平面向量總復習平面向量的定義方向表示向量運動的方向。大小表示向量運動的距離，也稱向量長度。平面向量的表示平面向量可以用以下方法表示：幾何表示：用有向線段表示，起點為起點，終點為終點，長度為模長，方向為方向。例如，用有向線段AB表示向量a。符號表示：用字母表示，例如向量a、向量b。坐標表示：用坐標系表示，例如向量a的坐標為(x,y)，表示向量a的起點在原點，終點在坐標為(x,y)的點。平面向量的基本運算1加法首尾相接，用起點指向終點的向量表示結果2減法平行移動，用起點指向終點的向量表示結果3數乘改變長度，方向不變，伸縮比例為數乘系數平面向量的線性相關與線性無關1線性相關如果存在不全為零的實數k1,k2,...,kn使得k1a1+k2a2+...+knan=0成立，則稱向量a1,a2,...,an線性相關。2線性無關如果只有當k1=k2=...=kn=0時，才能使k1a1+k2a2+...+knan=0成立，則稱向量a1,a2,...,an線性無關。3判斷方法可以通過行列式判斷向量組的線性相關性。如果行列式不等于零，則向量組線性無關；反之，則線性相關。平面向量的坐標表達2坐標系選擇坐標系原點和基底，即可建立平面直角坐標系。1坐標表示向量在坐標系中的坐標值，用來表示其大小和方向。3運算簡化坐標表示方便向量加減、數乘、模長、夾角等運算。平面向量的長度定義向量**a**的長度用符號|**a**|表示，是向量**a**起點到終點的線段長度。計算公式如果向量**a**=(x,y)，則|**a**|=√(x2+y2)幾何意義表示向量**a**的模長，即向量**a**所表示的線段的長度。平面向量的夾角定義兩個非零向量之間的夾角是指這兩個向量所代表的有向線段所成的角，其大小在0°到180°之間。計算夾角可以使用余弦定理計算，公式為：cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a和b為兩個向量。平面向量的投影1定義一個向量在另一個向量上的投影是將一個向量沿另一個向量的方向上的分量。2公式向量a在向量b上的投影向量為：projba=(a·b/|b|2)b3性質投影向量與原向量同向或反向，長度為原向量在投影方向上的分量長度。平面向量的內積定義兩個向量的內積是一個標量，它等于這兩個向量的模長乘以它們的夾角的余弦。公式設a和b是兩個向量，則它們的內積為：a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a和b的夾角。性質?交換律：a·b=b·a?分配律：(a+b)·c=a·c+b·c?結合律：(ka)·b=k(a·b)平面向量的外積定義兩個向量的外積是一個向量，其方向垂直于這兩個向量所在的平面，大小等于這兩個向量模長乘積與它們夾角的正弦值。計算公式設a=(x1,y1)和b=(x2,y2)是兩個平面向量，則a×b=x1y2-x2y1。性質外積不滿足交換律，但滿足分配律和結合律。平面向量的混合積定義三個向量a，b，c的混合積定義為：a·(b×c)計算混合積可以利用行列式進行計算：|a1a2a3||b1b2b3||c1c2c3|幾何意義混合積的絕對值表示以a，b，c為棱的平行六面體的體積。平面向量的應用實例1平面向量在力學中的應用非常廣泛，例如在分析力的合成和分解、計算力矩、求解運動軌跡等方面，平面向量都可以發揮重要作用。例如，在研究物體的運動時，可以用平面向量來表示物體的速度和加速度，并利用向量的加減運算來計算物體的合速度和合加速度。平面向量的應用實例2面積計算利用向量進行面積計算，可以有效地解決各種幾何圖形的面積問題，例如三角形、平行四邊形、梯形等等。力學應用向量可以表示力、速度、加速度等物理量，在力學中，可以用向量來解決力的合成、分解、平衡等問題。物理應用向量在電磁學、熱力學等物理學領域也有廣泛應用，可以表示電場、磁場、溫度梯度等物理量。平面向量的應用實例3利用平面向量解決幾何問題，例如證明三角形面積、求線段長度、求角的度數等。平面向量可以用來描述物體的運動、力的作用、速度和加速度等物理量。平面向量可以用來解決一些實際應用問題，例如導航、地圖、工程設計等。平面向量的重要性質1向量加法的交換律對于任意兩個向量a和b，都有a+b=b+a。向量加法的結合律對于任意三個向量a，b和c，都有(a+b)+c=a+(b+c)。向量減法的性質對于任意兩個向量a和b，都有a-b=a+(-b)。向量乘法的分配律對于任意兩個向量a和b，以及任意實數k，都有k(a+b)=ka+kb。平面向量的重要性質2平行向量方向相同或相反的向量稱為平行向量零向量長度為0的向量稱為零向量，零向量與任何向量平行共線向量平行向量又稱為共線向量平面向量的重要性質31向量加法的結合律對于任意三個向量a，b，c，有(a+b)+c=a+(b+c)。2向量加法的交換律對于任意兩個向量a，b，有a+b=b+a。3向量減法的性質對于任意兩個向量a，b，有a-b=a+(-b)。平面向量的性質例題1已知向量a=(1,2),b=(3,1),求向量a+2b。解：a+2b=(1,2)+2(3,1)=(1,2)+(6,2)=(7,4)。平面向量的性質例題2例題已知向量a=(1,2),b=(3,-1),求向量a+b的模長。解答根據向量的加法法則，a+b=(1+3,2-1)=(4,1).所以向量a+b的模長為√(42+12)=√17。平面向量的性質例題3例題已知向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$不共線，且$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$和$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$都與向量$\overrightarrow{c}$平行，求證：$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$都平行。證明因為$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$和$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$都與向量$\overrightarrow{c}$平行，所以存在實數$k$和$t$，使得$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{c}$和$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=t\overrightarrow{c}$。將第一個等式乘以$2$，得到$2\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}=2k\overrightarrow{c}$。將第二個等式減去第一個等式，得到$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})=t\overrightarrow{c}-k\overrightarrow{c}$，即$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=(t-k)\overrightarrow{c}$。因為$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$不共線，所以$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$線性無關。因此，上述兩個向量等式中，系數必須分別相等，即$2k=1$且$t-k=-3$。解得$k=\frac{1}{2}$和$t=-\frac{5}{2}$。所以，$\overrightarrow{c}$可以表示為$\overrightarrow{c}=2(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})$或$\overrightarrow{c}=-\frac{2}{5}(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$，因此$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$都平行。平面向量的作圖應用1利用平面向量可以解決很多幾何問題，例如，可以利用向量來求解三角形、四邊形等圖形的面積、周長、內角和外角等。例如，可以利用向量來求解三角形的中線、角平分線、高線等。平面向量的作圖應用2利用平面向量進行作圖，可以將復雜的幾何問題轉化為簡單的向量運算問題，從而簡化解題過程。例如，求三角形ABC的重心G，可以利用向量法進行求解。平面向量的作圖應用3平面向量的作圖應用廣泛，例如利用向量解決幾何問題、解決力學問題、解決運動問題等。平面向量的作圖應用能夠幫助我們更加直觀地理解平面向量的概念和性質，并將其應用于實際問題中。平面向量的思維導圖總結1向量定義方向和長度向量運算加減乘除向量坐標平面坐標系平面向量的思維導圖總結2幾何向量方向和大小代數向量坐標表示向量運算加減乘除向量應用物理、幾何平面向量的思維導圖總結3向量的線性運算向量加法、減法、數乘向量的坐標表示坐標系、坐標向量、坐標表示向量的長度、夾角模長、方向角、夾角公式向量的應用物理學、幾何學、工程領域平面向量復習要點1定義與表示理解平面向量的定義，掌握平面向量的表示方法，包括幾何表示和坐標表示。基本運算熟練掌握平面向量的加法、減法、數乘、模長、夾角等基本運算。線性相關與線性無關掌握判斷平面向量組線性相關或線性無關的方法，并能運用向量組的線性相關性解決實際問題。平面向量復習要點2理解平面向量基本概念、運算及其幾何意義。掌握平面向量線性運算的性質，并運用到解題中。熟練運用平面向量解決幾何問題，如三角形、四邊形等。平面向量復習要點31熟練掌握向量運算向量加減、數乘、點積等運算技巧，以及幾何意義的理解。2向量應用題的解題思路運用向量知識解決幾何問題，如求線段長度、角的大小、面積等。3靈活運用向量方法將幾何問題轉化為向量問題，簡化計算和推理。課堂練習題1嘗試用向量方法解決下列問題：1.已知點A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，求△ABC的面積。2.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，求向量a+b的模長。3.已知向量a=(1,2)，b=(-2,1)，求向量a與b的夾角。課堂練習題2請同學們思考并完成以下練習題：1.已知向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，求向量$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}-\vec{b}$。2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$和$\vec{b}=(3,-1)$，求向量$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}-\vec{b}$的坐標。3