1,0),(0,3),其對稱軸在軸右側，可知拋物線開口向下，

與直線廠2有兩個交點，因此方程ax?+bx+c=2有兩個不相等的實數根，故②正確；

???對稱軸在軸右側，

b

—>0

2a

Va<0

Ab>0

?「y=ax，bx+c經過點(-1,0),

:.a-b+c=0

***y=ax2+bx+c經過點(。，3),

/.c=3

1.a-b=-3

b=a+3,a=b-3

.\-3<a<0,0<b<3

/.~3<a+b<3.故③正確.

故選C.

點睛：本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象與系數的關系，二次函數與一元二次方程

的關系，不等式的性質等知識，難度適中.

2.（2018?臺灣-分）己知坐標平面上有一直線L,其方程式為y+2=0,且L與二次函數y=3x2+a的圖

形相交于A,B兩點：與二次函數y=-2x2+b的圖形相交于C,D兩點，其中a、b為整數.若AB=2,

CD=4.則a+b之值為何？（）

A.1B.9C.161）.24

【分析】判斷出A、C兩點坐標，利用待定系數法求出a、b即可；

分別代入y=3x2+a,y=-2x2+b可得a=-5,b=6?

a+b=1,

故選：A.

【點評】本題考查二次函數圖形上點的坐標特征，待定系數法筆知識，解題的關鍵是理解題意，判斷出A、

C兩點坐標是解決問題的關鍵.

1.（2018?湖北黃岡?3分）當aWxWa+1時,函數y=x?-2x+l的最小值為1,則a的值為

A.-lB.2C.0或2D.T或2

【考點】不等式組，二次函數的最值。

【分析】由題意知函數y=-2xU>l,可得山x的取值范圍，再由aWx這ail可得山a的值。

【解答】解：:當aWxWa+1時,函數y=x°2x+l的最小值為1,

/.y=x2-2x+l^l,BPX2-2X^0,

.,.x22或xWO,

當x22時，由a〈x,可得a=2,

當xWO時，由xWa+1,可得a+l=O,即

a=T綜上，a的值為2或T,

故選D.

【點評】本題考查了不等式組.弄清題意，解不等式組是關鍵。

2.(2018?湖北荊門?3分)二次函數y=ax?+bx+c(aWO)的大致圖象如圖所示，頂點坐標為(?2,-9a),

下列結論：①4a+2b+c>0；②5a-b+c=O；③若方程a(x+5)(x-1)=-1有兩個根x1和X2,且x】Vx2,則

-5<X,<X2<1；④若方程|ax2+bx+c|=l有四個根，則這四個根的和為-4.其中正確的結論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據二次函數的性質一一判斷即可.

【解答】解：???拋物線的頂點坐標(-2a,-9a),

2

A--2a,4ac—b=-9a,

2a4a

/.b=4a,c=5a,

，拋物線的解析式為y=ax>4ax-5a,

:.4a+2b+c=4a+8a-5a=7a>0,故①正確，

5a-b+c=5a-4a-5a=-4a<0,故②錯誤，

y=ax2+4ax-5ax(-5,0),(1,0),

，若方程a(x+5)(x-1)=-1有兩個根x1和X2,且X1VX2,則-5VX1VX2<1,正確，故③正確，

若方程|ax2+bx+c|二l有四個根，則這四個根的和為-8,故④錯誤，

故選:B.

【點評】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上的點的特征、拋物線與坐標軸的交點問題等知識，解

題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

3.(2018?湖北恩施?3分)拋物線y=ax?+bx+c的對稱軸為直線x=-L部分圖象如圖所示,下列判斷中:

①abc>0；

②匕-4ac>0；

③9a-3b+c=0；

④若點(-0.5,yi),(-2,y2)均在拋物線上，則yAy?；

⑤5a-2b+c<0.

【分析】根據二次函數的性質一一判斷即可.

【解答】解：???拋物線對稱軸x=-l,經過（1,0）,

b=2a,c=-3a,

Va>0,

Ab>0,c<0,

/.abc<0,故①錯誤，

???拋物線與x軸有交點，

.*.b--4ac>0,故②正確，

???拋物線與x軸交于（-3,0）,

A9a-3b+c=0,故③正確,

??,點（-0.5,山），（-2,y2）均在拋物線上,

-1.5>-2,

則oVy2；故④錯誤，

V5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a<0,故⑤正確，

故選：B.

【點評】本題考查二次函數與系數的關系，二次函數圖象上上的點的特征，解題的關鍵是靈活運用所學知

識解決問題，屬于中考常考題型.

1.（2018?浙江臨安?3分）拋物線y=3（x-1）2+1的頂點坐標是（）

A.(1,1)B.(-1,1)C.(-1,-1)I).(1,-1)

【考點】拋物線的頂點坐標

【分析】已知拋物線頂點式產a(x-h)2+k,頂點坐標是(h,k).

【解答】解：???拋物線y=3(x-1)2+1是頂點式,

，頂點坐標是(1,1).故選A.

【點評】本題考查由拋物線的頂點坐標式寫出拋物線頂點的坐標，比較容易.

2.(2018?浙江寧波-4分)如圖，二次函數y=ax2+bx的圖象開口向下，且經過第三象限的點P.若點

【考點】二次函數的性質、一次函數的性質.

【分析】根據二次函數的圖象可以判斷a、b、a-b的正負情況，從而可以得到一次函數經過哪幾個象限,

本題得以解決.

【解答】解：由二次函數的圖象可知，

a<0,b<0,

當:《=-1時，y=a-b<0,

???y二(a-b)x+b的圖象在第二、三、四象限，

故選：D.

【點評】本題考查二次函數的性質、一次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用函數的思想解答.

1.(廣東深圳?3分)二次函數>=公2+)丫+4。±0)的圖像如圖所示，下列結論正確是

)

A.abc>QB.2a+b<0C.%+c<0

D.。落+bx+c-3=0有兩個不相等的實數根

【答案】C

【考點】二次函數圖象與系數的關系

【解析】【解答】解：A.???拋物線開口向下，???a<0,

???拋物線與y軸的正半軸相交，

Ac>0,

b

???對稱軸-為在y軸右側，

Ab>0,

/.abc<0,故錯誤，A不符合題意；

b

B.???對稱軸-工=1,

即b=_2a,

/.2a+b=0,故錯誤,B不符合題意:

C.,?,當x=T時，y<0,

即a-b+c<0,

又?.?b=-2a,

，3a+c〈0,故正確，C符合題意;

D.VaxJ+bx+c-3=0,

ax2+bx+c=3,即

y=3,

:.x=l,

，此方程只有一個根，故錯誤，1）不符合題意；

故答案為：C.

【分析】A.根據拋物線開口向下得a<0；與y軸的正半軸相交得c>0；對稱軸在y軸右側得bX）,從而可知

A錯誤；

B.由圖像可知對稱軸為2,即b=-2a,從而得出B錯誤;

C.由圖像可知當x=T時，a-b+c<9,將b=-2a代入即可知C正確；

D.由圖像可知當y=3時，x=l,故此方程只有一個根，從而得出D錯誤.

2.（2分）對于題目“一段拋物線乙：），=-旦工-3）+?0工上工3）與直線/:），=工+2有唯一公共點.

若c為整數，確定所有c的值.”甲的結果是c=l,乙的結果是c=3或4,則（）

A.甲的結果正確

B.乙的結果正確

C.甲、乙的結果合在一起才正確

D.甲、乙的結果合在一起也不正確

答案：D

考點：拋物線與直線的交點問題

解析：拋物線y=-x(x-3Hc(0WxW3)可以看作y=-x(x-3)向上平移c個單位長度

后的圖像.

所以可將條件“一段拋物線L：產-x(x-3)+c(0WxW3)"^：fl^1：y=x+2有唯一

公共點”轉化為"一段拋物線L：y=r(x-3)(0Wx&3)與直線1：y=x+2-c有唯一

公共點”(平移是相對的)。聯立方程組,令判別式=0解得c=l,經瞼證滿足踵意：

由丁0WxW3,c為整數，所以2y=-1.-2或-3,解得c=3.4,5.故c=l,3,4,5,答

案選D

1.(省瀘州市3分)已知二次函數y=ax?+2ax+3a2+3(其中x是自變量)，當x22時，y隨x的增大而增大,

且-2WxWl時，y的最大值為9,則a的值為()

A.1或?2&C.&D.1

【分析】先求出二次函數的對稱軸，再根據二次函數的增減性得出拋物線開口向上a>0,然后由-2WxWl

時，y的最大值為9,可得x=l時，y=9,即可求出a.

【解答】解：???二次函數y=ax?+2ax+3a2+3(其中x是自變量)，

???對稱軸是直線匹?1,

2a

;當x22時，y隨x的增大而增大，

Aa>0,

???-2Wx《l時，y的最大值為9,

:.x=l時,y=a+2a+3a2+3=9,

.*.3a2+3a-6=0,

Aa=b或a=-2(不合題意舍

去).故選：D.

2

【點評】本題考查了二次函數的性質，二次函數y=ax2+bx+c(aWO)的頂點坐標是(-也4ac-b),

2a4a

對稱軸直線x;-_生，：次函數y=ax4bx+c(aKO)的圖象具有如下性質:①當a>0時,拋物線y二ax-+bx+c

2a

(aXO)的開口向上，xV-上時，y隨x-L時，y隨x*-時，

2a2a2a

y舉支■，即頂點是拋物線的最低點.②當aVO時，拋物線y=ax、bx+c(a^O)的開口向下，

4a

2

x<-上時，y隨X的增大而增大；x>-_L時，y隨X的增大而減小；x=-上時，y取得最大值細￡土，

2a2a2a4a

即頂點是拋物線的最高點.

二.填空題

2.(四川省綿陽市)右圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m,水面下降2m,水面寬度增

力口m。

【答案】4亞-4

【考點】二次函數的實際應用-拱橋問題

【解析】【解答】解：根據題意以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(如圖),

依題可得：A(-2,0),B(2,0),C(0,2),

設經過A、B、C三點的拋物線解析式為：y=a(x-2)(x+2),

VC(0,2)在此拋物線上，

1

.a=-2?

1

???此拋物線解析式為：y=-2(x-2)(x+2),

???水面下降2m,

1

2(x-2)(x+2)=-2,

Ax,=2X2=-2日,

???下降之后的水面寬為：4亞.

???水面寬度增加了：4亞-4.

故答案為：4區4.

【分析】根據題意以AB為x軸，A3的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(如圖)，依題可得：A(-2,0),

1

B(2,0),C(0,2),再根據待定系數法求出經過A、B、C三點的拋物線解析式y=-2(x-2)(x+2)；由水

面下降2m,求出下降之后的水面寬度，從而得出水面寬度增加值.

3.(2018年四川省南充市)如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，aKO)與x軸交于A,B兩

點，頂點P(m,n).給出下列結論：

①2a+cV0；

211

②若(-5w),(-方，丫2),(下，丫3)在拋物線上，則y>y2>y3；

③關于X的方程ax2+bx+k=O有實數解,則k>c-n；

④當工時，AABP為等腰直角三角形.其

【考點】H4：二次函數圖象與系數的關系；H5：二次函數圖象上點的坐標特征；HA：拋物線與x軸的交點.

【分析】利用二次函數的性質一一判斷即可；

【解答】解：?；-與a>0,

2a2

.*.a>-b,

,?，x=-l時，y>0,

/.a-b+c>0,

.*.2a+c>a-b+c>0,故①錯誤，

若(?怖，yi),(--?>丫2),(--?ya)在拋物線上，

由圖象法可知，yi>y2>y3；故②正確，

???拋物線與直線y=t有交點時,方程ax?+bx+c=t有解，tWn,

Aax2+bx+k=0有實數解，則k>c-n；故③正確，

設拋物線的對稱軸交x軸于H.

..4ac-b^_1

?F-一2,

h2-4ac.=4,

???AB=2PH,

VEH=AH,

.\FH=BH=AH,

???△PAB是直角三角形，???PA=PB,

AAPAB是等腰直角三角

形.故答案為②③④.

【點評】本題考查二次函數的應用、二次函數與坐標軸的交點等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解

決問題，屬于中考填空題中的壓粕題.

1.（2018?廣東廣州-3y=",當x>0時，y隨X的增大而（填“增大”或

“減小”）

【答案】增大

【考點】二次函數尸ax”的性質

【解析】【解答】解：???a=l>0，

，當x>0時，y隨x的增大而增

大.故答案為：增大.

【分析】根據二次函數性質：當a>0時，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大.由此即可得出答案.

1.（2018?新疆生產建設兵團-5分）如圖，已知拋物線山=-《+4x和直線y2=2x.我們規定：當x取

任意一個值時，x對應的函數值分別為w和丫2,若yiKy2,取yi和y?中較小值為M；若y1=y2,記

M=yi=y2.①當

x>2時，M=y2：②當x<0U、hM隨x的增大而增大：③使得M大于

4的x的值不存在；④若M=2,則x=l.上述結論正確的是②③（填寫所有正確結論的序號）.

【分析】①觀察函數圖象，可知：當x>2時，拋物線y尸-X，4K在直線y?=2x的下方，進而可得出當x>2

時，M=yi,結論①錯誤；

②觀察函數圖象，可知：當xVO時，拋物線y產?x2+4x在直線y?=2x的下方，進而可得出當x<0時，M=y）,

再利用二次函數的性質可得出M隨x的增大而增大，結論②正確；

③利用配方法可找出拋物線y.=-X2+4X的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，結論

③正確；

④利用一次函數圖象上點的坐標特征及二次函數圖象上點的坐標特征求出當M=2時的x值，由此可得出:

若從=2,則x=l或結論④錯誤.

此題得解.

【解答】解：①當x>2時，拋物線yi=-x?+4x在直線y?=2x的二方，

，當x>2時，M=yi,結論①錯誤；

2

②當xV0時，拋物線y（=-X+4X在直線y2=2x的下方，

，當xVO時,M=yi,

???M隨x的增大而增大，結論②正確；

③?,?y產-x2+4x=-（x-2）2+4,

???M的最大值為4,

，使得M大于4的x的值不存在，結論③正確；

④當M二y尸2時，<-xMx=2,

解得：x尸2■血（舍去），X2=2+V2;當M=yz=2時，有2x=2,

解得：x=l.

???若M=2,則x=l或2+加，結論④錯

誤.綜上所述：正確的結論有②③.

故答案為：②③.

【點評】本題考查了一次函數的性質、二次函數的性質、一次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數圖象

上點的坐標特征，逐一分析四條結論的正誤是解題的關鍵.

2.（2018?四川自貢-4分）若函數y=x2+2x-m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為-1.

【分析】由拋物線與x軸只有一個交點，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值.

【解答】解：???函數y=x2+2x-m的圖象與x軸有且只有一個交點，

.,.△=22-4XlX（-m）=0,

解得：m=-1.

故答案為：-1.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，牢記“當△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點”是

解題的關鍵.

1.（2018年江蘇省泰州市?3分）已知3x-y=3a?-6a+9,x+y=a2+6a-9,若xWy,則實數a的值為3_.

【分析】根據題意列出關于x、y的方程組，然后求得x、y的值，結合已知條件xWy來求a的取值.

【解答】解:依題意得」3xW3a2-6a+9,

2

x+y=a+6a-9

f_2

解得|x-a

y=6a-9

Vx^y,

,/W6a-9,

整理，得（a-3）2<0,

故a-3=0,

解得a=3.

故答案是：3.

【點評】考查了配方法的應用，非負數的性質以及解二元一次方程組.配方法的理論依據是公式a?±2ab+b2=

（a±b）2.

11.（2018?湖北省武漢?3分）飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）關于滑行時間t（單位：s）的函數解

析式是告亡？.在飛機著陸滑行中，最后4s滑行的距離是216rn.

2

【分析】求出t=4時的函數值即可；

【解答】解：根據對稱性可知，開始4秒和最后4秒的滑行的距離相等，

t=4—X42=240-24=216m,

2

故答案為216.

【點評】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，屬于中考基礎題.

2.（2018?湖北省孝感?3分）如圖，拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A（-2,4）,B（l,

2x[=―2xo

【分析】根據二次函數圖象與一次函數圖象的交點問題得到方程組產ax的解為|1,2

y=bx+c卜1二4旨2二1

于是易得關于x的方程ax2-bx-c=0的解.

【解答】解：???拋物線尸ax?與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A（?2,4）,B（1,1）,

2x1——2xo=1

???方程組產ax的解為|1，|，

y=bx+cUi二4[y2=l

即關于x的方程ax'-bx-c=0的解為x=-2^x

=1.所以方程ax'bx+c的解是x=-2，x=1

故答案為XF?2,X2=1.

【點評】本題考杳拋物線與x軸交點、一次函數的應用、一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所

學知識，學會利用圖象法解決實際問題，屬于中考常考題型.

1.（2018?ft東淄博分）已知拋物線y=x?+2x-3與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左側），將這條拋

物線向右平移m(m>0)個單位，平移后的拋物線于x軸交于C,1)兩點(點C在點D的左側)，若B,C是

線段AI)的三等分點，則m的值為2_.

【考點】HA：拋物線與x軸的交點；H6：二次函數圖象與幾何變換.

【分析】先根據三等分點的定義得：AC/BC=BD,由平移m個單位可知：AC=BD=m,計算點A和B的坐標可得

AB的長，從而得結論.

【解答】解：如圖，???B,C是線段AD的三等分點，

AAC=BC=BD,

由題意得:AC=BD=m,當

y=0時,X2+2X-3=0,

(x-1)(x+3)=0,

xi=l,x2=-3,

???A(-3,0),B(1,0),

.\AB=3+1=4,

AAC=BC=2,

:.IT=2,

故答案為：2.

【點評】本題考杳了拋物線與x釉的交點問題、拋物線的平移及解一元二次方程的問題，利用數形結合的

思想和三等分點的定義解決問題是關鍵.

2.

3.

4.

題號依次順延

三.解答題

(要求同上一)

1..(2018?四川涼州?10分)如圖，已知拋物線y=x?+bx+c經過A(1,0),B(0,2)兩點，頂點為D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置，將拋物線沿y軸平移后經過點C,

求乎移后所得圖象的函數關系式；

(3)設(2)中平移后，所得拋物線與y軸的交點為B“頂點為D”若點N在平移后的拋物線上，且滿足

△NBBI的面積是ANDDi面積的2倍，求點N的坐標.

【分析】(1)利用待定系數法，將點A,B的坐標代入解析式即可求得：

(2)根據旋轉的知識可得:A(1,0),B(0,2),???0據旅08=2,

叫得旋轉后C點的坐標為(3,1)，當x=3時，由y=x2?3x+2得y=2,用知拋物線尸x??3x+2過點(3,2)

???將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點C.???平移后的拋物線解析式為：y=x2-3x+l；

(3)首先求得B”Di的坐標，根據圖形分別求得即可，要注意利用方程思想.

【解答】ft?：(1)已知拋物線y=/+bx+c經過A(1,0),B(0,2),

.'0=l+b+c

…2=0+O+c*

解得產-3,

c-2

，所求拋物線的解析式為y=x2-3x+2；

(2)VA(1,0),B(0,2),

ACA=1,0B=2,

可得旋轉后C點的坐標為(3,1),

當:《=3時，由y=x?-3x+2得y=2,

可知拋物線丫二(?3x+2過點(3,2),

???將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點C.

???平移后的拋物線解析式為：y=x2-3x+l；

(2)???點N在y=x2-3x+l上，可設N點坐標為(x“x\3x+1),

將y=x2-3x+l配方得y=(x-J.)2-互,

24

???其對稱軸為直線x4

2

①時，如圖①，

S=2S，

?ANBB1ANDD1

XX

?,41XO=2X|XIX（1-XO）

乙乙乙

Vxo=l,

此時Xo2-3xo+l=-1,

???N點的坐標為（1,-1）.

②當Xc*時，如圖②，

02

同理可畤XIXX。二2X鼻的多，

乙乙乙

:.Xo=3,

此時Xo2-3xo+l=l>

，點N的坐標為（3,1）.

③當xVO時，由圖可知，N點不存在，

，舍去.

綜上，點N的坐標為（1,-1）或（3,1）.

【點評】此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯系密切，需要學生認真審題.

此題考查了二次函數與一次函數的綜合知識，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用.

2.(2018?ft西?13分)23.(不題13分)綜合與探究

I1.

如圖，拋物線y=_廠2一一"4與》軸交于力，8兩點(點月在點8的左側)與y軸交于

33

點C，連接

比\點〃是第四象限內拋物線上的一個動點，點尸的橫坐標為"，過點P作用/_Lx軸，

垂足為點也，PM交BC于點、。,過點尸作"〃力。交x軸于點八交8。于點尸.

(1)求力，B,C三點的坐標；

(2)試探究在點夕的運動的過程中，是否存在這樣的點0,使得以A,C,。為頂點的三

角形是等腰三角形.若存在，請直接寫出此時點0的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)請用含力的代數式表示線