1/12021北京重點校高一（上）期中數學匯編單調性與最大（小）值一、單選題1．（2021·北京·清華附中高一期中）設偶函數f(x)在區間(-∞，-1]上單調遞增，則（

）A．<f(-1)<f(2) B．f(2)<<f(-1)C．f(2)<f(-1)< D．f(-1)<<f(2)2．（2021·北京師大附中高一期中）下列函數中，在區間（0，＋∞）上不是單調函數的是（

）A．y＝ B． C． D．3．（2021·北京市第十三中學高一期中）函數的單調減區間為（

）A． B．C． D．4．（2021·北京八十中高一期中）已知函數是R上的增函數，則a的取值范圍為（

）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．5．（2021·北京·101中學高一期中）下列函數中，在區間上為增函數的是（

）A． B．C． D．6．（2021·北京·北師大實驗中學高一期中）下列函數中在上單調遞增的是（

）A． B． C． D．7．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函數是上的減函數，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2021·北京市第十三中學高一期中）已知函數的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，則函數一定是（

）A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．減函數9．（2021·北京市陳經綸中學高一期中）下列函數中，既是奇函數又是增函數的是（

）A． B． C． D．10．（2021·北京四中高一期中）若函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2021·北京市陳經綸中學高一期中）設定義在R上的函數滿足：（1）當時，；

（2）；

（3）當時，，則在下列結論中：①②在R上是遞減函數；③存在，使④若，則，．其中正確結論的命題為__________．12．（2021·北京市第十三中學高一期中）能夠說明“若對任意的都成立，則函數在是增函數”為假命題的一個函數是_________.13．（2021·北京市十一學校高一期中）寫出“函數在區間上單調遞減”的一個充分不必要條件：___________.14．（2021·北京市十一學校高一期中）已知函數在R上單調遞減，則實數a的取值范圍是_________.15．（2021·北京·人大附中高一期中）若不等式對一切恒成立，則實數x的取值范圍是______.16．（2021·北京市十一學校高一期中）已知函數，若對于，，，都有，則實數的取值范圍為________.17．（2021·北京·清華附中高一期中）函數的值域是_______________18．（2021·北京八十中高一期中）己知，若對，使得，則實數m的取值范圍是________．19．（2021·北京八十中高一期中）寫出函數的單調遞增區間________．20．（2021·北京·101中學高一期中）用表示兩個實數中的最大值.設，則函數的最小值是________21．（2021·北京·人大附中高一期中）函數的值域是__________22．（2021·北京市第十三中學高一期中）已知函數在上單調遞增，若，則滿足的實數的取值范圍是______23．（2021·北京市陳經綸中學高一期中）已知是定義在R上的減函數，那么a的取值范圍是___.三、解答題24．（2021·北京市陳經綸中學高一期中）已知函數(1)用函數單調性的定義證明在區間上是增函數；(2)解不等式．25．（2021·北京·101中學高一期中）對于定義域為的函數，如果存在區間，使得在區間上是單調函數.且函數的值域是，則稱區間是函數的一個“優美區間”(1)判斷函數和函數是否存在“優美區間”？（直接寫出結論，不要求證明）(2)如果是函數的一個“優美區間”，求的最大值；(3)如果函數在上存在“優美區間”，求實數的取值范圍.26．（2021·北京四中高一期中）已知函數．(1)應用函數單調性的定義證明：函數在區間上單調遞增；(2)求在區間上的最大值與最小值．注：證明（1）只能用函數單調性定義證明．27．（2021·北京·北師大二附中高一期中）己知函數(b，c為常數)，f(1)=4，f(2)=5.(1)求函數f(x)的解析式；.(2)用定義證明∶函數f(x)在區間(0，1)上是減函數.28．（2021·北京·101中學高一期中）已知二次函數滿足：①；②當時，函數取得最小值2.(1)求的解析式；(2)記.①若是定義域上的單調函數，求在的取值范圍；②記的最小值為，求方程的解集.29．（2021·北京·北師大實驗中學高一期中）已知函數，（其中）.(1)若對任意，都有恒成立，求的值；(2)設關于x的函數的最小值為.①若，解不等式，并直接寫出的值；②試判斷是否為的函數？若是，直接寫出的函數表達式（用分段函數形式表示）；若不是，說明理由.30．（2021·北京市陳經綸中學高一期中）已知函數定義在區間上，其中.（1）若，求的最小值；（2）求的最大值.

參考答案1．B【解析】利用偶函數的性質可得出，再由函數在區間上的單調性可得出、、的大小關系.【詳解】因為函數為偶函數，則，由于函數在區間上單調遞增，且，，即.故選：B.2．C【解析】由基本函數的性質分析判斷即可【詳解】對于A，在（0，＋∞）上單調遞增，所以A錯誤，對于B，在（0，＋∞）上單調遞增，所以B錯誤，對于C，在（0，＋∞）上不是單調函數，所以C正確，對于D，在（0，＋∞）上單調遞增，所以D錯誤，故選：C3．D【解析】根據反比例函數的單調性即可得出答案.【詳解】解：由函數，定義域為，得其單調減區間為.故選：D.4．B【解析】依題意可得函數在各段均是增函數且在斷點的左側的函數值不大于斷點右側的函數值，即可得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為且在上單調遞增，所以，解得，即故選：B5．C【解析】利用解析式結合函數圖象逐項判斷即可.【詳解】解：對A，，為反比例函數在第一象限的圖象，所以是單調遞減，故A錯誤；對B，，該函數為開口向上，對稱軸為，所以在上先減再增，故B錯誤；對C，，為單調遞增的一次函數，故C正確；對D，，為單調遞減的一次函數，故D錯誤.故選：C.6．B【解析】由函數的單調性逐一判斷即可求解【詳解】對于A：在上單調遞減，故A錯誤；對于B：在上單調遞增，故B正確；對于C：在上單調遞增，故C錯誤；對于D：在上單調遞減，故D錯誤；故選：B7．A【解析】由題意可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】由于函數是上的減函數，則函數在上為減函數，所以，對稱軸，解得.且有，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：A.8．C【解析】利用函數單調性定義即可得到答案.【詳解】對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，等價于對于任意兩個不相等的實數，總有.所以函數一定是增函數.故選：C9．D【解析】根據函數解析式直接判斷函數的奇偶性和單調性可得解.【詳解】函數不是奇函數，故A不正確；函數是奇函數，但不是增函數，故B不正確；函數是奇函數，但不是增函數，故C不正確；的圖象如圖：所以函數是奇函數且是增函數.故選：D10．A【解析】根據二次函數對稱軸位置可構造不等式求得結果.【詳解】由二次函數性質知：對稱軸為，，解得：.故選：A.11．①②③【解析】通過賦值可得，進而可判斷①，再根據單調性的定義及條件可判斷②，由②得單調性和可判斷③，由可判斷④.【詳解】當時，令時，，因為，所以，所以，所以①正確；由①知，，所以有，任意的且，因為，則，所以，，所以，所以在R上是遞減函數，②正確；因為，在R上是遞減函數，所以當時，，③正確；由，結合①得，，④錯誤.故答案為：①②③.12．（答案不唯一）【解析】根據題意函數可為，說明此函數在上不是增函數即可.【詳解】解：根據題意函數可為，則對于任意的都有，函數在上都是增函數，又，則函數在上不是增函數，所以函數能夠說明題中命題為假命題.故答案為：.（答案不唯一）13．（答案不唯一）【解析】由函數在區間上單調遞減可得，再利用充分條件、必要條件的定義即得.【詳解】由函數在區間上單調遞減可得，所以“函數在區間上單調遞減”的一個充分不必要條件為.故答案為：（答案不唯一）14．【解析】根據題意可知，由此即可求出結果.【詳解】因為函數在R上單調遞減，所以，解得.故答案為：.15．【解析】利用變換主元法將看成自變量，將看成參數即可求解.【詳解】解：不等式對一切恒成立將看成自變量，將看成參數，將不等式化為：對一切恒成立令即對一切恒成立等價于即解得：或所以實數x的取值范圍是：【點睛】關鍵點睛：當所給不等式或者等式有兩個變量時，將已知變量看成自變量，所求變量看成參數，即變換主元法進行求解.16．【解析】先求出，進而求出與的解析式，，，都有，等價于，有，對進行分類討論,求出實數的取值范圍【詳解】因為，令，則所以，故所以，令，，，都有等價于，有當，即時

與在上單調遞減，故，所以，解得：結合得：當，即時在上單調遞減，在單調遞增；在上單調遞減，，所以，化簡：，解得結合得：當，即時在上單調遞增，在上單調遞減，，所以，解得結合得：當，即時在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，且對稱軸更靠近，故，所以，解得結合求得：當，即時在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，且對稱軸更靠近，故，所以，解得結合得：當時

與在上單調遞增，故，所以，解得結合得：綜上所述：故答案為：17．##【解析】利用雙勾函數的單調性可求得函數的值域.【詳解】任取、且，即，則，，，所以，函數在上單調遞減，同理可證函數在上單調遞增，所以，，又因為，，，所以，，因此，函數的值域為.故答案為：.18．【解析】根據對，使得，由求解.【詳解】，當且僅當，即時，等號成立，所以函數的最小值為4，當，即時，，因為對，使得，所以，解得，此時；當，即時，，因為對，使得，所以，解得，此時；當，即時，，因為對，使得，所以，解得，此時；綜上：實數m的取值范圍是，故答案為：19．和【解析】先化簡函數函數得，再畫出函數的圖像得到函數的單調遞增區間.【詳解】由題意，函數，作出函數的圖象如圖所示：由圖象知，函數的單調遞增區間是和．故答案為：和20．3.【解析】將函數的圖像畫在一個坐標系中，根據題干知取該圖中中靠上的部分就是的圖像，在這個圖像中找到最低點，最低點的縱坐標就是函數的最小值.【詳解】根據題意在一個坐標系中畫出兩個函數的圖像，得到圖像如上圖，取其中靠上的部分，即曲線，線段，曲線這三部分所構成的分段函數，就是的圖像，再取這部分圖像的最低點，由圖知應該是點，該點的縱坐標即函數的最小值.聯立或，由圖知，代入函數表達式得到，即函數的最小值為3.故答案為：3.21．【解析】由根式內部的代數式大于等于0求出函數的定義域,再由函數的單調性求得答案.【詳解】由,得，又在上的增函數,在上也是增函數,

在上是增函數,

則函數的值域為故答案為:22．【解析】由題意可得，再根據單調性去掉，解不等式即可.【詳解】因為，所以，因為函數在上單調遞增，所以，可得，所以滿足的實數的取值范圍是，故答案為：.23．【解析】利用函數在上是減函數，可列出不等式組，由此求得a的取值范圍.【詳解】由于是定義在R上的減函數，∴，求得，故答案為：.24．(1)見解析(2)【解析】（1）通過計算，證得在區間上為增函數.（2）利用的解析式，化簡不等式，由此求得不等式的解集.(1)設任意的且，則，且，，，即，即，即對任意的，當時，都有，在區間上是增函數；(2)由，可得，所以有或，解得或，所以不等式的解為：25．(1)存在優美區間是，不存在優美區間；(2)(3)【解析】（1）由函數的單調性及值域及新定義求解；（2）由新定義及函數定義域，確定相應方程有兩個同號的不等實根，由此求得參數范圍；（3）由函數的單調性，分類討論：，，，確定函數的最大值和最小值，轉化為一元二次方程的根的分布，可得結論．(1)，在上單調遞增，由得或1，存在優美區間是，是增函數，若存在優美區間，則，無解，不合題意，不存在優美區間；(2)在和上都是增函數，因此優美區間或，由題意，所以有兩個同號的不等實根，，，，，或，，同號，滿足題意，，，因為或，所以當，即時，．(3)函數在上存在“優美區間”，設得其一個優美區間，在上遞減，在上遞增，若，則，即有兩個不等的非負根，，，，，，則，所以；若，則，即，兩式相減得，，，所以方程有兩個不等的非正根，方程整理為，，，滿足題意，，，所以；若，則，因此，所以，，，，即時，，，，即時，，，，，一正一負，取正根為，，時，成立，時，不等式變為，，，即，綜上，的取值范圍是．【點睛】本題考查函數的新定義，解題關鍵是理解新定義，解題難點是新定義的應用，解題方法是利用新定義把問題轉化為一元二次方程根的分布，注意分類討論的應用．對學生的邏輯思維能力運算求解能力要求較高，屬于難題．26．(1)證明見解析(2)最大值為，最小值為【解析】（1）設，計算得到證明.（2）根據函數的單調性計算最值得到答案.(1)設，則，，，故，即.故函數在區間上單調遞增.(2)在區間上單調遞增，故，.27．(1)(2)證明見解析【解析】(1)結合已知條件利用待定系數法求解即可；(2)首先設任意的，，且，然后利用作差法比較和大小，再結合函數單調性的定義即可證明.(1)由題意可知，，解得，，故函數f(x)的解析式為：.(2)設任意的，，且，則，因為，，且，所以，，即，從而，即，故函數f(x)在區間(0，1)上是減函數.28．(1)(2)①；②【解析】（1）依題意設，，再根據，代入求出，即可求出函數解析式；（2）①首先求出的解析式，求出函數的對稱軸，函數在區間單調，則對稱軸不在區間內，即可