摘要：學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科教育在落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育中的重要指標，是學(xué)科育人價值的集中體現(xiàn)。高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計這一部分內(nèi)容中，要求培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)目標是數(shù)據(jù)分析。教師在課堂教學(xué)過程中應(yīng)結(jié)合學(xué)情，合理創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，設(shè)計豐富的教學(xué)活動，貫穿概率與統(tǒng)計的思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，實現(xiàn)課程育人的價值。關(guān)鍵詞：課程育人；核心素養(yǎng)；概率與統(tǒng)計教學(xué)核心素養(yǎng)是完整的育人目標體系。從抽象到具體，它可以分為三層：頂層是教育目的，中層是學(xué)科育人目標，底層是課堂教學(xué)目標，這三層自上而下不斷具體化、抽象化，構(gòu)成了課程育人的完整框架，也體現(xiàn)了課程育人的復(fù)雜性與專業(yè)性。筆者從課程育人的角度出發(fā)，以“用樣本估計總體”一課為例，以問題為導(dǎo)向，闡述如何以課程為載體，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實核心素養(yǎng)，進而達到學(xué)科育人的目的。一、在概率與統(tǒng)計教學(xué)中體現(xiàn)課程育人價值《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出，要通過概率與統(tǒng)計部分的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。其中，數(shù)據(jù)分析對課程育人的價值尤為突出，具體體現(xiàn)在三個方面。一是學(xué)生應(yīng)具備從真實的問題情境中主動獲取信息的能力，并且根據(jù)解決問題的目標對提取的信息進行有效的分析整理。數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，要讓學(xué)生體會“數(shù)據(jù)”與“數(shù)”的含義是完全不同的。例如，“6”是一個數(shù)字，但是在具體問題中被賦予具體的含義，用“6”表示某個小朋友的年齡，那么它就成為一個數(shù)據(jù)。教材在章節(jié)起始就給出了大量真實案例中的具體數(shù)據(jù)，讓學(xué)生感知其真實含義，這是與其他章節(jié)完全不同的，教師要認真體會其中的含義。獲取和整理信息過程中還要注意培養(yǎng)學(xué)生的主動意識及信息的有效性。二是根據(jù)數(shù)據(jù)分析的結(jié)果推斷事物的整體，認識事物的本質(zhì)。落實數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的過程，實際上就是提升學(xué)生“四能”（發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題），落實“三會”（會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界）的過程。數(shù)據(jù)分析是研究隨機現(xiàn)象的主要方法，研究的目的是將其結(jié)論應(yīng)用到實際問題的解決過程中，這也是信息時代大數(shù)據(jù)應(yīng)用的主要方法。三是初步形成統(tǒng)計學(xué)獨有的思維品質(zhì)和活動經(jīng)驗。數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)不同于其他的學(xué)科素養(yǎng)，具有獨特性。一般的數(shù)學(xué)問題解決都具有嚴謹?shù)倪壿嬐评磉^程，屬于演繹推理，而數(shù)據(jù)分析具有不確定性，沒有統(tǒng)一標準，屬于經(jīng)驗推理，但這與數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴謹性與準確性并不相悖。二、概率與統(tǒng)計的教學(xué)實踐研究“用樣本估計總體”一課為人教B版高中數(shù)學(xué)必修教材第二冊第五章“用樣本估計總體”的第一課時。具體教學(xué)內(nèi)容為：結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)，理解集中參數(shù)的統(tǒng)計含義；結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義；結(jié)合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律等。（一）教學(xué)目標設(shè)置1.通過實例，學(xué)生能夠體驗有效收集、整理和分析數(shù)據(jù)的過程，感受用樣本估計總體的合理性和必要性，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。2.通過探究學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果作出合理判斷和推測，會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題。3.學(xué)生能夠借助計算器計算樣本的平均數(shù)和方差，體驗在兩種不同的抽樣方法下不同的估計方式。（二）學(xué)情分析在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了抽樣方法和樣本分析，具備了一定的統(tǒng)計意識、數(shù)據(jù)感悟和初步數(shù)據(jù)分析能力。本節(jié)課主要研究如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估算總體的信息，理解用樣本的數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征的合理性和必要性，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。“用樣本估計總體”共分為兩個課時：第一個課時是用樣本中的數(shù)字特征分析總體的數(shù)字特征，運用數(shù)據(jù)分析即可完成，如計算平均數(shù)和方差等；第二個課時是用樣本的分布估計總體的分布。本節(jié)課的難點是對用樣本估計總體的必要性和合理性的理解，樣本容量并不是越大越準確，而是準確的可能性越大，而且當抽樣方法不同時，如采用分層抽樣抽取樣本時，為了讓估計更有效，可以充分利用各層樣本的數(shù)字特征去估計總體。（三）課堂教學(xué)設(shè)計1.創(chuàng)設(shè)情境，引出課題教師創(chuàng)設(shè)新聞情境：大數(shù)據(jù)的應(yīng)用以大數(shù)據(jù)分析為基礎(chǔ)，為生產(chǎn)生活提供決策參考。（1）電商領(lǐng)域：精準廣告推送，個性化推薦；（2）傳媒領(lǐng)域：精準營銷，直達目標客戶群體；（3）金融領(lǐng)域：根據(jù)客戶的行為大數(shù)據(jù)，綜合評估出客戶端信用；（4）交通領(lǐng)域：根據(jù)司機出行規(guī)劃，準確判斷哪里是擁堵的，進而給出優(yōu)化的出行路線；（5）電信領(lǐng)域：電信基站選址優(yōu)化，就是利用了電信用戶位置的大數(shù)據(jù)；（6）安防領(lǐng)域：通過大量犯罪細節(jié)的數(shù)據(jù)進行分析、總結(jié)，從而得出犯罪特征，進而預(yù)防犯罪，還有天網(wǎng)監(jiān)控等也是大數(shù)據(jù)應(yīng)用的具體案例；（7）醫(yī)療領(lǐng)域：智慧醫(yī)療，通過某種典型病例的大數(shù)據(jù)，可以得出該病例的最優(yōu)療法等。【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)情境可讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)分析在生活中的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)用樣本估計總體的興趣，同時感受用樣本估計總體的必要性。2.借助統(tǒng)計信息，感受用樣本估計總體的合理性【環(huán)節(jié)一】提出問題對比分析國家統(tǒng)計局網(wǎng)站上給出的人口普查和抽查調(diào)查中的數(shù)據(jù)（如平均壽命、平均住房和受教育程度等）。設(shè)問：你認為用樣本估計總體合理嗎？【設(shè)計意圖】在人口普查和抽查調(diào)查的背景下進行數(shù)據(jù)分析，引入新知。【環(huán)節(jié)二】動手實踐選取教材中給出的具體實例作為引例：某學(xué)校高一年級98位學(xué)生的身高數(shù)據(jù)，每個小組的同學(xué)在總體中抽取一個樣本。設(shè)問：抽樣的方法是什么？抽取的樣本容量是多少？得到了樣本的哪些數(shù)字特征？（見圖1，學(xué)生使用計算器完成）<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-34.psd>[以下是某學(xué)校高一年級98位學(xué)生的身高（單位：cm）：161168166168152152163164170167143166153165168167163157160159153169172175165161158172147164171149158155169150173170162157152180178158162161172165165155163178159168161151166168165158162165163166174163163175165160161177163170155156161169167151156158165179161176162168153169155165163166172160173164已知這組數(shù)的總體平均數(shù)為163.5，總體方差為56.3。用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取容量為10的樣本3次。分別計算樣本平均數(shù)與樣本方差，并與總體對應(yīng)的組進行比較。][情境與問題]圖1教材中的數(shù)據(jù)實例【設(shè)計意圖】通過實例，學(xué)生自由抽取樣本，利用手持計算器計算相關(guān)數(shù)字，總結(jié)其特征，真正體驗有效收集、整理和分析數(shù)據(jù)的過程。【環(huán)節(jié)三】合作探究小組成果展示：說明本小組采用的抽樣方法以及樣本容量的大小；根據(jù)本組計算的數(shù)字特征結(jié)果和總體數(shù)字特征進行簡單比較。【設(shè)計意圖】通過小組合作，學(xué)生可以更直觀地感受到誤差的存在以及樣本的隨機性。【環(huán)節(jié)四】發(fā)現(xiàn)結(jié)論每個小組利用圖形計算器計算引例中容量為10的三組樣本的平均數(shù)和方差，將結(jié)果和總體數(shù)據(jù)進行比較。為了更直觀地觀測誤差，教師引導(dǎo)學(xué)生利用柱狀圖展示平均數(shù)和方差，師生共同得出結(jié)論：樣本數(shù)字特征和總體存在誤差。設(shè)問：如何看待誤差？教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對比、思考、分析，得出結(jié)論：在允許一定誤差存在的前提下，可以用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征。“誤差可以存在”是統(tǒng)計獨有的魅力。若總體平均數(shù)記為[μ]，樣本均值記為[x]，則[μ>x，μ=x，μ<x]都有可能。當樣本容量越來越大時，估計的誤差很小的可能性越來越大。值得注意的是：不是容量越大就越準確，是準確的可能性越大，所以我們用樣本估計總體是可行且合理的。根據(jù)學(xué)生小組合作過程及展示的成果，教師適時加以引導(dǎo)，一方面，抽樣方法要合理、樣本容量要恰當；另一方面，計算樣本數(shù)字特征可以從刻畫集中趨勢和離散程度兩個方面加以考慮，如平均數(shù)和方差。【設(shè)計意圖】從數(shù)據(jù)分析入手，學(xué)生經(jīng)歷了用樣本的數(shù)字特征估計總體的合理性，即從質(zhì)疑到理解的過程，體會了統(tǒng)計思想。通過計算，能夠用統(tǒng)計思維來分析問題的隨機現(xiàn)象，感受到統(tǒng)計結(jié)果并不是通過準確的數(shù)據(jù)測量而得到的。【環(huán)節(jié)五】思維拓展教師提出問題：生物學(xué)中的統(tǒng)計常采用分層抽樣的方法抽取樣本，這樣抽取的樣本如何合理利用數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征（見圖2）？<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-8.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-10.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-11.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-9.psd>圖2利用數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征學(xué)生小組合作探究：通過教材“嘗試與發(fā)現(xiàn)”欄目中的實例，引導(dǎo)學(xué)生用探究分層抽樣方法抽取樣本時，如何利用每一層的樣本數(shù)字特征去估計總體數(shù)字特征，尋找讓誤差很小的可能性越來越大，準確的可能性越來越大的方法。設(shè)問：若選擇男生（或女生）樣本的平均數(shù)和方差作為估計總體的對應(yīng)值可以嗎？用分層抽樣獲得每一層樣本的數(shù)字特征時，該怎樣估計總體的數(shù)字特征呢？學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)的平均數(shù)和方差公式，很容易得到總樣本均值，但是，由于沒有個體真實數(shù)據(jù)，無法直接計算，借助統(tǒng)計學(xué)知識中總樣本均值和總樣本方差公式可以求出。假設(shè)第一層有[m]個數(shù)，分別為[x1]，[x2]，…，[xm]，平均數(shù)為[x]，方差為[s2]；第二層有[n]個數(shù)，分別為[y1]，[y2]，…，[yn]，平均數(shù)為[y]，方差為[t2]，則[x=1mi=1mxi]，[s2=1mi=1m（xi-x）2]，[y=1ni=1nyi]，[t2=1ni=1n（yi-y）2]。如果記樣本均值為[a]，樣本方差為b2，則可以計算出[a=1m+n（i=1mxi+i=1nyi）=mx+nym+n]，[b2=m[s2+（x-a）2]+n[t2+（y-a）2]m+n=1m+n[（ms2+nt2）+mnm+n（x-y）2]]。對比兩個總樣本均值公式的不同，用“嘗試與發(fā)現(xiàn)”中的實例檢驗，發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果差距不大。根據(jù)課堂學(xué)習(xí)情況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)猜想若分三層抽取樣本，上述公式會發(fā)生哪些變化？并在課后對猜想的公式加以推導(dǎo)證明。教師小結(jié)：當我們用分層抽樣得到樣本時，既可以是各層數(shù)據(jù)集中在一起計算樣本均值與樣本方差，也可以去考慮整個樣本的數(shù)字特征與每一層的數(shù)字特征之間的關(guān)系，后者在大數(shù)據(jù)時代的并行計算中經(jīng)常使用。【設(shè)計意圖】對分層抽樣樣本數(shù)據(jù)的處理方法和最后得出的公式，只讓學(xué)生感悟到其中的思想即可，一定要避免把重心放在公式的推導(dǎo)及計算上。通過多角度研究估計方法，在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)提出問題，引發(fā)學(xué)生深入思考，感受抽樣方法不同時，估計的差異性，讓學(xué)生通過思考獲得解決問題的途徑和經(jīng)驗，培養(yǎng)科學(xué)探究精神。3.設(shè)計實踐活動，應(yīng)用新知，深化目標【探究活動】以全班學(xué)生體重作為總體，小組成員體重作為樣本，讓學(xué)生進行“用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征”的實踐活動，完成活動記錄表并進行展示。教師先展示總體數(shù)字特征，如平均數(shù)和方差。學(xué)生小組活動后，教師再引導(dǎo)學(xué)生利用圖形計算器與計算機聯(lián)網(wǎng)得到各小組的統(tǒng)計數(shù)據(jù)和數(shù)字特征。最后，學(xué)生利用實物展臺展示活動記錄表，做活動總結(jié)。【設(shè)計意圖】教師通過找出學(xué)生感興趣的話題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生在活動中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體驗用統(tǒng)計方法解決實際問題的全過程。學(xué)生可根據(jù)實際情況真正學(xué)會用數(shù)據(jù)說話，推斷統(tǒng)計結(jié)果，養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析的習(xí)慣，為今后的數(shù)學(xué)課題研究積累經(jīng)驗，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。【課后作業(yè)】若以班級物理成績作為樣本，學(xué)校物理成績作為總體，想快速了解學(xué)校是否有80%的同學(xué)物理及格，則怎樣用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征呢？若想了解全校同學(xué)鞋號分布情況呢？若想了解年級期末考試數(shù)學(xué)第一名和物理第一名誰發(fā)揮得更穩(wěn)定呢？根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識，除了利用數(shù)字特征，還有哪些角度可以用樣本情況去估計總體情況呢？【設(shè)計意圖】通過課后作業(yè)，發(fā)散