重慶市高2025屆高三第三次質量檢測

數學試題

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，總共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求.

1.復數~的實部和虛部相等，則:；=()

A.1B,-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】復數的計算得到復數，實部虛部建立等式，解得。的值.

aa.]。

【詳解】復數--,因為實部和虛部相等，所以2-[，即a=-l.

故選：B

2.已知向量萬、，且同書若不在6上的投影向量為耳',則1與6的夾角為()

xxx_

A.6B.4c,3D,2

【答案】C

【解析】

【分析】投影向量的定義得到等式，即可解出夾角.

r\_rtcrn?l|a|coj^-i-=cos^=licos^=-

【詳解】設《°'"?"刈0.可，由題意有田|-,2.3.

故選：C

3.已知數列SJ的前”項和為斗S.=”-4,數列㈤的通項公式為I2=1-屈，則“SJ為等

比數列”是“色)是遞減數列”的()條件

A,充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】根據條件求出對應的/的值，由集合的包含關系，判定是否滿足充分必要條件.

【詳解】是等比數列，即義=1,是遞減數列，即4>。，所以是充分不必要條件.

故選：A.

4.已知非零向量Kb,Mab-o,函數,(")=卜?用”叫,若〃-叫則實教―

的取值范圍是()

111,1

m>iR>一彳

A.JB.2C.-D.

【答案】A

【解析】

【分析】由條件且36.0,對函數化簡，根據偶函數的圖像的對稱性及單調性得

力的不等式，求解即得.

【詳解】???￡,是非零向量，且d

./(.V)=\a-xb|=a3-256.x4-&3x2=|a|'+|i|xJ

函數/C?是偶函數且開口向上，

.、1

v/(m)>/(l-/n)m>2.

故選：A.

&=

5.已知等比數列［°上單調遞增，前"項和為［6=殳%+4=4,則0()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據給定條件，利用等比數列性質求出公比即可得解.

【詳解】在等比數列&:中，。？?="?廣3,又%+為=4,且10」是遞增數列，

解得q=1,4=3,則數列SJ的公比9滿足/=3,

.=%+%+%+gi(4+%+的)_［+/=4

所以W.+%+%

故選:D

a=ln->t=sin-.c=eJ,

6.已知33,則a，b,c的大小關系為()

A.c>b>a

B.c

c.b>c>a

D.n>b>c

【答案】A

【解析】

，1c

Q<b<，_T>-

【分析】利用導數證明sin/vsi,可得3,利用導數證明e*三\+l,可得e3,又a<0,

從而可得結論.

a=In二v0

【詳解】3,

令，=SinV-T,求導可得/：V=cosV-1s0,

所以.’⑴在上單調遞減，所以了舊<了(0),所以5WL、<0,

*>no

sin二〈二0<b〈二

所以siniSY,所以33,即3,

令g(x)=「-x-L求導得g'(x|=J-l,

當丁ey.O)時，g'(x)<0,函數9(*)=--、-1在(-8,0)單調遞減，

當、e(0,4?)時，g'(D>0,函數g(x)=e、x?l在(0,y)單調遞增，

所以於期0),所以所以+

J.1，

eJ>1-1=-c>三

所以33,即3,所以a<b<c.

故選：A.

7.將正整數如圖排列，第〃行有〃個數，從1開始作如下運動，先從左往下碰到2,記為a,再從a開始

從右往下碰到5,記為內,接著從%開始，從左往下碰到8,記為的.依此類推，按左右左右往下，

碰到的數分別記為勺力/,構成數列5..則°1。=()

I

23

456

78910

1112131415

A.59B.60C.61D.62

【答案】C

【解析】

【分析】根據已知對數列SJ用后項減前項，歸納出性質：的.一科?“=%+1,=

然后由…+98計算可得.

【詳解】由題意得力-%=3,a「a,=3,a.-a1=5,…，所以的「％.1=%+1,

因此。誦=。1+(%?。】)+1%-勺l+,+(13.-%)=61

故選：c.

8.在平行四邊形<5（?。中，點E是對角線BD上任意一點（點后與A。'不重合），且

|可=|研+樂網:在后=2,則四邊形而8的面積為（）

A.點B,2C;6D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可求得.4「?EB=0,進而可得，貼=,此，利用向量的數量積求得月=6。°,求得面積.

【詳解】

|^|3=|^I|：+BEED=>AB2=AE\BE而=（而-近“石+石）+麗ED

=麗|而+荏+而|=而|而+而）=0

又四邊形43CD是u/13C7?,所以,45+4口=.4。，

所以而?初=0,所以47_LRB,所以=所以二4300為菱形.

cos福石=一"=二~」

由兩亞五7所以畫閹,

-cSg=AffxXDxsind=m*=m

所以角,4=60°,所以—2

故選：D.

【點睛】方法點睛：通過向量的線性運算與向量的數量積求得四邊形一組鄰邊的長與夾角，從而求得面

積，向量的線性運算與數量積是解決向量有關問題的基礎.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得。分.

9.已知兩個復數二1與不，下列結論錯誤的是（）

A.若二i+與6口，則二1與二）互為共軌復數

B.若匕卜R,則二〉-

c若司,1闖?2,貝曲1+二，卜

D.若hT=L則匕+U的最大值為8+1

【答案】ABC

【解析】

【分析】舉反例即可求解AB,利用復數的幾何意義即可求解CD.

【詳解】A選項：若二1二1-1,大=1,二1與與并不互為共軌復數；A錯誤；

B選項：虛數不能比較大小；必如二1=17,與=L匕卜匕」，但二「三無法比較大小，B錯誤,

c選項：由于L+與E匕l+hl,故C錯誤；

D選項：設二?在復平面對應的點為二】，由匕一"二1

可知點4的集合是以m為圓心，1為半徑的圓.

匕+U表示點A到(T°’的距離，所以匕+1最大值為b+l,D正確，

故選：ABC

10.設a.b.c分別是二ABC的內角Aa匚的對邊，則下列條件中能確定。為銳角的是()

A.a2+b2-c3=abB.ab=c3

C(a+261cosC+ccosJ=0Dsin(^4-5)=1-2cosj4sin5

【答案】AB

【解析】

【分析】選項A由余弦定理可判斷；選項B由余弦定理可判斷；選項C由正弦定理邊化角，結合三角恒

等變換可判斷；選項D利用三角恒等變換可判斷.

_a'+b'-c'ab1cn

cosC-----------------C=—

【詳解】對于A選項：2ab2ab2,即3,故A正確；

對于B選項：丁/=ab=a'+/-cosC22a6(l-cosC),

—>1—cosC:.cosC^—:.

,2,3,故B正確；

對于c選項.：(a+2)cosC+ccos4=0,(sin4+?smB)cosC+sinCcos4=0,

?C-

sm(4+0)+2sjnBcos(?=0,]+2cosC=0,-T,故c錯誤；

對于D選項：；”n(4-B)=l-28s4iinB,..ftn<cosB-8$4mB=l-2co“sin3,

.c=E

sm(4+B)=l,-2,故D錯誤.

故選：AB.

11.已知數列Sj滿足％=1,J=+CMMJT，/eN).則下列選項正確的是()

B.數列SJ是單調遞增數列

a、

C.若4,則瓦+'+%++%』<二

_-3M3+I6n-16/

D.若仆況+1,則d-+%=F

【答案】ACD

【解析】

_i卜——二，

a-Aa

【分析】由條件得出角標為奇數和偶數時的等式，化簡得到今“1-"/'-1]，證明數列〔'，為等

比數列，判斷A選項；

根據三=',判斷B選項；求奇數項通項公式，由放縮法得到結論，判斷C選項；求出偶數項通項公

式，由裂項相消求和，判斷D選項.

【詳解】A選項：1％”=上物-1

1)

所以I上是等比數列，公比為4,首項為三，

=3-3*-1+11=1|23B-1I

33,所以選項A正確；

B選項：%=】=%,所以選項B錯誤；

111手高J1

I337+-+?*+--<---------]

—=-......<—%aJaj?-l、4

C選項：?為奇數時，4-~,所以4

-3MJ+16I?—16w1-4(n-2)1n2(n-2)1

D選項：”為偶數時，“a+1--

所以

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

4_刀+3a^_

12.已知等差數歹/與0｝的前"項和分別為4與若凡工力+11,則b,

【答案】5##0.6

【解析】

【分析】根據等差中項以及等差數列的求和公式可求得結果.

9(%+%)

M=%=90+%)24=9+33

bs~9b5~9?+、)一貼+至-穌2(9+1)5

［詳解］―2-

故答案為：5.

13.設函數"有兩個極值點，則實數力的取值范圍是.

fo.11

【答案】I-)

【解析】

【分析】先求導函數，函數/'卜仁川9一門⑴有兩個極值點，等價于，'("=：/->n+l有兩個零點，等

價于函數】'=由》與J=1的圖象由兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象.由圖可求得實數

力的取值范圍.

【詳解】解：由題意，3+"Mr

令X)=lnx-2；m+1=0得卜口.2(m_1,

函數「"vhn-；帚有兩個極值點，等價于戶：'］=lixr_2i，n+1有兩個零點，

等價于函數?」=：n丫與.V=-1的圖象有兩個交點，

又直線”L1的圖象過定點，°'T),

當直線.「=2”、一】與)'=瓜丫的圖象相切時，設切點為(‘J11nli1，

,11

V二—一

A,則切線的斜率為\,

j-kix-—r-x

所以切線方程為‘"0%0，

將點(°'7'代入得?1?小。??%,解得與=L

即切線的斜率為1,即二力=1,所以2,

由圖可知，當°<3'時，與廣加-1的圖象有兩個交點,

(。,—)

則實數力的取值范圍是2,

(0.—)

故答案為：2.

14.如圖所示，四邊形48CD內接于圓。ADIIBC.AB-BCxSC+.rfiA2x+6y=3,則

四邊形的面積為.

【解析】

【分析】在3。延長線上取點N,使BN=9,取AB中點M,由已知可得MN過圓心0,求得

COSB=-

3,進而可求得梯形的高與上底，從而可求面積.

【詳解】在BC延長線上取點N,使BN=9,取AB中點M,

7訪"57；,y]BO=iBN+KBM

又因為3。=.+”4所以3,

、。、二、+%=[-

由-、+b'=‘，可得3',所以直線MN過圓心。，

[

_A.Fcos5z-anB=二—―

在Pa-MSN中，BN=9,BM=3,所以3,3,

所以梯形48CD高為/BAD=BC-2ABcotB=2,

仞+30.=]6A

所以梯形/CD面積為

【點睛】方法點睛：通過向量的線性運算與點共線的判斷方法，進而求得梯形的高與上底，從而求得面

積，向量的線性運算是關鍵..

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知向量

xe\O.-

（1）若a“b,且,求1的值;

（2）設函數-1-"倍+3Lp|,求函數60.-

在區間L?」上的最大值以及相應的T的值.

n

x=—

【答案】（1）

ft

（2）-T'J的最大值為-1,此時3.

【解析】

相皿1,結合同角關系即可求解,

【分析】（1）根據向量共線滿足的坐標關系，即可得C"'=

/（x）=2sin

（2）根據數量積的坐標運算，結合三角恒等變換可得’,即可利用整體法求解.

【小問1詳解】

Val(b,cosxsinxssin.v*0,cosx=>/3smx,

n

6.

【小問2詳解】

由題意得

/(x)=［百sinr(cosv-1)+2stn+sinx)-4=2x/3sinrcojx+2sin:x-4

n_3

6j

n5n

xeA0?—兀X--e

66*T

故當~6~2時，即?取最大值-1,

.八”的最大值為-1,此時3.

16.新能源車性能測試，分為實驗室檢測和路面檢測兩個階段.實驗室檢測通過后才能進入路面檢測，路面

檢測合格后該車才可投入生產，這兩個檢測階段能否通過相互獨立.其中實驗室檢測階段.包括環節I和環

節IL兩個環節都通過才能通過實驗室檢測，且這兩個環節檢測結果相互獨立.某公司汽車研發組研發出

12

甲、乙丙三種車型、現對其進行性能檢測，實驗室檢測階段中甲車通過Ln環節的概率分別為33,乙

2222

車通過I、n環節的概率分別為三7,丙車通過I、n環節的概率分別為V路面測試環節中三款車通

過測試的概率分別為］3

(1)求甲、乙、丙三款車型中恰有一款車通過實驗室檢測的概率；

(2)記隨機變量X為甲、乙、丙三種車型通過性能測試的種數，求X的分布列和數學期望.

25

【答案】(1)54

夙?=?

(2)分布列見解析，1S

【解析】

【分析】(1)設事件A表示甲車通過實驗室測試，事件2表示乙車通過實驗室測試，事件C表示丙車通

過實驗室測試,求出尸(4)、尸(B)和尸(C),求出甲、乙、丙中恰有一款車通過實驗室測試的概率；

(2)求出隨機變量X可能的取值，分別求出概率，求出數學期望.

【小問1詳解】

設事件A表示甲車通過實驗室測試，事件8表示乙車通過實驗室測試，事件C表示丙車通過實驗室測

試，

尸(#P(5)=ixr=lP(C)=^x2=l

則339,一，1,342,

則甲、乙、丙中恰有一款車通過實驗室測試的概率為

P(ABC+ABC+加C)=a#F(g)FC)+代萬尸(8)尸C)+F(N)P(?)F(C)

=式”9時尚紙in卜上打;卷

【小問2詳解】

隨機變量X可能的取值為：X=0,1,2,3,

85280152812,85166

D/V=vI=**=I1=XXxX

963162,963963963162,

X0123

P8066151

162162162162

MSc80,,66,c15.19911

E(X?=0x-+1x—+.x—+3x----=------=—

所以數學期望16216216216216218.

17.已知數列SJ的前八項和為S.,滿足2sz-耳=201=1.

（1）求2”；的通項公式；

2+2

（2）若數列滿足a=7og]&,4,{%）的前”項和為、若不等式刁-2>Ac.

對一切正整數內恒成立，求2的取值范圍.

【答案】⑴"

⑵Y0

【解析】

【分析】（1）利用二?久間的關系及等比數列的通項公式求解；

（2）由條件求出口,%,利用錯位相減法求出工，進而可求/的取值范圍.

【小問1詳解】

由3“-$.=2,令力=1,得風?Si=2,即+%）-，=2,

又勺?】,得..五

25.S21

\*“*=_（萬之）n?工=S.-Szn況U=a?na“i=—a.

U.-D._]=--

11

又歸=針，符合上式，則-=T?”N]

則數列；，J是以1為首項，2為公比的等比數列，

、1

2)(neN,J

【小問2詳解】

.ca=---------:-二小」

由題意得2”嗎仁1(—一(1)

所以1=1x21+2x3+.”+”x?■①，

3,U

27；=1X?+2X2+..+(H-1)X2+?X2*

②-①得

,3+1l1

Z=-lx2-(2+-+2-)+?x2-=-2-^_+nx2-=2+(n-l)2-

7；-2=(n-l)2**1

?.?不等式7一二-對一切正整數八恒成立，

1,AS2H-1

即不等式S-D-'2加二對一切正整數力恒成立，

2mNO

?eN,,In）,

A<0.

（1）證明｛""一?'；：是等比數列，并求出數列;八」的通項公式；

（2）記d44i4*“的面積為Z,求彳；

++―

a.=ln—>bx=（6,1+b-&）=I777+三+7<1

⑶若511.求證：&-%電-%山「%nb,-a,

注：“5。中，若加=5,.n、4C=（WJ3）,則“8。面積一寸引」

【答案】（1）證明見解析,

（3）證明見解析

【解析】

【分析】(1)由已知可得'"'5'3由累加法可得的通項公式；

f2032

XA=|6r-5/:fI44?:=*—T

⑵利用⑴的結論求得“z1,I93),可求1；

n11

,<....------

(3)放縮法可得\a”，可證結論.

【小問1詳解】

y.-(-AVi).rB+.rB.i1u_1

nA=---------------=T-----5-y=-----------=-----------

T.-\-i3；-y,-in-n-i,同理1

V

匕4,-?、(.—)v-3--'l=j

S-，T^13,乂【，

自:則

所以u，“一J1是首項為3,公比為3的等比數列,

所以

令"用心引,則基—),同理4"匕丁間,

【小問3詳解】

92

a_=111-71=3〃ln二

所以5

“111111

----------2----------SA<S-------S------

曲-4b「工“-3昨b-3K-1]6'+lA%

則"3?(3J

所以

123nI')f1(11、

++----------+…+-----------<———+1———+…+-—

“一%--為一%-36,-a,血-a.gb2)g%)gK)

111,

=―<—=1

a七、a

f(TI-=—a(lnv「-i〃+T<lnT+2v-2,a>0

19.已知‘

(1)討論”的單調性；

(2)若aD'ei,討論的零點個數；

(3)若'=，門?=°,且〔<二<4,證明：存在唯一實數a,使得』L=1,

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導，分類討論可求函數的單調區間；

(2)結合(1)分類討論，結合零點的存在性定理可判斷零點的個數；

⑶由⑵可知，要滿足題意，則ae(OJ),可得出+"伽T-4*+町-4=0,通過構造函

數，

判斷唯一性即可.

【小問1詳解】

_(Inx-DQ-x)

①當ajO.e)時，，門〕在(O.a)單調遞減，在9^1單調遞增，在任.小小單調遞減；

②當a=e時，/⑺在(。+8)單調遞減；

③當a>e時，一門”在(O.ei單調遞減，在'單調遞增，在(口,+