高等數學習題答案

第一章

習題1-1

★1.求下列函數的定義域：

知識點：自然定義域指實數范圍內使函數表達式有意義的自變量X的取值的集合；

思路：常見的表達式有①logt,a.（a>0）②N/口，（口工0）③I（>0）

④arcsin(田一口])等

%H0

解：⑴y———Nl-x2=>?=>[-1,0)3。,4

x1-x2>0

X—Ijr-1

(2)y=arcsin---=一1W----<1=—1<x<3；

22

3-x>0x<3

(3)y=J3-x4-arctan—=>?=>=>XG(-x,O)u(O,3)：

Xxw0XH0

lg3r[0<3-xx<3

(4)y=>=>xe(-oo-l)u(13)：

歷1。<兇-11<x,or,x<-1

0<x-l

2

(5)j=logv_](16-x)=>^1x-\=>xG(1,2)o(2,4)：

0<16-x2

★2.下列各題中，函數是否相同？為什么？

（l）/（X）=Igf與g（x）=21gx：（2）y=2x+l與x=2y+l

知識點：函數相等的條件：

思路：函數的兩個要素是f（作用法則）及定義域D《作用范圍），當兩個函數作用法則/相同（化簡

后代數表達式相同）且定義域相同時，兩函數相同：

解：⑴/（x）=lg/的定義域D={MrwO,xwR},8。0=愴%的定義域0={小;>0,工€/?},

雖然作用法則相同lg/=21gx,但顯然兩者定義域不同，故不是同一函數;

（2）y=2x+\,以，I為自變量，顯然定義域為實數R；

x=2y+l,以】為自變量，顯然定義域也為實數R；兩者?作用法則相同“2口+1”

與自變量用何記號表示無關，故兩者為同一函數;

sin

X,w<fTTTT

*3.設w(x)=?求W。）,W（一）?叭-----），奴一2），并做出函數

0,W-f44

y=0（x）的圖形

知識點：分段函數；

思路：注意自變量的不同范圍:

/兀、.711

解：<?>(—)=sin—=-

662

0(一2)=0；如圖:

3

★4.試證下列各函數在指定區(qū)間內的單調性：

<1）y=X（―oo,l）（2）y=2x+\nx（0,-t-oo）

1-x

知識點：單調性定義。單調性是局部性質，函數在定義域內不一定有單調性，但是可以考查定義域的

某個子區(qū)間上函數的單調性的問題.

思路：利用單調性的定義即可。

解：（1）設％],x2e（—OO,1）.當時，

%一52=77-=/y2―i<。’由單調性的定義知是單調增函數;

1—X]1—X2\1—A])(1—x2/

(2)設％],x2e(0,+co),項v%2.

,Xj-y2=(X)+In^)-(x24-Inx2)=(%1-x2)+In-

x2

由x2G（o,-w）,X,<x2.知三~vl,故M工<0（對數函數的性質），則有

y—>2v°，得結論是單調增函數；

★5.設/（x）為定義在（一/,/）內的奇函數，若/（x）在（0,/）內單調增加，證明：f（x）在

（-/，。）

內也單調增加

知識點：單調性和奇偶性的定義。

思路：從單調增加的定義出發(fā)，證明過程中利用奇困數的條件：

證明：設X1,x2G(―/,0),xl<x2?則一“2G(。，，)，—X2<—Xj?

由/(X)在(0,/)內單調增加得，/(-%2)</(-^)?(1)?又/(X)為定義在(一/,/)內的奇

函

數，則(1)式變形為一/(七)〈一/(項)，即f(x2)>/(項)，則結論成立。

★6.設下面所考慮函數的定義域關于原點對稱，證明：

(2)兩個偶函數的和仍然是偶函數，兩個奇函數的和是奇函數：

(3)兩個偶函數的乘枳是偶函數，兩個奇函數的乘枳是偶函數，偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

知識點：函數奇偶性定義，奇偶性是函數的整體性質。

本題可作為結論應用。

思路：按定義證明即可。

證明：設函數/(x),g(x)定義域分別是D2(D,,是關于原點對稱區(qū)間)；

(1)設尸(x)=/(x)+g(x)，定義域為Die。？，顯然七CD2也關于原點對稱，

當/(K)，8(*)均為偶函數時，/(一“)=/(一人)十8(一X)=/(")+8(*)=尸(X)，得

尸(X)為偶函數；

當/(X)，g(x)均為奇函數時，F(-X)=/(-x)+g(-x)=-/(x)-1g(x)=-F(x)，得

戶(x)為奇函數；

(2)令G(x)=/(x)g(x)，定義域為RCE>2，CD2關于原點對稱，

當/(x),g(x)均為奇函數時，G(-x)=/(-%)g(-x)=-/(x\-^(x))=G(x)，得

尸(X)為偶函數；

當/(x),g(x)均為偶函數時，G(—X)=/(—x)g(—x)=/(x)^(.v)=G(x)>得廣(外為

偶函數；

當/(x)，g(x)為一奇一偶時，G(-x)=/(-x)g(-x)=-/(x)g(x)=-G(x)，得G(x)

為奇函數；

★7.下列函數中哪些是偶函數，哪些是奇函數，哪些既非奇函數又非偶函數？

ex-e~x

(1)y=tanx-secx+]；(2)y=-------:(3)y=|xC0SA|eC0SX；

(4)y=x(x—2\x4-2)o

知識點：函數奇偶性定義，奇偶性是函數的整體性質：

思路：按定義證明，尤其先判斷函數定義域是否關于原點對稱，并利用基本初等函數的性質：

解：(1)f(—x)=tan(—x)—sec(—x)4-1=—tanx—secx+1?顯然既不等于/(x)，也不

等于一/(x)，故是非奇非偶函數；

下面三個函數的定義域為全體實數R.關于原點對稱

⑵/J+咨二,故是偶函數：

(3)/(-X)=|-XCOS(-X^C0S(_Jr)=f(x),故是偶函數；

(4)f(—x)=—x—2X—x+2)=—f(x)?故是奇函數：

★8.下列各函數中哪些是周期函數？并指出其周期：

r3

-

X0<x<50,0<x<50

//\I

\(X/1=<23020

--50+(x-50)^1

’50cx-x—550<x

L204

★11.收音機每臺售價為90元，成本為60元，廠方為鼓勵銷售商大量采購，決定凡是訂購超過100臺

的，

每多訂一臺，售價就降低一分，但最低價為每臺75元

a)將每臺的實際售價p表示為訂購量工的函數；

b)將廠方所獲得利潤L表示成訂購量I的函數：

c)某一商行訂購了1000臺，廠方可獲利潤多少？

知識點：函數關系的建立，以及經濟函數：f\x)=0<=>f(x)=co

思路：分清變量及函數關系，經濟函數關系總利潤L=(總收入)R-(總成本)C。

解：售價恰好降到75元時需訂購的臺數位竺上+100=1600,則

001

0(<JC<

⑴:。p=-⑨-前期勵<%<

75,x>1600

(2)：

90x-60x,0<x<100

90-(x-100)-^

L=R—C=px—60x=<x-60.r,100<x<1600

75x-60x,x>1600

30x,0<x<100

-----x2+3lx,100<JV<I600

100

15x,犬>1600

(3)￡(1000)=-—10002+31x1000=21000(元，

100

習題1-2

★1.求下列函數的反函數:

1-x

(1)y

1+X

知識點：反函數求法；

思路：解出工的過程即為求反函數的過程，直接函數的因變量變?yōu)榉春瘮档淖宰兞?

1—x/.\1I-yI-x

解：(i)y=——=>(l+x)y=l-x=>x=-——=>y=-—(習慣上自變量用字母i表示)

l+x\+yl+x

X

2xxX

(2)y=———=>y2+y=2=>2==>x=log2

2、+li-yi-y

X

=>y=flog----。

2l-x

Ix<0

x=0,求/(x—l),/(X2-l)：

★2.設f(x)=<0

-I0<x

知識點：分段函數的定義:

思路：代入即可：

I,x-k01a<

解:41)=0,工_+?f(x-0%=

,x-卜0[-1

-1

1,x2-l<01，兇<1

22

0,A；-1=0=>/(X-1)=^o,兇=1

-1,公一1〉0T，W>1

★3.設函數/(X)二97,Hx)=sin2x，求了,/{/[/(0B

知識點：復合函數定義:

思路：逐層代入即可：

/(i)=o./(/(1))=/(0)=03-0=0,/｛/[/(1)])=/(o)=o

★★4.設/(%)=]匚，求/[/(x)]和/｛丹/(x)]｝。

1-X

知識點：函數的復合：

思路：同上題，逐層代入即可。

X

解:(X*\,x^—)：

/[/W]=l-2x2

X

小網]}<言卜尸=言，

1-五

xX11

定義域D：X￥1,￥1,—:——#1=>。：xwl,XR—,X￥一。

\-x\-2x23

★5.已知/[o(x)]=l+cosx?@(x)=sin；，求/(x)。

知識點：函數復合：

思路：換元法①令9(<)=，=>%=97("(此種方法要求I易解)，X、分別用0"(/)、f代:

換元法②將/b(x)]的表達式化成用表達的式子(需要技巧)，再令0(x)=f代換；

用法②:/[夕(刈=小嗚I

解:=1+cosx=2cos2—=2-2sin2—,

22

令sin土=f=/(/)=2-2r'f>f(x)=2-2x2(自變量與用何字母表示無關)。

★6.設/(*)的定義域是01],求：

⑴fQ~);(2)/(sinx)：(3)f(x+a)+f(x—a)<0<<2)(4)f(^l1—X2j

知識點：復合函數的定義域：

思路：/(x)的定義域是[0,I]，表明若有/(A)，則Ae[0,1]：

解：⑴/w[o,l]=>xe[-l,1];

(2)sinxe[0,1]=>xe[O"]u....u\lkn,(2k+1)^]--?=>\2k7r,(2Z+1)乃]

X+?G|O,11fxe|-￡Z,\-a\i

<3)；；；，當々<1一a時，即Ova<一時，結果為

x-ae[O,1][xG[+J,1+a\2

[a,1-6/]：當aN，時，結果為0；

★7.設f(x)=dx+E,求：(1)/(x)的定義域；(2)1{/[/(x)]}2

知識點：函數定義域及函數復合：

思路：略。

x+y[x^>0^>y[x^>-x=>xeR,故定義域為全體實數H：

解:(1)

(2)/[/M]

=>；｛/[/（x）F=；（，23+五）2='x+行

★8./（x）=sinx,/（^（x））=l-x2,求0（x）及其定義域；

知識點：函數的復合及定義域：

解：/（夕（功=sin（dM）=1-fn3（x）=arcsin（l-x2）+2k冗,

Mr）的自然定義域為一141—YA]，即一直工工“直

習題1-3

★1.觀察一般項％如下的數列卜〃｝的變化趨勢，寫出它們的極限:

=(一*⑶怎=2+5；..n-2

<1)x=-⑵匕⑷%=-----

n”3〃〃〃+2

⑸x〃=(T)”〃

知識點：數列定義。

思路：寫出前幾項，觀察規(guī)律。

111J_

解：⑴f0；

?5'27,81

(2)——>0；

'2y~34,5

1r1cle1

(3)2+1,22+—,2+—,2-2；

2764+岳'

4.4.44.1

(4)=>1——,1——.1——,???]------->1

n+2345100

(5)—1,2—3,4,----->oo

★★2.利用數列極限定義證明；

（1）（攵為正常數）：（2）limits=2.（3）Um二12_sin〃=0。

知識點：極限定義。

思路：按定義即可。

證明：（1）lim=0：對任意給定的正數J要使*<〃，只要取

M->00〃*n

1V<￡，即lim4=0

N=,則對任意給定的￡>0，當n>N時，就有

n—>c?

（注，只要保證N的取值能夠讓N以后的所有項的值滿足*式即可，因此Nn：取大于或等于

的整數）;

3〃+137

（2）lim=-：對任意給定的正數￡,要使*<￡,只要

"廿4〃-144n-l44(4/j-l)

7+4e3〃+13

”簧一?.取N=,則對任意給定的￡>0,當〃〉N時，就有<￡,

16e4n-l4

1+3〃3

??lim-------=—

4〃-14

,八vn+2.

(3)lim-......sin/i=0

"f%n-2

n+2.〃+2

證明：由于.sinn0<

n2-2n2-2

〃"+2.八1

因此對任意給定的正數%要使f一~-smn-0<￡,只要一-<￡,即〃>，+2

n2-2n-2

（計算時為方便不妨設〃>2,因為前面的有限項對極限無影響）

..1_〃+2.八

UzN=-+2,則對任意給定的￡>0,當">N時，就有二一~-sinn-0<￡,

￡n--2

〃+2

???lim-y^=-sin/z=0

〃廿n-2

★3.設數列kJ的一般項=1cos問limx”=?求出N,使得當時，血與其極

n2-

限之差的絕對值小于正數當￡=0001時，求出N。

知識點；數列極限定義

思路：按極限定義即可

解：觀察可得：lim^cos”=0,證明該結果如下:

n2

1<￡，只用

由于一cos,因此對任意給定的正數￡,要使<￡，即

nn

取N=［：］（N取大于或等于［g］的整數都可以）

,則對任意給定的￡>0,當n>N時,

1nKJin7r

就有一cos—q<￡,/.lim—cos—=0。

n2|f〃2

當￡二0001時，可取N=1000。

i1.〃萬

★4.設。〃=1+-sin—,證明數列｛〃J沒有極限。

nJ

知識點：判定數列極限不存在的方法

思路：若某數列極限為A,則其任意子列的極限都為A,因此，若某兩個子列極限不同，則說明原數列

極限不存在。

(1).2ATF、

證明：令〃=23kwN、則得子列。2A=1+—sin---,當“Too時，左一>00；

I2k)2

.I,1\.2k%

則lim]+—|sin-2-=0：

kTBI2k

取另一個子列〃=44+1,kQN,

.(4k+1)萬sin2k7r+—i,

得a4k+\1H--s-i-n------1+----

4Z+1J2依+1【2

當〃Tco時，2—>8,貝ijlim1+=lim1+^—=1

AT8I4)1+1；2k*4k+1

綜上，原極限不存在。

★5.設數列｛%J有界，又limy”=0,證明：limxnyn=0?

知識點：數列有界及數列極限定義

思路：有條件可知kJ<M:［笫|<￡］，如何讓兩者結合，證明|怎切<￡成立，是解決問題的關鍵。

證明：①數列｛五｝有界,則存在正常數M,使對任意〃，都有聞4M,則|盟為14MM;

②limy”=0,則對任意正數%,存在N,當">N時，有

W->30

則對于任意正數￡,取與=菅，由②可知：存在自然數N,當〃>N時，有|)"三與=焉，

￡

從而有：<Mx--=e

1"niM

=°

n—>oo

★6.對數列卜四〃},若limx2Kt=〃，lim=。，證明limx=〃。

Jt-KOk-w—w—>oon

知識點：子列極限和原數列極限的對應關系;

思路：對\/￡>0,根據條件，尋找使卜“一《<￡成立的〃的范圍。

證明：對于X/￡>0,由lim=〃，則存在N「當2k-l>N1時,

k-yx>

由limx=a,則存在Na,當2k>N2時，<￡：

k-yx>2k

取2V=max{/V],7V2}?當〃〉N時，（無論九=2左一1還是〃=2々）

習題1-4

★1.在某極限過程中，若廣(X)有極限，g(x)無極限，試判斷：/(x)g(x)是否必無極限。

知識點：函數極限性質

思路：舉例說明即可

解：/(x)g(x)可能有極限，舉例如卜.：

令/(x)=x，P(X)=sin—?limx=0.limg(x)不存在，但limxsin，=0；

Xv-*O.r->0x-?O*

★★2.用函數的極限定義證明：

2x+32sinx

(1)lim=-；(2)rIim=0

3x3fa〃

2

Irx-1

(3)lim-----=1：(4)lim------=2

x->2無_1】TlX"-X

知識點：函數極限定義

2x+32

思路：對于Ve>0,找出符合要求(比如〈1)中要求<c)的I范圍，即找到描述自變

3x3

量范圍的X或b：為了找到X或3,有時需要對不等式作適當的放縮。

證明：⑴任意正數￡,要使/(1)一d-------==<￡,即同〉L

3x3l.xi￡

1?J..2x+322X+32

只要取X=2,當X>X時，有丁-----；，即］淅=W

￡113x3A23x3

(2)任意正數鼠

11sinx

工當丁<￡,即時,-0<￡,

4x

srnx

.?.取X=與，當x>X時(因為已知x>0),有<￡即hm-0

1x-2

(3)由于=一--1=——(為找到0<,一2|<6中的5不妨將I范圍限制在

XIXr1

以一2|<；內，因為當時/(x)的極限,只和毛附近的工所對應的函數值f(x)有關)

1

不妨設上一2|<—>

2

對任意正數￡，要使彳,一2|<￡,只要卜一2|V]￡

取6=面艮」三<衿2|與如2|

,當0<x-Z時,<￡同時成立,

22X-]JD

x-22

???有|〃x)-小<—\X-2\<￡,lim-^―=1

X-13Kf2x-1

心）十犯-2X-113

(4),不妨設—,則上v<<』,則

X22

x-\lx-11..

<丁丁=半一1

/2

對任意正數鼠要使2|工一1|<￡,只要卜一1|<￡/2,

取6=11±1.1，；｝,當0<卜_1|<3時，]/(力_.=x-\

<2|x-l|<f,

X

???lim4^=2

XT1X-X

★3.當X-2時，y=/一>4,問b等于多少，使得當0<,一2|<方時，卜一4|<0?001?

知識點：函數極限定義

思路：由于考察的是x-2時函數的極限，所以不妨在卜一2|<1（即l<x<3）范圍內討論，這樣

的方法在極限證明中經常用到。

解：（不妨設則

2要使一只要

|y-4|=|x-4|=|x-2|-|x+2|<5|x-2|,5,2|<0?001,_2|

.,.取8=°,=0.0002,則當0<,一2|<5時，卜一4|<0001

（注：b還nJ?選取比0.0002小的數，只要保證|了一4）<0-001即可）

★4.求/（+崛除

知識點：數列極限：

0,x=0

0,x=0

解：/(x)=lim—?—lim-%,xw0=?1（所用到的性質見第六節(jié)）;

八)…加+2

X+-

z\1x1

★5.討論函數/（1）=」當x—0時的極限。

X

知識點：左右極限：

思路：求分段函數在分段點處的極限，首先要分別求出左右極限:

又lim/（x）=A<=>lim/（了）=4且limf（x）=A

XTXlXT%/XT-.q.

=<x>0

解：:/W=—

X1x<0

:.lim/(x)=lim1=1：limf(x)=lim-1=-1；

x->0+x->0+x->0--x->Q-

limf(x)不存在

x->0

★6.證明：如果函數/（x）當Xf%時的極限存在，則函數/（x）在工（）的某個去心鄰域內有界。

知識點：函數極限和局部有界的定義

證明：設lim=A,則對于任意正數￡,存在正數6,當0<卜一玉時，有|/（。一4|<￡,

Kf殉

即A—<A+E,取M=rmx{|A—￡|,|A+￡|卜則:

?,.當0<卜一為|<5時，

★7.判斷l(xiāng)ime”是否存在，若將吸限過程改為x->0呢？

知識點：函數極限，以及指數函數性質（圖像）

解：Xf+8n'f（）+=>lime乂=1；（嚴格來說要再用極限定義證明，但可省略，下同）

xip

x—>0+=>——>4-co=>lim屋=4-00；

xif

11/

X—>0=>--->-oo=lim=o,

x

故lime'不存在

習題1-5

★1.判斷題：

（1）非常小的數是無窮小；（2）零是無窮小：（3）無窮小是一個函數；（4）兩個無窮小的商是無窮小；

<5）兩個無窮大的和一定是無窮大；

知識點：無窮小，無窮大的定義和性質；

思路：略。

解：（1）錯，因為無窮小是指極限為。的變量，而不是非常小的數。

（2）對，因為。的極限為0,所以。是無窮小，只有零作為常函數的的時候才是無窮小，其他常數都不可

能是無窮小

（3）對

X

（4）錯，兩個無窮小的商未必是，例如］imx=O=lim-=l

x->0

（5）錯，如：Xf+oo時，X）及一X、2x都是無窮大，但x+（-x）是無窮小，而x+2x是無

窮大

★2.指出下列哪些是無窮小量，哪些是無窮大量

（1）—㈠）（…8）.（2）smx（x-?0）：⑶巖「2）

n14-cosx

知識點：無窮小，無窮大的定義：

思路：求出極限即可（并利用無窮小倒數是無窮大的結論）

x2—4

解：（1）姑無窮小量：（2）是無窮小量：（3）------>0,則學->2）是無窮大量:

X+1x--4

★3.根據極限定義證明：y=xsin，為Xf0時的無窮小：

x

知識點：函數極限定義：

思路：按定義證明；

證明：即要證limxsin^=o：

sOX

由于xsin一一0〈凡???對任意正數比當|目<￡時，就有xsin-<￡,則取b

xX

當0<N<b時，xsin'<￡,證畢。

★4.求下列極限并說明理由：

3x+2V廠一4

⑴lim二三：（2）hm-----：(3)lim--------

XBxJ。x—2X->O1-COSX

知識點；無窮小和無力大的關系；

思路：先將函數作一定的化簡；

解：⑴lim注E=lim3+2=0

（依據無窮大的倒數是無窮小）

x->oo4月一>oo%

1.x2—4.(x—2)(x+2)....

(2)lim------=lim-----------=limx+2=2

x->0X—2x->0x—2x->0

（3）x0cosx—>1=>1-cosx->0,乂無窮小的倒數是無窮大,故lim-=--O-O--O--

.ioi-cosx

★★5.函數y=xcosx在（一8,+8）內是否有界？當xf時，函數是否為無窮大？為什么？

知識點：函數有界的定義及無窮大的定義；無窮大一定是無界的，但無界未必無窮大；本題為無界變

量不是無窮大的典型例子。

思路：證明不是無窮大，只需要找到/—>+不時，函數y=xcosx的一個無窮子列，其極限不是無窮

大即可。

解：?.,對任意M>1,總可以取％=2加k，有/cos/=2也卜>財

??.y=xcosx在(-8,+oo)上是無界的：

又因為當％=2人用+工時，％—+<x>nxf+8：此時lim2抬r+：cos：=0,

272)(2)

???y=xcosx不走xf+oo時的無窮大

★★★6.設Xf/時，g(x)是有界量，/(X)是無窮大量，證明：/(x)±g(x)是無窮大量。

知識點：函數局部有界和無窮大的定義。

思路：可利用不等式|/(x)土g(x)|>|/(x)|-|g(x)|,及已知條件：g3是有界量，/(X)是無窮

大量，證明結論。

證明：時，g(x)是有界量，知存在正常數凡及，當0<卜一小|<5]時，|g(x):

對任意常數M(無論有多大)，不妨設/時，/(X)是無窮大量，

?..對于=2也，存在正常數^2,當0<卜一天)|<&時，|/(工)>“2=2M；

綜上，無論M多大，總可以取5=nin(司，3),當0<,一飛|<5時，

|g(x)<Mi和|/(x)>M2同時成立；

則有|/(x)±g(M可/㈤一心國〉心一”1>M成立，即/(x)±g(x)是無窮大量。

★7.設XT/時，|g(x]zM(M是一個正的常數)，/(X)是無窮大量，證明：y(x)g(x)是無

窮大。

知識點；無窮大的定義；

證明：???/(X)是無窮大量，則對任意>0,存在正常數6,當O<k-Xo|<b時，|/(x)>M],

又.?,這時由歷.加1的任意性，知〃x)g(x)是無窮大

習題1-6

★1.計算下列極限:

X2-3%2—2x+1

（1）lim.lim2-l+±.

lim2（3）

x->v3X2+1X->1X~?一鞏XX~

..X2+x..—6x+8..—2x^+x

⑷hm（5）hm-....-----（-6-）hm——：--------

x-3x2+1Ix-5x+41°3x~+2x

⑺：1cosx

lim?。⑻(9)lim

、一?s-±1

71TohX八2X)MT"

正舁2

lim..x3+2x2

(10)(11)lim----------；(12)limx\yl+x-x].

32+VxT(X-2)2XT+00''

arctanx3(2x-1嚴國-2嚴

(13)(14)lim(15)

lim3lim

X->00X[-xx-?oo(2x+l嚴

1~+X+1—ylX~—X+1)；

(16)lim

知識點：極限求法

思路：參照本節(jié)例題給出的幾種極限的求法

.X2-3

解：(1)???lim(d—3)=0,lim(/+i)=4，，-=0

,r->V3XT力KT、'3X+1

x~-2x+1..(x—I)?x—\_

(2)hrm------z---------=hm——/~r=lim--------=0：

nx2-1—(x-l)(x+l)xTix+1

(3)lim2--------1—7|=lim2-lim—+lim-Tr=2：

-r-KCVXX")X—x,XXTOOx"

11

V*2Y2+3

(4)lim4=lim廠』二0；

S8X”_3k+1XTOO31

1--2+~

XX

(x-2Xx-4)x-2

..—6x+8=2

(5)lim--------------=lim

x->4)

Ix1-5x+4(x-l)(x-4t->4x-]3

22

r4x3-2x~+XX(4X-2X+1)_(4X-2X+1)]_

(6)lim--------；------------limx(3x+2)=罌(3x+2)

?J。3x+2xx->02

(7)lim?+可7=lim("+、7)("+'+x)=iim(2x+/i)=2x；

〃一?ohh->oh/J->O

(8)1+lim-I2-lim—=2

X->00—Jr)

(9)vlime~x=0,limex=+00?lim-....-=0，

X-?+<?X->-F<X>g"+"X

說明一!—是無窮小，而cosx是有界量，

ex+e-x

：?lim-----!-----cosx=0

..y/\—X—3(71^-3)(71^7+3)-1+8)

(10)lim-----j=-=lim=蛔（2+五東八一*3）

XT-82+vxx+8(2+Vx)(^x/1—x+3^

--limx3-2x3+4

6x->-8

X3X2

322+2

(IDViim(x+2x)=16Jim(x-2)=0?-,.lim(^F=00;

2X-1

(12)limxlvl+x-xlim_____=;

XT+OO\z柯Vx2+1+x2

工f0,而arctanx是有界量，故山?吧翌±=0：

(13)Xf00,

X38X

1+x+x2-3

13_Hm㈡曾)i

(14)lim

\~X十吧1-x3(x-l)(x2+x+l)

230々20o20

(15)lim本題利用本節(jié)有理分式的極限規(guī)律，只要找到

.V-KO(2X+1)5022u

分子分母的最高次項比較即可，分子的最高次項由2x的30次方與3x的20次方乘枳所得，即

（2X）3°（3X）”，而分母的最高次項由2x的50次方所得，即（2x）5°：無器確切計算分子分母;

（16）limlVx2+x