2025高考數學二輪復習全套考點突破專題專題07對數與對數函數6題型分類-專項訓練1、對數式的運算（1）對數的定義：一般地，如果且，那么數叫做以為底的對數，記作，讀作以為底的對數，其中叫做對數的底數，叫做真數．（2）常見對數：①一般對數：以且為底，記為，讀作以為底的對數；②常用對數：以為底，記為；③自然對數：以為底，記為；（3）對數的性質和運算法則：①；；其中且；②（其中且，）；③對數換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數函數的定義及圖像（1）對數函數的定義：函數且叫做對數函數．對數函數的圖象圖象性質定義域：值域：過定點，即時，在上增函數在上是減函數當時，，當時，當時，，當時，（一）對數運算及對數方程、對數不等式對數的有關運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數方程或對數不等式問題是要將其化為同底，利用對數單調性去掉對數符號，轉化為不含對數的問題，但這里必須注意對數的真數為正.題型1：對數運算及對數方程、對數不等式1-1．（2024·北京）已知函數，則．1-2．（2024高三上·湖北·階段練習）使成立的的取值范圍是1-3．（2024·全國）已知函數，若，則．1-4．（2024高三上·江蘇南京·期中）設函數，則.1-5．（2024高三下·上海·階段練習）若，且，則．1-6．（2024高三·全國·專題練習）=；（二）對數函數的圖像研究和討論題中所涉及的函數圖像是解決有關函數問題最重要的思路和方法.圖像問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型2：對數函數的圖像2-1．（2024·山東菏澤·三模）已知函數且過定點，且定點在直線上，則的最小值為．2-2．（2024高二上·四川綿陽·單元測試）函數的圖象恒過定點，若點在直線上，其中、，則的最小值為.2-3．（2024高二上·河北衡水·階段練習）已知函數，，對任意的，，有恒成立，則實數的取值范圍是.2-4．（2024高三·四川·對口高考）已知函數（a，b為常數，其中且）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，2-5．（2024·陜西）函數的圖像大致為（

）A． B．C． D．（三）對數函數的性質（單調性、最值（值域））研究和討論題中所涉及的函數性質是解決有關函數問題最重要的思路和方法.性質問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型3：對數函數的定義域、值域問題3-1．（2024高二下·福建莆田·期中）函數，則定義域是．3-2．（2024·北京）函數的值域為.3-3．（2024高三·全國·對口高考）若函數的定義域為，則a的取值范圍為；若函數的值域為，則a的取值范圍為.3-4．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的值域為，則的取值范圍是．題型4：對數函數的單調性和最值4-1．（2024高三·重慶渝中·階段練習）函數的單調遞增區間為（

）A． B． C． D．4-2．（2024高三下·寧夏銀川·階段練習）已知函數，若在上為減函數，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．4-3．（2024高一下·陜西寶雞·期末）已知函數的最小值為0，則實數的取值范圍是．4-4．（2024高一下·湖北·階段練習）若函數在上單調，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4-5．（2024·云南·模擬預測）已知，設，則函數的最大值為.4-6．（2024·海南海口·模擬預測）已知正實數，滿足：，則的最小值為.4-7．（2024·天津）已知，，，則（

）A． B． C． D．題型5：對數函數性質的綜合5-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數滿足：，則；當時，，則．5-2．（2024高一上·江蘇徐州·期末）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的解集是.5-3．（2024·陜西寶雞·二模）已知函數，則（

）A．在單調遞減，在單調遞增 B．在單調遞減C．的圖像關于直線對稱 D．有最小值，但無最大值5-4．（2024·全國）設函數，則f(x)（

）A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減（四）對數函數中的恒成立問題1.不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：一般地，已知函數，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．2.（1）利用數形結合思想，結合對數函數的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉化思想，轉化為函數的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，借助同構思想構造函數，利用導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.題型6：對數函數中的恒成立問題6-1．（2024高二下·黑龍江大慶·階段練習）已知函數，若對，使得，則實數的取值范圍為.6-2．（2024·江西宜春·模擬預測）若，不等式恒成立，則實數的取值范圍為.6-3．（2024高三下·浙江·階段練習）已知函數，，若存在，任意，使得，則實數的取值范圍是.6-4．（2024高一上·江蘇鎮江·期末）若不等式在上恒成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2024高一上·內蒙古包頭·期中）函數的圖象恒過定點（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·模擬預測）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2024高三·北京·學業考試）將函數的圖象向上平移1個單位長度，得到函數的圖象，則（

）A． B．C． D．4．（2024高三·河南·階段練習）已知，分別是方程和的根，若，實數a，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．25．（2024高三·全國·專題練習）若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2024·陜西·模擬預測）已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．107．（2024·天津）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．68．（2024·浙江）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．9．（2024高三上·廣西南寧·階段練習）若，則（

）A． B． C．1 D．10．（2005·江西）函數的定義域為（

）A． B． C． D．11．（2024·海南海口·二模）已知函數是上的單調函數，且，則在上的值域為（

）A． B． C． D．12．（2024高三上·山東泰安·階段練習）函數的定義域是（

）A． B． C． D．13．（2024高三·全國·專題練習）已知函數且，若函數的值域是，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．14．（2024高二下·云南保山·期末）函數的圖象可能是（

）．A．

B．

C．

D．

15．（2024·海南·模擬預測）已知函數，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．16．（2024高三上·江蘇無錫·期末）函數的部分圖象大致為（

）．A． B．C． D．17．（2024高二下·北京東城·期末）若函數的圖象過點，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-318．（2024高三上·福建寧德·階段練習）已知函數且的圖象恒過定點，點在冪函數的圖象上，則（

）A． B．2 C．1 D．19．（2007·天津）設均為正數，且，，．則（）A． B． C． D．20．（2024·湖南）函數的圖象和函數的圖象的交點個數是A．1 B．2 C．3 D．421．（2024·北京）下列函數中，在區間上單調遞增的是（

）A． B．C． D．22．（2024高二下·吉林長春·期末）函數的單調減區間為（

）A． B． C． D．23．（2024高一上·黑龍江大慶·期末）若函數在區間內恒有，則的單調遞增區間是A． B．C． D．24．（2024·全國）若，則（

）A．B． C．D．25．（2024·全國）已知，則（

）A． B． C． D．26．（2024·全國）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．27．（2024高一上·北京海淀·期末）已知，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．28．（2024高三上·北京豐臺·期末）已知函數，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．29．（2024·海南）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．30．（2024高三上·云南保山·階段練習）已知是上的單調遞減函數，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．31．（2007·山西）設函數在區間，上的最大值與最小值之差為，則_____A． B．2 C． D．432．（2008·全國）若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．33．（2024·河南·模擬預測）已知函數的圖象與的圖象關于直線對稱，且滿足，則（

）A．4 B．2 C．1 D．34．（2004·上海）若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．35．（2024·陜西）設函數的反函數為，則函數的圖像是（

）A． B．C． D．36．（2024高二下·陜西西安·階段練習）已知函數，則（

）A．3 B．2 C． D．37．（2024高一下·全國·單元測試）設函數，若，則的值為（

）A． B．1 C．或1 D．或1或38．（2024高二上·山東濟南·開學考試）若函數的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．39．（2024高一下·湖南·期末）已知函數（且，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，二、多選題40．（2024高三下·江蘇南京·開學考試）當時，，則的值可以為（

）A． B． C． D．41．（2024·湖北·模擬預測）已知，，，，則以下結論正確的是（

）A． B．C． D．42．（2024·廣東惠州·一模）若，則（

）A． B．C． D．43．（2024高一上·江蘇南京·期末）若函數，且，則實數的值可能為（

）A． B．0 C．2 D．344．（2024高一下·貴州畢節·期末）已知函數，若，且，則（

）A． B． C． D．45．（2024高二下·福建三明·期末）若函數為奇函數，為偶函數，且當時，，則（

）A． B．周期為4C．為偶函數 D．當時，三、填空題46．（2024·四川成都·模擬預測）．47．（2024·河南·二模）已知，，則．48．（2024·上海徐匯·模擬預測）方程的解集為．49．（2024·山東淄博·二模）設，滿足，則.50．（2024·天津南開·二模）計算的值為.51．（2024高三·全國·專題練習）若，，用a，b表示52．（2024高一上·江西景德鎮·期末）解關于x的不等式解集為．53．（2024高三下·上海浦東新·階段練習）方程的解為．54．（2024·北京海淀·模擬預測）不等式的解集為．55．（2024·新疆阿勒泰·三模）正數滿足，則a與大小關系為．56．（2024高三·全國·專題練習）已知函數在上的最大值是2，則a等于57．（2024高一上·山東臨沂·期末）若函數（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數在上是增函數，則的值是．58．（2024高一上·河南南陽·期中）若函數有最小值，則的取值范圍是．59．（2024·河南·模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數:.①;②當時，單調遞減;③為偶函數.60．（2024高三上·江蘇泰州·期中）已知函數同時滿足（1）；（2），其中，則符合條件的一個函數解析式＝．61．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，若且，則的取值范圍為.62．（2024高三·全國·專題練習）已知函數,若，則，函數的值域為．63．（2024高一下·上海寶山·階段練習）若函數f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域為R，則實數m的取值范圍是．64．（2024高一上·山西運城·階段練習）若函數的值域為R，則實數m的取值范圍是四、解答題65．（2024高三上·陜西安康·期末）已知函數.(1)若，求a的值；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.66．（2024·上海寶山·模擬預測）已知，.（1）當時，求函數的值域；（2）對任意，其中常數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.67．（2024·全國）解不等式：．68．（2024·北京）解不等式：．69．（2024高三·全國·對口高考）（1）函數是定義域在上的奇函數，當時，，求函數的解析式；（2）函數對一切均有，當時，，當時，求函數的解析式．70．（2024高三上·湖北·階段練習）已知函數是定義在上的奇函數，且它的圖像關于直線對稱.(1)求證：是周期為4的周期函數；(2)若，求時，函數的解析式參考答案與詳細解析1、對數式的運算（1）對數的定義：一般地，如果且，那么數叫做以為底的對數，記作，讀作以為底的對數，其中叫做對數的底數，叫做真數．（2）常見對數：①一般對數：以且為底，記為，讀作以為底的對數；②常用對數：以為底，記為；③自然對數：以為底，記為；（3）對數的性質和運算法則：①；；其中且；②（其中且，）；③對數換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數函數的定義及圖像（1）對數函數的定義：函數且叫做對數函數．對數函數的圖象圖象性質定義域：值域：過定點，即時，在上增函數在上是減函數當時，，當時，當時，，當時，（一）對數運算及對數方程、對數不等式對數的有關運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數方程或對數不等式問題是要將其化為同底，利用對數單調性去掉對數符號，轉化為不含對數的問題，但這里必須注意對數的真數為正.題型1：對數運算及對數方程、對數不等式1-1．（2024·北京）已知函數，則．【答案】1【分析】根據給定條件，把代入，利用指數、對數運算計算作答.【詳解】函數，所以.故答案為：11-2．（2024高三上·湖北·階段練習）使成立的的取值范圍是【答案】（-1，0）【詳解】在同一坐標系中分別畫出函數和的圖象（如圖所示），由圖象，得使成立的的取值范圍是；故填.

1-3．（2024·全國）已知函數，若，則．【答案】-7【詳解】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案.詳解：根據題意有，可得，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關已知某個自變量對應函數值的大小，來確定有關參數值的問題，在求解的過程中，需要將自變量代入函數解析式，求解即可得結果，屬于基礎題目.1-4．（2024高三上·江蘇南京·期中）設函數，則.【答案】【分析】先求出，再求即可【詳解】因為，所以，所以，故答案為：1-5．（2024高三下·上海·階段練習）若，且，則．【答案】【分析】將條件中的指數式轉化為對數式，求出，代入，利用對數的運算性質可得.【詳解】，且，且，，，，.故答案為：.1-6．（2024高三·全國·專題練習）=；【答案】【分析】利用換底公式、對數的運算性質計算可得結果.【詳解】原式．故答案為：.（二）對數函數的圖像研究和討論題中所涉及的函數圖像是解決有關函數問題最重要的思路和方法.圖像問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型2：對數函數的圖像2-1．（2024·山東菏澤·三模）已知函數且過定點，且定點在直線上，則的最小值為．【答案】【分析】根據對數函數的性質得，代入直線方程得，再根據基本不等式可求出結果.【詳解】令，即，得，故，由在直線上，得，即，因為且，，所以且，，所以.當且僅當，即，即，時，等號成立.故的最小值為.故答案為：2-2．（2024高二上·四川綿陽·單元測試）函數的圖象恒過定點，若點在直線上，其中、，則的最小值為.【答案】【分析】求出定點，可得出，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】對于函數，令，可得，則，故函數的圖象恒過定點，因為點在直線上，則，可得，因為、，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.2-3．（2024高二上·河北衡水·階段練習）已知函數，，對任意的，，有恒成立，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】由題設不等式恒成立，只需在上成立即可，進而求m范圍.【詳解】函數在，上單調遞增，在，上單調遞增，∴，，對任意的，，有恒成立，∴，即，解得，∴實數的取值范圍是．故答案為：.2-4．（2024高三·四川·對口高考）已知函數（a，b為常數，其中且）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由函數在定義域上單調遞增，可得，排除A，C；代入,得，從而得答案.【詳解】解：由圖象可得函數在定義域上單調遞增，所以，排除A，C；又因為函數過點,所以，解得．故選：D2-5．（2024·陜西）函數的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數為偶函數可排除AC，再由當時，，排除D，即可得解.【詳解】設，則函數的定義域為，關于原點對稱，又，所以函數為偶函數，排除AC；當時，，所以，排除D.故選：B.（三）對數函數的性質（單調性、最值（值域））研究和討論題中所涉及的函數性質是解決有關函數問題最重要的思路和方法.性質問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型3：對數函數的定義域、值域問題3-1．（2024高二下·福建莆田·期中）函數，則定義域是．【答案】【分析】根據解析式列出不等式組求解即可.【詳解】由可得，，解得，所以函數的定義域為.故答案為：.3-2．（2024·北京）函數的值域為.【答案】【分析】當時，；當時，，可得值域【詳解】當時，；當時，，故函數的值域為.【考點定位】本題考查了指數函數、對數函數和值域，求函數的值域可以利用函數的單調性，也可以利用函數的圖象求.3-3．（2024高三·全國·對口高考）若函數的定義域為，則a的取值范圍為；若函數的值域為，則a的取值范圍為.【答案】【分析】第一空，由題意可得對于恒成立，結合判別式小于0即可求得答案；第二空，由題意可得能取到所有正數，結合判別式大于等于0即可求得答案；【詳解】函數的定義域為，則對于恒成立，故，解得，即；若函數的值域為，即能取到所有正數，故，解得或，即，故答案為：；3-4．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的值域為，則的取值范圍是．【答案】【分析】利用基本不等式求出函數的值域，根據題意可知，可得出關于實數的不等式，解之即可.【詳解】對任意的，，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，因為函數的值域為，則，所以，，解得.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.題型4：對數函數的單調性和最值4-1．（2024高三·重慶渝中·階段練習）函數的單調遞增區間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據復合函數的同增異減即可.【詳解】函數的定義域為令，又在定義域內為減函數，故只需求函數在定義域上的單調遞減區間，又因為函數在上單調遞減，的單調遞增區間為.故選：B4-2．（2024高三下·寧夏銀川·階段練習）已知函數，若在上為減函數，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據復合函數的單調性以及對數函數的定義域求解.【詳解】設函數，因為在上為減函數，所以在上為減函數，則解得，又因為在恒成立，所以解得，所以a的取值范圍為，故選:B.4-3．（2024高一下·陜西寶雞·期末）已知函數的最小值為0，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】根據對數函數圖像知函數最小值為0，從而轉化為二次函數對恒成立，通過二次函數過定點，討論其對稱軸所在位置從而求解.【詳解】函數最小值為0，設，所以只要滿足恒成立，函數對稱軸為，且，①，即時，滿足題意；②，即時，需滿足，即，得，此時實數的取值范圍是.綜上，實數的取值范圍是故答案為：.4-4．（2024高一下·湖北·階段練習）若函數在上單調，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分單調遞增與單調遞減兩種情況討論，根據分段函數單調性判斷方法列出不等式組求解.【詳解】若在上單調遞增，則，解得，若在上單調遞減，則，解得．綜上得.故選：D4-5．（2024·云南·模擬預測）已知，設，則函數的最大值為.【答案】8【分析】由求出的定義域為，然后換元，令，，得，根據二次函數的單調性可求出最大值.【詳解】，由得，即的定義域為，令，因為，所以，所以在上為增函數，所以時，.故答案為：.4-6．（2024·海南海口·模擬預測）已知正實數，滿足：，則的最小值為.【答案】【分析】將變形為，設，對求導可知在上單調遞增，所以，則，所以，令，對求導，即可求出的最小值【詳解】由可得：,所以，，設，，所以在上單調遞增，所以，則，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.故的最小值為.故答案為：.4-7．（2024·天津）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪函數、對數函數的單調性結合中間值法可得出、、的大小關系.【詳解】因為，故.故答案為：C.題型5：對數函數性質的綜合5-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數滿足：，則；當時，，則．【答案】/【分析】利用對數函數性質確定的范圍，再利用給定關系求解作答.【詳解】依題意，，則，因此，而，則；當時，，所以.故答案為：5-2．（2024高一上·江蘇徐州·期末）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的解集是.【答案】【分析】利用奇偶性求出函數的解析式，分類討論即可求解.【詳解】當時，，所以，因為函數是定義在R上的奇函數，所以，所以當時，，所以，要解不等式，只需或或，解得或或，綜上，不等式的解集為.故答案為：.5-3．（2024·陜西寶雞·二模）已知函數，則（

）A．在單調遞減，在單調遞增 B．在單調遞減C．的圖像關于直線對稱 D．有最小值，但無最大值【答案】C【分析】根據復合函數的單調性的判斷方法，可判斷A，B；推得可判斷C；根據二次函數的性質結合對數函數的單調性可判斷D.【詳解】由題意可得函數的定義域為，則，因為在上單調遞增，在上單調遞減，且在上單調遞增，故在上單調遞增，在上單調遞減，A，B錯誤；由于，故的圖像關于直線對稱，C正確；因為在時取得最大值，且在上單調遞增，故有最大值，但無最小值，D錯誤，故選：C5-4．（2024·全國）設函數，則f(x)（

）A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減【答案】D【分析】根據奇偶性的定義可判斷出為奇函數，排除AC；當時，利用函數單調性的性質可判斷出單調遞增，排除B；當時，利用復合函數單調性可判斷出單調遞減，從而得到結果.【詳解】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數，可排除AC；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，排除B；當時，，在上單調遞減，在定義域內單調遞增，根據復合函數單調性可知：在上單調遞減，D正確.故選：D.【點睛】本題考查函數奇偶性和單調性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前提下，根據與的關系得到結論；判斷單調性的關鍵是能夠根據自變量的范圍化簡函數，根據單調性的性質和復合函數“同增異減”性得到結論.（四）對數函數中的恒成立問題1.不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：一般地，已知函數，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．2.（1）利用數形結合思想，結合對數函數的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉化思想，轉化為函數的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，借助同構思想構造函數，利用導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.題型6：對數函數中的恒成立問題6-1．（2024高二下·黑龍江大慶·階段練習）已知函數，若對，使得，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】根據條件分析得到，然后根據的單調性分析出對應的最值，由此可求解出的取值范圍.【詳解】因為對，使得，所以，因為的對稱軸為，所以在上單調遞增，所以，又因為在上單調遞增，所以，所以，所以，即，故答案為：.【點睛】結論點睛：不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：一般地，已知函數，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．6-2．（2024·江西宜春·模擬預測）若，不等式恒成立，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】分離參數，將恒成立問題轉化為函數最值問題，根據單調性可得.【詳解】因為，不等式恒成立，所以對恒成立.記，，只需.因為在上單調遞減，在上單調遞減，所以在上單調遞減，所以，所以.故答案為：6-3．（2024高三下·浙江·階段練習）已知函數，，若存在，任意，使得，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】將問題轉化為在對應區間上，結合對勾函數、對數函數的性質求、的區間最值，即可求的范圍.【詳解】若在上的最大值，在上的最大值，由題設，只需即可.在上，當且僅當時等號成立，由對勾函數的性質：在上遞增，故.在上，單調遞增，則，所以，可得.故答案為：.6-4．（2024高一上·江蘇鎮江·期末）若不等式在上恒成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把不等式變形為，分和情況討論，數形結合求出答案.【詳解】變形為：，即在上恒成立，若，此時在上單調遞減，，而當時，，顯然不合題意；當時，畫出兩個函數的圖像，

要想滿足在上恒成立，只需，即，解得：，綜上：實數a的取值范圍是.故選：C一、單選題1．（2024高一上·內蒙古包頭·期中）函數的圖象恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據對數函數的性質確定定點即可.【詳解】當時，即函數圖象恒過.故選：A2．（2024·北京·模擬預測）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將已知不等式化為，在同一坐標系下作出兩個函數的圖象，可得不等式的解集．【詳解】由題意，不等式，即，等價于在上的解，令，，則不等式為，在同一坐標系下作出兩個函數的圖象，如圖所示，可得不等式的解集為，故選：B3．（2024高三·北京·學業考試）將函數的圖象向上平移1個單位長度，得到函數的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據函數平移變換進行求解即可.【詳解】將函數的圖象向上平移1個單位長度，得到函數.故選：B.4．（2024高三·河南·階段練習）已知，分別是方程和的根，若，實數a，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】根據對稱性求得，結合換元法以及基本不等式求得正確答案.【詳解】；.函數與函數的圖象關于直線對稱，由解得，設，則，即，，令，則，則，當且僅當時等號成立.故選：D5．（2024高三·全國·專題練習）若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】將所給式化簡可得，，進而和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標.再根據反函數的性質求解即可【詳解】由題意，故有故和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標.根據函數和函數互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，故曲線和曲線的圖象交點關于直線對稱.即點（x1，5﹣x1）和點（x2，5﹣x2）構成的線段的中點在直線y=x上，即，求得x1+x2=5，故選：D.6．（2024·陜西·模擬預測）已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．10【答案】A【分析】先把方程與方程變形成方程，和方程，借助圖象交點求和的關系，即可求出．【詳解】方程可變形為方程，方程可變形為方程，是方程的根，是方程的根，是函數與函數的交點橫坐標，是函數與函數的交點橫坐標，函數與函數互為反函數，函數與函數的交點橫坐標等于函數與函數的交點縱坐標,即在數圖象上，又圖象上點的橫縱坐標之積為2，，故選：．7．（2024·天津）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據對數的性質可求代數式的值.【詳解】原式，故選：B8．（2024·浙江）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據指數式與對數式的互化，冪的運算性質以及對數的運算性質即可解出．【詳解】因為，，即，所以．故選：C.9．（2024高三上·廣西南寧·階段練習）若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.【詳解】，，.故選：C.10．（2005·江西）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先，考查對數的定義域問題，也就是的真數一定要大于零，其次，分母不能是零．【詳解】解：由，得，又因為，即，得故，的取值范圍是，且．定義域就是故選：B．11．（2024·海南海口·二模）已知函數是上的單調函數，且，則在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數的單調性，建立方程，可得答案.【詳解】因為是上的單調函數，所以存在唯一的，使得，則．因為為上的增函數，且，所以，所以．因為在上單調遞增，所以，得．故選：D.12．（2024高三上·山東泰安·階段練習）函數的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分式與對數函數的定義域求解即可【詳解】由題意，，解得故選：C13．（2024高三·全國·專題練習）已知函數且，若函數的值域是，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出在上的取值范圍，依題意需當時，，分、兩種情況討論，結合對數函數的性質計算可得.【詳解】當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即；若函數的值域是，則需當時，．當時，在上單調遞增，此時，不合題意；當時，在上單調遞減，此時，即，則，所以，顯然，解得，又，所以．綜上所述，實數的取值范圍是．故選：B14．（2024高二下·云南保山·期末）函數的圖象可能是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用排除法，結合函數的奇偶性以及函數值的符號分析判斷.【詳解】因為定義域為，且，所以為奇函數，函數圖象關于原點對稱，故B，D都不正確；對于C，時，，，所以，所以，故C不正確；對于選項A，符合函數圖象關于原點對稱，也符合時，，故A正確．故選：A.15．（2024·海南·模擬預測）已知函數，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數圖象可確定大小關系，結合指數函數單調性可得結果.【詳解】由圖象可知：，.故選：C.16．（2024高三上·江蘇無錫·期末）函數的部分圖象大致為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出定義域，由得到為偶函數，結合函數在上函數值的正負，排除BC，結合函數圖象的走勢，排除D，得到正確答案.【詳解】變形為，定義域為，，故為偶函數，關于y軸對稱．當時，，時，，排除BC，又時，，故排除D，A正確.故選：A．17．（2024高二下·北京東城·期末）若函數的圖象過點，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【分析】因為函數圖象過一點，代入該點的坐標解方程即得解.【詳解】解：由已知得，所以，解得：，故選：A．18．（2024高三上·福建寧德·階段練習）已知函數且的圖象恒過定點，點在冪函數的圖象上，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】令便可得到函數圖象恒過點，將點代入冪函數中，解得的解析式，然后計算的值.【詳解】函數中，令，解得，此時，所以函數y的圖象恒過定點，又點P在冪函數的圖象上，所以，解得，所以，.故選：B.19．（2007·天津）設均為正數，且，，．則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】試題分析：在同一坐標系中分別畫出，，的圖象，與的交點的橫坐標為，與的圖象的交點的橫坐標為，與的圖象的交點的橫坐標為，從圖象可以看出．考點：指數函數、對數函數圖象和性質的應用．【方法點睛】一般一個方程中含有兩個以上的函數類型，就要考慮用數形結合求解，在同一坐標系中畫出兩函數圖象的交點，函數圖象的交點的橫坐標即為方程的解．【詳解】20．（2024·湖南）函數的圖象和函數的圖象的交點個數是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】試題分析：解：在同一坐標系中畫出函數的圖象和函數g（x）=log2x的圖象，如下圖所示：由函數圖象得，兩個函數圖象共有3個交點，故選C.考點：1.函數的圖象與圖象變化；2.零點個數．21．（2024·北京）下列函數中，在區間上單調遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數的單調性，結合復合函數的單調性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調遞減，在上單調遞減，所以在上單調遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調，D錯誤.故選：C.22．（2024高二下·吉林長春·期末）函數的單調減區間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由解析式求出函數定義域，再由復合函數單調性，即可得出結果.【詳解】由題意，，解得：或，即函數的定義域為：，因為函數由與復合而成，外函數顯然單調遞減，要求的單調減區間，只需單調遞增，又是開口向上，對稱軸為的二次函數，所以在上單調遞增，即函數的單調減區間為.故選：B.【點睛】本題主要考查求對數型復合函數的單調區間，熟記復合函數單調性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，屬于基礎題型.23．（2024高一上·黑龍江大慶·期末）若函數在區間內恒有，則的單調遞增區間是A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由題意得，因為，，函數在區間內恒有，所以，由復合函數的單調性可知的單調遞減區間，對復合函數的形式進行判斷，可得到函數的單調遞增區間為，故選C．考點:1.對數函數的圖象與性質；2.復合函數的單調性；3.函數恒成立問題.【方法點睛】本題主要考查的是用復合函數的單調性求單調區間，函數恒成立問題，對數函數的圖象與性質，屬于中檔題，本題要根據題設中所給的條件解出的底數的值，由，可得到內層函數的值域，再由恒成立，可得到底數的取值范圍，再利用復合函數的單調性求出其單調區間即可，因此本題中正確將題設中所給的條件進行正確轉化得出底數的范圍，是解決本題的關鍵.24．（2024·全國）若，則（

）A．B． C．D．【答案】A【分析】將不等式變為，根據的單調性知，以此去判斷各個選項中真數與的大小關系，進而得到結果.【詳解】由得：，令，為上的增函數，為上的減函數，為上的增函數，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.【點睛】本題考查對數式的大小的判斷問題，解題關鍵是能夠通過構造函數的方式，利用函數的單調性得到的大小關系，考查了轉化與化歸的數學思想.25．（2024·全國）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數函數性質）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優解】（構造函數）由，可得．根據的形式構造函數，則，令，解得，由知.在上單調遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優解．26．（2024·全國）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對數函數的單調性可比較、與的大小關系，由此可得出結論.【詳解】，即.故選：C.27．（2024高一上·北京海淀·期末）已知，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡不等式，結合解方程組以及函數的圖象確定正確答案.【詳解】的定義域是，AB選項錯誤.①，由解得或，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式①的解集為.故選：D28．（2024高三上·北京豐臺·期末）已知函數，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將不等式問題轉化為函數圖象問題，結合圖象求得正確答案.【詳解】依題意，，由解得或畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式的解集是.故選：A29．（2024·海南）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調遞增區間即可.【詳解】由得或所以的定義域為因為在上單調遞增所以在上單調遞增所以故選：D【點睛】在求函數的單調區間時一定要先求函數的定義域.30．（2024高三上·云南保山·階段練習）已知是上的單調遞減函數，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由分段函數兩段都是減函數，以及端點處函數值的關系可得答案．【詳解】因為是上的單調遞減函數，所以，解得．故選：C．31．（2007·山西）設函數在區間，上的最大值與最小值之差為，則_____A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】利用函數的單調性求出最值，再應用條件求．【詳解】解：當時，在區間，上是增函數，故最大值為，最小值為（a），所以，所以，滿足，故選:D32．（2008·全國）若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知，函數是函數的反函數，求出，進而可得答案．【詳解】函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，所以函數是函數的反函數，由得，∴，把互換得：，即，因為，所以．故選：B．33．（2024·河南·模擬預測）已知函數的圖象與的圖象關于直線對稱，且滿足，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】根據圖象的對稱性得點，在函數的圖象上，列方程組求解即可得解.【詳解】函數的圖象與的圖象關于直線對稱，所以點，在函數的圖象上，所以，所以，所以，又，所以，所以.故選：B34．（2004·上海）若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數圖象關于直線對稱,它們互為反函數,求出反函數即得.【詳解】因為函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱,所以它們是互為反函數，由得，，反函數為，即．故選：A.35．（2024·陜西）設函數的反函數為，則函數的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由解得，然后將互換，即可得到其反函數解析式，再結合對數函數的圖像即可得到結果.【詳解】由解得，即且所以函數的反函數為結合對數函數的圖像可知A正確.故選:A.36．（2024高二下·陜西西安·階段練習）已知函數，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據分段函數解析式，代入求值，【詳解】因為，所以，因為，所以.故選：B37．（2024高一下·全國·單元測試）設函數，若，則的值為（

）A． B．1 C．或1 D．或1或【答案】B【分析】分與兩種情況，解方程，求出答案.【詳解】當時，，則，解得或（舍去），滿足要求；當時，，則，解得，不滿足要求，舍去.故選：B38．（2024高二上·山東濟南·開學考試）若函數的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合復合函數的單調性及二次函數的性質對進行分類討論，再由分段函數的性質可求．【詳解】若時，當時，單調遞增，此時；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，此時，若函數值域為，則需，解得；若時，當時，單調遞減，此時；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，此時，所以，不滿足函數值域為，不符合題意，舍去，若時，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，此時，所以，不滿足函數值域為，不符合題意，舍去，綜上的取值范圍為，故選：B.39．（2024高一下·湖南·期末）已知函數（且，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據函數圖象及對數函數的性質可求解.【詳解】因為函數為減函數，所以又因為函數圖象與軸的交點在正半軸，所以，即又因為函數圖象與軸有交點，所以，所以，故選：D二、多選題40．（2024高三下·江蘇南京·開學考試）當時，，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分和，分別作函數與的圖象，觀察在處的函數值關系可解.【詳解】分別記函數，由圖1知，當時，不滿足題意；

當時，如圖2，要使時，不等式恒成立，只需滿足，即，即，解得.

故選：ABC41．（2024·湖北·模擬預測）已知，，，，則以下結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先根據題意將條件轉化為a，b是函數分別與函數，圖象交點的橫坐標．從而得到兩交點關于直線對稱，進而即可判斷A；結合選項A整理得到，進而即可判斷B；再結合選項A，構造函數，根據導函數性質即可判斷C；結合選項B即基本不等式(注意：，即不等式取不到等號)即可判斷D．【詳解】對于A，由題意知，a，b是函數分別與函數，圖象交點的橫坐標，由的圖象關于對稱，則其向上，向右都平移一個單位后的解析式為，所以的圖象也關于對稱，又，兩個函數的圖象關于直線對稱，故兩交點，關于直線對稱，所以，，故A正確；對于B，結合選項A得，則，即，即成立，故B正確；對于C，結合選項A得，令，則，所以在上單調遞減，則，故C錯誤；對于D，結合選項B得(，即不等式取不到等號)，故D正確．故選：ABD．42．（2024·廣東惠州·一模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用條件進行指對數轉換，得到，從而有，再對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.【詳解】因為，所以，則，選項A，，故正確；選項B，因為，且，所以，故B正確；選項C，因為，故C錯誤；選項D，因為，故D正確，故選：ABD．43．（2024高一上·江蘇南京·期末）若函數，且，則實數的值可能為（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】BCD【分析】分和兩種情況求解即可.【詳解】當時，由，得，得，解得或，當時，由，得，得，解得（舍去）或，綜上，，或，或，故選：BCD44．（2024高一下·貴州畢節·期末）已知函數，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由已知結合對數函數的性質及對數的運算性質可得，代入整理可求結論．【詳解】因為，若，則，即，所以，故B正確；（當且僅當時取等號），但，即等號不成立，故A不正確；，當且僅當時等號成立，故C正確；，當且僅當時等號成立，此時，不符合題意，由，令，任取，所以由于，所以，所以，則，在上為增函數，所以，可得，故D正確．故選：BCD．45．（2024高二下·福建三明·期末）若函數為奇函數，為偶函數，且當時，，則（

）A． B．周期為4C．為偶函數 D．當時，【答案】BD【分析】根據函數為奇函數，為偶函數，結合奇偶函數的定義可得為奇函數，且周期為4，然后逐個分析判斷即可.【詳解】因為為奇函數，所以，因為為偶函數，所以，所以，所以，所以，所以，，所以為奇函數，且周期為4，所以B正確，C錯誤，對于A，因為，且為奇函數，所以，所以A錯誤，對于D，當時，則，因為，所以，所以D正確，故選：BD【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數奇偶性的應用，考查函數周期性的應用，解題的關鍵是利用已知等式結奇偶性的定義可得函數為奇函數且周期為4，考查數學化簡計算能力，屬于較難題.三、填空題46．（2024·四川成都·模擬預測）．【答案】【分析】利用指對數運算的性質化簡求值即可.【詳解】.故答案為：47．（2024·河南·二模）已知，，則．【答案】/【分析】根據指對數互化可得，結合求參數值即可.【詳解】由題設，則且，所以，即，故.故答案為：48．（2024·上海徐匯·模擬預測）方程的解集為．【答案】【分析】依題意得到，解得即可.【詳解】因為,則，解得，所以方程的解集為.故答案為：49．（2024·山東淄博·二模）設，滿足，則.【答案】/0.5【分析】令，則，根據即可求解．【詳解】令，則，所以，整理得，解得(負值舍去)，所以.故答案為：.50．（2024·天津南開·二模）計算的值為.【答案】8【分析】由對數的運算性質求解即可.【詳解】原式.故答案為：8.51．（2024高三·全國·專題練習）若，，用a，b表示【答案】【分析】先求出，再根據換底公式及對數的運算性質即可得解.【詳解】因為，所以，.故答案為：.52．（2024高一上·江西景德鎮·期末）解關于x的不等式解集為．【答案】【分析】根據給定的不等式，利用對數函數、指數函數單調性求解作答.【詳解】不等式，解，即，有，解得，解，即，化為，有，解得，因此，所以不等式解集為.故答案為：53．（2024高三下·上海浦東新·階段練習）方程的解為．【答案】【分析】設函數，，由函數的單調性，結合特殊值，即可求得方程的解.【詳解】設函數，，由于函數在上均為增函數，又，故方程的解為.故答案為：.54．（2024·北京海淀·模擬預測）不等式的解集為．【答案】【分析】利用數形結合思想，結合對數函數和二次函數的圖象進行求解即可.【詳解】由，在同一直角坐標系內畫出函數的圖象如下圖所示：因為，所以由函數的圖象可知：當時，有，故答案為：55．（2024·新疆阿勒泰·三模）正數滿足，則a與大小關系為．【答案】/【分析】構造函數，并運用其單調性比較大小即可.【詳解】因為，所以，設，則，所以，又因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增，所以.故答案為：.56．（2024高三·全國·專題練習）已知函數在上的最大值是2，則a等于【答案】2【分析】利用對數函數單調性結合條件進行分類討論分別求出最大值，進而即得.【詳解】當時，函數在上單調遞增，則，解得，當時，函數在上單調遞減，則，無解，綜上，a等于.故答案為：2.57．（2024高一上·山東臨沂·期末）若函數（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數在上是增函數，則的值是．【答案】3【分析】根據對數函數的單調性，分類討論，再結合已知進行求解得出和的值，最后根據的單調性檢驗即可得到.【詳解】當時，函數是正實數集上的增函數，而函數在上的最大值為，因此有，解得，所以，此時在上是增函數，符合題意，因此；當時，函數是正實數集上的減函數，而函數在上的最大值為，因此有，，所以，此時在上是減函數，不符合題意.綜上所述，，，.故答案為：3.58．（2024高一上·河南南陽·期中）若函數有最小值，則的取值范圍是．【答案】【分析】分和兩種情況討論，根據外層函數的單調性、內層函數的最值以及真數恒大于零可得出關于實數的不等式組，由此可解出實數的取值范圍.【詳解】當時，外層函數為減函數，對于內層函數，，則對任意的實數恒成立，由于二次函數有最小值，此時函數沒有最小值；當時，外層函數為增函數，對于內層函數，函數有最小值，若使得函數有最