清單01勾股定理(10個考點梳理+題型解讀+提升訓練)

考點儕單

【清單01】勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的

兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c~.

注意：(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

(2)利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這

樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：

a2=c2-b2,b2=c2-a~,c2=(a+Z))"-Zab.

運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊;

2.用于解決帶有平方關系的證明問題;

3.利用勾股定理，作出長為人的線段

【清單02】勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1））四，所以

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中二,，，

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

b

C

-.，所以工?,y'=

【清單03】勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+〃=02,那么這個三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如c）.

（2）驗證。2與/+〃是否具有相等關系.若=/+〃，則AABC是/C=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,則AABC不是直角三角形.

注意：當/+ZJ2<C2時，此三角形為鈍角三角形；當/+62〉02時，此三角形為銳角三角形，其中。

為三角形的最大邊.

【清單04】勾股數

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。

勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數

【清單05】勾股定理應用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在

具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與

第三邊的平方比較而得到錯誤的結論.本專題分類進行鞏固解決以下生活實際問題

觀型情單

【考點題型一】一直直角三角形的兩邊，求第三邊長

【典例1】已知一直角三角形兩直角邊的長分別為9,12,則它的斜邊長為（）

A.15B.16C.17D.25

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，運用直角三角形的斜邊平方等于兩直角邊平方和，代入數值進行計

算，即可作答.

【詳解】解：???一直角三角形兩直角邊的長分別為9,12

???斜邊長為，92+122=15

故選：A

【變式1-1］如圖，在△4BC中，NC=90。，AC=8,AB=10,貝!的長為（）

A

A.6B.V6C.24D.2

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理的運用，根據直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求

解.

【詳解】解：根據題意，BC2+AC2=AB2,BC>0,

■■-BC=^AB2-AC2=V102-82=6,

故選：A.

【變式1-2］如圖，一個零件的形狀如圖所示，已知NC4B=NCBD=90。，AC=3cm,AB=4cm,

BD=12cm,則CD長為（）cm.

A.5B.1315

【答案】B

【分析】本題考查的是勾股定理的應用，掌握勾股定理應用的條件及勾股定理的內容是解題的關鍵.

【詳解】解：■■/-CAB=/.CBD=90°,AC=3cm,AB=4cm,

-BC-y/AC2+AB2=V32+42=5(cm)，

■■CD=VBC2+BD2=7s2+122=13(cm)，

故選B.

【變式1-3］如圖，ZC=ZXFD=90°,AC=4,BC=3,BD=12,貝AD的長等于

BD

【答案】13

【分析】熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

首先根據勾股定理求得的長，再根據勾股定理求得力。的長.

【詳解】解：???在直角三角形28C中，AC=4,BC=3,

.t.AB=5

???在直角三角形ABO中，BD=12,

.-.AD=13

故答案為：13

【考點題型二】等面積法斜邊上的高

【典例2】如圖，在Rt^ABC中，AACB=90°,若4C=6,CB=8.

⑴求4B的長;

⑵求力B邊上的高CD是多少？

【答案】(l)4B=10

24

(2)CO=y

【分析】本題考查了勾股定理以及三角形面積公式；由勾股定理求出的長是解題的關鍵.

(1)由勾股定理求解即可；

(2)由三角形面積得則ABxCD=4CxBC,即可求解.

【詳解】(1)由勾股定理得：AB=VXC2+BC2=V62+82=10；

(2)?.?內△ABC中，CD為斜邊4B上的高，

ABC的面積=^ABXCD=^ACxBC,

???ABxCD=ACxBC,

ACxBC6x824

CD=---A-B---=--1--0-=—5.

【變式2-1】已知直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,則此直角三角形斜邊上的高長為（）

A.：B.6C.D.—

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理和三角形面積的計算，求出直角三角形的斜邊長是解題的關鍵.先根據勾

股定理求得直角三角形斜邊的長度，再根據等積法求出斜邊上的高即可.

【詳解】解：,?,直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,

二根據勾股定理求得斜邊為：,52+122=13,

???直角三角形的面積為：|x5xl2=30,

??.此直角三角形斜邊上的高為：鬻=居，

故選：D.

【變式2-2］如圖，在△NBC中，^ACB=90°,CD是高，48=4,4C=2,貝|CD的長

為.

【答案】V3

【分析】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理求出8。=2百，再由=

算即可得出答案.

【詳解】解："CB=90。,AB=4,AC=2,

???BC=y/AB2-AC2=V42-22=2V3，

???co是△ABC的高，

-CD=^AC-BC,

.?.CD=^=^3=V3,即CD的長為百，

/it）4

故答案為：V3.

【變式2-3】在△ABC中，Z^CB=90°,AC=12,BC=S,則高CD=.

【答案】伊瑞

【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積，由勾股定理得28='AC2+8c2=13,再根據三角形

的面積即可求解，掌握勾股定理是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，?.24CB=90。，AC=12,BC=5,

■■■AB=V/1C2+BC2=V122+52=13,

'''^AABC=^AB-CD=-AC-BC,

.*.13xCD=12x5,

??.CD*

故答案為：罵.

【考點題型三】作無理數的線段

【典例3】如圖，在數軸上點4表示的數為a,貝必的值為（）

/、

//、\

-1o

A.V5B.—1—\/3C.—1+D.-1—

【答案】D

【分析】根據勾股定理求出BD的長度，根據弧的半徑相等得到B4的長度，從而求出a.

本題考查了實數與數軸，勾股定理，根據勾股定理求出BD的長度是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

I

-10IC?：BD=V22+I2=Vs

BA=V5>

a=-1—Vs?

故選：D.

【變式3-1】如圖，點8,。在數軸上，0B=3,。。=8c=1/OBC=90。,DC長為半徑作弧，與數軸

正半軸交于點/，則點/表示的是（）

A.V10B.V17+1C.V17-1D.V17

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，實數與數軸，先根據勾股定理求出DC的長度從而得到的長度，再減

去。。即可得到答案，解題的關鍵是用勾股定理求出DC.

【詳解】解：?；OB=3,。。=1

；.DB=4,

ZOBC=90°,

■-DC=y/DB2+BC2=V42+l2=V17

：.DA=DC=V17，

..OA=DA—DO—V17-1，

.,.點A表示的實數是后-1,

故選C.

【變式3-2］如圖，。C=2,BC=1,BC1OC于點C,連接08,以點。為圓心，。B長為半徑畫弧與

數軸交于點/，若點”表示的數為x,則x的值為（）

-3-2-1012

A.V5B.—\/5C.Vs—2D.2—\/5

【答案】B

【分析】本題考查的是勾股定理的應用、數軸的認識，利用勾股定理求得。B的長是解題的關鍵.先根

據勾股定理求出正方形的對角線長，進而可求出/點表示的數.

【詳解】解:■■BC10C,

"BCO=90°.

OC=2,BC^1,

-'-OB=VOC2+BC2=Vl2+22=V5，

OA=OB=V5，

點4表示的數是一石.

故選B.

【變式3-3】如圖的數軸上，點aC對應的實數分別為1,3,線段AB14C于點/,且AB長為1個單

位長度，若以點C為圓心，BC長為半徑的弧交數軸于。和1之間的點P,則點P表示的實數為（）

A.V5—3B.3—/5C.V10—3D.3—710

【答案】B

【分析】本題考查了實數在數軸上的表示，勾股定理；由勾股定理得BC=NAB2+ac2,求出BC,由

PC=BC即可求解；能用勾股定理求解，找出實數在數軸的點是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意得

BC^^AB2+AC2

——,12+22

=V5.

PC=BC=V5，

OP=OC-PC

-3-V5,

P表示的實數為3-代；

故選：B.

【考點題型四】勾股定理的證明

【典例4】用圖1所示的四個全等的直角三角形可以拼成圖2的大正方形.

請根據信息解答下列問題:

b

圖1

(1)請用含。，6,c的代數式表示大正方形的面積.

方法1：.

方法2：.

(2)根據圖2,求出a,b,c之間的數量關系.

(3)如果大正方形的邊長為10,且a+6=14,求小正方形的邊長.

【答案】(l)c2；4x+6+(a—b)2[或2ab+(a—6)2]

(2)a2+b2=c2

(3)小正方形的邊長為2

【分析】本題考查勾股定理的幾何背景，完全平方公式與幾何圖形的面積:

(1)直接法和分割法兩種方法表示出大正方形的面積即可；

(2)根據等積法得到數量關系即可；

(3)利用完全平方公式變形求值即可.

【詳解】(1)解：方法一：大正方形的面積=。2；

方法二：大正方形的面積=4+(a-b)2=2ab+(a-b)2；

(2)由(1)可知：c2=2ab+(a-b)2,

整理，得：a2+b2=c2；

(3)由(2)可知：a2+b2=102=100,

+b=14,

/.(a+b)2=a2+Z)2+2ab=100+2ab=196,

：.ab—48,

/.(a-b)2=(a+b)2-4ab=196-192=4,

?,?小正方形的面積為4,

小正方形的邊長為2.

【變式4-1】下面四幅圖中，能證明勾股定理的有()

A.一幅B.兩幅C.二幅D.四幅

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理的證明,先表示出圖形中各個部分的面積，再判斷即可.

【詳解】解：如圖，

ba

+5c2+5a6=-(a+b)(a+6),

??.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理,故符合題意；

如圖，

ab

1H

ab

二(a+b)2=a2+2ab+b2,

???不能證明勾股定理，故不符合題意；

如圖，

ab

1口

ba

■.,4X|a/?+c2=(a+b)2,

??.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故符合題意;

如圖，

■?,4X|aZ?+(b-a)2=c2,

??.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故符合題意;

故選C.

【變式4-2】勾股定理在數學和許多其他領域中都有廣泛的應用，勾股定理是一個非常重要的數學定

理，它在幾何學、三角學、物理學、工程學等多個領域都有重要的應用.關于勾股定理的證明方法到

現在為止有500多種，勾股定理常見的一些證明方法是：幾何證明、代數證明、向量證明、復數證

明、面積證明等.當兩個全等的直角三角形按圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，以下是利

用圖1證明勾股定理的完整過程：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中NZMB=90。，求

證：a2+b2=c2

證明：連接BD,過點。作DF1BC交BC延長線于點R則DF=EC=6—a

S四邊形40CB=^AACD+^AABC='

又四邊形AOCB=SMDB+SWCB=祈+5a(人一。)

??????+汕=1c2+1a(b-a)

???a2-+b2—c2

請參照上述證明方法，利用圖2完成下面的證明.

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中ACMB=90。，求證：a2+fo2=c2.

【答案】見解析

【分析】本題考查了勾股定理的證明.連接BD,過點8作DE邊上的高BF,則=仿照已知材

料中的方法，利用五邊形面積的不同表示方法解答即可.

【詳解】證明：連接BD,過點8作DE邊上的高BF,則BF=b-a.

D

五邊形=S4ACB+^AABE+^AADE=5ab+-b2+-ab

又五邊形ACBED=^/\ACB+^AABD+^ABDE=5ab+-c2+5a(6—a>

]11]]]

'--ctb+~b2+~cib—-ab+-c2+~CL(^b—a)?

+gab—3ab+|-c2+^ab—^a2,

12l212

b-a

2-z-2-

■-b2=c2-a2,

■■■a2+b2=c2.

【變式4-3］我國是最早了解勾股定理的國家之一，漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅如

圖1所示“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a,b,斜

邊長為c）.

沏I圖2田3

(1)如圖1,請用兩種不同方法表示圖中空白部分面積.

方法1：S陰影=;

方法2：S陰影=；

根據以上信息，可以得到等式：；

⑵小亮將“弦圖”中的4個三角形進行了運動變換，得到圖2,請利用圖2證明勾股定理；

(3)如圖3,將圖2的2個三角形進行了運動變換，若a=6,6=3,求陰影部分的面積.

【答案】(l)(b—a)2；c2-4.iaft；c2=b2+a2

(2)見解析

⑶陰影部分的面積為27.

【分析】本題考查了勾股定理的證明與運用，靈活掌握等面積法在證明勾股定理中的作用是解題的關

鍵.

(1)方法1：求得小正方形的邊長為(6-a)，方法2：大正方形的面積減4個直角三角形的面積，據此

計算即可；

⑵S大正方形=S陰影正方形+4S入列式計算即可證明；

(3)先用勾股定理計算出。，再利用S空白=S大正方形-2s△計算面積即可.

【詳解】(1)解：方法1：S陰影=(b—a)?；

方法2：S陰影=。2—4??|ab；

-I[

???(/)—a)2=c2—4?-ab,BPc2=(b—a)2+4?-ab=b2+c^—lab+lab=b2+a2,

故c2=62+a2；

根據以上信息，可以得到等式：，=力2+小；

故答案為：(b-a)2；c2-4?|ab；c2=h2+a2；

(2)解：大正方形=S陰影正方形+4S4,

-1

即(a+b)2=c2+4--ab,

整理得層+2ab+b2=c2+2ab,

故/+b2=C2；

（3）解：如圖，S陰影=S正方形4BCD—2S~

■■■a=6,b=3,

■■c=V62+32-3Vs，

則S正方形ABCD=C?=45,

J.S陰影=c2—2-^ab=45—6x3=27,

故陰影部分的面積為27.

【考點題型五】直角三角形的判定

【典例5】下列長度的三條線段，能構成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.8,12,13

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.根據勾股定理的

逆定理計算，即可判斷答案.

【詳解】A、因為/+22432,所以這三條線段不能構成直角三角形，所以A選項錯誤，不符合題

-zfc.

思；

B、因為22+32力42,所以這三條線段不能構成直角三角形，所以B選項錯誤，不符合題意；

C、因為32+42=52,所以這三條線段能構成直角三角形，所以C選項正確，符合題意；

D、因為82+1227132,所以這三條線段不能構成直角三角形，所以D選項錯誤，不符合題意.

故選C.

【變式5-1】以下列各組數據為三角形三邊，能構成直角三角形的是（）

A.4,8,7B.5,12,14C.2,2,4D.7,24,25

【答案】D

【分析】由勾股定理的逆定理，逐個驗算每個選項即可得到答案.

【詳解】解：A.42+72*82,故不為直角三角形；

B.52+122^142,故不為直角三角形；

C.22+22^42,故不能構成三角形，不能構成直角三角形；

D.72+242=252,故能構成直角三角形；

故選：D.

【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應用.掌握相關知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的事

項是本題的解題關鍵.

【變式5-2】下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（）

A.V3,V4,V5B.1,V2,V3C.6,7,8D.2,3,4

【答案】B

【分析】欲判斷是否是直角三角形，則需滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方.

【詳解】解：；（FT+（V4）2豐（V5）2,故A不能構成直角三角形，

I2+（煙2=（V3）2,故B能構成直角三角形，

62+72*82,故C不能構成直角三角形，

22+32H42,故D不能構成直角三角形.

故選B.

【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+/）2=c2,

那么這個三角形就是直角三角形.

【變式5-3】下列幾組數中，不能構成直角三角形的是（）

A.9,12,15B.15,36,39

C.10,24,26D.12,35,36

【答案】D

【詳解】由勾股定理得，

選項A.92+122=225=152,A不滿足題意.

選項B,152+362=1521=392,B不滿足題意.

選項C.102+242=676=262,C不滿足題意.

選項D.122+352—1369^362,D滿足題意.

【考點題型六】勾股定理的逆定理的運用

【典例6］如圖，一塊四邊形的空地，NB=90。，4B的長為9m,BC的長為12m,CD的長為8m,AD的

長為17m.為了綠化環境，計劃在此空地上鋪植草坪，若每鋪植Im?草坪需要花費50元，則此塊空地

全部鋪植草坪共需花費多少元？

【答案】5700元

【分析】利用勾股定理求出力C,進而利用勾股定理的逆定理證明N4DC=90。，即可解決問題.

【詳解】解：連接4C,在RtZ\48C中，48=90。，

???AC2=AB2+BC2,

AC2=92+122=225,AC=15,

在△4CD中，

???AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289,

AC2+CD2=AD2,

???△2CD為直角三角形,/.ACD=90°,

S四邊形4BC。=S4ABC+S^ACD=,BC+-AC-CD=~x9x12+-x15x8=54+60=114(m2)>

???114x50=5700(元).

答：此塊空地全部鋪植草坪共需花費5700元.

【點睛】本題考查勾股定理及勾股定理逆定理的應用，四邊形的面積等知識，正確作出輔助線，把四

邊形轉化為兩個直角三角形是解決問題的關鍵.

【變式6-1】綠都農場有一塊菜地如圖所示，現測得48=12m,3c=13m,CD=4m,4D=3m,5=

90°,求這塊菜地的面積.

【答案】24m2

【分析】連接/C,在RtA43C中，利用勾股定理求出/C的長，再利用勾股定理的逆定理證明

為直角三角形，然后根據菜地的面積=SMAB-SAADC進行計算即可解答.

【詳解】

解：如圖，連接/C,

vCD=4m,AD=3m,z￡>=90°,

■■AC=y/CD2+AD2

=V42+32

=5m.

"SRtAADC=2^^'CD=6m2.

在△C/8中，AC=5m,AB=12m,8c=13m,

..AC2+AB2=BC2,

.?.△C/3為直角三角形，且NCAB=90。，

'"'SRtACAB=2^"CB=30m2,

?菜地的面積=S/JC4B-5，ZU￡>C=24m2.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解

題的關鍵.

【變式6-2］定義：頂點都在網格點上的多邊形叫格點多邊形.如圖，在正方形網格中，每個小正方形

的邊長為1,四邊形力BCD的每一個頂點都在格點上，

(1)求乙4BC的度數；

⑵求格點四邊形4BCD的面積.

【答案】(1)90。

(2)s四邊形4BC。=13

【分析】本題主要考查了勾股定理及逆定理、三角形面積的計算等知識點，解題的關鍵是根據勾股定

理的逆定理得出△力BC為直角三角形.

(1)如圖：連接力C,運用勾股定理可得ZB、BC、AC的長，然后根據勾股定理的逆定理判斷出△ABC

為等腰直角三角形即可解答；

(2)根據S四邊形｛BCD=S/^4BC+S/\4CD以及二角形面積公式進仃計算即可?

【詳解】(1)解：如圖：連接2C,根據勾股定理4B=后，BC=2后2C=5,

.■.AB2+BC2=25,AC2=25,

.-.AB2+BC2=AC2,

???△4BC是直角三角形，

.-.AABC=90°.

(2)解：S四邊形4BCD=S44BC+S44CD=5+8=13.

【變式6-3］如圖，已知一塊四邊形的草地/BCD,其中N8=90。，48=20m,BC=15m,CD=7

m,DA=24m,求這塊草地的面積.

【答案】234m2

【分析】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，連接力C,由4。、CD、力C的長度關系可得△4CD為

一直角三角形，4C為斜邊；可以得至U四邊形4BCD由Rtaaco和RtaaBC構成，則容易求解.

【詳解】解：連接/C,

vzB=90°,AB=20m,BC=15m,

??.AC=7AB2+BC2=V202+152=25m,

22

又?.￡。2+AD2=72+242=625=25=AC,

：.^ADC=90°,

2

這塊草地的面積為S^BC+SAADC=.BC+.CD=TX20x15+TX7x24=234m.

【考點題型七】勾股數的應用

【典例7】勾股數，又名畢氏三元數，則下列各組數構成勾股數的是（）

115

A.o4—1ZB.1.5,2,2.5C.5,15,20D.9,40,41

【答案】D

【分析】本題考查了勾股數：滿足勾股定理逆定理的三個正整數；據此逐項判斷即可.

【詳解】解：A、不是正整數，不是勾股數；

B、1.5,2.5不是正整數，不是勾股數；

C、52+152*202,不是勾股數；

D、92+402=412,且各數均為正整數，為勾股數；

故選:D.

【變式7-1】下列各組數中，是勾股數的是（）

1-1-1

A.T,7-7B.3,4,7C.6,8,10D.1,V2-2

D45

【答案】c

【分析】根據勾股數的定義即可求解.

【詳解】A.4P9勻不是整數，不是勾股數，不符合題意；

B.「32+42力72,.?.不是勾股數，不符合題意；

C.?.?62+82=102,...是勾股數，符合題意；

D.???加不是整數，，不是勾股數，不符合題意；

故選：C.

【點睛】此題主要考查了勾股數：滿足/+〃=*的三個正整數，稱為勾股數.掌握定義是解題的關

鍵.

【變式7-2］下列數組是勾股數的是（）

A.2,3,4B.0.3,0.4,0.5C.5,12,13D.8,12,15

【答案】C

【分析】勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，再利用勾股定理的逆定理逐一判斷

各選項即可得到答案.

【詳解】解：；22+32=13去42,故4不符合題意；

???0,3,0.4,0.5首先不是正整數，故8不符合題意；

52+122=169=132,故C符合題意；

82+122=64+144=208*152,故。不符合題意;

故選：C.

【點睛】本題考查的是勾股數的含義，勾股定理的逆定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵.

【變式7-3】下列各組數中是勾股數的是()

A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.11,60,61D.1,西，2

【答案】C

【分析】根據勾股數的定義判斷即可.

【詳解】解：/、42+52彳62,不是勾股數，故此選項不合題意；

8、1.5,2.5不是正整數，不是勾股數，故此選項不合題意；

0、112+6()2=612,三個數都是正整數，是勾股數，故此選項符合題意；

D、百不是正整數，不是勾股數，故此選項不合題意；

故選：C.

【點睛】此題主要考查了勾股數，關鍵是掌握滿足/+〃=〃的三個正整數，稱為勾股數.

【考點題型八】構造直角三角形解決實際問題

【典例8-1】如圖，一架2.5m長的梯子斜靠在墻上，此時梯足3距底端。為0.7m.

(1)求04的長度.

(2)如果梯子下滑0.4m,則梯子滑出的距離是否等于0.4m?請通過計算來說明理由.

【答案】(1)04的長度為2.4m

(2)不等于，滑出的距離為0.8m,理由見解析

【分析】本題考查勾股定理的應用：

(1)直接利用勾股定理求出。4的長即可；

(2)勾股定理求出。。的長，進而求出BD的長，進行判斷即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：乙4OB=90。,。8=0.7m,A8=CD=2.5m,

由勾股定理，得：04=<4B2-。B2=2.4m；

(2)不等于，理由如下：

由題意，得：AC=0.4m,

.?.OC-OA-AC=2m,

在RtzXC。。中，由勾股定理，得：OD=VCZ)2一。c2=i.5m,

■,BD=OD-OB=0.8豐0.4；

故不等于0.4m.

【典例8-2】小強和小偉都喜歡放風箏.一天放學后他們互相配合又放起了風箏(如圖所示)，小偉想

測量風箏的鉛直高度CE,于是他進行了如下測量：①測得小強牽線的手到風箏的水平距離BD為15m；

②根據小強手中剩余線的長度計算出風箏線BC(假設BC是直的線)的長為39m；③小強牽線的手離地

面的距離DE為1.5m.

(1)求此時風箏的鉛直高度CE.

(2)若小強想使風箏沿CD方向下降16m(不考慮其他因素)，則他應該收線多少米?

【答案】(l)37.5m

(2)14m

【分析】本題考查勾股定理的實際應用，掌握勾股定理是解題的關鍵.

(1)勾股定理求出的長，再加上DE即可；

(2)勾股定理求出此時BC的長，即可得出結果.

【詳解】(1)解：由題意，得BD=15m,BC=39m,CDlBD,AB=DE=1.5m.

.,.在Rt△BCD中，CD='BC?-BD2=V392-152=J(39+15)(39-15)=V54X24=36m,

；.CE=CD+DE=36+1.5=37.5m.

答：此時風箏的鉛直高度CE為37.5m.

(2)解：???風箏沿CD方向下降16m,

.?.CD=36-16=20m.

在RtzXBCD中，TBD=15m,

BC=VCD2+BD2—V202+152=25m,

.-.39-25=14m.

答：他應該收線14m.

【典例8-3】臺風“煙花”登錄我國沿海地區，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞

力.如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向4B由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線4B上的兩點

4、B的距離分別為AC=300km,BC=400km,又AB=500km,經測量，距離臺風中心260/cni及以內

的地區會受到影響.

⑴求乙4cB的度數；

(2)海港C受臺風影響嗎？為什么？

(3)若臺風中心的移動速度為25千米/時，則臺風影響該海港持續的時間有多長?

【答案】(1)90°

(2)受臺風影響；理由見解析

(3)8小時

【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用.

(1)利用勾股定理的逆定理得出△48C是直角三角形，進而得出乙4cB的度數;

(2)利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響；

(3)利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間.

【詳解】(1)■■AC=3QQ,BC=400,AB=500,

AC2+BC2^AB2,

△ABC是直角三角形，乙4cB=90。；

(2)海港C受臺風影響，理由：過點C作CD14B于。，

???△ABC是直角三角形，

ACxBC=CDxAB,

???300x400=500xCD,

CD=240,

以臺風中心為圓心周圍260以內為受影響區域，

???海港C受臺風影響；

(3)當EC=260,FC=260時，正好影響C港口，

ED=y/EC2-CD2=V2602-2402=100,

.-.EF=2ED=200,

???臺風的速度為25千米/小時，

.??200+25=8(小時).

答：臺風影響該海港持續的時間為8小時.

【變式8-1】一支鉛筆斜放在圓柱體的筆筒中，如圖所示，筆筒的內部底面直徑是6cm,內壁高8

cm.若這支鉛筆在筆筒外面部分長度是5cm,則這支鉛筆的長度是()cm.

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】首先根據題意畫出圖形，利用勾股定理計算出力C的長度.然后結合題意即可求解.

此題主要考查了勾股定理的應用,正確得出筆筒內鉛筆的長度是解決問題的關鍵.

【詳解】解：如圖:

A

BC

根據題意可得圖形：AB=8cm,BC=6cm,

在RSABC中：AC=AB2+BC2=10cm,

???這支鉛筆在筆筒外面部分長度是5cm,

,這支鉛筆的長度是10+5=15(Cm).

故選：B.

【變式8-2］如圖是臺階的示意圖,若每個臺階的寬度都是30cm,每個臺階的高度都是15cm,連接

AB,貝的長度是()

A

YB

A.185cmB.195cmC.205cmD.215cm

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形.作出直角三角

形后分別求得直角三角形的兩直角邊的長后即可利用勾股定理求得斜邊2B的長.

【詳解】解:如圖,

由題意，得4C=5X15=75(cm),SC=6X30=180(cm)-/.ACB=90°,

22

■-AB=y/AC+BC=195(Cm)，

故選：B.

【變式8-3】如圖，庭院中有兩棵樹，小鳥要從一棵高10m的樹頂飛到一棵高4m的樹頂上，兩棵樹相

距8m,則小鳥至少要飛米.

【答案】10

【分析】根據勾股定理求出的長即可.

本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接2B,過點B作BC14D

-：Z-ADH=乙BCD=乙BHD=90°

???四邊形矩形

.-.BH=DC=4m,BC=DH=8m

.?.AC=AD-CD=10—4=6(m)，

在RtZXABC中，由勾股定理得，

AB=yJAC2+BC2=V36+64=10(m)，

則小鳥至少要飛10m,

故答案為：10.

【變式8-4】如圖，大風把一棵樹刮斷，量得4C=4m,BC=3m,則樹刮斷前的高度為m.

【答案】8

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

該大樹折斷后，折斷部分與地面、原來的樹干恰好構成一個直角三角形，利用勾股定理可求出折斷部

分的長，進而可得樹刮斷前的高度.

【詳解】解：由題意可知，AABC為直角三角形，

?1?AB=VfiC2+AC2=V32+42=5m,

???樹刮斷前的高度=BC+AB=3+5=8m,

故答案為：8.

【變式8-5】我圖古代數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：今有方池一丈，葭生其中央，出水一

尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何？(注：丈、尺是長度單位，1丈=10尺)意思為：如圖，有

一個邊長為1丈的正方形水池，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水

池一邊的岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面.則這根蘆葦的長度是尺

【答案】13

【分析】本題考查勾股定理的應用，設這根蘆葦的長度是x尺，根據勾股定理列出方程進行求解即可.

【詳解】解：設這根蘆葦的長度是久尺，由題意，得：水深為。-1)尺，

由勾股定理，得：x2-(x-1)2+(y)，

解得：x=13；

故答案為：13.

【變式8-6】如圖，開州大道上48兩點相距14km,C,。為兩商場，D412B于4CBLAB^B.已

知￡M=8km,CB=6km.現在要在公路ZB上建一個土特產產品收購站E,使得C,D兩商場到E站的距

離相等，

⑴求E站應建在離2點多少km處?

(2)若某人從商場。以5km/h的速度勻速步行到收購站段需要多少小時?

【答案】(1)E站應建在離2站6km處

(2)需要2小時

【分析】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理正確建立方程是解題關鍵.

(1)先根據垂直的定義可得NA=NB=90。，再根據勾股定理可得力盧+4)2=DE2,BE2+BC2=C

E2,從而可得力盧=BE2+BC?,設AE=xkm,貝=(14—x)km,據此建立方程，解方程即可

得；

(2)由勾股定理求出DE,用路程除以速度即可得出時間.

【詳解】(1)解：?.?使得C,D兩村到E站的距離相等，

.'.DE—CE,

-DALAB,CBLAB,

：.Z-A=Z-B=90°,

：.AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=CE2,

：.AE2+AD2=BE2+BC2,

設/E=xkm,則BE=AB-AE=(14—x)km,

\'DA=8km,CB=6km,

???/+82=(14-x)2+62,

解得：%=6,

：.AE=6km,

答：E站應建在離4站6km處；

(2)解：:DE=y/AE2+AD2=10km,

??.10+5=2(小時)

答：需要2小時.

【變式8-71某市夏季經常受臺風天氣影響，臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米

的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力.如圖，有一臺風中心沿東西方向AB由點/行駛向點3,已

知點C為一海港，當4CLBC時，/點到8,C兩點的距離分別為500km和300km,以臺風中心為圓心

周圍250km以內為受影響區域.

⑴求8C；

(2)海港C受臺風影響嗎？為什么？

⑶若臺風的速度為35km/h,則臺風影響該海港持續的時間有多長?

【答案】⑴400km

⑵海港C受臺風影響，理由見解析；

(3)4小時

【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再

利用勾股定理解答.

(1)依據三角形中三邊的關系確定N4CB的度數；

(2)利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響；

(3)利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間.

【詳解】(1)解：AC1BC,

■.^ACB=90°,

AB=500km,AC—300km,

BC=dAB2—AC2=V5002-3002=400(km)；

(2)解：海港C受臺風影響，理由如下：

過點C作CD14B,

■.■^ACxBC=^CDxAB,

???300X400=500xCD,

???CD=240(fcm),

以臺風中心為圓心周圍250km以內為受影響區域,

???海港C受臺風影響；

(3)解：當EC=250km,尸C=250km時，正好影響。港口,

ED=7EC?-CD2=70(km)，FD=VFC2-C￡)2=70(km),

???EF=140km,

臺風的速度為35km/h,

.?.140+35=4小時，

答：海港C受臺風影響的時間會持續4小時.

【考點題型九】應用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題

【典例9】如圖，在RtzXABC中，NC=90。，BC=6cm,AC=8cm,按圖中所示方法將△BCD沿BD

折疊，使點C落在邊AB的。點.

⑴求的長度；

⑵求△28。的面積.

【答案】⑴3cm

(2)15cm2

【分析】本題主要考查了勾股定理、折疊的性質、三角形面積公式等知識，熟練掌握相關知識是解題

關鍵.

(1)由勾股定理得AB='AC?+BC2=10,設。。=心由折疊的性質得=心從而可得2。

=4,AD=8-x,再由勾股定理得472+。。2=代入數值并求解即可；

(2)由三角形面積公式得即可求解.

【詳解】(1)解：???在Rt^ABC中，ZC=9O°,BC=6cm,AC=8cm,

■■-AB=VTIC2+BC2=1。cm,

設。。=久cm,由折疊可得，/.BCD=zC=90°,BC=BC=6cm,DC=DC=xcm,

■,^AC'D=90°,2C'=aB-8C'=10—6=4cm,AD=AC-DC=8-x,

在中，可有4。2+DC，2=4。2,

即42+/=(8一幻2,解得％=3,

..DC=3cm,

故的長度為3cm；

(2)解：結合(1),可知。。=3cm,AB=10cm,ABC'D=90°,

-'SAABD,DC=1x10x3=15cm2,

故△AB。的面積為15cm2.

【變式9-1］如圖，長方形ABCD中，AB=9,BC=6,將長方形折疊，使4點與BC的中點F重合，折痕

為EH,則線段BE的長為()

【答案】B

【分析】設EB=x,則4E=AB—BE=9-久，根據長方形4BCD,BC=6,得到NB=90。，根據勾股定

理，得(9一久)2=/+32,解得％=4,解答即可.

本題考查了長方形的性質，折疊的性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質，勾股定理是解題的關鍵.

【詳解】解：設EB=x,則4E=2B—BE=9—A:,

?.?長方形ABC。，BC=6,4點與BC的中點F重合，

.?ZB=9O°,BF=CF=3,

根據折疊的性質，得力E=EF=9-x

?■.(9-x)2—x2+32,

解得x=4,

故選B.

【變式9-2】如圖，折疊長方形的一邊4D,點。落在8C邊的點尸處，已知AB=8cm,BC=10cm,則

EC的長為()

A.3cmB.4cmC.3.5cmD.5cm

【答案】A

【分析】此題考查了長方形的性質、勾股定理、折疊的性質等知識，利用勾股定理列方程是解題的關

鍵.四邊形是長方形，貝!MB=CD=8cm,AD=BC=10cm,/LABC=^BCD=^ADC=90°,由

折疊的性質可知4F==10cm,DE=FE,CE=CD-DE=8-DE,由勾股定理得到BF=6cm,貝i|

CF—BC-BF-4cm,

在Rt^CEF中，由勾股定理得到CF2+CE2=EF2,解方程即可.

【詳解】解：???四邊形ZBCD是長方形，

■?.AB=CD=8cm,AD=BC=10cm,Z.ABC=/.BCD=Z.ADC=90°,

???折疊長方形的一邊a。，點。落在BC邊的點尸處，

：.AF=AD=10cm,DE=FE,CE=CD-DE=8-DE,

-BF-7AF2-AB2=V102-82=6(cm)，

.■.CF=BC—BF=4cm,

22

在RtZXCEF中，由勾股定理得到CF?+CE=EF,

即42+(8—DE)2=DE2,

解得DE=5

CE=CD-DE=3cm

故選：A.

【變式9-3】如圖，將長方