高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市2023-2024學年高二上學期1月期末教學質量抽測數學試題注意事項：1．本試卷滿分150分，考試用時120分鐘．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡的相應位置上．2．回答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，只將答題卡交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.直線在x軸上的截距為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】令，解得，顯然截距是.故選：B2.已知函數，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由題意，，故.故選：D3.已知數列滿足，若，則（）．A.4 B.3 C. D.2【答案】B【解析】由可得，所以，則是公比為的等比數列，所以，所以.故選：B.4.已知直線，，若，則它們的傾斜角為（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】因為，所以且，所以.兩直線的斜率為，所以傾斜角為.故選：C.5.在三棱錐中，，，分別為，，的中點，若，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】連結和，并交于點，點是和的中點，所以，以及，所以，即，所以，則.故選：D6.拋物線有如下光學性質：從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線上一點反射后，反射光線必過拋物線的焦點.已知拋物線,一束平行于x軸的光線,從點射入，經過C上一點A反射后﹐再經C上另一點B反射后，沿直線出，則線段AB的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由拋物線的光學性質可知，直線過拋物線的焦點，因為，所以令中，則，即，所以直線的方程為：，即，將直線的方程代入中，得，所以，所以.故選：C.7.已知直線與圓交于A，B兩點，且圓C在A，B兩點處的切線交于點M，若為正三角形，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為為正三角形，且均與圓相切，故，，由四邊形內角和為可得.又圓，圓心為，半徑為.故到直線的距離為.故，解得或（舍）.故選：C8.已知數列滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，當時，；當時，，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A：由于是常數，常數的導數是，即，錯誤；對于B：，正確；對于C：，正確；對于D：，正確；故選：BCD10.若平面內的動點Px,y滿足，則（）A.時，點的軌跡為圓B.時，點的軌跡為圓C.時，點的軌跡為橢圓D.時，點的軌跡為雙曲線【答案】ABD【解析】對于選項A，當時，由，得到，其表示動點到定點的距離為，由圓的定義知點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以選項A正確，對于選項B，當時，由，得到，整理得到，即，所以選項B正確，對于選項C，當時，由，得到，其表示動點到定點和的距離之和為，又兩定點，間的距離為，所以點的軌跡為線段上的點，故選項C錯誤，對于選項D，當時，由，得到，其表示動點到定點和的距離之差的絕對值為，又，由雙曲線的定義知，點的軌跡為雙曲線，故選：ABD.11.如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為，的中點，則（）A.平面B.平面C.平面平面D.直線與ED所成角的余弦值為【答案】AC【解析】因為三棱柱為直棱柱，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，設平面，，即，令，則，所以，設平面，，即，令，則，所以，對于A，，，平面，所以平面，故A正確；對于B，，因為，所以不垂直平面，故B錯誤；對于C，，所以平面平面，故C正確；對于D，，則，故直線與ED所成角的余弦值為，故D錯誤.故選：AC.12.已知雙曲線的右焦點為，右頂點為A，離心率為e，直線軸，且與C的左、右兩支分別交于P，Q兩點，О為坐標原點，則下列命題正確的是（）A.若，則C的虛軸長為B.若，則C.若存在l使，則D.若存在l使，則【答案】BCD【解析】由題意可得，，對于A，若，則，則，，所以C的虛軸長為，故A錯誤；對于B，由A可知，雙曲線，記雙曲線的左焦點為，連接，則易知四邊形為等腰梯形，所以，，故B正確；對于C，因為A為雙曲線的右頂點，則Aa,0設，因直線軸，所以，因為，所以，，即，因為在C:x2a2所以，即，所以，，所以，故C正確；對于D，記與軸的交點為，因為直線軸，所以，若存在l使，則是等腰直角三角形，所以，所以，易知雙曲線漸近線的斜率大于，所以，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在空間直角坐標系中,若點關于平面對稱的點為,則點P的坐標為________.【答案】【解析】由題意知，在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為，又，所以，解得，所以點P的坐標為.故答案為：.14.寫出經過坐標原點，且被圓截得的弦長為的直線的方程__________.【答案】或【解析】由題意可知圓心，半徑，顯然橫軸與圓相切，不妨設，由點到直線的距離公式可知C到l的距離為或，所以的方程為：或.故答案為：或.15.已知橢圓的上頂點為A，過點A的直線與C交于另一點B，則的最大值為__________．【答案】【解析】設，則，，又，所以，當且僅當時，取得最大值.所以的最大值為.故答案為：.16.若直線與曲線相切，也與曲線相切，則的斜率為__________．【答案】【解析】設直線切曲線于點，切曲線于點，由得，則直線的方程為，即；由可得，則直線的方程為，即，所以，，消去可得，即，可得，因此，直線的斜率為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等比數列中，，，，成等差數列．（1）求的通項公式；（2）令，求數列的前n項和．解：（1）設等比數列an的公比為q因為，，成等差數列，所以，又，所以，解得或（舍），所以an的通項公式為．（2）由（1）得，，所以bn為等差數列，所以．所以bn前n項和．18.如圖，在長方體中，，，M為的中點．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）以D為原點，以DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖空間直角坐標系，設，則，，，，，．因為，所以，即．（2）時，，由（1）知，，．設平面的法向量為n=x,y,z則，得，令，則，，所以為平面的一個法向量．設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知x軸平分的一個內角，，，的外接圓為圓M．（1）求面積；（2）證明圓與圓M相交，并求圓N與圓M的公共弦所在直線的方程．解：（1）由題意知x軸平分，所以，設，則，解得，所以，所以，所以為直角三角形，因為，，所以．即的面積為3．（2）由（1）知，所以M為AB的中點，半徑長為，所以圓M的方程為，半徑．將圓N的方程化為標準方程，得，所以圓心，半徑．所以．又，，所以，故圓N與圓M相交．因為，圓M的方程可化為，兩方程作差，得．所以圓N與圓M公共弦所在直線的方程為．20.已知數列與等差數列滿足，，數列的前n項和．（1）求的通項公式；（2）求的前n項和．解：（1）由題意知，時，，因為符合上式，所以，又，，所以，解得．因為bn是等差數列，所以公差，，所以bn的通項公式.（2）由（1）知，，所以．所以，①，②①－②得，所以，所以an的前n項和．21.圖1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF組成的一個平面圖形，其中，，，將直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分別沿AC，CB折起使得CD，CG重合，連接EF，如圖2.（1）求圖2中的點B到平面ACDE的距離；（2）證明圖2中的A，B，F，E四點共面，并求平面ABFE與平面ACDE夾角的余弦值.解：（1）由題意可知，圖2中，，又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF，在平面BCDF內，過D作于點H，則，又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，以C為原點，以CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，以過點C且與DH平行的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系，由題意可得，，，，，，，設平面ACDE的法向量為，則，得，令，則，，所以為平面ACDE的一個法向量，所以點B到平面ACDE的距離為，即點B到平面ACDE的距離為.（2）因為，所以圖2中的A，B，F，E四點共面，由（1）知，，，所以，設平面ABFE的法向量為，則，得，令，則，，所以為平面ABFE的一個法向量，又是平面ACDE的一個法向量，所以，即平面ABFE與平面ACDE夾角的余弦值為.22.已知橢圓的左、右焦點分別為，F，其中在拋物線的準線l上，過F的動直線m