PAGE1-5．3.3古典概型考點學習目標核心素養基本領件了解基本領件的特點數學抽象古典概型的定義理解古典概型的定義數學抽象古典概型的概率公式會應用古典概型的概率公式解決實際問題數學運算、數學建模問題導學預習教材P102－P107的內容，思索以下問題：1．什么叫基本領件？它有什么特點？2．什么叫古典概率模型？它有什么特點？1．古典概型一般地，假如隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認為每個只包含一個樣本點的事務(即基本領件)發生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型．2．古典概型概率計算公式假設樣本空間含有n個樣本點，事務C包含m個樣本點，則P(C)＝eq\f(m,n)．■名師點撥古典概型的推斷一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性．并不是全部的試驗都是古典概型．下列三類試驗都不是古典概型：(1)基本領件個數有限，但非等可能．(2)基本領件個數無限，但等可能．(3)基本領件個數無限，也不等可能．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一次試驗的結果所包含的樣本點的個數為有限個，則該試驗符合古典概型．()(2)“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面對上”是基本領件．()(3)從裝有三個大球、一個小球的袋中，取出一球的試驗是古典概型．()(4)一個古典概型的樣本點數為n，則每一個樣本點出現的概率都是eq\f(1,n).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(2024·高考全國卷Ⅱ)從2名男同學和3名女同學中任選2人參與社會服務，則選中的2人都是女同學的概率為()A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3解析：選D.將2名男同學分別記為x，y，3名女同學分別記為a，b，c.設“選中的2人都是女同學”為事務A，則從5名同學中任選2人參與社區服務的樣本空間為{(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10個樣本點，其中事務A包含的樣本點有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3個，故P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3.故選D.若書架上放有數學、物理、化學書分別是5本、3本、2本，則隨機抽出一本是物理書的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)解析：選B.樣本點總數為10，“抽出一本是物理書”包含3個樣本點，所以其概率為eq\f(3,10)，故選B.從甲、乙、丙三人中任選兩人參與某項活動，其中“甲被選中”這一事務所含的樣本點有________個．解析：(甲，乙)，(甲，丙)，共2個．答案：2古典概型的推斷推斷下列試驗是不是古典概型：(1)口袋中有2個紅球、2個白球，每次從中任取一球，視察顏色后放回，直到取出紅球；(2)從甲、乙、丙、丁、戊5名同學中隨意抽取1名擔當學生代表；(3)射擊運動員向一靶子射擊5次，脫靶的次數．【解】(1)每次摸出1個球后，放回袋中，再摸1個球．明顯，這是有放回抽樣，依次摸出的球可以重復，且摸球可無限地進行下去，即全部可能結果有無限個，因此該試驗不是古典概型．(2)從5名同學中隨意抽取1名，有5種等可能發生的結果：抽到學生甲，抽到學生乙，抽到學生丙，抽到學生丁，抽到學生戊．因此該試驗是古典概型．(3)射擊的結果：脫靶0次，脫靶1次，脫靶2次，…，脫靶5次．這都是樣本點，但不是等可能事務．因此該試驗不是古典概型．eq\a\vs4\al()古典概型的推斷方法一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征，即有限性和等可能性，因而并不是全部的試驗都是古典概型．下列試驗中是古典概型的是()A．在相宜的條件下，種下一粒種子，視察它是否發芽B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球C．向一個圓面內隨機地投一個點，視察該點落在圓內的位置D．射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結果為命中10環，命中9環，…，命中0環解析：選B.A項這個試驗的結果只有兩個，即“發芽”與“不發芽”，具備了有限性，而“發芽”與“不發芽”這兩個結果出現的可能性一般是不相等的，即不具備等可能性，因此該試驗不是古典概型；B項具備“有限性”和“等可能性”；C項，點可以落在圓內任一位置，不具備有限性；D項，因為10環，9環，…，面積各不相同，故命中的概率不同，不具備“等可能性”．古典概型的計算(1)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色調筆的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)(2)(2024·高考江蘇卷)某愛好小組有2名男生和3名女生，現從中任選2名學生去參與活動，則恰好選中2名女生的概率為________．【解析】(1)從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，樣本空間為：{(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍)，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍，綠)，(藍，紫)，(綠，紫)}．而取出的2支彩筆中含有紅色調筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，共4個樣本點，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)記2名男生分別為A，B，3名女生分別為a，b，c，則從中任選2名學生樣本空間為{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10個樣本點，其中恰好選中2名女生有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3個樣本點，故所求概率為eq\f(3,10).【答案】(1)C(2)eq\f(3,10)eq\a\vs4\al()求古典概型概率的步驟(1)推斷是否為古典概型．(2)求樣本空間包含的樣本點個數n.(3)算出事務A中包含的樣本點個數m.(4)算出事務A的概率，即P(A)＝eq\f(m,n).1．假如3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從1，2，3，4，5中任取3個不同的數，則這3個數能構成一組勾股數的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)解析：選C.從1，2，3，4，5中任取3個不同的數，樣本空間為{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，其中勾股數只有(3，4，5)，所以概率為eq\f(1,10).故選C.2．從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選C.如圖可知從5個點中選取2個點的樣本空間為{(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共10個樣本點．選取的2個點的距離不小于該正方形邊長的狀況有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6個樣本點．故所求概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).古典概型的實際應用已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別為240，160，160.現采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參與獻愛心活動．(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？(2)設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現從中隨機抽取2名同學擔當敬老院的衛生工作．(ⅰ)試用所給字母列舉出全部可能的抽取結果；(ⅱ)設M為事務“抽取的2名同學來自同一年級”，求事務M發生的概率．【解】(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學，因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)(ⅰ)從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的樣本空間為{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)}，共21種抽取結果．(ⅱ)由(1)，不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的全部可能結果為(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5種結果．所以，事務M發生的概率P(M)＝eq\f(5,21).eq\a\vs4\al()(1)在建立概率模型時，把什么看作一個樣本點(即一個試驗結果)是人為規定的．我們只要求每次試驗有且只有一個基本領件出現．對于同一個隨機試驗，可以依據須要(建立概率模型的主觀緣由)建立滿意我們要求的概率模型．(2)留意驗證是否滿意古典概型的兩個特性，即①有限性；②等可能性．(3)求解時將其轉化為互斥事務或對立事務的概率問題．一只口袋里裝有形態大小都相同的6個小球，其中2個白球，2個紅球，2個黃球，從中隨機摸出2個球，試求：(1)2個球都是紅球的概率；(2)2個球同色的概率；(3)“恰有一個是白球”是“2個球都是白球”的概率的幾倍？解：記兩個白球分別為a1，a2；兩個紅球分別為b1，b2；兩個黃球分別為c1，c2，從中隨機取2個球的樣本空間為{(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)}，共15個樣本點．(1)2個球都是紅球為(b1，b2)共1個樣本點，故2個球都是紅球的概率P＝eq\f(1,15).(2)2個球同色的有：(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3個樣本點，故2個球同色的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(3)恰有一個是白球的有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8個樣本點，其概率P＝eq\f(8,15)；2個球都是白球的有(a1，a2)，共1個樣本點，其概率P＝eq\f(1,15)，所以“恰有一個是白球”是“2個球都是白球”的概率的8倍．1．下列關于古典概型的說法中正確的是()①試驗中全部樣本點有有限個；②每個事務出現的可能性相等；③每個樣本點出現的可能性相等；④樣本點的總數為n，隨機事務A若包含k個樣本點，則P(A)＝eq\f(k,n).A．②④ B．①③④C．①④ D．③④解析：選B.依據古典概型的特征與公式進行推斷，①③④正確，②不正確，故選B.2．下列是古典概型的是()①從6名同學中，選出4人參與數學競賽，每人被選中的可能性的大?。虎谕瑫r擲兩顆骰子，點數和為7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．A．①②③④ B．①②④C．②③④ D．①③④解析：選B.①②④為古典概型，因為都適合古典概型的兩個特征：有限性和等可能性，而③不適合等可能性，故不為古典概型．3．從1，2，3，4這四個數字中，任取兩個不同的數字構成一個兩位數，則這個兩位數大于30的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：選A.從1，2，3，4中任取兩個不同數字構成一個兩位數共有12種不同取法，其中大于30的為31，32，34，41，42，43共6種．故P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).4．據報道：2024年我國高校畢業生達834萬人，創歷史新高，就業壓力進一步加大．若某公司從五位高校畢業生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為________．解析：記事務A：甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，樣本點有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對立事務A僅有(丙，丁，戊)一種可能，所以A的對立事務A的概率為P(A)＝eq\f(1,10)，所以P(A)＝1－P(A)＝eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)[A基礎達標]1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，從A，B中各隨意取一個數，則這兩數之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析：選C.從A，B中各任取一個數有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6種狀況，其中兩個數之和為4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選C.2．四條線段的長度分別是1，3，5，7，從這四條線段中任取三條，則所取出的三條線段能構成一個三角形的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,5)解析：選A.從四條長度各異的線段中任取一條，每條被取出的可能性均相等，所以該問題屬于古典概型．又全部樣本點包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四種，而能構成三角形的樣本點只有(3，5，7)一種，所以所取出的三條線段能構成一個三角形的概率是P＝eq\f(1,4).3．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一個元素，則該元素是集合A∩B中的元素的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,7) D.eq\f(2,5)解析：選C.A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq\f(3,7).4．把一枚骰子投擲兩次，視察出現的點數，記第一次出現的點數為a，其次次出現的點數為b，則方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一個解的概率為()A.eq\f(5,12) B.eq\f(11,12)C.eq\f(5,13) D.eq\f(9,13)解析：選B.點(a，b)取值的集合共有36個元素．方程組只有一個解等價于直線ax＋by＝3與x＋2y＝2相交，即eq\f(a,1)≠eq\f(b,2)，即b≠2a，而滿意b＝2a的點只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3個，故方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一個解的概率為eq\f(33,36)＝eq\f(11,12).5.一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋找食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為________．解析：該樹枝的樹梢有6處，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．在平面直角坐標系中，從五個點：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三個，這三點能構成三角形的概率是________(結果用分數表示).解析：從五個點中任取三個點，構成樣本點的總數為n＝10；而A，C，E三點共線，B，C，D三點共線，所以這五個點可構成三角形的個數為10－2＝8.設“從五個點中任取三個點，這三點能構成三角形”為事務A，則A所包含的樣本點數為m＝8，故由古典概型概率的計算公式得所求概率為P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)7．現有5根竹竿，它們的長度(單位：m)分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若從中一次抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3m的概率為________．解析：樣本空間為{(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)}，共10個樣本點．相差0.3m的共有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)兩個樣本點，所以P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．某商場實行購物抽獎促銷活動，規定每位顧客從裝有編號為0，1，2，3四個相同小球的抽獎箱中，每次取出一球，登記編號后放回，連續取兩次，若取出的兩個小球號碼相加之和等于6，則中一等獎，等于5中二等獎，等于4或3中三等獎．(1)求中三等獎的概率；(2)求中獎的概率．解：設“中三等獎”為事務A，“中獎”為事務B，從四個小球中有放回地取兩個有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16種不同的結果．(1)取出的兩個小球號碼相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7種結果，則中三等獎的概率為P(A)＝eq\f(7,16).(2)由(1)知兩個小球號碼相加之和等于3或4的取法有7種；兩個小球號碼相加之和等于5的取法有2種：(2，3)，(3，2)．兩個小球號碼相加之和等于6的取法有1種：(3，3)．則中獎概率為P(B)＝eq\f(7＋2＋1,16)＝eq\f(5,8).9．某停車場臨時停車按時段收費，收費標準如下：每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元，超過1小時的部分每小時收費8元(不足1小時按1小時計算)．現有甲、乙兩人在該地停車，兩人停車都不超過4小時．(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為eq\f(1,3)，停車費多于14元的概率為eq\f(5,12)，求甲的停車費為6元的概率；(2)若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同，求甲、乙兩人停車費之和為28元的概率．解：(1)設“一次停車不超過1小時”為事務A，“一次停車1到2小時”為事務B，“一次停車2到3小時”為事務C，“一次停車3到4小時”為事務D.由已知得P(B)＝eq\f(1,3)，P(C＋D)＝eq\f(5,12).又事務A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4).所以甲的停車費為6元的概率為eq\f(1,4).(2)易知甲、乙停車時間的樣本空間為{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16個樣本點；而“停車費之和為28元”的樣本點有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3個，所以所求概率為eq\f(3,16).[B實力提升]10．從個位數與十位數之和為奇數的兩位數中任取一個，其個位數為0的概率是()A.eq\f(4,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9) D.eq\f(1,9)解析：選D.個位數與十位數之和為奇數，則個位數與十位數中必有一個奇數一個偶數，所以可以分兩類：(1)當個位為奇數時，有5×4＝20個，符合條件的兩位數．(2)當個位為偶數時，有5×5＝25個，符合條件的兩位數．因此共有20＋25＝45個符合條件的兩位數，其中個位數為0的兩位數有5個，所以所求概率為P＝eq\f(5,45)＝eq\f(1,9).11．已知5件產品中有2件次品，其余為合格品，現從這5件產品中任取2件，恰有1件次品的概率為()A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1解析：選B.記3件合格品為a1，a2，a3，2件次品為b1，b2，則任取2件構成的樣本空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10個樣本點．記“恰有1件次品”為事務A，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6個樣本點．故其概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6.12．若以連續擲兩次骰子分別得到的點數m，n作為點P的坐標，則點P落在圓x2＋y2＝16上或其內部的概率是________．解析：連續擲兩次骰子，得到點數m，n記作P(m，n)，共有36種狀況，其中點P(m，n)落在圓x2＋y2＝16上或其內部的狀況有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8種狀況，所以P＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)13．某中學調查了某班全部45名同學參與書法社團和演講社團的狀況，數據如下表：(單位：人)參與書法社團未參與書法社團參與演講社團85未參與演講社團230(1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參與上述一個社團的概率；(2)在既參與書法社團又參與演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學B1，B2，B3.現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中