課時(shí)作業(yè)（一）平面向量的概念

1.解析：由零向量的模為。知A正確；而由零向量的長(zhǎng)度為0,方向是任意的，與任何

向量都平行，知B錯(cuò)誤，C、D正確.

答案：B

2.解析：由一個(gè)單位長(zhǎng)度取作2020cm時(shí)，2020cm長(zhǎng)的有向線段就表示單位向量，故

A錯(cuò)誤；根據(jù)單位向量的定義，在直線/上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)使得|醇||弗|為單位長(zhǎng)度，

故B正確；方向?yàn)楸逼?0。的向量與南偏東50。的向量是平行的，所以兩向量為共線向量，

故C錯(cuò)誤；根據(jù)位移的定義，向量油表示點(diǎn)4到B點(diǎn)的位移，所以D不正確.

答案：B

3.解析：因?yàn)辄c(diǎn)O是正六邊形ABCOE尸的中心，所以O(shè)A=OB=OC=OO=OE=OF,

且。尸〃BC,O,4,。三點(diǎn)共線，

所以除向量次外，與向量為共線且模相等的向量有：AOfBC,CB,DO,OD.

EF,FE,共7個(gè).

答案：D

4.解析：因?yàn)樗倪呅蜛8CO是矩形，所以油與前共線，AD與立模相等，方向相

反，AB與詼模相等正確，AC與筋共線錯(cuò)誤.

答案：B

5.解析：平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，所以將所有長(zhǎng)度為1的向量的始

點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是單位圓.

答案：A

6.解析：AB與及？顯然方向不相同，故不是相等向量，故A錯(cuò):吳；|前|與|5J表示

等腰梯形兩腰的長(zhǎng)度，所以|矗|=\DC\?故B正確：向量無(wú)法比較大小，只能比較向量模

的大小，故C錯(cuò)誤；等腰梯形的上底BC與下底A。平行，所以於//AD,故D正確.

答案：BD

7.解析：由題意，向量A3=3DC,可得A8〃CQ且|初||/5c|,

即線段AB平行于線段8,且線段AB的長(zhǎng)度是線段CO長(zhǎng)度的一半，

所以四邊形A8CD是梯形，

又因?yàn)閨而|=|比|，所以梯形A8CO的兩個(gè)腰相等，所以四邊形ABC。是等腰梯形?

答案：等腰梯形

8.解析：由已知圖形可知，啟的幾何意義是從A點(diǎn)沿西偏南60。方向，行走了2km.

答案：60°2

9.解析：（1）根據(jù)相等向量的定義，所作向量力應(yīng)與。同向，且長(zhǎng)度相等，如下圖所示.

（2）由平面幾何知識(shí)可作滿足條件的向量c,所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)。為

圓心，2為半徑的圓，如下圖所示.

10.解析：（1）由菱形的性質(zhì)和平行向量的定義可知，與所平行的向量有：AD,BC,

CB.

（2）由菱形的性質(zhì)及NOAB=60。可知，與應(yīng)模相等的向量有：病，正，為，泰，

BA,DC,CDyBD,DB.

解析：A、興分別表示與a、b同方向的單位向量,

11.

對(duì)于A：當(dāng)。=—b時(shí)，A=-A,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)。〃》時(shí)，若a,b反向平行，則單位向量方向也相反，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：當(dāng)。=26時(shí)，|^|=尚=看,故C正確；

對(duì)于D：當(dāng)?！╞且同=1〃時(shí)，若。=一3滿足題意，此時(shí)俞=一，故D錯(cuò)誤.

答案：C

12.解析：由四邊形ABC。，CEFG,CG"。是全等的菱形，知：\AB\=\EF|,即A正

確；由圖形可知：AB與能的方句相反，CD與兩方向相同且長(zhǎng)度相同即加=FG,故

B、D正確；而瓦）與能不一定共線，故C不一定正確.

答案：ABD

13.解析：由題意知，3X4的格點(diǎn)圖中包含12個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)

為小,

與荏平行的向量包含方向相同和相反，所以共有24個(gè)向量滿足.

答案：24

14.解析：如圖所示,

因?yàn)镺為△ABC的外心，

所以向I=?|=\oc\?

OAtOBtOC三個(gè)向量中，共線且長(zhǎng)度相等的有：OB與詼.

答案：OB與女

15.證明：因?yàn)榻?DC，圻以|嘉|=|oc|且A8〃OC,

所以四邊形46CD是平行四邊形，

所以|所|=|CB|且DA//CB.

又近與必的方向相同，所以無(wú)=DA.

同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，所以而=NA.

因?yàn)閨無(wú)I=\DA\?|CA/|=1兩I，所以|凝|=\DN\*

又而與MB的方向相同，所以麻=MB.

16.解析：

0A△口。

A②③④

①

記出發(fā)點(diǎn)A.

(1)當(dāng)a=45。時(shí)，如圖①，賽車行進(jìn)路線構(gòu)成一個(gè)正八邊形，最少噪作8次可使賽車的位

移為0,賽車所行路程是8m.

(2)當(dāng)。=120。時(shí)，如圖②，賽車行進(jìn)路線構(gòu)成一個(gè)正三角形，最少操作3次可使賽車回

到出發(fā)點(diǎn)，賽車所行路程為3m；

當(dāng)a=90。時(shí)，如圖③，賽車行進(jìn)路程構(gòu)成一個(gè)正方形，最少操作4次可使賽車回到出發(fā)

點(diǎn)，賽車所行路程為4m；

當(dāng)。=60。時(shí)，如圖④，賽車行進(jìn)路線構(gòu)成一個(gè)正六邊形，最少操作6次可使賽車回到出

發(fā)點(diǎn),賽車所行路程為6m.

課時(shí)作業(yè)(二)向量的加法運(yùn)算

1.解析：OP+PQ+PS+可=(OP+PQ)+(閑+SP)=OQ+0=麗.

答案：B

2.解析：如圖所示，AF=CD,

BA+C￡)+FE=BA+能+FE=BE.

答案：B

3.解析：A：因?yàn)橛?BC=AC,所以本選項(xiàng)不成立；B：因?yàn)榻?§A+AC=AC

-AB,所以本選項(xiàng)不成立；C：因?yàn)镼)=AC+CD=AC+函，所以本選項(xiàng)成立；D：

因?yàn)榛?DA+AC=AC-AD,所以本選項(xiàng)不成立.

答案：C

4.解析：根據(jù)向量加法的法則可知|嬴+麗|與自司和|詼|的關(guān)系不確定，由向量加

法的幾何意義得IIM一歷1|w|“+b|CH+|4，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)。，力共線的時(shí)候取到，而本題

中篇,CD不平行，故D正確，所以本題中|麗+詼|<\AB\+|cb|.

答案：D

5.解析：如圖，

易知tana=*,所以a=30。.故a+b的方向是北偏東30。.又|。+“=2km.

答案：B

6.解析：由向量加法的平行四邊形法則可知壽+Q)=Ac,故A正確；

AC+CD+D0=AD+D0=AO^OA,故B不正確：

AB+病+CD=AC+CD=AD,故C正確；

AC+BA+DA=BA+AC+DA=BC+DA=0,故D正確.

答案：ACD

7.解析：CD+AM+BC+施=AM+MB+BC+CD=AD.

答案：AD

8.解析：因?yàn)椤Ｊ恰鰽BC的邊8C上的中點(diǎn)，向量魂=a,向量/=b,

所以向量Zb(AB+AC)=3(a+b).

答案：3(。+與

9.解析：由題意知四邊形43P。，AOEP均為平行四邊形，

由向量的平行四邊形法則，知法=OA+OE=a+b.

*：AB=OP,：.AB=a+b.

在△AOB中，根據(jù)向量的三角形法則，知而=OA+AB=a+a+b=2a+b,

：.OC=OB+BC=2a+b+b=2a+2b.

OD=OE+ED=OE+贏=b~\~a+b=a+2b.

10.解析：如圖所示，設(shè)壽、BC分別是直升飛機(jī)兩次位移，則正表示兩次位移的合

位移，即n=AB+BC,

在中，|揚(yáng)|=20km,\AD\=2O^3km,

在RtAACD中，

\AC|"麗2+|函2=4073km,

NCAO=60。，即此時(shí)直升飛機(jī)位于A地北偏東30。，且距離A地4Mkm處.

11.解析：設(shè)Ao/hoi的中點(diǎn)為A,則A也是A1A200,…，AiooAioi的中點(diǎn),

可得6希+。420；=2。力=。+方，同理可得瓦片+0A20；=6%+。&9；=…=04io；+

O4io；=a+b,

故兩+西+西+…+5^=101X2宓=101(。+6).

答案：B

12.解析：如圖，根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則，當(dāng)a,b不共線時(shí)，根據(jù)三

角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊有|同一向|<|。功|<同十步|.

當(dāng)。，方同向時(shí)有|。+"=同+網(wǎng)，|同一向|=\a-b\.

當(dāng)a,b反向時(shí)有|a+b|=||a|一|加，|a|+|A|=|a一旬.

答案:ABD

13.解析：因?yàn)樵诹庑蜛BC。中，NB4O=60。，

所以△ABD為等邊三角形，

所以|詼+CD\=\BD\=\AB|=1.

答案：1

14.解析：（l）a+b+c=及？4-CO+OB=DB,

⑵b+d+c=dd+BA+OB=CA.

答案：（1）加（2）G4

15.證明：由題意知：AD=AC-hCD,BE=BC+CE,&=CB+BF.

由平面幾何可知：EF=CD,BF=FA.

二病+就+CF=（Ac+cb）+（BC+C￡）+（無(wú)+狗

=（Ac+CD+CE+BF）+（詼+助

=\AE-VEC-\-Cb-\-CE-￥BF）+0

=AE+CD+而=A￡+EF+函=0.

16.解析：該結(jié)論不正確.

當(dāng)四邊形ABC。是矩形，點(diǎn)O是四邊形ABC。的中心時(shí)，必有晶+OB+OC+而=

0,反之未必成立.如圖所示，設(shè)。是四邊形A8CO內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE統(tǒng)。。，連接OE,

ED,則四邊形4EOO為平行四邊形;，設(shè)OE與AD的交點(diǎn)為M.過(guò)點(diǎn)B作BF統(tǒng)OC,連接。尸，

OF,則四邊形8OC尸為平行四邊形，設(shè)。尸與BC交于點(diǎn)N,于是M,N分別是A。，8C的

中占

：.OAIOD=OE,OB\OC=OF.

又后~iOB~\~OC+OD=0,

：.OE+OF=0,且點(diǎn)。是公共點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在OE,OF±t故M,O,N三點(diǎn)、共

線，且點(diǎn)。為MN的中點(diǎn).即點(diǎn)。為AO與BC的中點(diǎn)的連線的中點(diǎn).

同理可證：點(diǎn)O也為AB與C。的中點(diǎn)的連線的中點(diǎn)，，點(diǎn)。是四邊形A8CO對(duì)邊中點(diǎn)

連線的交點(diǎn)，且該四邊形不一定是矩形.

課時(shí)作業(yè)（三）向量的減法運(yùn)算

i.解析：???米？-Ab=DC,

又在見(jiàn)BCD中，DC=AB,

：.AC-AD=AB.

答案：A

2.解析：DC=AC-AD=AB+BC~AD=a^~c~b.

答案：A

3.解析：如圖，OD=0A4-Ab=0A4-BC=0A+衣-OB=a-\-c-b.

答案：C

4.解析：AB+fiC-DC=AB+反1+CD=AD.

答案：B

5.解析：由已知及圖形得到初+AC=2AD,故A錯(cuò)誤；AB-AC=CB，故B錯(cuò)

誤；AB+DC=AB+而=AD,故C正確；AB-DC=AB-BD^BC,故D錯(cuò)誤.

答案：C

6.解析：若歷+0E=OM,

則南-OE=OD,A正確；

OM-OD=OM+D0=OE,B正確；

OD-EO=0M,C正確；

DO+E0=-{0D-\-0E)=-0M,D不正確.

答案：ABC

7.解析：(2a—3b)—3(a+b)=2a—3b—3a—3b=-a—()b.

答案：-a-6b

8.解析：根據(jù)題意畫出圖形如圖，

則d-a=AD-BD=AD+DB=AB=c；

d-b=AD-AC=CD=-BD=-a.

答案：c-a

9.解析：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作向量=a,OB=b,如圖所示:

則向量OA—OB=a-b=BA,再作向量8c=c,

則向量CA=a—b—c.

c

OaA

10.解析：（1）壽+BC-DC=AB+近？+CD=AC+CD=AD,如圖中向量壽.

⑵成-DG-CE=AB+GD+EC=AB+BG+EC=AG+GF=AF,

如圖中向量萬(wàn).

11.解析：在菱形4BCO中，向量筋與的的方向是不同的，但它們的模是相等的，

所以B中結(jié)論正確，A中結(jié)論錯(cuò)誤；因?yàn)辂?CD\=\AB+DC\=2\AB|,\AD+BC|=

2\BCI,且而\=\BCI，

所以|嬴-CD\=\AD+BCI，即C中結(jié)論正確；

因?yàn)橛桑?CD\=\BC4-CD|=|而I，|CD-CB\=\BD|,所以D中結(jié)論正確.

答案：BCD

12.解析：對(duì)于①：因?yàn)槿?HF+ffb=BF+而+而=BH+HD=BD,故

①錯(cuò)誤；

對(duì)于②：因?yàn)?AOC=丁'<2=90°,則以。A,。。為鄰邊的平行四邊形為正方形，

O

又因?yàn)?8平分N4OC,所以蘇+OC=y[2OB=一gOF,故②正確;

對(duì)于③：因?yàn)榻?FC-GE=AE+EG+FC=AG+FC,且危=GB,

所以危+FC-GE=AG+GB=AB,故③正確.

答案：C

13.解析：延長(zhǎng)C8到。，使C8=8D,

連接AQ,如圖.

在△ABO中，AB=BD=\,/A8O=120。，

AB-BC=AB+CB=AB+BD=AD.

易求得4￡>=巾,即成|=小.

所以|贏-BC|=小.

答案：鎘

14.解析：如圖，設(shè)。4=a,OB=b,OC=a+b,

則筋=0A-OB=a~b,因?yàn)棰?步|=|0一"，所以84=04=05.

所以△Q4B為正三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為1,則

\a-b\=\BA|=I,|a+b|=2X坐=小.

所以百二百=]=W.

答案：小

15.解析：如圖，任取一點(diǎn)0,作蘇=a,OB=b,A\OA\=\0B|,以04,OB為鄰

邊作平行四邊形OACB,則可知其為菱形，且沆=。+4BA=a-b.

由于同=1〃—\a-b\=2,BPOA=OB=BA,

所以△Q4B為正三角形，|。+“=\OC\=2y[3,所以S/Qj?=gX2X小=小.

BC

b,

16.解析：'：0B-OA+0C-OA=AB+AC,

OB-OC=CB=AB-AC,

又畫-OC\=\OB-OA+0C-OAI，

：.\AB+AC|=|贏-ACI,

???以AC為鄰邊的平行匹邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等，

???該平行四邊形為矩形，

：.ABYACf

???△ABC是直角三角形.

課時(shí)作業(yè)（四）向量的數(shù)乘運(yùn)算

1.解析：對(duì)A,當(dāng)Z>0時(shí)正確，否則錯(cuò)誤；對(duì)B,0“是向量而非數(shù)0;對(duì)D,若力=及,

則制=網(wǎng).

答案：C

2.解析：當(dāng)k=^時(shí)，m=一約+：。2,〃=-2ei+e2.

.'?n=2m,此時(shí)，in,n共線.

答案：D

3.解析：,：AB=3AM,

：.CB-CA=3((5/-GA),

：,CB=3CM-2CA.

答案：A

4.解析：由崩=1PB,則A,P,B三點(diǎn)共線，且不=|AB

所以麗=]AB,即Q=-jBP.

~AP1'1B

答案：D

5.解析：AD=AB+BD=AB+(BC=AB+((AC—AB)=；AS+(AC=；

b-

答案：D

6.解析：A中，Oa=O,A錯(cuò)誤；B中，當(dāng)“<0且。工0,癡與“°的方向一定相反，B

正確；C中，向量沒(méi)有除法，C錯(cuò)誤；D中，號(hào)=用，D正確.

答案：BD

7.解析：a—5=2ei+?2一(e1一2e2)=ei+3e2,

2。一3b=2(2ei+ei)—3(e)—2ei)=e1+8ez.

答案：ei+3e2ei+8e2

伏=82

8.解析：因?yàn)橄蛄考?2萬(wàn)與8a+心的方向相反，所以"t+2b=i(8a+砂)=彳0k

(2=U

=一4(因?yàn)榉较蛳喾矗訟VOnAVO).

答案：一4

9.解析：(1)5(2。-2〃)+4(26—3。)=10°—[06+88—12o=—2。一24

(2)6(。-3b+c)—4(一。+)—c)=6a—18b+6c+4。-4〃+4c=l。。-22b+10c.

(3%[(3a—28)+50—g(6a一處)]=g(3a—2b)+|a—9(6a—9b)=3a+1b.

(4)(x—y)(a+b)—(x—y)(a-b)=(x-y—x+y)a+(x—y+x—>)h=2(x~y)b.

10.解析：設(shè)存在&￡R,使得A,B,￡>三點(diǎn)共線，

VDB=CB-CD=(ei+3c2)—(2e\~e2)=—ei+4e2,AB=2e1+履2

又〈A,B,。三點(diǎn)共線，：,AB=XDB,

，2ei+3=2(-ei+4e2),

2=-2

??，

,A=4x

解得女=-8,

???存在左=一8,使得A,B,D三點(diǎn)共線.

11.解析：由題得BF=BC+CF=BC+1EA=BC+1(而+放)=BC+工

(一汕+時(shí)

即臍=BC+7(―%F+B4),解得濟(jì)=票BC4-^7蕩，即而'=Z7.+呆b.

答案：B

28

12.解析：由2a—36=4e,且。+26=—2e可求得。=亍e,b=.qe,則由向量共線定

理可知a,b共線，故A正確；由九〃為相異實(shí)數(shù)可知2,4不同時(shí)為0,故〃=〃瓦即a,

方共線，故B正確；由x+y=O可知，若x=y=O時(shí)，a,力可以不共線，故C不正確；若48、

CO分別為兩條腰時(shí)，a,b不共線，故D不正確，故選AB.

答案：AB

12

13.解析：原式=§a~b—a-\-~^b~\~2b—a

A3-1-1)。+(-1+?+2)0

=-ja+jb=_](3i+2/)4-jQi-J)

=(-5+冬/+(-J-0j

5..

="3L5J.

答案：~1i-5j

14.解析：如圖，???四邊形ABC。是平行四邊形，，病=BC,又,:而=3NC,

MC三點(diǎn)共線，且麗=-1AC,則屆=MB+函=|DA+應(yīng)=-1b~a,MN=

—

MC+麗=25CAC=3ADAC=]b~^(a-\~b)=—^Q+彳b.

答案：-gb-ab

15.解析:⑴如圖，延長(zhǎng)AO到G,使筋A(yù)G，連接8G,CG,得到平行四邊形ABGC

112111

亦

病

病

-則

-----------從

22332Ac2

BE=AE—AB=y3+b)—G=Q(b-2a),BF=AF—AB=/b—o=](b-2d).

(2)證明：由(1)可知西=1BF,因?yàn)榻撑c壽有公共點(diǎn)B,所以&E,尸三點(diǎn)共線.

16.解析：力與共線，證明如下：因?yàn)榕cc共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)人使得

a+b=〃.①

因?yàn)閎+c與。共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)〃，使得》+c=4。.②

由①一②，得。-c=2c一超1,所以(l+")a=(l+7)c,

又因?yàn)?。與c不共線，所以1+〃=0,1+4=0,所以"=—1,2=-1,所以。+。=一c,

即。+。+。=0,所以Q+C=一瓦故Q+C與b共線.

課時(shí)作業(yè)(五)向量的數(shù)量積

1.解析：由平面向量數(shù)量積的定義可得機(jī)?〃=|利?|川cos45°=4X6X-^=12P.

答案：B

2.解析：因?yàn)榫胋為單位向量，且其夾角為60。，

所以ab=1X1Xcos60°=2?

(2a—b)?b=2ab一招=2Xq—1=0.

答案：B_____________________

3.解析：|3。一萬(wàn)1=，(3a—b)2=yj9⑷2+網(wǎng)2—6ab

=弋9+25-6義5乂(-￡)=相=7.

答案：A

4.解析：V|a|=2,ab=-\,：,a(a~2b)=a2-2ab=4-(-2)=6.

答案：D

5.解析：BM=gMC=gBC,\BM\=1,

ABDM=\AB\\BM\COS(180°-60°)=3X1=-1.

答案：C

6.解析：對(duì)于A：當(dāng)。_L〃Bra仍=0,故AB錯(cuò)誤；對(duì)于C：〃與，是兩個(gè)單位向量，

所以同=|4=1,所以解=同2=],從=歷|2=1,所以〃=爐，故C正確；對(duì)于D：根據(jù)

兩個(gè)向量夾角的概念，AB,BC的夾角應(yīng)為120°,故D錯(cuò)誤.

答案：ABD

7.解析：取48的中點(diǎn)。，是接CO,則C￡>_L4B.

答案：|

8.解析：因?yàn)閨2。+"=也.所以3+6)2=10,所以4a2+4a/+〃=io,

又因?yàn)橄蛄縜與方的夾角為45。且⑷=1,所以4X12+4XlX|b|X事+|ft|2=10,

整理得步F+26向-6=0,解得網(wǎng)=也或步|=一3?(舍去).

答案：也

9.解析：(l)a,(a+〃)=a2+a-Z>=4+2X4Xcos60°=8,

(2)a(a-kb)=0,即〃一履力=4一左X2X4Xcos600=4—4欠=0,

???2=1.

10.解析：設(shè)初=a,AD=b,則⑷=3,步|=1,。與b的夾角。=三.

?\ab=\a\\b\cos6=^.

又???最？=a+b,DB=a~b.

：,\AC\=yjAC2=#(a+b)2=歸石標(biāo)TP=仃，

|DB1=7踮2=y)(a~b)I2=^a2-2ab-i-b2=巾.

：.AC=y[l3,BD=yp.

IL解析：???瓦=|AC,：.DA=-^AC,VBC1AC,則元BC=0,

因此，DAAB=—^AC(AC+Cfi)=_4Ac2—ACCB=—1X42=-20.

答案：B

12.解析：A中，若力=0,因?yàn)?。與任意向量平行，所以。不一定與c平行，A錯(cuò)；B

中，向量數(shù)量積滿足分配律，正確；C中，向量數(shù)量積不滿足消去律，C錯(cuò)；D中，(ab)c

是以c為方向的向量，。?(萬(wàn)?是以Q為方向的向量，D錯(cuò).

答案：ACD

13.解析:當(dāng)。，b,c共線時(shí)，|a+~+c|=M|+|b|+|c|=5,

當(dāng)Mb,c兩兩夾角為半時(shí).

I”+6+c|=7|a|2+制2+|c、+2a,b+2a?c+2b?c

I222

=A/1+1+9+2X1X1Xcos~j~+2X1X3Xcos-^~+2X1X3Xcos

=^11-1-3-3=2.

答案：5或2

14.解析：設(shè)際=tDC

則靠AF=AB(AD+DF)=AB(AD+/DC)

=ABAD+tAB2=tAB2=2t=y[2

?L盅

.?―2

：.AEBF=(AB+BE)(BC+CF)

=(贏+3砌[謊+(1_岑|司

=(ABBC)區(qū)+(1—乎)或]

=ABBC+(1-孝)2

ABBA4-1BC+1BCBA

=(坐一1)AB?+；BC2=(乎t)X2+2X4

=-j2-2+2=V2.

答案：V2

15.解析：(1)；由)=2DC

->2—>—>—?-?->2—>2—>—?2

:,BD=TBC,A￡>=48~BD=AB+rBC=AB+'(AC-AB)=a+§(b~a)

1.2人

=3叫b

2

X+-

(2)BE=AE—AB=；AD—AB=：3a

511人

-6fl+3b

:.BE=—%(5a—2b)

V|a|=l,網(wǎng)=1,。與b的夾角為60。，

(i?b=e

???|5。一2同=、(5。-2方)2=45。2—20。功+4參=719

?加一返

??|/5￡-?]6?

16.解析:(l)VBP=tBC，

：.AP=AB+BP=AB+/BC=AB+/(AC-AB)=(1一廂+應(yīng).

-A-?-?—>—?1—>―?

(2)?；CA=3EA,：.BE=AE-AB=TAC-AB,

-?—?—>—?1—>—?

：.APBE=[(1~t)AB+泊C卜qAC-AB)

=(t—V)AB2+Q—ABAC+|tAC2

X2X2cos60°rX4

???尸是BC邊上一點(diǎn)，/.re[0,I],

：.APBE=1(4r-5)e-a

課時(shí)作業(yè)（六）向量的數(shù)量積的應(yīng)用

1.解析:。?（。+6）=0則1+。心=0,，。仍=—1,設(shè)向量。與b的夾角為仇???cos。=不3

1AZ

=-1,V^e[0,n],.,.^=120°.

答案：C

2.解析：設(shè)向量。與。的夾角為a,

V|a|=3,\b\=2,

因?yàn)閨a+M2=(^/19)2,

所以9+2X3X2cosa+4=19,

Acosa=2，

VaG[0,7t],

.兀

.?a=4.

答案：B

3.解析：〃)=3/。2+(2^—3)。力一2肥

3

=3za2-2ft2=122-18=0./.A=2.

答案：A

4.解析：因?yàn)閍,b是單位向量，所以⑷=網(wǎng)=1,

因?yàn)閏=a+2b且a-Lc,

所以QC=0,所以。?(a+2b)=0,

所以°2+206=0,所以1+2。6=0,所以。?方=—3，

22

所以|c|=、(a+2/O2=yja-\-4ab-\-4b={1-2+4=小.

答案：C

5.解析：?.,(a—b)_La,

2

(a—b)a=a—ab=2—ab=0t

???“功=2,

又儲(chǔ)，b>e[0,句，

?'-a,b的夾角為;.

答案：B

2

6.解析：因?yàn)椴揭?。|=小,所以（b-射）=|Z>|2+4|a|2—4n-Z>=5,又⑷=g|=1,所以

a0=0,所以。_L）,A正確；因%（4+6）2=02+辦2+24.6=2,所以|0+力|=g,B不正確；

因?yàn)椋?-6）2=/+於一2〃S=2,所以|4一回=6，C正確；因?yàn)閍_Lb,所以Q，b）=90°,

D不正確.

答案：AC

7.解析：b是單位向量,二同=W=1,

?\ab=\a\|力|-cos120°=1XIXf_2)=—2，

?：ka+b與2a—b垂直，

、14

.?.(ki+b)(z2/7—Z>)=2k?—2a.6—爐=22+/2—1—1=0,解得&=5.

答案：*

8.解析：由題意可得：

a2~ab=^—1X1-cos^=0,

cos0=^,又?！闧0,n],AJ.

答案:f

9.解析：⑴;向量。與。的夾角為120°,M=2,\b\=1,

.\ab=\a\?仍I-cos120°=2XIX(—，=—1,

/.\a-2b\2=a2—4aft+4Z>2=4—4X(—1)+4=12,

/.\a-2b\=2??；

(2)???(。+加)L(2a-b),

.?.(a+必)(2a~b)=0,

即2a2-ab-\-2tab—tb2=0,

.\2X44-l-2/-/=0,解得E=3.

10.解析：(1);Z\A8C為等邊三角形，

:.ZABC=60°

如圖，延長(zhǎng)43至點(diǎn)。，使3。=48,則壽=BD,

???NO8C為向量Q與灰？的夾角.

???ZDBC=120°,

???向量后與比的夾角為120°.

fD

(2)VE為BC的中點(diǎn)，：.AE1BC,

：.AE與病的夾角為90。.

11.解析：由題意得，

kd=1,M=1,ere2=o,

又向量/ei+e?與ei—&2的夾角為全，

得(*\/5ei+e2)(^1-&2)=小C]2—小^€\-€2~^~€\'€2—2?22=*\/3—2,

又|小ei+ezl=2,|ei—Ae?|=:1+K,

則(小ei+ez)(ei—Aez)=|M5ei+e2||ei—2e21cos鼻

=yj14-A2=小T,

所以入=坐.

答案：A

12.解析：AB-AC=CB=-BC,A錯(cuò)；由向量加法法則Q+BC+鼻=0,B

正確；(矗+AC)(AB-AC)=AB2-AC2=0,即油2=AC|AB|=\AC\,△ABC為

等腰三角形，C正確；nAB>0,則N8AC是銳角，但其它兩個(gè)內(nèi)角是不是銳角，不知道，

D錯(cuò)誤.

答案：BC

13.解析：由崩LBC知淳BC=0,即第BC=UAB+Ac)(AC-AB)=(/1-

1)矗AC-kAB2+AC2=?-l)X3X2X(—；)X9+4=0,解得2=紜.

7

答案：J2

14.解析：因?yàn)閏J_a,所以cs=0,

所以ac=e(a+〃)=0,

即岸+a0=0,

設(shè)向量。與b的夾角為仇

則。""麗-麗=-2，

又0°《0W1800,

所以向量。與b的夾角為8=120。.

(a-If)c=(a—b)(a+b)=a2—Z>2=1—4=—3.

答案：120。-3

15.解析：???同=A/2,\b\=3,。與力夾角為45。，

.\ab=\a\|Mcos450=3&X=3,

而(。+動(dòng)).Qi+b)=〃P+a0+儲(chǔ)力,”+財(cái)2=27+3+342+94=3/+]"+3,要使向量a

+動(dòng)與ka+b的夾角是銳角，

則(a+2b).Qi+b)>0,且向量a+勸與九i+b不共線，

由（a+動(dòng)）.（癡+b）>0得3足+1M+3>O,得4<一.病或4>一時(shí)病.

由向量。十勸與不共線得爐中1,；?ZR±1,

所以4的取值范圍為：（—8,T?遮）在（二與相,l）Ull,+8）.

16.解析：因?yàn)椤鰽8C中，ABBC=3,AB與肚夾角0=兀一&所以壽BC=\AB

||詼|cos<AB,BC）=3,即而\\BC|cos6=3,得|矗\\BC.

又S=|而IliC|sin\AB||5C|sin（兀一9）

=百\AB\\BC|sin^=|tan.

由于W2SW3得小W3tan6W3,所以當(dāng)WtanJWl,由于問(wèn)0,何，所以5q.

所以油與詼夾角的取值范圍是償，咒.

課時(shí)作業(yè)（七）平面向量基本定理

1.解析：由題意知，。與b不共線，根據(jù)平行四邊形法則，可知A,B,D選項(xiàng)中的兩

個(gè)向量都可以作為基底，而a+b與一a—b共線,不能作為基底.

答案：C

2.解析：由題意：。為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，

,:而=-1BC,所以而=1CB

3a331

--+---

所以AO=AC+CD=AC22(AB-AC)2-2Ac

答案：D

3.解析：如圖所示，OP=0B-\-BP=OB+,BA=OB(OA-OB)=,OA+

.21

?『'y=3-

答案：A

4.解析：EF=CF-CE=-|AbAB.

答案：C

5.解析：因?yàn)?。，G,E三點(diǎn)共線，所以讀=XDG,

又AO=xAB,AE=yAC,

AG=TAF=TFz（A8+AC）1=TAB+/AC.

故可得，）公—xAB=ZQAB+|AC-,

整理得，一”=乂3一9，y=|A,消去Z得［+：=3.

答案：B

6.解析：B中所與的共線，D中而與加共線，A、C中兩向量不共線.

答案：AC

7.解析:設(shè)「=刀。+），瓦則有p=3a+2）=x（2a—3加+），（4?—2切=（2丫+4），）。+（—3%—2），》,

7

-

X--4

2x+4y=3713

得所以p=-w帆+亞-n

-3x-2y=2183

分安7.13-n

答案：-a”'十W

8.解析：由題意知。與力不共線，即對(duì)任意上￡R,a乎kb,

得沖4.

答案：（一8,4）U（4,4-oo）

9.解析：設(shè)AC,3。交于點(diǎn)。，則有A。=0C=3AC=3a，BO=0DBD=

所以油=A0+勵(lì)=AO—BOa—；b,

BC=B0+OC=5b.

—?—?—?1—?—>?

10.證明：MC=MB+BC=2AB+A。，

-?-A-A1-?—?1-?-?-A1-?2-?

NC=NB+BC=yDB+AD=1(AB-AD)+AD=§AB+]AD.

可得而=!(病+；矗)=1MC,

所以證//MC,又證與慶有公共點(diǎn)C,

???M,N,。三點(diǎn)共線.

AP=AB+\BCAB=IAP-IBQ

AP=AB-\-BP

11.解析：由題意＜_即,解得

BQ=BC^CQBQ=BC-^ABBC=^AP^BQ

：,AC=AB+BC，崩+,而，又At=xAP+yBQ,

.6

??xr—=5?

答案：B

12.解析：CE=CA+AE=CA+1AD=|AD-AC,B正確，A錯(cuò)誤;

—?-A-A—?1-A--?1—?—?

CE=CA+AE=CA+gAD=CA+，(AB+BD)

=CAAB4-TBD=CA+1AB4-TxgBC

=CAAB(AC-AB)

=￡AB—1AC,D正確，C錯(cuò)誤.

答案：BD

13.解析：，?,病=2MC,：,AM=|AC.

，：BN=NC,:?AN=2(A3+AC),

：.MN=AN-AM=[(AB+AC)一。ACABAC.

2'’326

又?:MN=xAB+y4c,/.A=^,y=-..

答案?---

口采.26

14.解析：設(shè)AC、BC邊的中點(diǎn)為E、F,由萬(wàn)1+2.08+（1+?拉？=0,

可得無(wú)+AOF=0,所以點(diǎn)。在中位線打上,

因?yàn)椤?48的面積與△OAC的面積比值為3,

所以點(diǎn)O為E/上靠近E的三等分點(diǎn)，即2=3.

答案：I

15.解析：（1）:次？+加=2OA,

：.OC=20A-OB=2a~b,

DC=OC—OD=2a~b—gb=2a—z^b.

(2y：CE=OE-oc=Xa-(2a-b)=a~2)a+b,

|2-2=2/z

又4=/iDC,所以a-2)a+b="(2a告)

,則?5

[1=守

43

--

解方程組,55

16.解析：=2EN,：,AE-AM=2(AN~AE),

=1AM4-|AN

由已知4M=AB+gAD,AN=ADAB

-2-7—2714

*.AE=,AB+§AD,>,?W=57.

②?：DP//MC,N為CD的中點(diǎn)，

易證△ONP與△CNM全等，則師/=PN,

設(shè)加=kMN,則1W4W2,

'：AF-AM=k(AN-AM),AF=(1~k)AM+kAN,

VAF=tAM+(I)病,：A-k=t,k=1-i,

???1W1-W2,???一lWWO,

[—1,0].

課時(shí)作業(yè)(八)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量加、

減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.解析：設(shè)y),因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,—1),所以麗=(x+2,y+1)=(3,4).

所以x=l,y=3,即8(1,3).

答案：A

2.解析：在平行四邊形A8CD中，因?yàn)锳(l,2),8(3,5),所以誦=(2,3).又Q)=

(-1,2)，所以公=AB+AD=(1,5)，而=AD一B=(一3,-1)，所以公+BD

=(-2,4).

答案：A

3.解析：設(shè)式居y)

因?yàn)锳(0,1),AC=(一2,—1),

由向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算可知4&=(x,y—1)=(—2,-1),

x=-2

解得b=o八

即C(-2,0),

又因?yàn)?(2,3),

所以%=(-2,0)-(2,3)=(-4,-3).

答案：B

4.解析：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為＞),則n=(x+l,y-2)

：.AC+贏=(x+l,y-2)+(3,-3)=(x+4,y-5)=0

.b+4=0.卜=一