【壓軸必刷】2023年中考數學壓軸大題之經典模型培優案

專題6截長補短模型

解題策略

模型：截長補短

ABCD

如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮

截長補短法.

截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB,再證明GF=CD即可.

EGF

②補短法：如圖③，延長AB至H點，使BH=CD,再證明AH=EF即

ABH

③

模型分析

截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關系.截長，指在長線端中截取一段等于己知的線段;補短,

指將一條短線端延長，延長部分等于已知線段.該類題目中常出現等腰三角形、角平分線等關鍵詞句，可以

采用截長補短法構造全等三角形來完成證明過程.

常見模型示例：如圖，已知在△ABC中，NC=2NB,N1=N2.求證：AB=AC+CD.

【例1】.(2022?江蘇徐州?模擬預測)(1)如圖1,在四邊形(BCD中,AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分

別是邊BC、CD上的點，且/以斤二號/胡。，線段EF、BE、尸。之間的關系是；(不需要證明)

(2)如圖2,在四邊形A8CD中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E、F分別是邊8C、上的點，且NEA尸

=1ZBAD,(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請證明.若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證

明.

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊8C、CD延長線上的點，且

ZEAF^ZBAD,(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請證明.若不成立，請寫出它們之間的數量關系，

并證明.

圖1圖2圖3

【答案】(1)EF=BE+FD；(2)(1)中的結論仍然成立，見解析；(3)結論不成立，EF=BE-FD,見解

析

【分析】(1)延長C2至G,BG=DF,連接AG,證明AABGg△ADR根據全等三角形的性質得到AG

=AF,ZBAG=ZDAF,再證明AGAE四△EIE,根據全等三角形的性質得出EP=EG,結合圖形計算，證

明結論；

(2)延長CB至使連接AM,仿照(1)的證明方法解答；

(3)在砂上截取凡連接AH,仿照(1)的證明方法解答.

【詳解】解：(1)EF=BE+FD,

理由如下：如圖1,延長C8至G,使BG=DF,連接AG,

在ZkABG和AA。尸中,

AB=AD

/-ABG=乙。=90°,

、BG=DF

：.^ABG^/\ADF(SAS),

：.AG=AFfZBAG=ZDAF,

NEAF=2-/BAD,

：.ZDAF+ZBAE=/EAF,

：.ZGAE=ZBAG+ZBAE=ZDAF+ZBAE=NEAF,

在ZiGAE和△陰石中，

(AG=AF

\^GAE=Z.FAE，

(AE=AE

AAGAE^AME(SAS),

:?EF=EG,

EG=BG+BE=BE+DF,

：?EF=BE+FD,

故答案為：EF=BE+FD；

(2)(1)中的結論仍然成立，

理由如下：如圖2,延長C8至M,使BM=DF,連接AM,

：1

M…/

圖2

VZABC+Z￡)=180°,ZABC+Z1=180°,

???N1=NO,

在和4A。尸中,

AB=AD

zl=Z.D,

、BM=DF

???△A3M2AADF(SAS),

：.AM=AF,Z3=Z2,

,：NEAF=)BAD,

???N2+N4=NEAR

???ZEAM=N3+N4=N2+N4=ZEAF,

在和△外石中，

AM=AF

^MAE=AFAE，

AE=AE

：.AAME^AME(SAS),

：.EF=EM,

'：EM=BM+BE=BE+DF,

：?EF=BE+FD；

(3)(1)中的結論不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如圖3,在班上截取3〃=。尸，連接AH,

同(2)中證法可得，△A3”也△ADR

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF,

：.ZHAE=ZFAE9

在^砌石中,

'AH=AF

Z.HAE=^FAE,

、AE=AE

(SAS),

??.EF=EH

■:EH=BE-BH=BE-DF,

：.EF=BE-FD.

【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，掌握三角形全等的性質與判定是解題的關鍵.

【例2】.(2022?安徽合肥?一模)已知：如圖1,AABC中，ZCAB=120°,AC=A5,點。是3。上一點，其

中/AOC=a(30°<ct<90°),將△AB。沿A。所在的直線折疊得到△AED,AE交CB于E連接CE

圖1圖2備用圖

(1)求NCDE與NAEC的度數(用含a的代數式表示)；

(2)如圖2,當a=45。時，解決以下問題：

①已知4。=2,求CE的值；

②證明：DC-DE=42AD-,

【答案】(l)NCDE=180°-2a,乙AEC=a

(2)①4；②見解析

【分析】(1)由折疊對應角相等與“雙蝴蝶型”相似可得;

(2)由a=45。求出NC4尸=90。，再由“蝴蝶型”相似求得;

(3)“截長補短”法：在BC上取一點〃，使得CH=OE.

(1)

-JAABD沿AD所在的直線折疊得到AAED,

：.ZADE=ZADB=\S0°-a,

：.NCDE=180°-2a；

VZCAB=120°,AC=AB,

：.ZACB=ZB=ZAED=30°,

"?ZDFE=ZAFC,

：.XDEfsXAFC,

：.DF-.AF=EF：CF,

NEFC=NAFD,

：.AAFD^ACFE,

/.XAEC=XADC=a,

故答案：180°-2a；a

(2)

①；a=45°,

ZDAF=ZDAB=15°,

：.ZCAF=90°,

：.AF：CF=1：2,

,/AAFD^ACFE,

：.AD：CE=AF：CF=1：2,

，CE=4,故答案：4；

②在BC上取一點H,使得CH=DE,

VAC^AE,ZACH=ZAED,

：.AACH^AADE,

：.AD=AH,ZDAE=ZCAH,

：./DAH=90°,

：.DH=y[2AD,

：.DC-ED=DC-CH=DH=y[2AD

【點睛】本題考查的是翻折變換的性質、全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定以及勾股定

理等知識；熟練掌握翻折變換和相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

【例3】.（2022.江蘇?八年級專題練習）在等邊三角形A8C的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N,P

為AABC外一點，且NMPN=60。，NBPC=120。,BP=CP.探究：當點M、N分別在直線AB、AC上移動

時，BM,NC,MN之間的數量關系.

N

(1)如圖①，當點M、N在邊AB、AC上，且時，試說明MN=BM+CN.

(2)如圖②，當點M、N在邊AB、AC上，且PM力PN時，MN=8M+CN還成立嗎？

答：.(請在空格內填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立").

(3)如圖③，當點M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，請直接寫出8M,NC,MN之間的數量關系.

【答案】(1)見解析

(2)一定成立

⑶MN=NC-BM

【分析】(1)根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理得到/P8C=N=30。，進而得到/尸

=90。，證明PBM^RtLPCN,得到N8PM=/CPN=30。，根據含30。角的直角三角形的性質證明結論；

(2)延長AC至X,使CH=BM,連接PH,證明△PBAfg/XPCH,得到ZBPM=ZCPH,再

證明△MPN出△HPN,得到A/N=HN,等量代換得到答案；

(3)在AC上截取CK=BM,連接PK,仿照(2)的方法得出結論.

(1)

證明：：△ABC為等邊三角形，

/ABC=NACB=60°,

VZBPC=120°,BP=CP,

：.ZPBC=ZPCB=-x(180°-120°)=30°,

2

JZPBM=ZPCN=90°,

在RtXPBM和RtLPCN中，

(PB=PC

(PM=PN'

:?RtMPBMQR於PCN(HL),

：.ZBPM=ZCPN=30°,

VZMPN=60°fPM=PN,

???△PMN為等邊三角形，

:?PM=PN=MN,

在M△尸3M中，ZBPM=30°,

：.BM=^PM,

同理可得，CN"PN,

:?BM+CN=MN.

(2)

解：一定成立，

理由如下：延長AC至〃，使CH=BM,連接PH,如圖所示,

由(1)可知：NPBM=NPCN=90。,

：.ZPCH=90°f

：.ZPBM=ZPCHf

在4尸創/和^PCH中,

BM=CH

Z.PBM=乙PCH,

、PB=PC

:?4PBM沿APCH(SAS),

:,PM=PH,/BPM=NCPH,

ZBPM+ZCPN=60°,

:?/CPN+/CPH=6U。,

：.NMPN=/HPN,

在△M/W和△HPN中，

'PM=PH

乙MPN=乙HPN,

、PN=PN

：.AMPN^AHPN(SAS),

:.MN=HN=BM+CN,

故答案為：一定成立.

(3)

解：在AC上截取CK=5M,連接PK,如圖所示,

N

在小尸2時和小PCK中,

PB=PC

Z.PBM=乙PCK=90°,

、BM=CK

:?4PBM沿APCK(SAS),

:?PM=PK,ZBPM=ZCPK9

???NBPM+NBPN=6。。,

：.ZCPK+ZBPN=60°,

:?/KPN=60。,

：.ZMPN=/KPN,

在△MPN和△KPN中，

'PM=PK

乙MPN=乙KPN,

、PN=PN

：.^XMPN^AKPN(SAS),

:?MN=KN,

?；KN=NC-CK=NC-BM,

：.MN=NC-BM.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質

定理是解題的關鍵.

【例4】(2022.江蘇.八年級課時練習)如圖，在銳角△ABC中，乙4=60。，點、D,E分別是邊48,ZC上一動

點，連接BE交直線CD于點工

(1)如圖1,^AB>AC,且=乙BCD=^CBE,求NCFE的度數；

(2)如圖2,^AB=AC,且在平面內將線段AC繞點C順時針方向旋轉60。得到線段CM,連接MF,

點N是MF的中點，連接CN.在點。，E運動過程中，猜想線段BF,CF,CN之間存在的數量關系，并證明你

的猜想.

【答案】(l)NEFC=60°

Q)BF+CF=2CN,證明見解析

【分析】(1)在射線CD上取一點K,使得CK=BE,證明ACBE三ABCK,=/LBKD=^BDK=

^ADF,然后根據四邊形內角和定理及鄰補角的性質得出答案；

(2)證明△ABE三△BCD,求出NBFC=120。，倍長CN至Q,連接FQ,PQ,證明ACNM三△QMF,求出

FQ=CM=BC,在b上截取連接8P,易得APBF為正三角形，然后求出NPFQ=NPBC,證

XPFQ三&PBC,可得PQ=PC,NQPF=NCPB=60。,則可得△PCQ為正三角形，然后由BF+CF=PF+

CF=PC=QC=2CN得出結論.

(1)解：如圖1,在射線CD上取一點K,使得CK=BE,;乙BCD=Z.CBE,BC=BC,

：.4CBEmABCK(SAS),：.BK=CE=BD,，乙CEB=cBKD=ABDK=KADF,：.^ADF+^AEF=

^AEF+ZCEF=180°,：,AA+ADFE=180°,?.24=60°,：,ADFE=120°,AzCFF=60°；

⑵BF+CF=2CN,證明：NA=60。，.'.△ABC是正三角形，；.AB=BC=AC,ZA=ZDBC

=60°,又=AE,：.LABE三4BCDISAS),：.4BCF=Z.ABE,：./.FBC+A.BCF=60°,J./-BFC=120°,

倍長CN至Q,連接FQ,PQ,

圖2

,:CN=QN,ZQNF=ZCNM,NF=NM,：.△CNMSAQNF(SAS),:.FQ=CM,ZQFN=ZCMN,由

旋轉的性質得AC=CM,=CM=BC,在CF上截取FP=FB,連接BP,：NBFC=120。，."B"=60°,

△P8F為正三角形，；.NBPF=6Q°,4PBC+乙PCB=4PCB+Z.FCM=120°,C.Z.FCM=乙PBC,,:/QFN

=ZCMN,：.FQ//CM,：.Z.PFQ=乙FCM,：.乙PFQ=乙PBC,又,：PB=PF,FQ=BC.".APFQ=△PBCQSAS),

：.PQ=PC,NQPE=/CPB=60°,；.△PCQ為正三角形，+CF=PF+CF=PC=QC=2CN,即BF+

CF=2CN.

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質,全等三角形的判定和性質，解題的關

鍵是正確尋找全等三角形解決問題，利用全等三角形轉換線段和角的關系從而解決問題，屬于壓軸題.

培優訓練

X,_______________________________________Z

一、解答題

1.(2022?福建三明?九年級期末)在菱形ABC。中，NB4D=60。，點E,E分別在邊AB,上，且AE=

DF,BF與DE交于點G.

圖①圖②

(1)如圖①，連接求證：AADE咨ADBF；

(2)如圖②，連接CG.求證：BG+DG^CG.

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

【分析】(1)根據菱形的四條邊相等以及全等三角形的判定得出4。=。8,/-DAE=^BDF=60°,再由AE

利用邊角邊即可判定△ADESADBF；

(2)延長1至點"，使HG=￡>G,連接印入BD,如圖(見詳解)，由第一問可知△40E三△。8尸，4BDC

和△力BD都是等邊三角形，由全等的性質以及三角形的內角和定理得出ADGF=/.DAE=60。,可證△HGD是

等邊三角形，得到HD=GD,利用角的等量代換，通過邊角邊的判定定理即可證明AHB。三△GCD,得到

BH=CG,利用線段的等量代換即可證明BG+DG=CG.

(1)

證明：：四邊形ABC。是菱形，^BAD=60°,且A￡=D尸，

?1.△4BD是等邊三角形.

AD=DB

在AADE和AOBF中，\/LDAE=^BDF=60°,

AE=DF

：.△ADE=△DBF(SAS).

(2)

證明：延長BP至點H,使HG=DG,連接“￡＞、BD,如圖②所示,

由(1)可知△力DE三ADBF,ABDC是等邊三角形，

：.^AED=ADFG,S.AADE=AGDF,

"DGF=/.DAE=60°.

又,：HG=DG,

...△HGD是等邊三角形，

：.HD=GD.

■:4HDG=LBDC=60°,

:.乙HDG+乙BDG=乙BDC+乙BDG,

即NHD8=Z.GDC.

-BD=CD

在AHBO和AGCO中，\z-HDB=/.GDC,

.HD=GD

：.△HBD=△GCD(SAS),

：.BH=CG.

；BH=BG+HG=BG+DG,

：.BG+DG=CG.

【點睛】本題是一道幾何綜合，考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，

熟練掌握各判定定理和性質定理，并能夠利用截長補短的輔助線添加方法作出輔助線構造出全等三角形，

從而將要證明的線段進行轉化是解題的關鍵.

2.（2022.全國?八年級專題練習）如圖，在四邊形A8CD中，48=AD,NB+乙4￡＞。=180。，點￡、尸分別在

直線8C、CD上，5.ZFXF-jzBXD.

圖1

(1)當點E、/分別在邊BC、CD上時(如圖1),請說明EF=BE+FD的理由.

(2)當點E、/分別在邊BC、CD延長線上時(如圖2),(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請說明理由；

若不成立，請寫出EF、BE、FD之間的數量關系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)不成立，EF=BE—FD,見解析

【分析】(1)延長EB至G,使BG=OF,連接AG,通過證明△ABG絲ZvlOF,△EAG<AEAF可得GE=

EF,進而可說明匹=BE+DP；

(2)在BE上截取連接AM,通過證明△凡△AME咨AAFE可得ME=EF,進而可

得EF=BE-FD.

(1)

EF=BE+DF,

理由：延長E8至G,使8G=O憶連接AG,

圖1

ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABG=180°,

：.ZADC=ZABG,

在△A2G和△A￡)/中,

ABAD

/.ABG=Z.ADF,

BG=DF

：.ZXABG絲￡\ADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

,/ZEAF=-2ZBAD,

：.NBAE+/DAF=NBAE+NBAG=ZEAFf

即NE4G=NE4F

在^￡46和4E4尸中，

'AG=AF

/-EAG=^LEAF，

、AE=AE

：.AEAG^AEAF(SAS),

：.GE=EF,

：.EF=BE+DF；

(2)

(1)中結論不成立，EF=BE-FD,

在BE上截取5M=OR連接AM,

E

???ZABC+ZADC=180°,ZADC+ZADF=180°,

???ZABC=ZADFf

在△ABM和△AO/中，

'AB=AD

2LABM=Z.ADF，

、BM=DF

：.AABM^AADF(SAS),

：.AM=AFfZBAM=ZDAFf

「ZBAM+ZMAD=ZDAF+ZMAD,

：.ZBAD=ZMAFf

,/ZEAF=-ZBAD,

2

1

，ZEAF=-ZMAF,

2

，NEAF=ZEAM,

在△AME和△APE中，

-AM=AF

AEAM=2LEAF,

.AE=AE

：.AAME^AAFE(SAS),

：.ME=EF,

：.ME=BE-BM=BE-DF,

；.EF=BE-FD.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線證明相關三角形全等是解題的關鍵.

3.(2021?重慶市實驗學校八年級期中)如圖，已知口ABC，AE平分NBAD,交DC于E,DF±BC^F,

交AE于G,且。尸=40.

⑴若NC=60。,AB=2,求EC的長;

(2)求證：AB=DG+FC.

【答案】⑴2—V3;

(2)見解析

【分析】(1)先由NC=60。，在RtADFC中，求得4D=DF=W，由4E平分NB4D,貝IJNBAE=ND4E,

由4B||CD,貝！UB4E=Z.DEA,從而有ACME=^DEA,得出DE=DA,再根據EC=DC-DE即可求得；

(2)延長FD至M,使DM=FC,連接AM,根據全等三角形的判定和性質可得△力DM三△DFC,ADAM=

/.FDC,AM=DC,結合(1)中結論及利用外角的性質得出ZM4G=Z.MGA,根據等角對等邊得出AM=MG,

由此即可證明.

(1)

解：???在EL4BCD中，AB=DC=2,4C=60°,DF1BC,

：.^FDC30°,

：.FC=-CD=1,

2

在Rt△DFC中，

DF=y/CD2—FC2=V22—l2=V3>

DF=AD.

???AD—DF=V3?

*MB||CD,AE平分NBZO,

???Z-BAE=Z-AED,乙DAE=Z.BAE,

???Z-DAE=Z.AED,

AD=DE=V3

??.EC=DC-DE=2-小

(2)

證明：如圖所示：延長尸。至M,連接/M,使OM=FC,

在AZOM和AOFC中，

AD=DF

[^ADM=Z.DFC=90°

DM=FC

.*.△ADM=△DFC,

^DAM=AFDCfAM=DC,

由(1)可得：

???Z-DAE=Z.AED,

???^DAE+^DAM=AAED+乙FDC,即NM/G=^MGA,

??.AM=MG,

即DC=DG+FC.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，平行線的性質等，理解題

意，作出輔助線，由補短法構造全等三角形是解題關鍵.

4.（2022?全國?八年級課時練習）（1）閱讀理解：問題：如圖1,在四邊形ABCD中，對角線平分N4BC,

ZX+ZC=180°.求證：DA=DC.

思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題.

方法1：在BC上截取=連接DM,得到全等三角形，進而解決問題；

方法2：延長82到點N,使得BN=BC,連接DN,得到全等三角形，進而解決問題.

結合圖1,在方法1和方法2中佳竣：型，添加輔助線并完成證明.

（2）問題解決：如圖2,在（1）的條件下，連接力C,當乙口4c=60。時，探究線段AB,BC,BD之間的數

量關系，并說明理由；

（3）問題拓展：如圖3,在四邊形力BCD中，入4+NC=180°,DA=DC,過點。作DE1BC,垂足為點E,

請直接寫出線段4B、CE、8C之間的數量關系.

圖1圖3

【答案】（1）證明見解析；（2）AB+BC=BD；理由見解析；（3）BC-AB=2CE.

【分析】（1）方法1：在BC上截取=連接DM,得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長B4到

點.N,使得BN=BC,連接DN,得到全等三角形，進而解決問題；

（2）延長CB到點P,使BP=BA,連接4P,證明APAC=/\BAD,可得PC=BD,即PCBP+BCAB+BC

（3）連接BD,過點D作DF1AC于尸，證明ADFA=ADEC,RQBDF=Rt^BDE,進而根據BC=BE+CE=

BA+2F+CE=84+2CE即可得出結論.

【詳解】解：（1）方法1：在BC上截BM=B4,連接DM,如圖.

???8。平分N4BC,

Z.ABD=Z-CBD.

(BD=BD

在AABO和AMBO中，｛乙ABD=乙MBD,

(BA=BM

???HABD=AMBD,

???Z.A=乙BMD,AD=MD.

???乙BMD+Z-CMD=180°,NC+4/=180°.

Z.C=Z-CMD.

??.DM=DC,

DA=DC.

圖1

方法2：延長B4到點N,使得BN=BC,連接￡>N,如圖.

圖1

???80平分28C,

.-.乙NBD=4CBD.

'BD=BD

在ANBD和ACBD中，\^NBD=/.CBD,

.BN=BC

???XNBD=^CBD.

???乙BND=ZC,ND=CD.

???乙NAD+Z.BAD=180°,

ZC+/.BAD=180°.

???乙BND=Z.NAD,

DN=DA,

DA=DC,

（2）AB,BC、8。之間的數量關系為：AB+BC=BD.

（或者：BD-CB=AB,BD-AB=CB）.

延長CB到點P,使BP=84,連接4P,如圖2所示.

圖2

由（1）可知4。=CD,

???乙DAC=60°.

???A/OC為等邊三角形.

/.AC=AD,/.ADC=60°.

???乙BCD+乙BAD=180°,

.??^ABC=360°-180°-60°=120°.

??.Z.PBA=180°―/.ABC=60°.

BP=BA,

.?.AZBP為等邊三角形.

??.Z.PAB=60°,AB=AP.

???Z-DAC=60°,

???Z-PAB+Z.BAC=Z.DAC+Z-BAC,

BPzPXC=乙BAD.

'PA=BA

在AP/C和ABAD中，\^PAC=乙BAD,

.AC=AD

??.LPAC=LBAD.

??.PC=BD,

???PC=BP+BC=AB+BC,

AB4-BC=BD.

(3)AB,CE,BC之間的數量關系為：BC-AB=2CE.

(或者：BC-2CE=AB,AB+2CE=BC)

解：連接BD,過點。作DF14C于F,如圖3所示.

???乙BAD+ZC=180°,/-BAD+Z.FAD=180°.

???乙FAD=zC.

2DFA=乙DEC

在ADFA和ADEC中，z,FAD=Zf,

、DA=DC

ADFA=ADEC,

DF=DE,AF=CE.

在下17\8。尸和Rt/\8DE中,

(BD=BD

IDF=DE'

???RQBDF=已aDE.

BF=BE,

??.BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,

BC-BA=2CE.

【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，正確的添加輔助線是解題的關鍵.

5.（2022?全國?八年級課時練習）閱讀下面材料:

【原題呈現】如圖1,在AABC中，ZA=2ZB,CZ）平分NACB,AD=2.2,AC=3.6,求的長.

【思考引導】因為CQ平分/ACB,所以可在BC邊上取點E,使EC=AC,連接DE.這樣很容易得到

△DECADAC,經過推理能使問題得到解決（如圖2）.

【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現中的問題;

（2）拓展提升：如圖3,已知AABC中，AB=AC,ZA=20°,8。平分NA8C,30=2.3,BC=2.求A。

的長.

圖2圖3

【答案】⑴5.8；（2）4.3

【分析】（1）由已知條件和輔助線的作法，證得咨△ECD,得到4。=。區ZA^ZDEC,由于NA

=2/2,推出/。口7=2/2,等量代換得到/2=/石。8,得到△2DE是等腰三角形，得出AC=CE=3.6,

DE=BE=2.2,相加可得BC的長;

（2）在BA邊上取點E,使8E=BC=2,連接。E,得到△DEBgZYDBC（&4S）,在D4邊上取點孔使。尸

DB,連接得到即可推出結論.

【詳解】解：（1）如圖2,在BC邊上取點￡,使EC=AC,連接DE.

在AACO與AECO中,

-AC=CE

Z.ACD=乙ECD,

.CD=CD

/.AACD^/^ECD(SAS),

：.AD=DE,ZA=ZDEC,

：./DEC=2/B,

:?/B=/EDB,

???△5。石是等腰三角形；

：.BE=DE=AD=22,AC=EC=3.6,

???8C的長為5.8；

(2):△ABC中，AB=AC9ZA=20°,

???ZABC=ZC=80°,

?「BO平分N3,

???N1=N2=4O。，ZBDC=60°,

在84邊上取點￡,使BE=BC=2,連接Q￡,

A

圖3

在△OEB和△O3C中，

BE=BC

zl=z2,

BD=BD

:?△DEBmdDBC(SAS),

；?NBED=/C=80。,

???Z4=60°,

，N3=60。，

在DA邊上取點凡使DF=DB,連接耳￡,

同理可得△5DE之AFDEf

???N5=N1=4O。，BE=EF=2,

VNA=20。，

???N6=20。，

：.AF=EF=2f

?:BD=DF=2.3,

：.AD=BD+BC=43.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，熟悉這些定理是解決本題的關鍵.

6.（2021?北京?清華附中九年級階段練習）已知NMON=a（0。＜a＜180。），A為射線ON上一定點，B為射

線。M上動點（不與點。重合）連接4B,取4B的中點C,連接OC.在射線8M上取一點。，使得BD=。力.

（1）若a=60°,

①如圖1,當/員4。=60。時，在圖1中補全圖形，并寫出年的值；

AD

②如圖2,當NBA。＜60。時，猜想器的值是否為定值.若是，求出該定值；若不是，說明理由；

AD

（2）如圖3,若a=90。,。。14。，直接寫出器的值.

【答案】⑴明,騎=”2）器=等.

【分析】（1）①由已知可判定△力。B是等邊三角形，△04D是含30。的直角三角形，由此利用解直角三角形

用04表示出OC、AD即可求解；

②延長OB至1]G,使OG=OB,構造等邊三角形40P,延長02至UG,使OG=OB,構造中位線OC和A4PG=

△力。￡?,全等三角形性質和中位線性質即可得出結論；

（2）根據直角三角形中線和已知垂直條件證明△OBA~AODA,由邊長關系求出相似比即可解答.

【詳解】解：⑴①補圖如下，n，

圖1

求解過程：9：Z-BAO=60°,乙MON=a=60°,

是等邊三角形，

AOA=OB=AB,/.OBA=60°,

?；BD=OA,

；?BD=AB,

：./-BDA=4BAD=-/.ABO=30°,

2

：.^OAD=90°,

,,tunZ-ODA=tan30°=———>

AD—3

^-AD=>/3OA,

'：BC=AC,△4。8是等邊三角形，

：./-AOC=30°,/LACO=90°,

?"?OC=OA-COSZAOC=?OA,

...空_沏=匕

AD=y[3OA2

②如圖，在OM上取一點P,使。尸二。4,

**?△ZOP是等邊二角形，

AOA=OP=AP,Z,OPA=60°,

延長05至UG,使OG=OB,

,:PG=OG+OP,OA=BD=OP,

：?PG=OB+BD=OD,

在aAPG和△4。。中,

AP=OA

^APG=^AOD,

、PG=OD

：.^APG=LAOD(SAS),

:.AG=AD9

?：OG=OB,CA=CB,

：.0C=-AG,

2

.?.OC豺G_i.

AD=AG-2'

(2)

AD=2

過程如下：如圖，

??"MON=a=90。，0clzO,

：.^AOC+/.HOD=90°,^ODA+ZHOD=90°,

：.Z-ODA=AAOC,

?:乙MON=a=90°,BC=CA,

1

：.BC=CA_OC=-AB,

—2

：./.OAC=^AOC,

：.Z.OAC=Z.ODA,

??△OBA—△ODA?

,OBOAAB

*9OA=OD=ADf

?nOBOAAB1/八、八

~——；——；——(771>0),OB=CL9

OA—OD—AD—m

OA=BD=ma,OD=m2a,

'?a+ma=m2a,

解得：山=上空（不合題意舍去），m=

22

.0C_AB1_痘T

**AD—2AD=2m~2

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的性質

和判定、解直角三角形、三角形的中線和中位線性質等知識，解題的關鍵是正確構造全等三角形解決問題，

學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

7.（2022?全國?八年級課時練習）如圖，AABC為等邊三角形，直線/過點C,在/上位于C點右側的點。

滿足N2OC=60。

（1）如圖1,在/上位于C點左側取一點E,使NAEC=60。，求證：AAECm乙CDB；

（2）如圖2,點、F、G在直線/上，連AF,在/上方作NAF”=120。，S.AF=HF,NHGF=120°,求證:

HG+BD=CF；

（3）在（2）的條件下，當A、8位于直線/兩側，其余條件不變時（如圖3）,線段HG、CF、8。的數量

關系為

GFCD

圖2

圖3

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CF=EF-BD.

【分析】（1）先證明NACANCM,即可利用A4S證明AAEC絲&

（2）在直線/上位于C點左側去一點E,使得NAEC=60。，連接AE,由（1）可知△AE8ACDB,CE=BD,

然后證明4曲E烏△HPG得至I]GH=EF,貝I]CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；

（3）在直線/上位于C點右側取一點E使得/AE￡）=60。，連接AE,在直線/上位于O點左側取一點M使

得BM=BD,設AB與直線/交于N,先證明△8ZW是等邊三角形，得到NDBM=NQMB=60。，然后證明

ZACE=ZABD=ZCBM,即可利用A4s證明△AEgACMB得至I]CE=BM=BD；最后證明小AEF沿AFGH

得至UHG=EF,則EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD.

【詳解】解：(1);△ABC是等邊三角形，

：.AC=BC,NACB=60。,

JZACE+ZBCD=180°-ZACB=120°,

???NBDC=60。,

???ZBCD+ZCBD=180°-ZBDC=120°,

ZACE=ZCBD9

在△4￡。和4CZ)8中，

乙ACE=ZLCBD

^AEC=ZCDB=6Q°,

AC=CB~

：.AAEC^ACDB(AAS)

圖1

(2)如圖所示，在直線/上位于C點左側取一點E,使得NAEC=60。，連接AE,

由(1)可知△AEC絲△C03,

???CE=BD,

ZACE=60°,

???ZAEF=120°,

ZAEF=ZAFH=120°,

：.ZAFE+ZFAE=180°-ZAEF=60°,ZAFE+ZHFG=180°-ZAF/7=60°,

ZFAE=ZHFG,

在^曲石和4“尸G中，

乙FAE=Z.HFG

/-AEF=乙FGH=120°,

AF=FH

:?叢FAE"叢HFG(A4S),

：.GH=EF,

：.CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；

圖2

(3)如圖所示，在直線/上位于C點右側取一點石使得NA皮＞=60。，連接AE,在直線/上位于。點左側取

一點M使得設A3與直線/交于N

VZBDC=60°,BM=BD,

是等邊三角形，

???ZDBM=ZDMB=60°,

???三角形ABC是等邊三角形，

AZABC=ZBAC=60°,AC=BC

：.ZABM+ZCBM=ZABM+AABD,

，NABD=NCBM,

*：ZBAC=ZBDC=60°,NANE=/DNB,

：.ZACE=ZABD=ZCBM,

???ZCMB=180°-ZDMB=120°,ZAEC=180°-ZAED=120°,

JZCMB=ZAECf

在△人石。和4CM3中，

/.ACE=乙CBM

^AEC=(CMB=120°，

AC=CB

：.AAEC^ACMB(AAS),

???CE=BM=BD；

,?ZAFH=120°,

：.ZAFC+ZGFH=60°,

?.?ZGFH+ZFHG=180°-ZHGF=60°,

JZAFC=ZFHG,

在△人石尸和4尸GH中，

^AFE=Z.FHG

^AEF=Z.FGH=120°,

AF=FH

：.AAEF^AFGH(AAS),

：.HG=EF,

：.EF=CE+CF=CF+BDBPCF=EF-BD.

故答案為：CF=EF-BD.

圖3

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，三角形內角和定理，解題

的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質與判定條件.

8.(2022?全國?八年級課時練習)在AZBC中，BE,CO為△2BC的角平分線，BE,CD交于點F.

(1)求證：4BFC=90°+|44

(2)己知乙4=60°.

①如圖1,若BD=4,BC=6.5,求CE的長；

②如圖2,若=求乙4E8的大小.

【答案】(1)證明見解析；(2)2.5；(3)100°.

【分析】(1)由三角形內角和定理和角平分線得出NFBC+NFC8=90。一［乙4的度數，再由三角形內角和

定理可求出NBFC的度數，

(2)在BC上取一點G使BG=BD,BFGaABFD(SAS),再證明AfEC=AFGCQASA),即可得BC=

BD+CE,由此求出答案；

(3)延長BA至！JP,使AP=FC,構造△BFCWAC4P(SAS),得PC=BC,zP=zFCF=|z4CB,再由三

角形內角和可求乙4BC=40°,乙4cB=80°,進而可得乙4EB=180°-{/.ABE+乙4)=100°.

【詳解】解：(1)「BE、CD分另ij是4ABe與"CB的角平分線,

11

乙FBC+乙FCB=j(180°-44)=90。一

???Z.BFC=180°-(4FBC+乙FCB)=180°-(90°-泊)，

4BFC=90°+L,

2

(2)如解(2)圖，在BC上取一點G使BG二BD,

由(1)得43FC=90。+[44,

???ABAC=60°,

???Z.BFC=120°,

/.Z.BFD=Z.EFC=180°-乙BFC=60°,

在ABFG與中，

BF=BF

乙FBG=乙FBD,

.BD=BG

：.△BFGBFD(SAS)

/./-BFD=乙BFG,

:?乙BFD=乙BFG=60°,

"CFG=120°-乙BFG=60°,

:?乙CFG=Z.CFE=60°

在△FEC與△FGC中，

(Z.CFE=(CFG

]CF=CF,

\Z-ECF=Z.GCF

??.△FECFGC(ASZ),

???CE=CG,

BC=BG+CGf

BC=BD+CE；

?；BD=4,BC=6.5,

ACE=2.5

(3)如解(3)圖，延長BA到P,使AP二FC,

解(3)圖

??.ABAC=60°,

：.^PAC=180°-Z-BAC=120°,

在48尸C與AG4P中，

BF=AC

乙BFC=^CAP=120°，

、CF=PA

?MBFC*CAP(SAS)

?"P=乙BCF,BC=PC,

：.LP=/.ABC,

又,：(P=ABCF=^ACB,

J.Z.ACB=2(ABC,

又LACB+乙ABC+乙4=180°,

：.3^ABC+60°=180°,

：.Z-ABC=40°,Z.ACB=80°,

：./-ABE=^ABC=20°,AAEB=180°-{Z.ABE+^A)=180°-(20°+60°)=100°

【點睛】本題考查的是角平分線的性質、全等三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三

角形是解答此題的關鍵.

9.(2022?江蘇?八年級課時練習)在△ABC中，為△ABC的角平分線，點E是直線BC上的動點.

(1)如圖1,當點E在的延長線上時，連接AE,若/￡=48。,4￡=4。=":，則乙48(7的度數為.

(2)如圖2,AOA8,點P在線段A。延長線上，比較AC+BP與A8+CP之間的大小關系，并證明.

(3)連接AE,若NZME=90。，ZBAC=24°,且滿足A2+AC=EC,請求出NACB的度數(要求：畫圖,

寫思路，求出度數).

【答案】(1)108°；(2)AC+BP>AB+PC,見解析；(3)44。或104。；詳見解析.

【分析】(1)根據等邊對等角，可得NE=N4DE,Z.DAC=ZC,再根據三角形外角的性質求出

O

ZX￡)￡,=2ZDXC=48,由止匕即可解題；

(2)在AC邊上取一點M使構造AABP^AAMP,根據MP+MC>PC即可得出答案；

(3)畫出圖形，根據點E的位置分四種情況，當點E在射線CB延長線上，延長CA到G,使AG=AB,可

得GC=EC,可得NG=4GEC,設N4CB=2%,貝UNG=NGEC=90°—X；根據NBAC=24。，為AABC的

角平分線，可得=12°,可證△力GEBAABE(SAS),得出N4BE=NG=90°—x,禾!J用還有

/.ABE=24°+2x,列方程90。—x=24。+2%；當點E在80上時，ZEAD<90°,不成立；當點E在C。

上時，NEA￡><90。,不成立；當點E在2C延長線上，延長CA到G,使AG=A2,可得GC=EC,得出NG=乙GEC,

設44。8=2刀，貝1UG=NGEC=X；NBAC=24。，根據AO為AABC的角平分線，得出=12。，

證明△4GEWA4BE(SAS),得出N4BE=NG=X,利用三角形內角和列方程x+24。+2x=180。，解方程

即可.

【詳解】解：(1)'：AE=AD^DC,

/-E=/.ADE,Z.DAC=Z.C,

VzE=48°,^ADE=2LDAC+zC,

：.^ADE=2^DAC=48°,

：A￡)為"BC的角平分線，^/.BAC^DAC,

/.^BAC=48°；

:?乙ABC=180°-48°-24°=108°

(2)如圖2,

在AC邊上取一點M使連接MP,

在和中，

(AB=AM

\^BAP=^MAP,

(AP=AP

：.LABP=^AMP(SAS),

：.BP=MP,

VMP+MC>PC,MC=AC-AM,

：.AC-AB+BP>PC,

：.AC+BP>AB-^PC；

(3)如圖，點E在射線CB延長線上，延長C4到G,使AG=AB,

*：AB+AC=EC,

：.AG+AC=ECf即GC=EC,

Z-G=Z-GEC,

設NZCB=2%,貝IJ4G=Z(7EC=9O°-%；

又NA4c=24。，AO為△ABC的角平分線，

/.Z.BAD=^DAC=12°,

又???NOZE=90。，

A^BAE=90°-4BAD=78%/-GAE=90°-Z,DAC=78°,

A^BAE^/-GAE,

在△ZGE和△ZBE中,

'AE=AE

Z.GAE=Z-BAE