1第四章彎曲內力材料力學2§4–1彎曲的概念和實例§4–2受彎桿件的簡化§4–3剪力和彎矩§4–4剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖§4–5載荷集度、剪力和彎矩間的關系§4–6平面曲桿的彎曲內力第四章彎曲內力3§4–1彎曲的概念、實例1.彎曲變形:直桿在垂直其軸線的外力作用下，桿的軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。受力特點：外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線。變形特點：直桿變成曲桿，橫截面發生相對轉動。一、彎曲的概念和實例彎曲內力43.工程實例彎曲內力5彎曲內力64.平面彎曲：桿發生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內。

對稱彎曲（如下圖）——

平面彎曲的特例縱向對稱面MP1P2q彎曲內力7非對稱彎曲——

若梁不具有縱向對稱面，或者，梁雖具有縱向對稱面但外力并不作用在對稱面內，這種彎曲則統稱為非對稱彎曲。下面幾章中，將以對稱彎曲為主，討論梁的應力和變形計算。P彎曲內力8

梁的支承條件與載荷情況一般都比較復雜，為了便于分析計算，應進行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1.構件本身的簡化通常取梁的軸線來代替梁。2.載荷簡化作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。3.支座簡化集中載荷分布載荷集中力偶Meq§4–2受彎桿件的簡化彎曲內力9①固定鉸支座

2個約束，1個自由度。彎曲內力10②可動鉸支座（輥軸支座）

1個約束，2個自由度。彎曲內力11③固定端

3個約束，0個自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA4.梁的三種基本形式①簡支梁M—集中力偶q(x)—分布力②懸臂梁彎曲內力12③外伸梁—集中力Pq—均布力5.靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。彎曲內力13[例1]貯液罐如圖示，試求貯液罐的計算簡圖。解：q—均布力彎曲內力14彎曲內力15PPPPPPPP彎曲內力16§4–3剪力和彎矩一、彎曲內力：彎曲內力[例2]已知：如圖，P，a，l。

求：距A端x處截面上內力。PYAXARBAB解：①求支座約束力PalABx17ABPYARBmmx彎曲內力②求內力——截面法AYAFSMRBPMFS∴彎曲構件內力剪力彎矩1.彎矩：M

構件受彎時，垂直于橫截面的分布內力系的合力偶矩。CC18彎曲內力2.剪力：FS

構件受彎時，切于橫截面的分布內力系的合力。3.內力的正負規定:①剪力FS:繞研究對象順時針轉為正剪力；反之為負。②彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負彎矩。FS(+)FS(–)FS(–)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)“上壓下拉”為正，反之為負19[例3]：求圖（a）所示梁1--1、2--2截面處的內力。xy解：截面法求內力。

1--1截面處截取的分離體

如圖（b）示。圖（a）二、例題qqLab1122qLFS1AM1圖（b）x1彎曲內力202--2截面處截取的分離體如圖（c）xy圖（a）qqLab1122qLFS2BM2x2彎曲內力圖（c）21彎曲內力§4–4剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖1.剪力方程和彎矩方程：

內力與截面位置坐標（x）間的函數關系式。2.剪力圖和彎矩圖：剪力方程)(xMM=彎矩方程剪力圖的圖線表示)(xMM=彎矩圖的圖線表示繪制方法：類似于其他內力圖的畫法，截面法求內力，先設為正22彎曲內力[例4]求下列各圖示梁的內力方程并畫出內力圖。解：（1）求支反力（2）列內力方程（3）畫內力圖23彎曲內力在集中力或者有約束力作用的位置，剪力有突然變化，應作為剪力方程的分界。在集中力偶或者有約束反力偶作用的位置，彎矩有突然變化，應作為彎矩方程的分界。24解：（1）求支反力（2）列內力方程（3）畫內力圖xMql2/8xFSql/2ql/2彎曲內力25彎曲內力解：（1）求支反力

(本題可省略此步)（2）列內力方程（3）畫內力圖xlqABRAMAql2/226彎曲內力解：（1）列內力方程（2）畫內力圖BC段：AC段：Fl/2Fl/2+mFl+ml/2lABRAMAx2mFCx127彎曲內力解：（1）求支反力（2）列內力方程（3）畫內力圖lABl/2CPl/2PlDRCRAx28彎曲內力解：①求支反力②內力方程q0RA③根據方程畫內力圖RBLFS(x)xxM(x)29這次課要學什么？§4–5載荷集度、剪力和彎矩間的關系彎曲內力30一、載荷集度、剪力和彎矩的微分關系dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAy剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。

彎曲內力31彎矩與荷載集度的關系是：彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。彎曲內力321.

若q(x)=0，則FS(x)為常量，對應FS圖為平行于x

軸的直線；M(x)是

x的一次函數，對應M圖為斜直線。幾個重要結論：2.

若q(x)=常數，則FS(x)是

x的一次函數，對應FS圖為斜直線；M(x)是

x的二次函數，對應M圖為拋物線。

若q(x)=常數>0，即向上作用，則FS圖中斜直線的斜率為正，而M圖中拋物線的開口向上；若q(x)=常數<0，即向下作用，則FS圖中斜直線的斜率為負，而M圖中拋物線的開口向下。彎曲內力33還不算完哦！3.

M的極值（極大或極小）發生于FS為零的截面上。4.

在集中力作用截面的左右兩側，FS圖有突變，突變值等于此集中力的大小，M圖在此發生轉折；在集中力偶作用截面的左右兩側，FS圖無變化，M圖有突變，突變值等于此集中力偶的數值。優點：快速、準確、當場可以檢驗！彎曲內力34外力無外力段q=0FS圖特征M圖特征集中力CP集中力偶Cm水平直線xFSC無變化斜直線彎曲內力自左向右突變與m反x

MM1M2FS<0xxFSFS>0FS降函數xx增函數MM均布載荷段q>0q<0斜直線增函數xFSxFS降函數曲線墳狀xMxM盆狀xFSCFS1FS2FS1–FS2=P自左向右突變自左向右折角xM折向與P反向35二、應用微分關系做內力圖（簡易作圖法）驗證一下！比前一種做內力圖的方法如何？彎曲內力36[例5]

用簡易作圖法畫圖示梁的內力圖。aaqaqA分界約束反力???彎曲內力37aaqaqAqa2–xMFSxqa–彎曲內力38[例6]改內力圖之錯。a2aaqqa2ABFSx––+qa/4qa/43qa/47qa/4xMqa2/449qa2/323qa2/25qa2/4+彎曲內力39總結一下，這次課學會了什么？彎曲內力40作業：試用簡易作圖法畫下列圖示梁的內力圖。qqa2/2qaACD（1）（2）l/2lABmFC彎曲內力41彎曲內力解：求支反力qqa2qaRARDABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+控制面FS值M值ARBLBRCLCRDL-qa/2-qa/2qa/2-qa/2-qa/2-qa/20-qa2/2-qa2/20-qa2/2qa2/2FSxqa/2qa/2qa/2––+[例7]42彎曲內力解：求支反力qqa2/2qaABCDRARB控制面FS值M值CRALARDLDRBL-qa-qaqa/2qa/2qa/2-qa/20-qa2-qa2/2000FSxqaqa/2qa/2–+qa2xMqa2/2qa2/8–43彎曲內力解：ABCDq3qa22qaaaa控制面FS值M值ARCLCRDLDRBL2qa2qa2qaqaqaqa02qa2-qa2qa2/2qa2/23qa2/2FSx2qaqa+xM2qa2qa2qa2/23qa2/2++44彎曲內力§4–6按疊加原理作彎矩圖一、疊加原理：適用條件：所求參數（內力、應力、位移）必然與荷載滿足線性關系。即在彈性限度內滿足胡克定律。

多個載荷同時作用于結構而引起的內力等于每個載荷單獨作用于結構而引起的內力的代數和。45彎曲內力二、材料力學構件小變形、線性范圍內必遵守此原理

——疊加方法步驟：

①分別作出各項荷載單獨作用下梁的彎矩圖；②將其相應的縱坐標疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）。46彎曲內力[例8]按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力P作用在梁AB的中點處）。qqPP=+AAABBBxM+xM1+=xM2

++47彎曲內力[例9]按疊加原理作圖示梁的彎矩圖。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+–2Pa2PaPa(1)++48彎曲內力PLLL0.5P0.5PPPLLLP0PLL0.5P0.5PMxPL+=+M2x0.5PL0.5PL–+M1x+0.5PL=+[例10]按疊加原理作圖示梁的彎矩圖。49彎曲內力§4–7平面曲桿的彎曲內力一、平面剛架1.概念：同一平面內，不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組成的框架結構。兩段桿件之間的剛性連接稱為剛節點。

50彎曲內力51彎曲內力

彎矩方程的求法與普通梁的方法相同。2.特點：（1）剛架的每兩個組成部分在其連接處夾角不變；（2）軸線為折線；（3）剛架各桿的內力有：FS、M、FN。3.靜定剛架彎矩圖的繪制：約定把彎矩圖繪在桿件受壓的一側，不需注明正、負號。52彎曲內力

平面剛架可以看作由若干直梁用剛節點連接而成，因此可采用先拆后合的方法，把剛架問題轉化為直梁。具體步驟為：1.求約束力；2.用截面法從剛節點處把剛架截成幾段直桿，并根據平衡方程求出截開段處的彎矩；3.把各段看作水平梁，作各段的彎矩圖；4.把各段彎矩圖組合起來，即為剛架的彎矩圖。53彎曲內力[例11]試作圖示剛架的彎矩圖。P1P2alA