第2節空間點、直線、平面之間的位置關系知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練平面的基本性質及應用2,3,4,9空間兩條直線的位置關系1,5,6,7,8綜合問題10,11,12,1314,151.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF所成角的大小為(C)A.30° B.45°C.60° D.90°解析:連接B1D1,D1C(圖略),則B1D1∥EF,故∠D1B1C為所求的角,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.故選C.2.a,b,c是兩兩不同的三條直線,下列四個命題中,真命題是(C)A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面B.若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交C.若a∥b,則a,b與c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,則a∥c解析:若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面;若a⊥b,b⊥c,則a,c相交、平行或異面;由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.3.給出下列說法:①梯形的四個頂點共面;②三條平行直線共面;③有三個公共點的兩個平面重合;④三條直線兩兩相交,可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是(B)A.① B.①④ C.②③ D.③④解析:①顯然正確;②錯誤,三條平行直線可能確定1個或3個平面;③若三個點共線,則兩個平面相交,故③錯誤;④顯然正確.故選B.4.如圖所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,則平面ABC與平面β的交線是(C)A.直線AC B.直線ABC.直線CD D.直線BC解析:由題意知,D∈l,l?β,所以D∈β,又因為D∈AB,所以D∈平面ABC,所以點D在平面ABC與平面β的交線上.又因為C∈平面ABC,C∈β,所以點C在平面β與平面ABC的交線上,所以平面ABC∩平面β=CD.故選C.5.(2021·甘肅蘭州模擬)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若點E為BC的中點,點F為B1C1的中點,則異面直線AF與C1E所成角的余弦值為(B)A.23 B.C.52 D.解析:不妨設正方體的棱長為1,取A1D1的中點G,連接AG,FG(圖略),易知GA∥C1E,則∠FAG(或其補角)為異面直線AF與C1E所成的角.在△AFG中,AG=12+(12)

2=52,AF=6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,O為CD上的動點,VPOAB恒為定值,且△PDC是正三角形,則直線PD與直線AB所成角的大小是解析:因為VPOAB為定值,所以S因為O為CD上的動點,所以CD∥AB,所以∠PDC即為異面直線PD與AB所成的角.因為△PDC為正三角形,所以∠PDC=60°.所以直線PD與直線AB所成的角為60°.答案:60°7.已知AE是長方體ABCD-EFGH的一條棱,則在這個長方體的十二條棱中,與AE異面且垂直的棱共有條.

解析:如圖,作出長方體ABCD-EFGH.在這個長方體的十二條棱中,與AE異面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD,共4條.答案:48.已知在四面體ABCD中,E,F分別是AC,BD的中點.若AB=2,CD=4,EF⊥AB,則EF與CD所成角的大小為.

解析:如圖,設G為AD的中點,連接GF,GE,則GF,GE分別為△ABD,△ACD的中位線.由此可得GF∥AB,且GF=12AB=1,GE∥CD,且GE=1所以∠FEG或其補角即為EF與CD所成的角.又因為EF⊥AB,GF∥AB,所以EF⊥GF,因此,在Rt△EFG中,GF=1,GE=2,sin∠FEG=GFGE=12,可得∠FEG=30所以EF與CD所成角的大小為30°.答案:30°9.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點.求證:(1)E,C,D1,F四點共面;(2)CE,D1F,DA三線共點.證明:(1)如圖,連接EF,CD1,A1B.因為E,F分別是AB,AA1的中點,所以EF∥A1B.又因為A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四點共面.(2)因為EF∥CD1,EF<CD1,所以CE與D1F必相交,設交點為P,則由P∈直線CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直線DA,所以CE,D1F,DA三線共點.10.(多選題)(2021·北京通州區一模)設點B為圓O上任意一點,AO垂直于圓O所在的平面,且AO=OB,對于圓O所在平面內任意兩條相互垂直的直線a,b,有下列結論,正確的有(BC)A.當直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角B.當直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角C.直線AB與a所成角的最小值為45°D.直線AB與a所成角的最小值為60°解析:如圖,AO=OB,直線a⊥b,點D,M分別為BC,AC的中點,則∠ABC為直線AB與a所成的角,∠MDO為直線AB與b所成的角.設AO=OB=1,若∠ABC=60°,則OM=OD=MD,所以∠MDO=60°,故B正確,A不正確;因為AB與圓O所在平面所成的角為45°,即直線AB與平面內所有直線所成的角中的最小角為45°,所以直線a與AB所成角的最小值為45°,故C正確,D不正確.故選BC.11.四面體ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點.若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=1,則EF的長為.

解析:如圖,取BC的中點O,連接OE,OF,因為OE∥AC,OF∥BD,所以OE與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角,而AC,BD所成的角為60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.當∠EOF=60°時,EF=OE=OF=12當∠EOF=120°時,取EF的中點M,則OM⊥EF,EF=2EM=2×34=3答案:12或12.如圖所示,A是△BCD所在平面外的一點,E,F分別是BC,AD的中點.(1)求證:直線EF與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF與BD所成的角的大小.(1)證明:假設EF與BD不是異面直線,則EF與BD共面,從而DF與BE共面,即AD與BC共面,所以點A,B,C,D在同一平面內,這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾,故直線EF與BD是異面直線.(2)解:取CD的中點G,連接EG,FG,則AC∥FG,EG∥BD,所以相交直線EF與EG所成的角(或其補角),即為異面直線EF與BD所成的角.又因為AC⊥BD,則FG⊥EG.在Rt△EGF中,由EG=FG=12求得∠FEG=45°,即EF與BD所成的角為45°.13.如圖,E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)證明:E,F,G,H四點共面;(2)m,n滿足什么條件時,四邊形EFGH是平行四邊形?(3)在(2)的條件下,若AC⊥BD.試證明:EG=FH.(1)證明:因為AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD.所以EH∥FG,所以E,F,G,H四點共面.(2)解:當EH∥FG,且EH=FG時,四邊形EFGH為平行四邊形.因為EHBD=AEAE+EB=同理可得FG=nn故當m=n時,四邊形EFGH是平行四邊形.(3)證明:當m=n時,AE∶EB=CF∶FB,所以EF∥AC,又EH∥BD,所以∠FEH是AC與BD所成的角(或其補角),因為AC⊥BD,所以∠FEH=90°,從而平行四邊形EFGH為矩形,所以EG=FH.14.(多選題)(2021·山東泰安一中、寧陽一中聯考)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點F是線段BC1上的動點,則下列說法正確的是(ABC)A.無論點F在線段BC1上怎么移動,都有A1F⊥B1DB.當F為BC1的中點時,才有A1F與B1D相交于一點,記為點E,且A1C.無論點F在線段BC1上怎么移動,異面直線A1F與CD所成的角都不可能是30°D.當F為BC1的中點時,直線A1F與平面BDC1所成的角最大,且為60°解析:對于A選項,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接A1C1,A1B(圖略),易知B1D⊥平面A1BC1,又A1F?平面A1BC1,所以A1F⊥B1D,故A正確;對于B選項,如圖,當F為BC1的中點時,連接B1C,A1D,B1C與BC1交于點F,A1F與B1D共面于平面A1B1CD,且必相交,交點為E,易知△A1DE∽△FB1E,所以A1EEF=DA1B1F=2,故B正確;對于C選項,點F從點B移至點C1,異面直線A1F與CD所成的角先變小再變大,當F為BC1的中點時,異面直線A1F與CD所成的角最小,此時該角的正切值為22,最小角大于30°,故C正確;對于D選項,點F從點B移至點C1,直線A1F與平面BDC1所成的角先變大再變小,當F為BC1的中點時,設點O為A1在平面BDC1上的射影,連接OF(圖略),則直線A1F與平面BDC115.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BC12AD,BE12FA,G,H分別為FA,FD的中點.(