2024屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式再結(jié)合交集以及區(qū)間的概念即可求解.【詳解】一方面把不等式變形為，解得；另一方面若，則；結(jié)合交集以及區(qū)間的概念可知.故選：A.2若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】分析】由求出復(fù)數(shù)，從而可求出【詳解】由，得，，所以，故選：B3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過(guò)不等式性質(zhì)分別求解出與的范圍，從而再進(jìn)行判斷.【詳解】由，可得或，即或，由，可得或，即或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.下列可能是函數(shù)的圖象的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和特殊值可排除ABD.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，排除選項(xiàng)AB，當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D，故選：C.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解方法，根據(jù)題意，得出滿(mǎn)足在區(qū)間單調(diào)遞減且，即可求解.【詳解】設(shè)，可得的對(duì)稱(chēng)軸的方程為，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿(mǎn)足在區(qū)間單調(diào)遞減且，即且，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.6.甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買(mǎi)到了六張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（）A.360 B.480 C.600 D.720【答案】B【解析】【分析】先求得六人的全排列數(shù)，結(jié)合題意，利用定序排列的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有種不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有種不同的排法，其中甲、乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為種.故選：B.7.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與平面的交線長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等體積法可求出點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)交線為圓可求出其長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋裕驗(yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以等邊的邊長(zhǎng)為，所以，所以，解得，所以點(diǎn)為球心，為半徑球面與平面的交線是以為半徑的圓，所以交線長(zhǎng)為，故選：C8.對(duì)，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將不等式等價(jià)變形，再構(gòu)造函數(shù)，，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值即可求解．【詳解】由，當(dāng)時(shí)，則等價(jià)于，即等價(jià)于，即等價(jià)于，即等價(jià)于，令，，即等價(jià)于對(duì)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，即對(duì)，，即，由，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將題目中的不等式條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下圖為甲、乙兩人在同一星期內(nèi)每日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖，則（）A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600B.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的極差大于乙的日步數(shù)的極差C.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的方差大于甲的日步數(shù)的方差D.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的上四分位數(shù)是7030【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A：直接求出中位數(shù)；對(duì)于B：分別計(jì)算出甲、乙日步數(shù)的極差，即可判斷；對(duì)于C：分別計(jì)算出甲、乙方差，即可判斷；對(duì)于D：將乙的日步數(shù)從小到大排列，計(jì)算可得；【詳解】對(duì)于A：甲的步數(shù)：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.從小到大排列為：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800,中位數(shù)是11600.故A正確；對(duì)于B：這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的極差,這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的極差,這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的極差大于乙的日步數(shù)的極差,故B正確；對(duì)于C：由圖知甲的波動(dòng)程度越大，故方差大故C錯(cuò)誤；乙的步數(shù)從小到大排列為：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)上四分位數(shù)是12970，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知事件A，B，且，則（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A與B相互獨(dú)立，那么D.如果A與B相互獨(dú)立，那么【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)事件關(guān)系及運(yùn)算有、，由事件的相互獨(dú)立知，結(jié)合事件的運(yùn)算求、.【詳解】A：由，則，正確；B：由，則，正確；C：如果A與B相互獨(dú)立，則，，錯(cuò)誤；D：由C分析及事件關(guān)系知：，正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，則（）A.是偶函數(shù) B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先根據(jù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得出是奇函數(shù)，從而判斷A項(xiàng)；由利用賦值法求出，再結(jié)合是奇函數(shù)可判斷B項(xiàng)；利用結(jié)合可判斷C項(xiàng)；求出的周期可判斷D項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋粤畹茫忠驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，即，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B正確；因?yàn)椋瞧婧瘮?shù)，所以，故C正確；因?yàn)椋缘闹芷跒?，又，，所以，故D正確；故選：BCD.12.已知，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先利用指數(shù)與對(duì)數(shù)互化求出，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕矗蔄正確；因?yàn)椋裕蔅正確；因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔇正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的公式可知，進(jìn)而可得常數(shù)項(xiàng).【詳解】其展開(kāi)式第項(xiàng)為，當(dāng)，即時(shí)，展開(kāi)式第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)，故答案為：14.已知同一平面內(nèi)的單位向量，滿(mǎn)足，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，兩邊平方得到，從而求出.【詳解】因?yàn)椋裕瑑蛇吰椒降茫驗(yàn)榫菃挝幌蛄浚裕裕裕?故答案為：.15.已知隨機(jī)變量，，且，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布和正態(tài)分布的期望公式可得，再由可得，求解即可.【詳解】由題意，，，，又，故，即，解得：.故答案為：16.已知直線與曲線和都相切，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的兩條直線的方程：______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用切點(diǎn)求出切線方程，聯(lián)立方程求出切點(diǎn)處的值，代入求出切線方程.【詳解】因?yàn)椋裕O(shè)直線與曲線和分別切于點(diǎn)，，所以切線方程分別為，，即，，因此，則，又，所以，化簡(jiǎn)得，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為.故答案為：，.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.市場(chǎng)監(jiān)管部門(mén)統(tǒng)計(jì)了某網(wǎng)紅飲品小店在2023年4月至8月的銷(xiāo)售收入（單位：萬(wàn)元），得到以下數(shù)據(jù)：月份45678銷(xiāo)售收入1012111220（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)2023年9月份該小店的銷(xiāo)售收入；（2）為調(diào)查顧客對(duì)該小店的評(píng)價(jià)情況，隨機(jī)抽查了200名顧客，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“顧客是否喜歡該網(wǎng)紅飲品小店與性別有關(guān)聯(lián)”．喜歡不喜歡總計(jì)男100女30總計(jì)110附：線性回歸方程：，其中，，0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1），估計(jì)為19萬(wàn)元（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)及公式求出，可得線性回歸方程，將代入可估計(jì)2023年9月份該小店的銷(xiāo)售收入；（2）由已知寫(xiě)出列聯(lián)表，根據(jù)公式求的值，結(jié)合獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】由已知得：，，，，則關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，∴估計(jì)2023年9月份該小店的銷(xiāo)售收入19萬(wàn)元．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?00名顧客中男顧客有100名，則女顧客有100名，女顧客中不喜歡該網(wǎng)紅飲品小店有30名，則喜歡的有70名，200名顧客中喜歡該網(wǎng)紅飲品小店的有110名，則男顧客中喜歡的有40名，不喜歡的有60名，則2×2列聯(lián)表如下所示：喜歡不喜歡總計(jì)男4060100女7030100總計(jì)11090200根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，，所以有的把握認(rèn)為“顧客是否喜歡該網(wǎng)紅飲品小店與性別有關(guān)聯(lián)”．18.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，.（1）求的極值；（2）對(duì)于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極大值，極小值（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極大值和極小值；（2）分析可知，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上的最小值，求出函數(shù)在上的最大值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋睿傻没颍斜砣缦拢涸鰳O大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.【小問(wèn)2詳解】解：對(duì)于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋遥瑒t且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由題意可得，故.19.如圖，直三棱柱中，，平面平面．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)題意證得平面，得到，再由三棱柱為直三棱柱，證得，利用下面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.小問(wèn)1詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫移矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫裕扇庵鶠橹比庵傻闷矫妫驗(yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)椋移矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫?【小問(wèn)2詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椋傻茫瑒t,設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，則，設(shè)二面角的平面角為為銳角，可得，所以，即二面角的正弦值為.20.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉辦．中國(guó)田徑隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽和半決賽都獲得晉級(jí)才能進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率均為；乙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為和；丙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為和，其中，甲、乙、丙三人晉級(jí)與否互不影響．（1）試比較甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的可能性大小；（2）若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為，求三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的分布列和期望．【答案】（1），即進(jìn)入決賽的可能性甲丙乙.（2）分布列見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪中均獲勝的概率并比較大小即可；（2）根據(jù)題意先求出與所有的可能取值，然后分別求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，并計(jì)算出期望即可求解.【小問(wèn)1詳解】甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，因?yàn)椋裕裕醇走M(jìn)入決賽的可能性最大.【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲、乙、丙都進(jìn)入決賽的概率為，則，且，解得，所以丙在初賽的第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和，兩輪中均獲勝的概率為，進(jìn)入決賽的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則，，，.所以的分布列為0123所以.21.如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).（1）若是直線與平面的交點(diǎn)，試確定的值；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，由可解得得到答案；（2）設(shè)，根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為，求出確定的位置，求出平面的法向量，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算的面積，代入體積公式計(jì)算可得答案.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，則設(shè)平面的法向量，則，所以，取，易知，所以，解得，此時(shí)；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則則，整理得，解得或（舍去），，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，又，則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離為，由已知條件，在中，，可得所以，.22.已知函數(shù)．（