專題16二次函數與正方形存在性問題解題點撥作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質，因此坐標系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（1）有一個角為直角的菱形；（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形．依據題目給定的已知條件選擇恰當的判定方法，即可確定所求的點坐標．從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標滿足4個等量關系，考慮對角線性質，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）．比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構成正方形，而如果要求在某條線上確定點，則可能會出現不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數，可能無解．從動點角度來說，關于正方形存在性問題可分為：（1）2個定點+2個全動點；（2）1個定點+2個半動點+1個全動點;甚至可以有：（3）4個半動點．不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標！常用處理方法：思路1：從判定出發若已知菱形，則加有一個角為直角或對角線相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或對角線互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．思路2：構造三垂直全等若條件并未給關于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點．總結：構造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮從矩形的判定出發，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關系．正方形的存在性問題在中考中出現得并不多，正方形多以小題壓軸為主．例：在平面直角坐標系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是正方形．如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．至于具體求點坐標，以為例，構造△AMB≌△，即可求得坐標．至于像、這兩個點的坐標，不難發現，是或的中點，是或的中點．題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路．直擊中考1．如圖，二次函數的圖象與軸交于，，與軸交于點．(1)求該二次函數的解析式及點的坐標；(2)點為拋物線上一點，過作軸交直線于點，點為軸上一點，點為坐標系內一點，當以點，，，為頂點的四邊形是正方形時，直接寫出點的坐標．2．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與直線交于、兩點，，，其中點是拋物線的頂點，交y軸于點．(1)求二次函數解析式；(2)點是拋物線第三象限上一點（不與點、重合），連接，以為邊作正方形，當頂點或恰好落在拋物線對稱軸上時，直接寫出對應的點的坐標．

3．（2022·海南·統考中考真題）如圖1，拋物線經過點，并交x軸于另一點B，點在第一象限的拋物線上，交直線于點D．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)當點P的坐標為時，求四邊形的面積；(3)點Q在拋物線上，當的值最大且是直角三角形時，求點Q的橫坐標；(4)如圖2，作交x軸于點，點H在射線上，且，過的中點K作軸，交拋物線于點I，連接，以為邊作出如圖所示正方形，當頂點M恰好落在y軸上時，請直接寫出點G的坐標．

4．（2022·山東泰安·統考中考真題）若二次函數的圖象經過點，，其對稱軸為直線，與x軸的另一交點為C．(1)求二次函數的表達式；(2)若點M在直線上，且在第四象限，過點M作軸于點N．①若點N在線段上，且，求點M的坐標；②以為對角線作正方形（點P在右側），當點P在拋物線上時，求點M的坐標．

5．（2020·遼寧錦州·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖，直線與拋物線交于A,D兩點，與直線于點E．若是線段上的動點，過點M作x軸的垂線，交拋物線于點F，交直線于點G，交直線于點H．①當點F在直線上方的拋物線上，且時，求m的值；②在平面內是否在點P，使四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

6．（2020秋·遼寧沈陽·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點左側），與軸交于點，拋物線的頂點為．直線與拋物線交于，兩點．(1)求拋物線的表達式；(2)用配方法求頂點的坐標；(3)點是對稱軸右側拋物線上任意一點，設點的橫坐標為．①過點作軸的垂線，垂足為，交直線于點，當時，請直接寫出點坐標；②連接，以為邊作正方形，是否存在點使點恰好落在對稱軸上？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

7．如圖，直線與拋物線交于A，B兩點，其中點B的坐標是(1)求直線及拋物線的解析式；(2)C為拋物線上的一點，的面積為3，求點C的坐標；(3)P在拋物線上，Q在直線上，M在坐標平面內，當以A，P，Q，M為頂點的四邊形為正方形時，直接寫出點M的坐標．

8．如圖，拋物線與x軸交于，D兩點，與y軸交于點B，拋物線的對稱軸與x軸交于點，點E，P為拋物線的對稱軸上的動點．(1)求該拋物線的解析式；(2)當最小時，求此時點E的坐標；(3)若點M為對稱軸右側拋物線上一點，且M在x軸上方，N為平面內一動點，是否存在點P，M，N，使得以A，P，M，N為頂點的四邊形為正方形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

9．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與x軸交于點，，與y軸交于點C．(1)______，______；(2)若點P是該拋物線對稱軸上的一點，點Q為坐標平面內一點，那么在拋物線上且位于x軸上方是否存在點M，使四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

10．（2022秋·湖南·九年級校考期末）如圖，已知拋物線經過，，三點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接BC，點D是線段BC上方拋物線上一點，過點D作，交x軸于點E，連接AD交BC于點F，當取得最小值時，求點D的橫坐標；(3)點G為拋物線的頂點，拋物線對稱軸與x軸交于點H，連接GB，點M是拋物線上的動點，設點M的橫坐標為m．①當時，求點M的坐標；②過點M作軸，與拋物線交于點N，P為x軸上一點，連接PM，PN，將△PMN沿著MN翻折，得△QMN，若四邊形MPNQ恰好為正方形，求m的值．

11．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系．xOy中，直線y＝x﹣4與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C（﹣2，0）．(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點F是直線AB下方拋物線上一動點，連接FA，FB，求出四邊形FAOB面積最大值及此時點F的坐標．(3)如圖2，在（2）問的條件下，點Q為平面內y軸右側的一點，是否存在點Q及平面內任意一點M使得以A，F，Q，M為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

12．綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與y軸交于點B，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C，且，點F是直線AB下方拋物線上的動點，連接FA，FB．(1)求拋物線解析式；(2)當點F與拋物線的頂點重合時，的面積為______；．(3)求四邊形FAOB面積的最大值及此時點F的坐標．(4)在（3）的條件下，點Q為平面內y軸右側的一點，是否存在點Q及平面內另一點M，使得以A，F，Q，M為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

13．（2022·遼寧沈陽·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交y軸于點D，直線AB與之相交，且是拋物線的頂點．(1)b＝______，c＝______；(2)如圖1，點P是第四象限拋物線上一點，且滿足，拋物線交x軸于點C，連接PC．①求直線PB的解析式；②求PC的長；(3)如圖2，點Q是拋物線第三象限上一點（不與點B、D重合），連接BQ，以BQ為邊作正方形BEFQ，當頂點E或F恰好落在拋物線對稱軸上時，直接寫出對應的Q點的坐標．

14．（2022·四川成都·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C．(1)b＝______，c＝______；(2)若點D為第四象限內拋物線上的一個動點，過點D作DE∥y軸交BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，過點F作FG⊥y軸于點G，求出DE+FG的最大值及此時點D的坐標；(3)若點P是該拋物線對稱軸上的一點，點Q為坐標平面內一點，那么在拋物線上且位于x軸上方是否存在點M，使四邊形OMPQ為正方形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

15．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點A（1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式和點D的坐標；(2)求△BCD的面積；(3)點M為拋物線上一動點，點N為平面內一點，以A，M，I，N為頂點作正方形，是否存在點M，使點I恰好落在對稱軸上？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

16．（2022秋·浙江·九年