第03講空間中的平行關系

（線線平行、線面平行、面面平行）

（11類核心考點精講精練）

IN.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

證明面面垂直

2024年新I卷，第17題,15分證明線面平行

由二面角大小求線段長度

證明線面垂直

2023年全國乙卷（理），第19題,12分證明線面平行證明面面垂直

求二面角

2022年新H卷，第20題,12分證明線面平行面面角的向量求法

2022年全國甲卷（文），第19題,12分證明線面平行求組合體的體積

求線面角

2020年全國乙卷（理），第20題,12分證明線面平行

證明面面垂直

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，分值為5-15分

【備考策略】1.理解、掌握空間中點線面的位置關系及相關的圖形和符號語言

2.熟練掌握線面平行的判定定理和性質定理及其應用

3.熟練掌握面面平行的判定定理和性質定理及其應用

【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般在解答題中考查線面平行、面面平行的判定及其性質,

需強化鞏固復習.

IN.考點梳理?

1

知識點1常見立體幾何的定義、性質及其關系

知識點2四個公理與一個定理

知識點3空間中點線面的位置關系

知識點4線線平行

知識點5線面平行的判定定理

知識點6線面平行的性質定理

知識點7面面平行的判定定理

知識點8面面平行的性質啟理

考點1空間中點線面的位置關系

考點2空間中線面平行的判定（直接里）

考點3空間中線面平行的判定（中位線里）

考點4空間中線面平行的判定（平行四邊形型）

考點5空間中線面平行的判定（相似型）

考點6空間中線面平行的判定（向量型）

考點7空間中線面平行的性質

考點8空間中面面平行的判定

考點9空間中面面平行的性質

考點10補全條件證空間中的平行關系

考點11補全圖形證空間中的平行關系

知識講解

1.常見立體幾何的定義、性質及其關系

（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行圖形，側面是平行四邊形（即側棱平行且相等）

（2）斜棱柱：側棱與底面不垂直的棱柱

（3）直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱

（4）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱

（5）平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，即：平行六面體的六個面都是平行四邊形

底面為平P/一、wl側棱垂直于

行四邊放平行六面體————

四棱柱直平行六面體

側棱與底，而麗底面為，

面垂直?且［二I平行四邊形

百雨底面為正方形，國筱尚卡曰

2.四個公理與一個定理

公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

2

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

3.空間中點線面的位置關系

點在直線上點不在直線上

點與直線的位置關系/■-

AeaB色a

?B

點在平面上點不在平面上

點與面的位置關系/i/

A^aB色a

線與線的位置關系----------a/h丁

----------b\

平行，allb相交，aC\b=o1，m異面

______a

///Z/

線與面的位置關系/

auaa[\a=Aalia

勺，X

面與面的位置關系4___________z

平行，allp相交，aC\/3=aa與，重合

4.空間中的平行關系

(1)線線平行

①三角形、四邊形的中位線與第三邊平行，②平行四邊形的性質(對邊平行且相等)

③內錯角、同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行

(2)線面平行的判定定理：

平面外一直線與平面內一直線平行，則線面平行

圖形語言符號語言

1------n/b1

1Ua\=lHa

/b/6uaj

(3)線面平行的性質定理

3

若線面平行，經過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行

圖形語言符號語言

1Ha、

luf3'nlllb

金7aPiP=b

(4)面面平行的判定定理

判定定理1:一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行

圖形語言符號語言

alia

bnp

>=>a〃尸

a^\b=A

/CZ7aua,bua

判定定理2：一個平面內有兩條相交直線分別］F另一個平面內兩條相交直線平行，則面面平行

圖形語言符號語言

alln

bllm

a^\b=A

=>a〃夕

加二B

a.bua

m9nu0

(5)面面平行的性質定理

性質定理1：兩平面互相平行，一個平面內任意一條直線平行于另一個平面

性質定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行

考點一、空間中點線面的位置關系

甲典例引領

1.(2024?全國?高考真題)設%夕為兩個平面，加、〃為兩條直線，且。口￡=加.下述四個命題：

①若小〃〃，則〃//a或〃//￡②若加_L〃，則或〃

③若”//a且〃//￡,則加〃"④若〃與見夕所成的角相等，則加"1_"

其中所有真命題的編號是()

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【分析】根據線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據線面平行的性質即可判斷③.

4

【詳解】對①，當"ua,因為機〃“，mu0,則"http://分，

當nu0,因為加〃”，〃?ua,則〃//々，

當”既不在a也不在?內，因為”z〃"，muajnu。,則為〃a且〃//￡,故①正確；

對②，若機則〃與a,￡不一定垂直，故②錯誤；

對③，過直線n分別作兩平面與a,/3分別相交于直線s和直線t,

因為〃//a,過直線〃的平面與平面a的交線為直線s,則根據線面平行的性質定理知〃〃s,

同理可得〃/〃，貝!Js/4,因為S（Z平面￡,lu平面則s//平面￡,

因為su平面a,a[\p=m,貝作//機，又因為〃〃s,貝lj冽〃〃，故③正確；

對④，若ac/=〃z，〃與a和6所成的角相等，如果"〃生”〃乃，貝!故④錯誤；

綜上只有①③正確，

故選：A.

2.（2024?天津?高考真題）若九〃為兩條不同的直線，&為一個平面，則下列結論中正確的是（）

A.若加〃a,nlla,則加_L〃B.mHa,nila,則加〃”

C.若mlla,nLa,則機_L〃D.若機〃a,〃_La,則加與〃相交

【答案】C

【分析】根據線面平行的性質可判斷AB的正誤，根據線面垂直的性質可判斷CD的正誤.

【詳解】對于A,若機//a,nlla,則〃g〃平行或異面或相交，故A錯誤.

對于B,若機〃a,〃//a,則"夕平行或異面或相交，故B錯誤.

對于C,mlla,nla,過機作平面尸，使得￡口&=5,

因為〃?u￡,故加〃s,而sua,故〃_Ls,故加_L〃，故C正確.

對于D,若mllajiLa,則4與〃相交或異面，故D錯誤.

故選：C.

即時檢測

■一

L（2024?河北邢臺?二模）已知兩條不同的直線〃、6和平面。，下列命題中真命題的個數是（）

(1)若a//a,b!la,則q//6(2)若a//b,b!la9則a//a

(3)若a_La,bLa,則a//b(4)若〃_|_6，bLa,則a//a

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用線面平行的判定與性質判斷（1）（2），利用線面垂直的性質判斷（3）（4）.

【詳解】由兩條不同直線。，6及平面。，知：

5

對（1）,若。//a,blla,則。與6相交、平行或異面，故錯誤；

對（2）,若q//6,bIla,則a//a或aua,故錯誤；

對（3）,若。_La,bLa,則由線面垂直的性質得a//b,故正確；

對（4）,若〃_16,b.La,則a//a或aua,故錯誤.

故選：A.

2.（2024?浙江紹興?三模）設切，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.若a_L尸，m\\af則7nls

B.若mJ./?,m-La,n//a,則幾II尸

C.若冽_La,ni,m\\n,則a_L用

D.若。口/=加，n//a,n\\13,則加||加

【答案】D

【分析】由空間中的線線，線面，面面間的位置關系逐項分析判斷即可.

【詳解】若a，尸，m\\a,則加||尸或加u/7,所以A錯；，.?加_L尸，m1cr,:.a//p,"〃a,夕或

nu0,所以B錯；

若加_La,n±/3,m\\nf則a〃夕，所以C錯；若aCl/?=加，n//a,n\\j3,則幾與兩面的交線冽平行，

即加||及，故D對.

故選：D.

3.（2024?遼寧?二模）設a,，是兩個平面，加，〃，/是三條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若lu/3,冽ua,11m,則。_1萬

B.若/〃a,I//P,aC\（3=m,貝!J/〃加

C.若。口/=冽，PV\y=n,yca=l,則加//〃/〃

D.若加J_〃，mLa,則〃//a

【答案】B

【分析】根據題意，結合線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，若/u",m^a,/im,則凡/相交或平行，所以A錯誤；

對于B中，若/〃a,/〃/，a^/3=m,由線面平行的性質可得/〃加，所以B正確；

對于C中，若aCl/?=加，p[}y=n,yca=l,當/人/兩兩相交時，冽/,/兩兩相交，所以C錯誤；

對于D中，若加_L〃，m-\.a,則〃〃a或〃ua,所以D錯誤.

故選：B.

考點二、空間中線面平行的判定（直接型）

典例引領

1.（2024?全國?高考真題）如圖，在以/,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形/BCD與四邊形/。￡尸

6

均為等腰梯形，EF/IAD,BCI/AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=?,FB=25M為40的中點.

(1)證明：區區//平面。。￡；

(2)求二面角尸的正弦值.

【答案】⑴證明見詳解;

唔

【分析】(1)結合已知易證四邊形8coM為平行四邊形，可證及W7/CD,進而得證；

(2)作交40于。，連接OF,易證。民。。,。尸三垂直，采用建系法結合二面角夾角余弦公式即

可求解.

【詳解】(1)因為8。〃/。,跖=2,AD=4,M為4D的中點，所以BCHMD,BC=MD,

四邊形為平行四邊形，所以BMHCD,又因為u平面CDE,

CDu平面CDE,所以3M〃平面CDE；

(2)如圖所示，作交4D于O,連接。尸，

因為四邊形/BCD為等腰梯形，BCIIAD,AD=A,AB=BC=2,所以CD=2,

結合(工)BCDM為平行四邊形，可得3M=CD=2,又4M=2,

所以ANBM為等邊三角形，。為中點，所以。8=6，

又因為四邊形4DE尸為等腰梯形，河為中點，所以EF=MD,EF"MD,

四邊形EFW為平行四邊形，FM=ED=AF,

所以△力而為等腰三角形，ANBM與△/瓶底邊上中點O重合，OF±AM,OF=-JAF2-AO2=3>

因為。笈+O尸=5尸2,所以03_L0F,所以。3,。。,。尸互相垂直,

以方向為無軸，方向為y軸，o尸方向為z軸，建立。-“空間直角坐標系,

/(0,0,3),S(V3,0,0),M(O,l,O),E(0,2,3),麗7=卜月,1,0),而=(r/5,0,3),

BE=(-52,3),設平面的法向量為記=(x1,y1,z1),

平面EMS的法向量為元=(X2,y2,z2),

m-BM=0—y]3X[+y,=0i—.._、

則一，即廠，令再=百，得M=3/1=1,即記=(V5,3,1),

m-BF=0_+3zj-0

亢?BM=0A/3+%=0廠

則_,即r，令工2=百，得%=3/2=T,

HBE=GA/3%2+2%+3Z2=0

7

即六（/"/-3，-1\），。由一一八m麗-n;而11而下11，則sm.=*AAC,

故二面角尸的正弦值為述.

即0^（

1.（23-24高三上?遼寧朝陽?階段練習）如圖所示，在三棱錐尸-48C中，PA=AB=AC,直線兩

兩垂直，點。,石分別為棱尸民PC的中點.

（1）證明：8c〃平面4DE；

（2）求平面ABC與平面ADE所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）由于點2E分別為棱必，尸C的中點，應用中位線定理可得DE〃BC,從而得到了證明線面平

行所需的線線平行；

（2）首先以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別求平面N8C和平面NDE的法向量，進而用空

間向量的夾角公式求解即可.

【詳解】（1）證明：因為點。,E分別為棱尸用尸C的中點，

所以BC//DE.

又DEu平面/DE,BCO平面4DE,S.BC//DE,

所以8c〃平面ADE.

（2）解：以A為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

8

設43=2,則力（0,0,0）,￡＞（1,0,1）,￡（0,1,1）,

得而=（1,0,1）,荏=（0』,1）.

設平面4DE的法向量為k=（x,y,z）,

n-AD=x+z=0,

則?取x=l,則＞=1,z=-1,

n?AE=y+z=0,

由尸/，平面ABC,得平面ABC的一個法向量為m=（0,0,1）,

所以平面ABC與平面ADE所成角的余弦值為|cos機司=R.

叫叫3

2.（2024?寧夏石嘴山?模擬預測）如圖，在正方體中，￡是。。的中點.

⑴求證：4。〃平面/CE；

（2）若BDl=6,求點B到平面4EC的距離.

【答案】⑴證明見解析

（2）72

【分析】（1）根據正方體的性質得到NC〃4G，即可得證；

（2）利用等體積法求出點到平面的距離.

【詳解】（1）在正方體48c-ABCD中，AAJ/CC,且皿=CQ,

所以四邊形44GC為平行四邊形，所以NC7/4G，

又4cle平面NCE,/Cu平面NCE,所以4G〃平面/CE.

（2）設正方體的棱長為。（。＞0）,則叫="2+°2+/=6,解得a=2VL

9

所以4c=J（26j+（2百j=2指，4E=EC=《2喃+（陰=岳,

所以S.ACE=；X2新＞J（衣J_（逐了=3新,

設點8到平面AEC的距離為d,則/TBC=/TEC，即;SJBC-DE=；SJECS，

即:x；x2百x2百xVJ=gx3Cz,解得］=也，

即點B到平面4EC的距離為V2.

考點三、空間中線面平行的判定（中位線型）

典例引領

1.（浙江?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2e的菱形，且/BAD=120。，且PAJ_平

面ABCD,PA=2戈，M,N分別為PB,PD的中點.

（1）證明：MN〃平面ABCD；

（2）過點A作AQJ_PC,垂足為點Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）叵.

33

【分析】⑴證明:連接BD,因為M、N分別是PB、PD的中點，所以MN是4PBD的中位線，所以MN〃BD.

10

又因為MN《平面ABCD,BDU平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

(2)解：在菱形ABCD中,/BAD=120。，

得AC=AB=BC=CD=DA,

BD-JjAB.

又因為PA_L平面ABCD,

所以PA_LAB,PA_LAC,

PA±AD.

所以PB=PC=PD.

所以△PBCt△PDC.

而M、N分別是PB、PD的中點，

所以MQ=NQ,

口11

且AM=-PB=-PD=AN.

取線段MN的中點E,連接AE,EQ,

D

則AE_LMN,QEJ_MN,

所以/AEQ為二面角A-MN-Q的平面角.

由.石，故在中,

AB=25y^,PA=2^AMNAM=AN=3,MN=-BD=3,得AE=.

在直角APAC中,AQLPC,得AQ=20,QC=2,PQ=4,

在4PBC中,COS/BPC='」+R'-3U=，,

1PBPC6

Z

得MQ=+PQ-2PMPQcosZBPC=舊

在等腰△MQN中,MQ=NQ=#,MN=3,

得QE=J戟酎-瓢薩=空.

11

在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2，

得cosZAEQ=

MEQE

所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為史3.

55

包即哪療

1.（23-24高二上?廣西?階段練習）如圖，在正四棱柱/BCD-48cA中，MM是。2的中點.

（1）求證：瓦”/平面M4C；

（2）若正四棱柱的外接球的表面積是24m求三棱錐A-苗4c的體積.

【答案】⑴證明見解析

嗚

【分析】（1）連接8。交NC于O,連接M0,則九0//8功，利用線面平行的判定定理即可證明;

（2）求出正四棱柱的外接球半徑，進而可求出N8=2,N4=4,根據/_^C=七一即可求解.

【詳解】（1）連接AD交NC于O,連接M0；

???可。分別是。。08的中點，

:.MOHBDX

MOu平面MAC,BDia平面MAC,

，AD"/平面M4c.

12

（2）設N3=x（尤>0）,正四棱柱的外接球的半徑為"r>0）,

因為正四棱柱的外接球的表面積S=4+=24兀，解得升=幾,

由題意8A為正四棱柱的外接球的直徑，

由4+喃二師，得/+/+4/=（2府，

解得x=2或x=-2（舍），即/8=2,/4=4.

??V=V

*'D[-MACyC-D'MA

'''^^D,MA=-X2X2=2

14

%-M4c=231AM=§*XS-01MA=-

2.（2024?陜西渭南?三模）如圖，在四棱錐P-NBC。中，底面4BCD是平行四邊形，平面4BCD,

4E4=44B=34D=12,BA-AD=0,且跖N分別為尸。，NC的中點.

P

（1）求證：MNII平面PBC；

（2）求三棱錐M-ACD的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）3

【分析】（1）利用三角形的中位線，證明〃尸8,可證得兒W〃平面P3C；

（2）利用三棱錐的體積公式求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接3。，由/8CA是平行四邊形，則有3。交NC于點N.

'：M,N分別為PD,BD的中點，：.MNHPB.

又PBu平面P8C,AGVU平面P3C,故AGV〃平面尸3c.

（2）,：BA.AD=0>：.BAVAD,二平行四邊形N8C。為矩形.

13

V4PA=4AB=3AD=n,；.PA=AB=3,AD=4,

S4ACD~；4D-CD=6.

13

又尸4_L平面45C。，M為尸。的中點，則〃到平面4CQ的距離為〃=—P/=—.

22

,,^M-ACD=§S"CD.〃=3.

3.（2024?河北?二模）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面NBC。是菱形且/A8C=120。，△以。是邊長為

的等邊三角形，E,F,G分別為尸C,BC,的中點，/C與8G交于點

（1）證明：PH//平面DEF；

（2）若尸〃=,求平面尸N3與平面PA尸所成銳二面角的余弦值.

【答案】⑴證明過程見解析

【分析】（1）作出ME,再根據線面平行的判定定理證明即可.

（2）使用建系法，根據向量的夾角公式求出兩個法向量的夾角余弦值，即可求出銳二面角的余弦值.

【詳解】（1）如圖，設/C與。廠交于點連接ME.

因為EG分別為8C,/。的中點，底面/BCD是菱形，

所以。G//AF且0G=2尸,

所以四邊形G是平行四邊形，而以BGUDF,

因為尸為8C的中點，所以M為CH的中點，

因為￡為PC的中點，而以EM/IPH,

又PHU平面DEF,EMu平面。所，所以尸〃//平面。EF.

（2）連接尸G,因為△尸40是邊長為26的等邊三角形，G為4D的中點，

所以尸G，4D,PG=3.

因為底面/BCD是菱形且/48C=120。，易知為等邊三角形，所以3G_L/Z）,8G=3.

「HAC11

易知AAGH~ACBH,所以---=---=—,所以G//=l.

BHCB2

因為尸〃=而，所以PG2+GH2=PH?,所以尸G_LGH.

所以ND,GX,PG兩兩垂直，以G為坐標原點，分別以所在直線為xj,z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，

14

則/(G,0,0),。(-6,0,0),尸(0,0,3),8(0,3,0),尸(-@3,0),

所以方=(G,0,-3),方=(0,3,-3),而=(V,0,-3),而=(，3,3,-3,

設平面尸48的法向量為萬=(x,y,z),

,,,PA-n=0V3x-3z=0

則一，得，

PB-ii=Q[3y-3z=0

取z=l,貝！J尤=6/=1,所以〃=(百,1,1).

設平面PDF的法向量為m=(x,,y,z,),

PDm=Q|-收'-3z'=0

貝"一，得廠，

PFm=Q〔一gx'+3V—3z'=0

貝|JV=O,取z'=T,則r=所以帚=(G,0,-1).

所以c°s（應㈤=

所以平面PAB與平面PDF所成銳二面角的余弦值好.

考點四、空間中線面平行的判定（平行四邊形型）

典例引領

1.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸-N8C。中，BC//AD,AB=BC=1,40=3,點E在4D上,

且PE=DE=2.

（1）若尸為線段尸E中點，求證：3尸〃平面PCD.

15

⑵若AB1平面PAD,求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)回

30

【分析X1)取PD的中點為S,接防,SC,可證四邊形SFBC為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得BFH

平面PCD.

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面4PB和平面PCD的法向量后可求夾角的余弦值.

【詳解】(1)取尸。的中點為S,接貝IJM〃瓦，,

而ED//BC,ED=2BC,&SFHBC,SF=BC,故四邊形SE8C為平行四邊形，

故AF//SC,而8下0平面尸CD,SCu平面PCD,

所以5F〃平面尸CD.

因為ED=2,故/E=1,故4E〃BC,AE=BC,

故四邊形AECB為平行四邊形，故CEHAB,所以CE_L平面PAD,

而尸平面尸4。，故CELPE,CELED,而PE工ED,

故建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,-(⑼,3(1尸］,0),41,0,0),。(0,2,0),尸(0,0,2),

貝1|莎=(0,-1,-2),而=(1,-1,-2)斥=(1,0,-2，方《0,2,-3

設平面尸48的法向量為應=(x,%z),

m-PA=0f-y-2z=0

貝岫＜可得,取應=（0,-2,1）,

mPB=0[x—y-2z=0

設平面PCD的法向量為五=(a,6,c),

iiPC=0a—2b=0

則由＜可得取為=（2,1,1）,

n~PD=02b-2c=0

-1V30

故COS而，元=

75x76

故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為回

30

16

2.（2024?天津?高考真題）已知四棱柱48cz）-44G4中，底面NBC。為梯形，AB//CD,4/，平面

AD1AB,其中/8=44]=2,/。=。。=1.N是3￡的中點，”是。2的中點.

（1）求證AN〃平面CS也；

（2）求平面C[M與平面A8CG的夾角余弦值;

⑶求點3到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵2后

11

⑶巫

,11

【分析】（1）取CA中點p,連接NP,MP,借助中位線的性質與平行四邊形性質定理可得2N//MP,結

合線面平行判定定理即可得證；

（2）建立適當空間直角坐標系，計算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得解；

（3）借助空間中點到平面的距離公式計算即可得解.

【詳解】（1）取C4中點p,連接NP,MP,

由N是3G的中點，故MV/CG，且NP=gcG，

由M是。2的中點，故。也=,且D、MHCC\,

則有D{MHNP、D、M=NP,

故四邊形是平行四邊形，故D\NHMP,

又MPu平面CB{M,DXN（Z平面CB.M,

故BN〃平面C81M；

（2）以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，

17

有力(0,0,0)、8(2,0,0)、呂(2,0,2)、M(0,1,1),C(l,l,0)>G(1,1,2),

則有西=(1,-1,2)、兩=(一1,0,1)、函=(0,0,2),

設平面CB\M與平面BB、CC1的法向量分別為比=(占,％Z])、n=(x2,y2,z2),

□『白.m-CBX=-y1+2z1=0n-CBX=x2-+2z2=0

mCM=—xx+Z]=0n-BBX=2z2=0

分別取再=X2=1，則有另=3、4=1、y2=lfz2=of

即成=(1,3,1)、元=(1,1,0),

則cos成於*-1+3,普

|郵司ji+9+i.ji+i11

故平面與平面的夾角余弦值為拽1；

11

(3)由函二(0,0,2),平面。印11的法向量為玩=(1,3,1),

則有?玩2=M2A/TLT,

\m\Jl+9+1H

即點B到平面CB\M的距離為名叵.

11

1.(23-24高二上?廣東深圳?期末)如圖，在四棱錐P-/2CD中,尸D,平面/BCD,底面/BCD為直角梯

形，PD=CD=AD=2AB,ABI/CD,ADICD.

AB

18

（1）設點E為棱PD的中點，證明：/￡〃平面尸8C.

⑵求平面PBC與平面PAB的夾角的大小.

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）尸為尸C的中點，通過證明/￡〃班"得證/￡〃平面尸3c.

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法解決兩個平面夾角問題.

【詳解】（1）設尸為PC的中點，連接EF,FB,AE,

AB

在△尸CD中，點E為棱尸。的中點，EFHCD,EF=；CD.

因為CD=2/3,ABI/CD,所以EF//AB,EF=AB,

所以四邊形￡尸氏4為平行四邊形，所以4E//BF.

因為BFu平面P8C,/￡</平面尸8（7,所以/￡〃平面PBC.

（2）以。為坐標原點，。4,。。,。尸所在直線分別為了，-2軸，建立

如圖所示的空間直角坐標系.

Af\L

/B

設PD=CD=AD=2AB=2,則4(2,0,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),5(2,1,0),

而=(2,1,-2),PC=(0,2,-2).

麗"PR~QV-I-1;—7—f)

設平面PBC的一個法向量為次=(x/,z),則有一一'

m-PC=2y-2z=0

令y=2,則x=l,z=2,得所=(1,2,2).

評=(2,0,-2),AB=(0,l,0),

19

^2.P4—2cl—2c—0

設平面E/2的一個法向量為方=（見仇c）,貝！J有彳—.，

m-AB=b=O

令a=l,則6=0,c=l,得元=（1,0,1）.

設平面P8C與平面尸48的夾角為6,有cos<9=kos戒司="擊|=1+^-=號

7T

所以平面〃與平面加8夾角的大小為,

2.（2024?天津?二模）如圖，在直三棱柱/3C-4耳￡中，ACIBC,AC=BC=2,CCX=3,F為片。的中

點，點DE分別在棱和棱CG上，且40=1，CE=2.

（1）求證：4尸〃平面ADE；

⑵求平面NCG4與平面BDE夾角的余弦值;

⑶求點4到平面BDE的距離.

【答案】⑴證明見解析

嗚

【分析】（1）取BE的中點G,證明4/〃DG即可；

（2）建立空間直角坐標系，向量法求兩個平面夾角的余弦值；

（3）向量法求點到平面的距離.

【詳解】（1）證明：取3E的中點G,連接尸G,DG,則尸G〃CC///4,

且尸G==詈生=*=2,.?.尸G〃&。且FG=4。，

則四邊形4OG廠為平行四邊形，，A.F//DG.

又4尸。平面瓦乃，。3匚平面5。石，

尸〃平面BDE.

20

(2)解：直三棱柱N8C-44cl中，AC1BC.以C為原點，以至,而，反?的方向為x軸、＞軸、z軸的

正方向建立空間直角坐標系，

貝I]8(0,2,0),E(0X),2),D(201),:.BE=p,-22)BD=Q,-2L),

人，一ii-BE=-2y+2z=0,

設平面的一個法向量為有二(%,y,z),則|—.

n-BD=2x-2y+z=0,

即令＞=1,則z=l,x=；,得到平面瓦出的一個法向量力

易知平面ZCG4的一個法向量為成=(o，i，o).

設平面/CG4與平面的夾角為。,

?一一?—x0+lxl+lx0

??\m-n\22

貝I]COS0=\cosm,n\=匕皆=----1---=-,

HIT3

2

平面/CG4與平面2DE夾角的余弦值為2.

(3)解：???4(203),=(0,0,-2),

|而臼|-2|4

???點4到平面BDE的距離d=不廠=丁=8?

2

3.(2024?西藏拉薩?二模)如圖，在四棱臺44CQ中，。。]_1平面458,兩底面均為正方形,

AB=DXD=4,AXBX=2,點￡在線段5。上，且DE=3EB.

21

（1）證明：〃平面&BCi；

⑵求點用到平面AB。的距離.

【答案】（1）證明見解析

(2)位

17

【分析】（1）根據平行四邊