專題18解直角三角形

囿務復習目標

1.理解正弦、余弦、正切的概念，并能運用.

2.掌握特殊角三角函數值，并能運用特殊角的三角函數值進行計算和化簡;

3.理解直角三角形的概念，靈活運用直角三角形中邊與角的關系和勾股定理解直角

三角形，提高把實際問題轉化為解直角三角形問題的能力;

，考點梳理

一、直角三角形的性質

1、直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：NC=90。NNA+NB=90。

2、在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半。

NA=30°

ZC=90°=>BC=-AB

可表示如下：2

3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

ZACB=90"

=>CD=-AB=BD=AD

2

為的中點

可表示如下:DAB

22

4、勾股定理直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方,即/+b=c

5、射影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項,

每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項

ZACB=90\，CD2=AD?BD

AC2=AD?AB

CD1AB」LBC2=BD?AB

6、常用關系式

由三角形面積公式可得:

AB?CD=AC?BC

二、直角三角形的判定

1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a,b,c有關系/+/=。2,那么這個三角形是直角三角形。

三、銳角三角函數的概念

1、如圖，在aABC中，ZC=9O°

①銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記為sinA,即

NA的對邊

的對邊aNB的鄰邊

sin/=

斜邊c

②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記為cosA,即NA的鄰邊

NB的好邊

NZ的鄰邊b

cosA=

斜邊c

//的對邊a

③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記為tanA,即tanA=

NZ的鄰邊b

NZ的鄰邊;b

④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做ZA的余切，記為cotA,即cot4=

44的對邊a

2、銳角三角函數的概念

銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數

3、一些特殊角的三角函數值

三角函數0°30°45°60°90°

j_V2

sina0V31

2~TV

V2j_

cosa1V30

~T~T2

V3

tana01V3不存在

T

V3

cota不存在V310

T

4、各銳角三角函數之間的關系

（1）互余關系

sinA=cos(90°一A),cosA=sin(90°一A)tanA=cot(90°一A),cotA=tan(90°—A)

（2）平方關系

sin2T4+COS2A=1

（3）倒數關系

tanA?tan(90°-A)=l

（4）弦切關系

sin/

tanA=--------

cosA

5、銳角三角函數的增減性

當角度在0。?90。之間變化時,

(1)正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）

(2)余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）

(3)正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）

(4)余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）

四、解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外,一共有五個元素,即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元

素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理論依據

在RtaABC中，4c=90。，ZA,ZB,Z_C所對的邊分別為a,b,c

（1）三邊之間的關系：a2+b2=c2（勾股定理）

（2）銳角之間的關系：ZA+ZB=9O°

（3）邊角之間的關系:

?Aa4bAaAanb°a

sinZ=—，cosA--,tanZ=—，cotA-—,tan5,cot5=—

ccbacab

蓋；綜合訓練

1.（2021?佛山市華英學校九年級期末）在必A48C中，ZC=90°,若“8C的三邊都縮小5倍，貝hin/

的值（）

A.放大5倍B.縮小5倍C.不變D.無法確定

【答案】C

【分析】

直接利用銳角的正弦的定義求解.

【詳解】

解：,??NC=90°,

■?.sinA=zA的對邊與斜邊的比，

?；2BC的三邊都縮小5倍，

???乙4的對邊與斜邊的比不變，

?1.sitL4的值不變.

故選：C.

2.（2021?重慶實驗外國語學校九年級開學考試）在放A48c中，ZJ=90°,若Z8=30。，則sinC=（）

A.—B.yC.—D.立

2232

【答案】D

【分析】

根據直角三角形的性質求出NC,根據60。的正弦值是心解答.

2

【詳解】

解：???//=90°,NB=30。,

.■.ZC=90°-30°=60°,

sinC=sin60°=,

2

故選：D.

3.（2021?重慶市南華中學校）西南大學附中初2020級小李同學想利用學過的知識測量一棵樹的高度，假

設樹是豎直生長的，用圖中線段N5表示，小李站在C點測得乙8c/=45。，小李從C點走4米到達了斜坡

的底端。點，并測得4CDE=150。，從。點上斜坡走了8米到達E點，測得乙4EZA60。，B,C,。在同

一水平線上，/、B、C、D、￡在同一平面內，則大樹N8的高度約為（）米.（結果精確到0.1米，

參考數據：V2?1.41，6x1.73）

A

A.24.3B.24.4

【答案】B

【分析】

過E作EGL45于G,EFLBD于F,則5G=EREG=BF,求得乙⑦8=30。，根據直角三角形的性質得到￡尸=

；。￡=4,。尸=4。，得到C尸=CD+D尸=4+46，根據三角函數的定義列方程即可得到結論.

【詳解】

解：過E作EGL42于G,EFLBD于F,

貝i」8G=EF,EG=BF,

■■■Z.CDE=150°,

；/EDF=30。,

vDE=8,

??,EF=；DE=4,。尸=45

：?CF=CD+DF=4+46,

VZL45C=90°,UCB=45。,

??.AB=BC,

；,GE=BF=AB+4+45AG=AB-4,

ZEZA60。，（GED=LEDF=3G0,

.-.ZJ￡G=3O°,

AB-4_V3

/.tan30°=

GEAB+4+4y/3~3

解得：^=14+673-24.4,

故選：B.

4.（2021?如皋市實驗初中九年級期末）在A/BC中，ZA,NC是銳角，若48=4,且tan/C=2tan乙4,

則A48C面積的最大值是（）

A.4B.6C.4y/2D.8

【答案】B

【分析】

如圖，過8作8OL4c于。，根據三角函數定義和已知條件確定4D=2CD,設BD=h,CD=a,則4D=2a,

找到。、人的關系，最后根據三角形的面積公式可得結論.

【詳解】

如圖，過2作ADL4c于。，

BDBD

.??tanZ.C=-----,tanz^4=-----,

CDAD

,.,tanzC=2tanZ^,

：?AD=2CD,

?：AB=4,

設BD=h,CD=a,貝！］4)=2Q,

R—BD中,爐+44勺6,

.*2=16-4〃2,

2

???。2?〃2=。2(16—4〃2)=_4a4+16〃=一%/_2)+16

當』=2時,取最大值為16,

'-ah最大值為4

113

?：SARC=AC,BD=-h3a=—ah

“BC222

??.A45c面積的最大值是6,

故選B.

5.（2021?沙坪壩區?重慶八中九年級二模）如圖，一棵松樹挺立在斜坡C3的頂端，斜坡C3長為52

米，坡度為，=12：5,小張從與點C相距60米的點。處向上爬12米到達觀景臺DE的頂端點E,在此測

得松樹頂端點A的仰角為39°,則松樹的高度48約為（）（參考數據：sin39tM）.63,cos39°~0.78,

tan39°s0.81）

A.16.8米B.28.8米C.40.8米D.64.2米

【答案】B

【分析】

延長N8交。C的延長線于，，作EFM”于尸，根據矩形的性質得到尸"=DE=12,EF=DH,根據坡度的

概念分別求出5、而，根據正切的定義求出/尸，結合圖形計算即可.

【詳解】

解：延長N2交。C的延長線于作于F,則四邊形成歸F為矩形，

：.FH=DE=12米,EF=DH,

???斜坡C2的坡度為f=12：5,

.?.設8H=12x,CH=5x,

由勾股定理得，（5無）2+（12x）2=522,

解得，x=4,

則88=12r=48米，CH=5x=20米，

則跖=D〃=DC+C〃=60+20=80（米），

在RtAAEF中，tanZ-AEF=――,

EF

貝IJN/=斯”。〃々￡代80><0.81=64.8（米），

：.AB=AF+HF-28=64.8+12-48=28.8（米），

故選：B.

6.（2021?宜興市實驗中學九年級二模）如圖，四邊形/BCD為矩形，點E為邊N8一點，將“DE沿DE

24AD

折疊，點A落在矩形4BCD內的點尸處，連接AF,且8E=￡尸，N3E尸的正弦值為不，則—的值為（）

24

D.

25

【答案】A

【分析】

過點廠作于點尸，根據折疊的性質及3￡=￡T尸，可得UED=4EBF,從而可得由NBE尸

的正弦值為石，設E聲=25訪則尸尸=24°,由勾股定理求得尸￡=7a,從而可得8P,則由相似可得

空=空，再由折疊的性質可得點E是N8的中點，從而可求得結果.

ADPF

【詳解】

如圖，過點尸作尸尸L48于點尸

由折疊的性質可得：AE=EF,/-AED=^FED

，:BE=EF

-'-BE=AE=EF,Z-EFB=Z-EBF

?:乙BEF+2UED=cBEF+2乙EBF=180°

???乙4ED"EBF

???四邊形/BCD為矩形，PFLAB

-.Z.A=Z-FPB=90°

：2DE~XPFB

AEBP

??茄-7F

??,在RtAPEF中，sinABEF=一=——

25EF

???設石方=25a,貝IJ尸尸=24。

由勾股定理求得PE=yjEF2-PF2=7a

工BP=BE—PE=18a

AE_BPISa3

??茄一而24^-4

AB_2AE_3

''^D~AD-2

AD2

,?茄-3

故選：A.

7.（2021?河南省淮濱縣第一中學九年級開學考試）如圖，在放/BC中，N4CB=90°,。是斜邊的中

點，DELAC,垂足為E,若DE=2,CD=5,貝hos/CBE的值為.

4

【答案】|

【分析】

先求解CD=BD=AD=V13,AB=2而,再證明CE=AE,利用勾股定理求解CE,BC,BE,再利用余弦的含義

可得答案.

【詳解】

解：；ZACB=90°,。是斜邊的中點，CD=413,

CD=BD=AD=岳,AB=2舊,

???DEVAC,DE=2

:.CE=y/CD2-DE2=3=AE,AC=6,

BC^y/BA2-AC2=4,

.-.BE=yjBC2+CE2=5,

BC4

二.cos/CBE=——=-.

BE5

4

故答案為：—.

8.（2021?沈陽實驗中學九年級二模）如圖，新疆部4位于學校主教學樓尸南偏東45。方向，且距離教學樓

60米，某同學從這里出發沿著正北方向走了一段時間后，到達位于主教學樓北偏東30。方向的綜合樓3處,

此時這位同學一共走的距離為米.

45。\

?\

【答案】（30拒+30祈）.

【分析】

過P作PCL48于C,由新疆部/位于學校主教學樓尸南偏東45。方向，可得乙4=45。可證PC=/C,由P4=60

米，由三角函數可得NC=PC=30后，由綜合樓8處在教學樓北偏東30。方向，可得48=30。，可求P8=2PC=

6072>在RtABCP中，fiC=P5cos30°=30V6,可求/3=3C+/C=卜00+30灰）米即可.

【詳解】

解：過尸作PC1/8于C,

???新疆部A位于學校主教學樓P南偏東45。方向,

山=45°

.?zCP/=90°-乙4=45°,

：.PC=AC,

設NC=PC=x,

■.■PA=60米

-,-AC=PC=PAcos45°=60x^-=30A/2,

2

???綜合樓5處在教學樓北偏東30。方向,

."=30°,

：.PB=2PC=6QC，

同

在RtABCP中，BC=PBcos300=6072x—=3076，

2

：.AB=BC+AC=(30A/2+30甸米.

故答案為：（30亞+30指卜

9.（2021?南山實驗教育集團南海中學九年級三模）如圖，有甲、乙兩建筑物，甲建筑物的高度為40m,

ABLBC,DC1BC,某數學學習小組開展測量乙建筑物高度的實踐活動，從8點測得。點的仰角為60。,

從A點測得。點的仰角為45。.求乙建筑物的高D