第七章隨機變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布7.4.2超幾何分布第2課時超幾何分布的綜合應用學習目標素養要求1.掌握超幾何分布的均值的計算數學抽象2.能利用超幾何分布概率模型解決簡單的實際問題數學建模3.通過實例理解超幾何分布與二項分布的區別與聯系邏輯推理自學導引np服從超幾何分布的隨機變量的均值1．二項分布與超幾何分布分別是怎樣得出的？提示：由古典概型得出超幾何分布，由獨立重復試驗得出二項分布．2．不放回抽取和有放回抽取有何不同？提示：抽取次數不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取n個，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一個；概率模型不同，不放回抽取服從超幾何分布，有放回抽取服從二項分布．1．(教材例題改編)已知100件產品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產品中次品數的數學期望為________.【答案】0.32．(教材例題改編)袋中有3個紅球，7個白球，這些球除顏色不同外其余完全相同，從中無放回地任取5個，取出幾個紅球就得幾分，則平均得________分．【答案】1.5課堂互動(1)(2024年太原期中)袋中有3個白球，1個紅球，從中任取2個球，取得1個白球得0分，取得1個紅球得2分，則所得分數X的均值E(X)為

(

)A．0

B．1C．2

D．4題型1求超幾何分布的均值(2)學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會，已知有4名候選人來自甲班，假設每名候選人都有相同的機會被選到．①求恰有1名甲班的候選人被選中的概率；②用X表示選中的候選人中來自甲班的人數，求P(X≥3)；③求②中X的分布列及數學期望．【答案】(1)B求超幾何分布均值的步驟(1)驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N，M，n的值．(2)根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率．(3)利用均值公式求解．1．(1)某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8道試題中隨機挑選4道進行作答，至少答對3道才能通過初試．記在這8道試題中甲能答對6道，甲答對試題的個數為X，則甲通過自主招生初試的概率為________，E(X)＝________．(2)為了提高我市的教育教學水平，市教育局打算從本市某學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數學、英語教師各2人．①求選出的語文教師人數多于數學教師人數的概率；②設X表示選出的3人中語文教師的人數，求X的均值和方差．(2024年天津期中)已知在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同，若采用無放回抽取，從這7個球中隨機抽取3個球，記取出的3個球中紅球的個數為X，求隨機變量X的分布列和期望.題型2超幾何分布與二項分布的區別與聯系【例題遷移】

(變換條件、問法不變)例2中只有條件“若采用無放回抽取”變為“若采用有放回抽取”，其他條件不變，求隨機變量X的分布列和期望．不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項分布，求均值可利用公式代入計算．2．(1)一個袋子中有100個大小、形狀相同的球，其中有40個黃球，60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數，則X服從 (

)A．二項分布，且E(X)＝8B．兩點分布，且E(X)＝12C．超幾何分布，且E(X)＝8D．超幾何分布，且E(X)＝12(2)袋中有6個白球、3個黑球，從中隨機地連續抽取2次，每次取1個球.①若每次抽取后都放回，設取到黑球的次數為X，求X的分布列和期望；②若每次抽取后都不放回，設取到黑球的個數為Y，求Y的分布列和期望．【答案】(1)C(2)解：①由題意每次抽取后都放回可知，取得黑球的次數X的可能取值為0，1，2，(2024年長沙期中)已知一個袋子中裝有大小形狀完全相同的3個白球和2個黑球．(1)若從袋中一次任取3個球，若取到的3個球中有X個黑球，求X的分布列及均值；(2)若從袋中每次隨機取出一個球，記下顏色后將球放回袋中，重復此過程，直至他連續2次取到黑球才停止，設他在第Y次取球后停止取球，求P(Y＝5).題型3超幾何分布的綜合應用超幾何分布常應用在產品合格問題、球盒取球(兩色)問題、男女生選舉問題等，這類問題有一個共同特征，就是對每一個個體而言，只研究其相對的兩種性質而不涉及其他性質，如產品的合格與不合格、球的紅色與非紅色、學生的性別等．3．某高校組織了一場知識競賽，分為預選賽和決賽兩部分，已知預選賽的題目共有9道，隨機抽取3道讓參賽者回答，規定至少要答對其中2道才能通過預選賽，某參賽人員甲只能答對其中6道，記甲抽取的3道題目中能答對的題目數為X．(1)求隨機變量X的分布列和均值；(2)求甲沒有通過預選賽的概率．素養訓練【答案】C【答案】ACD3．(題型2)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機依次取出2個球，則放回抽取時所取出的2個球顏色不同的概率等于________，不放回抽取時所取