第01講任意角和弧度制、三角函數的概念與誘導公式（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯考點2024年新I卷，第4題,5分三角函數的化簡、求值同角三角函數基本關系用和、差角的余弦公式化簡、求值2024年新I卷，第13題,5分同角三角函數基本關系用和、差角的正切公式化簡、求值2023年新I卷，第6題,5分三角函數求值余弦定理解三角形、已知點到直線距離求參數、切線長問題2023年新Ⅱ卷，第16題,5分特殊角的三角函數值由圖象確定正(余)弦型函數解析式2021年新I卷，第6題,5分正、余弦齊次式的計算三角函數求值二倍角的正弦公式2.命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較低，分值為5-11分【備考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化2.借助單位圓理解三角函數(正弦、余弦、正切)的定義，并能利用三角函數的定義解決相關問題3..理解并掌握同角三角函數的基本關系式（平方關系+商數關系），夠利用公式化簡求值4.能借助單位圓的對稱性利用三角函數定義推導出誘導公式，能夠運用誘導公式解決相關問題【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般會考查三角函數化簡求值或特殊角求三角函數值，需加強復習備考知識講解角的定義平面內一條射線繞著端點從一位置旋轉到另一個位置所形成的的圖形叫做角；射線的端點叫做角的頂點，旋轉開始時的射線叫做角的始邊，旋轉終止時的射線叫做角的終邊角的分類按照角終邊的位置可分為（象限角和軸線角）按照選擇方向可分為（正角（逆時針選擇）、負角（順時針選擇）和零角（不旋轉））象限角第Ⅰ象限角：，或，第Ⅱ象限角：，第Ⅲ象限角：，第Ⅳ象限角：，或，軸線角終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負半軸上：，終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負半軸上：，終邊落在軸上：，，終邊落在軸上：，終邊落在坐標軸上：，，終邊落在上：，終邊落在上：，或：，β，α終邊相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于x軸對稱?β＝－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于y軸對稱?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于原點對稱?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.終邊相同的角與終邊相同的角的集合為：，角度與弧度的關系，扇形的弧長、周長及面積公式角度制弧度制弧長公式面積公式周長公式是扇形的半徑，是圓心角的度數是扇形的半徑，是圓心角弧度數，是弧長三角函數的定義，正弦線：，余弦線：，正切線：三角函數在各象限內的符號三角函數值在各象限的符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．特殊角的三角函數值度弧度00100100101不存在0不存在0 兩角互余的三角函數關系互余，，已知，則：兩角互補的三角函數關系互補，，，已知，則：，常見三角不等式若，則；若，則..同角三角函數的基本關系平方關系：商數關系：推導公式：誘導公式誘導類型或，，或，，或，，誘導方法：奇變偶不變，符號看象限奇偶指的是或中的奇偶，若為奇數，變函數名；，若為偶數，不變函數名；，，象限指的是原函數名的象限，再判斷符號規定：無論角多大，看作第一象限角（銳角）誘導公式，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，考點一、扇形的弧長及面積計算1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面面積是（

）A．π B．2π C．3π D．4π2．（2024·廣西來賓·模擬預測）機械學家萊洛發現的萊洛三角形給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（

）A． B． C． D．3．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預測）已知圓錐的底面半徑為2，其側面展開圖為一個圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南長沙·一模）“會圓術”是我國古代計算圓弧長度的方法，它是我國古代科技史上的杰作，如圖所示是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點，在上，，則的弧長的近似值的計算公式：.利用上述公式解決如下問題：現有一自動傘在空中受人的體重影響，自然緩慢下降，傘面與人體恰好可以抽象成傘面的曲線在以人體為圓心的圓上的一段圓弧，若傘打開后繩長為6米，該圓弧所對的圓心角為，則傘的弧長大約為（

）A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米3．（2024·山東濰坊·三模）如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點，切點處有一個標志，該圓沿軸向右滾動，當圓滾動到與出發位置時的圓相外切時(記此時圓心為)，標志位于點處，圓與軸相切于點，則陰影部分的面積是（

）

A．2 B．1 C． D．考點二、定義法求三角函數值1．（全國·高考真題）已知角的終邊經過點，則=A． B． C． D．2．（全國·高考真題）已知α是第四象限角，cosα＝，則sinα等于（

）A． B．－C． D．－3．（2024·全國·模擬預測）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸．若是角終邊上一點，且，則．1．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知點是角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江金華·三模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合.若為角終邊上的一點，則．考點三、三角函數值的大小比較1．（北京·高考真題）在平面直角坐標系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是A． B．C． D．2．（2023·貴州遵義·三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預測）設，則（

）A． B．C． D．1．（新疆喀什·期末）如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．2．（22-23高一下·北京延慶·期中）設，，，則A． B． C． D．3．（21-22高一下·河南南陽·階段練習）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．考點四、同角三角函數的基本關系之平方關系1．（2022·浙江·高考真題）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2023·全國·高考真題）若，則．4．（2020·全國·高考真題）已知，且，則（

）A． B．C． D．1．（2024·新疆·三模）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西安康·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．考點五、同角三角函數的基本關系之商數關系（含弦切互化）1．（2024·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇·模擬預測）若，則（

）A． B．7 C． D．3．（2024·四川·模擬預測）已知為第一象限角，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1考點六、誘導公式的綜合應用1．（2024·四川自貢·三模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．3．（22-23高一上·北京·期末）已知，且，化簡并求的值.4．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知函數(1)化簡；(2)若，求?的值；(3)若，求的值.1．（2024高三·全國·專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·三模）已知，則（

）A． B．1 C． D．33．（22-23高一下·甘肅天水·期末）化簡4．（23-24高三上·河南·階段練習）已知．(1)求的值；(2)已知，求.1．（2024·上海奉賢·三模）在中，“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分永件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件2．（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三下·甘肅·階段練習）集合中的最大負角為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西安康·模擬預測）《九章算術》中《方田》一章給出了計算弧田面積的公式：弧田面積（弦矢+矢）.弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現有圓心角為，且，半徑等于的弧田，按照上述給出的面積公式計算弧田面積是（

）A． B． C． D．5．（2022·廣東·一模）為解決皮尺長度不夠的問題，實驗小組利用自行車來測量A，B兩點之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點A，前輪上與點A接觸的地方標記為點C，然后推著自行車沿AB直線前進（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點B接觸.經觀測，在前進過程中，前輪上的標記點C與地面接觸了10次，當前輪與點B接觸時，標記點C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點之間的距離約為（

）（參考數值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m6．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．27．（2024·廣東茂名·一模）已知，則（

）A． B． C． D．8．（2024·河南·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．9．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知角的終邊經過點，則的值為.10．（22-23高一下·黑龍江齊齊哈爾·開學考試）已知，，(1)化簡；(2)若為第三象限角，且，求的值.1．（2024·湖北·模擬預測）若角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是（）A． B．C． D．2．（2024·江西鷹潭·模擬預測）已知函數，則“，”是“為偶函數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·山東濟南·三模）若，則（

）A．1 B． C．2 D．4．（2024·江西宜春·模擬預測）已知，，則（）A． B． C． D．5．（2024·河北·三模）已知點在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·模擬預測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠流長的磚雕，由東周瓦當、漢代畫像磚等發展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區磚雕藝術的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．7．（2024·江西·二模）已知，求（

）A． B． C． D．8．（2024·湖南邵陽·三模）（多選）下列說法正確的有（

）A．若角的終邊過點，則角的集合是B．若，則C．若，則D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是9．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知，則．10．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點是線段上的動點，點O為線段的中點，點在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為百米.1．（2024·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·高考真題）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于原點對稱.若，則的最大值為．3．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則．4．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．5．（2022·浙江·高考真題）若，則，．6．（2021·北京·高考真題）若點關于軸對稱點為，寫出的一個取值為．7．（2020·全國·高考真題）若α為第四象限角，則（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<08．（2020·全國·高考真題）已知，且，則（

）A． B．C． D．9．（2020·浙江·高考真題）已知圓錐的側面積（單位：）為2π，且它的側面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是．10．（2020·北京·高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術”相似．數學家阿爾·卡西的方法是：當正整數充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術平均數作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是（

）．A． B．C． D．第01講任意角和弧度制、三角函數的概念與誘導公式（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯考點2024年新I卷，第4題,5分三角函數的化簡、求值同角三角函數基本關系用和、差角的余弦公式化簡、求值2024年新I卷，第13題,5分同角三角函數基本關系用和、差角的正切公式化簡、求值2023年新I卷，第6題,5分三角函數求值余弦定理解三角形、已知點到直線距離求參數、切線長問題2023年新Ⅱ卷，第16題,5分特殊角的三角函數值由圖象確定正(余)弦型函數解析式2021年新I卷，第6題,5分正、余弦齊次式的計算三角函數求值二倍角的正弦公式2.命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較低，分值為5-11分【備考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化2.借助單位圓理解三角函數(正弦、余弦、正切)的定義，并能利用三角函數的定義解決相關問題3..理解并掌握同角三角函數的基本關系式（平方關系+商數關系），夠利用公式化簡求值4.能借助單位圓的對稱性利用三角函數定義推導出誘導公式，能夠運用誘導公式解決相關問題【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般會考查三角函數化簡求值或特殊角求三角函數值，需加強復習備考知識講解角的定義平面內一條射線繞著端點從一位置旋轉到另一個位置所形成的的圖形叫做角；射線的端點叫做角的頂點，旋轉開始時的射線叫做角的始邊，旋轉終止時的射線叫做角的終邊角的分類按照角終邊的位置可分為（象限角和軸線角）按照選擇方向可分為（正角（逆時針選擇）、負角（順時針選擇）和零角（不旋轉））象限角第Ⅰ象限角：，或，第Ⅱ象限角：，第Ⅲ象限角：，第Ⅳ象限角：，或，軸線角終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負半軸上：，終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負半軸上：，終邊落在軸上：，，終邊落在軸上：，終邊落在坐標軸上：，，終邊落在上：，終邊落在上：，或：，β，α終邊相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于x軸對稱?β＝－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于y軸對稱?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于原點對稱?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.終邊相同的角與終邊相同的角的集合為：，角度與弧度的關系，扇形的弧長、周長及面積公式角度制弧度制弧長公式面積公式周長公式是扇形的半徑，是圓心角的度數是扇形的半徑，是圓心角弧度數，是弧長三角函數的定義，正弦線：，余弦線：，正切線：三角函數在各象限內的符號三角函數值在各象限的符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．特殊角的三角函數值度弧度00100100101不存在0不存在0 兩角互余的三角函數關系互余，，已知，則：兩角互補的三角函數關系互補，，，已知，則：，常見三角不等式若，則；若，則..同角三角函數的基本關系平方關系：商數關系：推導公式：誘導公式誘導類型或，，或，，或，，誘導方法：奇變偶不變，符號看象限奇偶指的是或中的奇偶，若為奇數，變函數名；，若為偶數，不變函數名；，，象限指的是原函數名的象限，再判斷符號規定：無論角多大，看作第一象限角（銳角）誘導公式，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，考點一、扇形的弧長及面積計算1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面面積是（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【分析】根據側面展開的弧長與圓錐的底面周長相等，求得底面半徑，進而即可得解.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，則根據弧長公式＝π，解得r＝，所以該圓錐的底面面積為π×()2＝3π．故選：C．2．（2024·廣西來賓·模擬預測）機械學家萊洛發現的萊洛三角形給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據圖形分析，利用扇形的圓心角、半徑、弧長的關系，即可求解.【詳解】由已知，．得，則萊洛三角形的周長是故選：A．3．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定圖形求出圓心角，再利用扇形面積公式計算即得.【詳解】顯然為等腰三角形，，則，，即，于是，所以璜身的面積近似為.故選：C4．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，分別求出，再根據題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.1．（2024·全國·模擬預測）已知圓錐的底面半徑為2，其側面展開圖為一個圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓面積公式求出圓錐的底面面積，再由扇形側面積公式求出圓錐側面積，即可得到圓錐的表面積.【詳解】因為底面半徑，所以底面積，底面周長，圓錐母線長，圓錐側面積，故圓錐的表面積為．故選：C.2．（2024·湖南長沙·一模）“會圓術”是我國古代計算圓弧長度的方法，它是我國古代科技史上的杰作，如圖所示是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點，在上，，則的弧長的近似值的計算公式：.利用上述公式解決如下問題：現有一自動傘在空中受人的體重影響，自然緩慢下降，傘面與人體恰好可以抽象成傘面的曲線在以人體為圓心的圓上的一段圓弧，若傘打開后繩長為6米，該圓弧所對的圓心角為，則傘的弧長大約為（

）A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米【答案】B【分析】根據給定條件，結合垂徑定理計算即可得解.【詳解】依題意，點共線，，，所以（米）.故選：B3．（2024·山東濰坊·三模）如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點，切點處有一個標志，該圓沿軸向右滾動，當圓滾動到與出發位置時的圓相外切時(記此時圓心為)，標志位于點處，圓與軸相切于點，則陰影部分的面積是（

）

A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，求出劣弧的長，再利用扇形面積公式計算即得．【詳解】由圓與圓外切，得，又圓，圓與軸分別相切于原點和點，則，所以劣弧長等于，所以劣弧對應的扇形面積為.故選：B考點二、定義法求三角函數值1．（全國·高考真題）已知角的終邊經過點，則=A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由題意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故選D.考點：三角函數的概念.2．（全國·高考真題）已知α是第四象限角，cosα＝，則sinα等于（

）A． B．－C． D．－【答案】B【分析】根據同角三角函數平方關系式以及三角函數值在各象限的符號即可解出．【詳解】由條件知α是第四象限角，所以，即sinα＝＝＝.故選：B．【點睛】本題主要考查同角三角函數平方關系式以及三角函數值在各象限的符號的應用，屬于容易題．3．（2024·全國·模擬預測）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸．若是角終邊上一點，且，則．【答案】【分析】根據三角函數定義式列方程，解方程即可.【詳解】由題設知，即，且，即，且，解得，故答案為：.1．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知點是角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數的定義計算即可.【詳解】點到原點的距離為，所以由三角函數定義可知，故選：C.2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函數平方關系計算可得.【詳解】因為,所以，因為為第二象限角，所以.故選：C.3．（2024·浙江金華·三模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合.若為角終邊上的一點，則．【答案】【分析】根據余弦的定義可得出答案.【詳解】為角終邊上的一點，則.故答案是：.考點三、三角函數值的大小比較1．（北京·高考真題）在平面直角坐標系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是A． B．C． D．【答案】C【詳解】分析：逐個分析A、B、C、D四個選項，利用三角函數的三角函數線可得正確結論.詳解：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.A選項：當點在上時，，，故A選項錯誤；B選項：當點在上時，，，，故B選項錯誤；C選項：當點在上時，，，，故C選項正確；D選項：點在上且在第三象限，，故D選項錯誤.綜上，故選C.點睛：此題考查三角函數的定義，解題的關鍵是能夠利用數形結合思想，作出圖形，找到所對應的三角函數線進行比較.2．（2023·貴州遵義·三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據時，求解.【詳解】由時，可知，，即，故選：A3．（2024·全國·模擬預測）設，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可證，，得結論.【詳解】先證明：當時，.

如圖，角終邊為OP，其中點P為角的終邊與單位圓的交點，軸，交x軸于點M，A點為單位圓與x軸的正半軸的交點，軸，交角終邊于點T，則有向線段MP為角的正弦線，有向線段AT為角的正切線，設弧長，由圖形可知：，即，所以，即.則，所以．而，所以，所以.故選：D．1．（新疆喀什·期末）如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．【答案】C【分析】分別作出角的正弦線、余弦線和正切線，結合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線、余弦線、正切線，很容易地觀察出，即.故選C.

【點睛】本題主要考查了三角函數線的應用，其中解答中熟記三角函數的正弦線、余弦線和正切線，合理作出圖象是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.2．（22-23高一下·北京延慶·期中）設，，，則A． B． C． D．【答案】C【分析】由結合三角函數單調性即可比較大小.【詳解】因為，所以，即.故選：C.3．（21-22高一下·河南南陽·階段練習）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先證明當0＜x＜時，，從而可得，再利用正切函數和余弦函數的單調性可得答案.【詳解】先證明：當0＜x＜時，如圖，角x終邊為OP，其中點P為角x的終邊與單位圓的交點，PM⊥x軸，交x軸與點M，A點為單位圓與x軸的正半軸的交點，AT⊥x軸，交角x終邊于點T，則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設弧PA＝l＝x×1＝x，由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函數在上單調遞增，所以又由函數在上單調遞減，則所以所以，即故選：C．考點四、同角三角函數的基本關系之平方關系1．（2022·浙江·高考真題）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由三角函數的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.2．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系得解.【詳解】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B3．（2023·全國·高考真題）若，則．【答案】【分析】根據同角三角關系求，進而可得結果.【詳解】因為，則，又因為，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.4．（2020·全國·高考真題）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉化為關于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數關系，即可得出結論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數關系求值，熟記公式是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.1．（2024·新疆·三模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接代入二倍角公式，然后因式分解，最后根據解方程組即可得出答案.【詳解】，因為，所以，，，所以，又，解方程組得：.故選：D2．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，結合三角函數的基本關系式，即可求解.【詳解】由，可得，可得則，因為，所以與異號，可得為第二或第四象限，當為第二象限角時，可得；當為第四象限角時，可得.故選：C.3．（2024·陜西安康·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二倍角公式可得，即可由求解.【詳解】由可得，解得，或（舍去）故，故，故選：A考點五、同角三角函數的基本關系之商數關系（含弦切互化）1．（2024·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.2．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數的基本關系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.3．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，利用三角函數的基本關系式，化為“齊次式”，代入即可求解.【詳解】因為，所以.故選：B.2．（2024·江蘇·模擬預測）若，則（

）A． B．7 C． D．【答案】B【分析】先根據已知及同角三角函數的平方關系弦化切，再根據正切的和角公式計算即可.【詳解】因為，整理得，所以，又.故選：B3．（2024·四川·模擬預測）已知為第一象限角，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】C【分析】由可得，借助二倍角公式將弦化切計算即可得.【詳解】由為第一象限角得，所以，則原式.故選：C.考點六、誘導公式的綜合應用1．（2024·四川自貢·三模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用三角函數的誘導公式結合充分必要條件求解即可.【詳解】因為所以或所以或者故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.2．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據誘導公式進行化簡，然后對原式進行齊次化，轉化為只含有的代數式，代入計算可知結果為選項B.【詳解】利用誘導公式化簡：已知角的終邊經過點，可得，且.分子分母同時除以：.故選：B3．（22-23高一上·北京·期末）已知，且，化簡并求的值.【答案】【分析】利用同角三角函數的基本關系求出，然后利用誘導公式化簡可得出所求代數式的值.【詳解】解：因為，且，則，所以，，故.4．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知函數(1)化簡；(2)若，求?的值；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）由誘導公式化簡即可得出答案；（2）利用同角三角函數的基本關系即可得出答案；（3）由已知求出，結合的范圍，由誘導公式即可求出的值.【詳解】（1）（2）因為，所以為第三象限角或第四象限角.當為第三象限角時，；當為第四象限角村，.（3）因為，所以.因為，所以.故.因此.1．（2024高三·全國·專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由同角三角函數的基本關系求出，再由誘導公式、二倍角公式化簡所求式即可得出答案．【詳解】由得，則．故選：A.2．（2024·遼寧·三模）已知，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】由三角函數的誘導公式和弦切關系化簡可得.【詳解】，故選：D.3．（22-23高一下·甘肅天水·期末）化簡【答案】【分析】應用誘導公式化簡后，根據同角三角函數的關系得解.【詳解】原式．4．（23-24高三上·河南·階段練習）已知．(1)求的值；(2)已知，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導公式化簡，然后代值求解即可；（2）利用二倍角公式和弦切互化公式求解即可.【詳解】（1）原式，（2）由可知即；.1．（2024·上海奉賢·三模）在中，“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分永件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】由三角函數值及充分條件、必要條件的定義即可得出結論.【詳解】在中，若，則；反之，若，且，所以或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據任意角的概念以及角的終邊所在位置，即可確定角的集合.【詳解】終邊落在陰影部分的角為，，即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是．故選：B．3．（23-24高三下·甘肅·階段練習）集合中的最大負角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用任意角的定義與集合所表示的角即可得解.【詳解】因為，所以集合中的最大負角為.故選：C.4．（2024·陜西安康·模擬預測）《九章算術》中《方田》一章給出了計算弧田面積的公式：弧田面積（弦矢+矢）.弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現有圓心角為，且，半徑等于的弧田，按照上述給出的面積公式計算弧田面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據半角公式求出，再分別求出弦長和矢長，再根據弧田的面積公式即可得解.【詳解】由，可得，故弦長為，矢長為，所以所求弧田面積為.故選：A.5．（2022·廣東·一模）為解決皮尺長度不夠的問題，實驗小組利用自行車來測量A，B兩點之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點A，前輪上與點A接觸的地方標記為點C，然后推著自行車沿AB直線前進（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點B接觸.經觀測，在前進過程中，前輪上的標記點C與地面接觸了10次，當前輪與點B接觸時，標記點C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點之間的距離約為（

）（參考數值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m【答案】D【分析】由題意，前輪轉動了圈，根據圓的周長公式即可求解.【詳解】解：由題意，前輪轉動了圈，所以A，B兩點之間的距離約為，故選：D.6．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據切弦互化法計算即可求解.【詳解】因為，所以．故選：B．7．（2024·廣東茂名·一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，求出，再結合誘導公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齊次式法計算得解.【詳解】由，得，則，所以.故選：D8．（2024·河南·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由條件推知，然后對表達式變形即可求解.【詳解】由，可得，所以.故.故選：D.9．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知角的終邊經過點，則的值為.【答案】【分析】利用任意角的三角函數的定義和誘導公式即可求解結果．【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以，則，故答案為：.10．（22-23高一下·黑龍江齊齊哈爾·開學考試）已知，，(1)化簡；(2)若為第三象限角，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據誘導公式進行化簡;(2)首先化簡，根據第三象限角，同角基本關系式求,確定的值.【詳解】（1）

∴（2）∵

∴∵為第三象限角，∴∴的值為.1．（2024·湖北·模擬預測）若角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題意，分為第一象限角和第三象限角時，求出的取值集合再求并集.【詳解】根據題意，角的終邊在直線上，為第一象限角時，；為第三象限角時，；綜上，角的取值集合是.故選：D.2．（2024·江西鷹潭·模擬預測）已知函數，則“，”是“為偶函數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】當時，代入可得，由正弦函數性質，可驗證充分性，為偶函數時，得到，可驗證必要性.【詳解】函數，當時，，則為奇函數，所以充分性不成立，當為偶函數時，，所以必要性不成立，故“，”是“為偶函數”的既不充分也不必要條件．故選：D.3．（2024·山東濟南·三模）若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由同角的三角函數和二倍角公式結合特殊角的三角函數計算可得.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B4．（2024·江西宜春·模擬預測）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知先利用和差角的正切公式進行化簡可求，然后結合二倍角公式及同角基本關系對所求式子進行化簡，即可求解.【詳解】因為，，所以，，解得或（舍，則.故選：A.5．（2024·河北·三模）已知點在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據誘導公式、二倍角公式，同角三角函數的基本關系求解即可.【詳解】由題意，，所以.故選：B.6．（2024·全國·模擬預測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠流長的磚雕，由東周瓦當、漢代畫像磚等發展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區磚雕藝術的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，，進而求得梅花磚雕的側面積及扇環的面積可得該梅花磚雕的表面積.【詳解】延長與交于點．由，，得，．因為所對的圓心角為直角，所以，．所以該梅花磚雕的側面積，扇環的面積為，則該梅花磚雕的表面積．故選：C．7．（2024·江西·二模）已知，求（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由誘導公式將條件式化簡為，再利用兩角和與差公式化簡運算得解.【詳解】根據題意，，由誘導公式，可得，所以，則.故選：D.8．（2024·湖南邵陽·三模）（多選）下列說法正確的有（

）A．若角的終邊過點，則角的集合是B．若，則C．若，則D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是【答案】ABC【分析】由三角函數的定義判斷A，根據誘導公式判斷B，根據“1”的代換和弦切互化求解判斷C，根據扇形弧長公式求解判斷D.【詳解】因為角的終邊過點，為第一象限角，所以由三角函數的定義知，所以角的終邊與終邊相同，所以角的集合是，故A選項正確；因為，所以B選項正確；因為，所以C選項正確；設扇形的半徑為，圓心角為，因為扇形所對的弧長為，所以扇形周長為，故，所以D選項不正確．故選：ABC9．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知，則．【答案】【分析】利用同角三角函數之間的基本關系可得，將表達式利用平方和關系為1化簡可得結果.【詳解】由可得，即；所以將代入計算可得；即.故答案為：10．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點是線段上的動點，點O為線段的中點，點在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為百米.【答案】【分析】設半圓步道直徑為百米，連接，借助相似三角形性質用表示，結合對稱性求出步道長度關于的函數關系，利用導數求出最大值即得.【詳解】設半圓步道直徑為百米，連接，顯然，由點O為線段的中點，得兩個半圓步道及直道都關于過點垂直于的直線對稱，則，又，則∽，有，即有，因此步道長，，求導得，由，得，當時，，函數遞增，當時，，函數