《一次方程與方程組》全章復習與鞏固（基礎）知識講解撰稿：吳婷婷審稿：常春芳【學習目標】1．理解方程，等式及一元一次方程、二元一次方程組的概念，并掌握它們的區別和聯系；2．會解一元一次方程及二元一次方程組，并理解每步變形的依據；3．會根據實際問題列方程或方程組解應用題．【知識網絡】【要點梳理】要點一、方程及方程組的相關概念1．方程：含有未知數的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一個未知數（元），未知數的次數都是1，且等式兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程．3．二元一次方程：方程中含有兩個未知數，并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．要點詮釋：（1）在方程中“元”是指未知數，“一元”就是指方程中只含有一個未知數；“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數．（2）無論是一元一次方程還是二元一次方程，未知數的次數都為1，是指含有未知數的項（單項式）的次數是1．（3）未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數，二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式．4．二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解．要點詮釋：二元一次方程的每一個解，都是一對數值，而不是一個數值，一般要用大括號聯立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式．5．二元一次方程組：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數．例如，二元一次方程組．6．二元一次方程組的解：使二元一次方程組中每個方程都成立的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解．要點詮釋：（1）方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解．（2）方程組的解要用大括號聯立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數個．7．三元一次方程組：由三個一次方程組成的含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組．要點詮釋：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數，它們就能組成一個三元一次方程組．要點二、等式的性質1．等式的概念：用符號“=”來表示相等關系的式子叫做等式．2．等式的性質：等式的性質1：等式兩邊加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式，即：如果，那么

等式的性質2：等式的兩邊都乘同或除以同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式，即：如果，那么；．等式的性質3：如果，那么．（對稱性）等式的性質4：如果，，那么．（傳遞性）要點詮釋：（1）根據等式的性質，對等式進行變形，等式兩邊必須同時進行完全相同的變形；（2）等式性質1中，強調的是整式，如果在等式兩邊同加的不是整式，那么變形后的等式不一定成立，如x＝0中，兩邊加上得x＋，這個等式不成立；（3）等式的性質4中一個量用與它相等的量代替，簡稱等量代換．3．移項：在解方程的過程中，等號的兩邊加上（或減去）方程中某一項的變形過程，相當于把方程中某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊．這種變形過程叫做移項．要點詮釋：移項通常是指把含有未知數的項移到方程的一邊，其他項移到方程的另一邊，但無論是移含有未知數的項還是其他項都要改變符號，然后再進行移項．要點三、方程及方程組的解法1．解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數．(2)去括號：依據乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．(3)移項：把含有未知數的項移到方程一邊，常數項移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數的項及常數項，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．2．解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解．要點詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法．如將某個未知數連同它的系數作為一個整體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法．整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率．（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；②根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；④把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；⑤將兩個未知數的值用“”聯立在一起即可．要點詮釋：當方程組中有一個未知數的系數的絕對值相等或同一個未知數的系數成整數倍時，用加減消元法較簡單．3．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應利用代入法或加減法消去一個未知數，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數，最后再求出另一個未知數．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值；（3）將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數的值；（5）將求得的三個未知數的值用“{”合寫在一起．要點四、方程及方程組的應用1．常見類型：行程問題：路程＝速度×時間和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數數字問題：多位數的表示方法：例如：2．實際問題與二元一次方程組要點詮釋：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組．【典型例題】類型一、方程及方程組的相關概念1．下列方程中，哪些是一元一次方程?哪些不是?(1)；(2)2x+y＝5；(3)x2-5x+6＝0；(4)；(5)．【思路點撥】若一個整式方程經過化簡變形后，只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1，系數不為0，則這個方程是一元一次方程．【答案】(1)、(5)是一元一次方程．因為它們或等價變形后是只含有一個未知數、并且未知數的次數是1的方程；(2)、(3)、(4)都不是一元一次方程，因為(2)中含有兩個未知數；(3)中未知數的最高次數是2；(4)中分母含有未知數，它不是整式方程．【解析】判斷一個方程是不是一元一次方程，有時需要對方程進行等價變形后再判斷．例如：，可化為：，所以是一元一次方程．【總結升華】凡是分母中含有未知數的方程一定不是一元一次方程．舉一反三：【變式】若方程3(x-1)+8＝2x+3與方程的解相同，求k的值．【答案】解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．將x＝-2代入方程中，得．解這個關于k的方程，得．所以，k的值是．2．下列方程組中，不是二元一次方程組的是（）．A．B．C．D．【思路點撥】利用二元一次方程組的定義一一進行判斷．【答案】B．【解析】二元一次方程組中只含有兩個未知數，并且含有未知數的次數都是1，方程組中，可以整理為．【總結升華】準確理解二元一次方程組和二元一次方程的定義是解本題的關鍵．舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節復習\o"查看資源信息"409413例1（2）】【變式】若是二元一次方程，則a=，b=．【答案】1,0．類型二、方程及方程組的解法3．解方程【思路點撥】通過方程的同解原理(去分母，去括號，合并同類項，系數化為1)，一步一步將一個復雜的方程轉化成與它同解的最簡的方程，從而達到求解的目的．【答案與解析】解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12去括號，得3y+6-6+10y＝12合并同類項，得13y＝12未知數的系數化為1，得【總結升華】轉化思想是初中數學中一種常見的思想方法，它能將復雜的問題轉化為簡單的問題，將生疏的問題轉化為熟悉的問題，將未知轉化為已知．事實上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，將復雜的方程轉化為簡單的方程直至求出它的解．舉一反三：【變式】解方程：.【答案】解：把方程可化為：，再去分母得：解得：4.解方程|x-2|＝3．【答案與解析】解：當x-2≥0時，原方程可化為x-2＝3，得x＝5．當x-2＜0時，原方程可化為-(x-2)＝3，得x＝-1．所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．【總結升華】如圖所示，可以看出點-1與5到點2的距離均為3，所以|x-2|＝3的意義為在數軸上到點2的距離等于3的點對應的數，即方程|x-2|＝3的解為x＝-1和x＝5．5．解方程組【思路點撥】由于本題結構比較復雜，不能直接消元，應先將方程組化為一般形式，再看如何消元，即用加減或代入消元法．【答案與解析】解：將原方程組化簡得①－②得：-3y＝3，得y＝-1，將y＝-1代入①中，x＝9-5＝4．故原方程組的解為．【總結升華】消元法是解方程組的基本方法，消元的目的是把多元一次方程組逐步轉化為一元一次方程，從而使問題獲解．舉一反三：【變式】解方程組【答案】解：①+②，得．②+③，得．解方程組得把，代入①，得．所以方程組的解是類型三、方程及方程組的應用6．甲車從A地出發以60km／h的速度沿公路勻速行駛，0.5h后，乙車也從A地出發，以80km／h的速度沿該公路與甲車同向勻速行駛，求乙車出發后幾小時追上甲車．【答案與解析】解：設乙車出發后x小時追上甲車，依題意得60×0．5+60x＝80x，x＝1.5．答：乙車出發后1.5小時追上甲車．【總結升華】此題的等量關系為：甲前0.5h的行程+甲后來的行程＝乙的行程．7．2001年以來，我國曾五次實施藥品降價，累計降價的總金額為269億元，五次藥品降價的年份與相應降價金額如下表所示，表中缺失了2003、2007年相關數據．已知2007年藥品降價金額是2003年藥品降價金額的6倍，結合表中的信息，求2003年和2007年的藥品降價金額．年份20022003200420052007降價金額（億元）543540【思路點撥】本題的兩個相等關系為：（1）五年的降價金額一共是269億元；（2）2007年藥品降價金額＝6×