第46講空間幾何體的結構特征、表面積

與體積

知識梳理

知識點一：構成空間幾何體的基本元素一點、線、面

(1)空間中，點動成線，線動成面，面動成體.

(2)空間中，不重合的兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面，不共面的四

點確定一個空間圖形或幾何體(空間四邊形、四面體或三棱錐).

知識點二：簡單凸多面體一棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

(1)斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱；

(2)直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱；

(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

(4)平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

(5)直平行六面體：側棱垂直于底面的平行六面體；

(6)長方體：底面是矩形的直平行六面體；

(7)正方體：棱長都相等的長方體.

2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成

的多面體叫做棱錐.

(1)正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.

3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，

由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺.

簡單凸多面體的分類及其之間的關系如圖所示.

1

正

斜棱柱四

按例粳與底面是否喜立分類

棱柱棱

按底面多邊形分類直棱柱正棱柱柱

凸

多

面長方體

體

正

方

正多面體體

知識點三：簡單旋轉體一圓柱、圓錐、圓臺、球

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的幾何體

叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，將其旋轉一周形成的面所

圍成的幾何體叫做圓錐.

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，

簡稱為球(球面距離：經過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度).

知識點四：組合體

由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫做組合體.

知識點五：表面積與體積計算公式

表面積公式

S直棱柱=+2s底

~~A

S斜棱柱=c,/+2S底G為直截面

柱

周長)

表體

S圓錐=?冗丫2+271rl=2nr(r+/)

面JE

積

錐s正棱錐底

體

s圓錐=?尸之+〃〃=?〃&+/)43

2

=

臺S「舫A-n(ci+。+S卜+8于

止校口2''上「

體=欣+r2++r/)

圓臺r'2r'l/

球S=4?rR2?

體積公式

柱體%=Sh

錐體曝

體

積

腺(7,)

臺體=^s+Vss+s/i

4.

球V=-7iR3

3?

知識點六：空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直

角坐標系.

3

（2）畫出斜坐標系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應圖形.在已知圖形平行于x

軸的線段，在直觀圖中畫成平行于O'x',O'y',使Zx'O3'=45。（或135。），它們確定的平

面表示水平平面.

（3）畫出對應圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x'軸的線

段，且長度保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于V軸，且長

度變為原來的一般.可簡化為“橫不變，縱減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去x'軸、V軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被

擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為收:4.

2、平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點.

必考題型全歸納

題型一：空間幾何體的結構特征

例1.（2024?安徽?高三校聯考階段練習）已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是平

行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例2.（2024?全國?高三對口高考）設有三個命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平

行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體.以上命題

中真命題的個數為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

例3.（2024,全國?高三專題練習）下列命題：

①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；

②有兩側面與底面垂直的棱柱是直棱柱；

③過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；

④所有側面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.

4

其中正確命題的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

變式1.（2024?新疆?統考模擬預測）下列命題中正確的是（）

A.有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.

B.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐.

C.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體.

D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線.

變式2.（2024?全國?高三專題練習）下列說法正確的是（）

A.三角形的直觀圖是三角形B.直四棱柱是長方體

C.平行六面體不是棱柱D.兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體

是棱臺

變式3.（2024?全國?高三專題練習）給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.

其中正確命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

變式4.（2024?全國?高三專題練習）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）

A.—\\是棱臺B./P\\是圓臺

L_x/

c.4不是棱柱D.是棱錐

5

【解題方法總結】

空間幾何體結構特征的判斷技巧

（1）緊扣結構特征是判斷的關鍵，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變

換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定.

（2）說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.

題型二：空間幾何體的表面積

例4.（2024?湖北武漢?統考模擬預測）已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的

半徑，則球與圓錐的表面積之比為（）

例5.（2024?河南鄭州?統考模擬預測）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾

何體如圖所示.已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm,高為4cm,內孔半徑為1cm,則

此幾何體的表面積是（）cm,.

27

A.72+萬6+6兀B.72+276+8兀

C.72+2773+6TID.60+27百+6兀

例6.（2024?安徽安慶?安慶一中校考三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在

山西夏縣發現的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結構圖.已知，底面圓的直徑

/B=12cm,圓柱體部分的高5C=6cm,圓錐體部分的高CZ>=4cm,則這個陀螺的表面積

（單位：cn?）是（）

(144+12而卜(144+24疝)兀

(108+12而卜(108+24而)兀

6

變式5.（2024?西藏拉薩?統考一模）位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使

用現代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱

錐這種經典幾何形式，表達了理性主義與浪漫主義的對立與統一.其中最大的是3號展館，

其頂部所對應的正四棱錐底面邊長為19.2m,高為9m,則該正四棱錐的側面面積與底面面

積之比約為（）（參考數據：V173,16?13.16）

變式6.（2024?湖南長沙?高三校聯考階段練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨

立的環境，某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六

棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長

的比為2:3,則正六棱錐與正六棱柱的側面積的比值為（）

變式7.（2024?河北?統考模擬預測）《九章算術》是我國古代的數學名著.其“商功”中記載:

“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方

亭，將它的主體部分抽象成"co-44的正四棱臺（如圖所示），其中上底面與下底面

的面積之比為1:16,方亭的高為棱臺上底面邊長的3倍.已知方亭的體積為567m3,則該方

7

亭的表面積約為（）（V5-2.2,73?1.7,V2?1.4）

D.480m2

變式8.（2024?甘肅張掖?高臺縣第中學校考模擬預測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京

故宮博物院的一件明代宣德年間產的瓷器.該盤盤口微撇，弧腹，圈足.足底切削整齊.通

體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收.仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱

的組合體，其口徑為15.5cm,足徑為9.2cm,頂部到底部的高為4.1cm,底部圓柱高為0.7cm,

則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側面積約為（）（參考數據：兀的值取3,J21.4825-4.6）

A.143.1cm2B.151.53cm2C.155.42cm2D.170.43cm2

【解題方法總結】

（1）多面體的表面積是各個面的面積之和.

（2）旋轉體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.

（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.

題型三：空間幾何體的體積

例7.（2024?廣東梅州?統考三模）在馬致遠的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風迷宿草,

穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一

個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4,側面積為15萬，圓柱的側面積為18萬，則該氈帳的

體積為（）

8

C.38兀D.45兀

例8.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶一中校考階段練習）若某圓錐的側面展開圖是一個半

徑為2的半圓面，其內接正四棱柱的高為苴，則此正四棱柱的體積是（）

3

976Bl8月

A.8n

~T~27

例9.（2024?山東青島?高三統考期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的

體積為36兀，則該正四棱錐的體積最大值為（）

64

A.18B「.—D.27

3

變式9.（2024?湖北武漢?高三統考開學考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構形

式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單

檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的

輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為3亞米，側棱長為5米，則其體

積為（）立方米.

A.2472B.24C.72cD.72

變式10.（2024?廣東河源?高三校聯考開學考試）最早的測雨器記載見于南宋數學家秦九

韶所著的《數書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關降水量計算的四個例

9

子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時

用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數

據如圖（注意：單位cm）,則平地降雪厚度的近似值為（）

95D.紅cm

C.—cm

1212

變式11.（2024?浙江?校聯考模擬預測）如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正

四棱臺，上、下底面邊長分別為20cm和10cm,側棱長為cm.“升”裝滿后用手指或筷

子沿升口刮平，這叫“平升”.則該“升”的“平升”約可裝（1000cn?=lL）（）

升：量糧食的器具

A.1.5LB.1.7LC.2.3LD.2.7L

【解題方法總結】

求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規則幾何體的體積，直接利用公式

把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或者把不規則的幾何體補成規則

割補法

的幾何體

等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

題型四：直觀圖

例10.（2024?遼寧錦州?渤海大學附屬高級中學校考模擬預測）已知用斜二測畫法畫梯形

O/8C的直觀圖O'/'B'C'如圖所示，O'A'=3C'B',C'E'1O'A',SOABC=^,C'D'//y'軸,

10

CE=%搦為。'4的三等分點，則四邊形33C繞y軸旋轉一周形成的空間幾何體的體

積為.

例11.（2024?全國?高三對口高考）若正AABC用斜二測畫法畫出的水平放置圖形的直觀

圖為當的面積為百時，AA8C的面積為.

例12.（2024?四川成都?高三統考階段練習）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如

圖所示，邊與C力’平行于/軸.已知四邊形NBC7/的面積為Icn?,則原平面圖形的面

積為cm2.

變式12.（2024?全國?高三專題練習）如圖，A/'OS是用斜二測畫法得到的△/03的直

觀圖，其中。'4=2,O?=3,則的長度為.

變式13.（2024?上海浦東新?高三上海市川沙中學校考期末）有一塊多邊形的菜地，它的

水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所

示）.ZABC=45°,4B=4D=1,DC工BC,則這塊菜地的面積為

11

變式14.（2024?上海寶山?高三上海交大附中校考開學考試）我們知道一條線段在“斜二

測”畫法中它的長度可能會發生變化的，現直角坐標系平面上一條長為4cm線段按“斜二

測”畫法在水平放置的平面上畫出為4?,則最短長度為cm（結果用精確

值表示）

變式15.（2024?陜西延安?校考一模）如圖，梯形N3C?是水平放置的一個平面圖形的直

觀圖，其中/ABC=45°，AB=AD=\,DC1BC,則原圖形的面積為

變式16.（2024?全國?高三專題練習）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的

直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是.

【解題方法總結】

斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關系：S直=亨5原.

12

題型五：展開圖

例13.（2024?山東青島?統考三模）已知圓錐的底面半徑為1,側面展開圖為半圓，則該

圓錐內半徑最大的球的表面積為.

例14.（2024?全國?高三專題練習）如圖，在直三棱柱48C-451G的側面展開圖中，B,

C是線段的三等分點，且/。=3上.若該三棱柱的外接球。的表面積為12兀，則

AAX=______________.

4Blc1

ABCD（A）

例15.（2024?上海普陀?高三統考期中）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙

在東風著陸場預定區域成果著陸.如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達到1200

平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為―

米（精確到整數）

變式17.（2024?山東淄博?統考一模）已知圓錐的底面半徑為1,其側面展開圖為一個半

圓，則該圓錐的體積為.

變式18.（2024?安徽?蚌埠二中校聯考模擬預測）如圖，在三棱錐尸的平面展開圖

中，CD//AB,AB1AC,AB=2AC=2,。。=屈，cos/BCF,貝!|三棱錐P-/BC

65

外接球表面積為.

13

F(P)

D(P)

E(尸)

變式19.（2024?全國?高三專題練習）已知三棱錐P一42C的底面/2C為等邊三角形.如

圖，在三棱錐尸一48C的平面展開圖中,PKE三點共線,8,。,￡三點共線，cosZPCF=^~,

變式20.（2024?安徽黃山?統考一模）如圖，在四棱錐P4BCD的平面展開圖中，正方形

/BCD的邊長為4,VNOE是以為斜邊的等腰直角三角形，ZHDC=ZFAB=90°,則該四

棱錐外接球被平面PBC所截的圓面的面積為.

”(P)

E(P)

F（P）

變式21.（2024?山西大同?高三統考階段練習）如圖，在三棱錐P-/2C的平面展開圖中，

AC=\,AB=AD=6,ABIAC,ABVAD,ZCAE=30°,則三棱錐尸-/3C的外接球

的表面積為.

14

D(P)

F(P)

【解題方法總結】

多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開

圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.

題型六：最短路徑問題

例16.（2024?福建福州?高一福建省福州屏東中學校考期末）如圖，一豎立在地面上的圓

錐形物體的母線長為4,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點尸出發，繞圓錐爬行一周后回到點

尸處，若該小蟲爬行的最短路程為46，則這個圓錐的體積為（）.

V15032屈/?1280萬c8百

-----------D.-------------C.-------------JJ.-------

327813

例17,（2024?陜西寶雞?高一統考期末）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產廠

商要為棱長為2cm的正四面體魔方設計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝

盒內任意轉動，則包裝盒的棱長最短為（）

A.V6cmB.2&cmC.4j^cmD.6cm

15

例18.（2024?全國?高