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文檔簡介

專題19概率最值問題

例1.某芯片代工廠生產(chǎn)某型號芯片每盒12片,每批生產(chǎn)若干盒,每片成本1元,每盒芯片需檢驗合格后

方可出廠.檢驗方案是從每盒芯片隨機取3片檢驗,若發(fā)現(xiàn)次品,就要把全盒12片產(chǎn)品全部檢驗,然后用

合格品替換掉不合格品,方可出廠;若無次品,則認定該盒芯片合格,不再檢驗,可出廠.

⑴若某盒芯片中有9片合格,3片不合格,求該盒芯片經(jīng)一次檢驗即可出廠的概率?

(2)若每片芯片售價10元,每片芯片檢驗費用1元,次品到達組裝工廠被發(fā)現(xiàn)后,每片須由代工廠退賠10

元,并補償1片經(jīng)檢驗合格的芯片給組裝廠.設每片芯片不合格的概率為P(0<P<D,且相互獨立.

①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率為了(p),求/⑺)的最大值點人;

②若以①中的p。作為P的值,由于質(zhì)檢員操作疏忽,有一箱芯片未經(jīng)檢驗就被貼上合格標簽出廠到組裝工

廠,試確定這箱芯片最終利潤x(單位:元)的期望.

【解析】(1)設“該盒芯片經(jīng)一次檢驗即可出廠”的事件為A

4

貝股(力=壽=21

C1255

答:該盒芯片可出廠的概率為21.

55

(2)①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率

〃p)=C獷(「小白;產(chǎn)+3P+3:+(…)x9]jyU

當且僅當3P=1-2,即p=:時取"="號

故/伍)的最大值點%=5.

②由題設知,p=pQ=l

設這箱芯片不合格品個數(shù)為〃

則〃?“⑵小

故£■(〃)=12*5=3

貝IE(x)=120-12-30-3x2=72

這箱芯片最終利潤X的期望是72元.

例2.綠水青山就是金山銀山.近年來,祖國各地依托本地自然資源,打造旅游產(chǎn)業(yè),旅游業(yè)正蓬勃發(fā)展.景

區(qū)與游客都應樹立尊重自然、順應自然、保護自然的生態(tài)文明理念,合力使旅游市場走上規(guī)范有序且可持

續(xù)的發(fā)展軌道.某景區(qū)有一個自愿消費的項目:在參觀某特色景點入口處會為每位游客拍一張與景點的合

影,參觀后,在景點出口處會將剛拍下的照片打印出來,游客可自由選擇是否帶走照片,若帶走照片則需

支付20元,沒有被帶走的照片會收集起來統(tǒng)一銷毀.該項目運營一段時間后,統(tǒng)計出平均只有三成的游客

會選擇帶走照片.為改善運營狀況,該項目組就照片收費與游客消費意愿關(guān)系作了市場調(diào)研,發(fā)現(xiàn)收費與

消費意愿有較強的線性相關(guān)性,并統(tǒng)計出在原有的基礎(chǔ)上,價格每下調(diào)1元,游客選擇帶走照片的可能性

平均增加0.05,假設平均每天約有5000人參觀該特色景點,每張照片的綜合成本為5元,假設每個游客是

否購買照片相互獨立.

(1)若調(diào)整為支付10元就可帶走照片,該項目每天的平均利潤比調(diào)整前多還是少?

(2)要使每天的平均利潤達到最大值,應如何定價?

【解析】解:(1)當收費為20元時,照片被帶走的可能性為0.3,不被帶走的概率為0.7,

設每個游客的利潤為八元,則八是隨機變量,其分布列為:

15-5

%

P0.30.7

£(71)=15x0.3-5x0.7=1(元),

則5000個游客的平均利潤為5000元,

當收費為10元時,照片被帶走的可能性為0.3+0.05x10=0.8,不被帶走的概率為0.2,

設每個游客的利潤為乙,則匕是隨機變量,其分布列為:

5-5

P0.80.2

£(y2)=5x0.8-5x0.2=3(:元),

則5000個游客的平均利潤為5000x3=15000(元),

該項目每天的平均利潤比調(diào)整前多10000元.

(2)設降價x元,則0”x<15,照片被帶走的可能性為0.3+0.05x,

不被帶走的可能性為0.7-0.05日,

設每個游客的利潤為y元,則y是隨機變量,其分布列為:

Y15-x-5

P0.3+0.05%0.7—0.05%

E(Y)=(15-x)x(0.3+0.05x)-5x(0.7-0.05x)=0.05[69-(x-7)2],

當x=7時,E(y)有最大值3.45元,

當定價為13元時,日平均利潤取最大值為5000*3.45=17250元.

例3.一年之計在于春,一日之計在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對一塊地的eN*)

個坑進行播種,每個坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為工,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立,對每一

2

個坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進行補播種,否則要補播種.

(1)當〃取何值時,有3個坑要補播種的概率最大?最大概率為多少?

(2)當力=4時,用X表示要補播種的坑的個數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望.

【解析】解:(1)對于一個坑而言,要補種的概率為(步+十產(chǎn)=;.

有3個坑需要補種的概率為:C:x(g)“,

1C3(-),!>C2(-)n

要使C,:x(3"最大,只須"彳"2,解得5V"V7,

2卜5世(y

Q〃£N*,故〃=5,6,7.

所以當"為5或6時,有3個坑要補播種的概率最大.最大概率為*.

16

(2)〃=4時,要補播種的坑的個數(shù)X的所有的取值分別為0,1,2,3,4,X~

P(X=3)=C;(;)4=;,P(X=4)=

所以隨機變量X的分布列為:

X01234

P1£311

1648416

所以X的數(shù)學期望E(X)=4x;=2.

例4.為實現(xiàn)有效利用扶貧資金,增加貧困村民的收入,扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點,決定

利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養(yǎng)殖試驗,試驗后選擇其中一種進行大面積養(yǎng)

殖,已知魚苗甲的自然成活率為0.8,魚苗乙、丙的自然成活率均為0.9,且甲、乙、丙三種魚苗是否成活

相互獨立.

(1)試驗時從甲、乙、丙三種魚苗中各取一尾,記自然成活的尾數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望;

(2)試驗后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好,扶貧工作組決定購買〃尾乙種魚苗進行大面積養(yǎng)殖,為提高魚苗的成活率,

工作組采取增氧措施,該措施實施對能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響,使不能自然成活的魚苗的成活率提

高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元,不成活則虧損2元,且扶貧工作組的扶貧目標是獲利

不低于37.6萬元,問需至少購買多少尾乙種魚苗?

【解析】解:(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

則尸(X=0)=0,2x0.1x0.1=0.002,

P(X=1)=O.8XO.1XO.2+O.2XO.9XO.1+O.2XO.1X0.9=0.044,

P(X=2)=0.8x0.9x0.1+0.8x0.1x0.9+0.2x0.9x0.9=0.306,

尸(X=3)=0.8x0.9x0.9=0.648.

故X的分布列為:

X0123

P0.0020.0440.3060.648

E(X)=0x0.002+1x0.044+2x0.306+3x0.648=2.6.

(2)根據(jù)已知乙種魚苗自然成活的概率為0.9,

依題意知一尾乙種魚苗最終成活的概率為0.9+0.1x0.5=0.95,

一尾乙種魚苗的平均收益為10x0.95-2x0.05=9.4元.

設購買〃尾乙種魚苗,尸(")為購買〃尾乙種魚苗最終可獲得的利潤,

則F(n)=9.4/7>376000,解得n>40000.

所以需至少購買40000尾乙種魚苗,才能確保獲利不低于37.6萬元.

例5.為了引導居民合理用水,某市決定全面實施階梯水價.階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月

用水量為基準定價,具體劃分標準如表:

階梯級別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量

月用水量范圍(單位:立方米)[0,10)[10,15)口5收)

從本市隨機抽取了10戶家庭,統(tǒng)計了同一月份的月用水量,得到如圖莖葉圖:

0789

112334

20

32

(0)現(xiàn)要在這W戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯水量的戶數(shù)X的分布列與數(shù)學期望;

(回)用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況,從全市依次隨機抽取10戶,若抽到左戶月用

水量為一階的可能性最大,求上的值.

【解析】(回)由莖葉圖可知抽取的10戶中用水量為一階的有3戶,二階的有5戶,三階的有2戶.第二階

段水量的戶數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,

icxc25

p(x=o)=,P(X=1)=

3~12c3~12

q0Ho

C25c;c;1

p(X=2)=P(X=3)=

3=12,c3~12

q0Ho

所以X的分布列為

X0123

1551

p

12121212

X的數(shù)學期望石(X)=0$+l*+2*+3$=:

J.乙-L乙J.乙A.乙乙

(0)設F為從全市抽取的io戶中用水量為一階的家庭戶數(shù),依題意得丫?吃),

10-k

P(X=k)=C:。11I(左=0,1,2,3,.,10),

,所以當k=3時概率最大.

例6.已知八,8兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X]和X].根據(jù)市場分析,X]和X2的分布列如

下.

%5%10%

p0.80.2

X]2%8%12%

p0.20.50.3

(1底AA兩個項目上各投資100萬元X和八分別表示投資項目A和B所獲得的利潤求。(珀和?;?/p>

(2)將x(0<%<100)萬元投資A項目,WO-x萬元投資B項目,"%)表示投資A項目所得利潤的方差

與投資B項目所得利潤的方差之和.求/(X)的最小值,并指出X為何值時,/(可取到最小值.

【解析】(1)石耳=5%xl00x0.8+10%xl00x0.2=6,

=(5%x100-6)2x0.8+(10%x100-6)2x0.2=4

EY2=2%X100X0.2+8%X100X0.5+12%X100X0.3=8,

222

DY2=(2%x100-8)x0.2+(8%x100-8)x0.5+(12%x100-8)x0.3=12

(122Z^)2

(2)y(x)=z)(—x)+匕)=(—)2。(工)+D(X)

1001001001100

4o4o0

=--[%2+3(100-x)02]=--(4x2-600x+3xl002),

10021002

當x=75時,f(x)取最小值3.

例7.某地有種特產(chǎn)水果很受當?shù)乩习傩諝g迎,但該種水果只能在9月份銷售,且該種水果只能當天食用

口感最好,隔天食用口感較差。某超市每年9月份都銷售該特產(chǎn)水果,每天計劃進貨量相同,進貨成本每

公斤8元,銷售價每公斤12元;當天未賣出的水果則轉(zhuǎn)賣給水果罐頭廠,但每公斤只能賣到5元。根據(jù)往

年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當?shù)貧鉁胤秶幸欢P(guān)系。如果氣溫不低于30度,需求量為5000公斤;如果

氣溫位于[25,30),需求量為3500公斤;如果氣溫低于25度,需求量為2000公斤;為了制定今年9月份

訂購計劃,統(tǒng)計了前三年9月份的氣溫范圍數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表

氣溫范圍[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,0)

天數(shù)414362115

以氣溫范圍位于各區(qū)間的頻率代替氣溫范圍位于該區(qū)間的概率.

(1)求今年9月份這種水果一天需求量X(單位:公斤)的分布列和數(shù)學期望;

(2)設9月份一天銷售特產(chǎn)水果的利潤為F(單位:元),當9月份這種水果一天的進貨量為n(單位:

公斤)為多少時,y的數(shù)學期望達到最大值,最大值為多少?

【解析】解析:(1)今年9月份這種水果一天的需求量X的可能取值為2000、3500、5000公斤,

4+143500)=||=0.4,

P(X=2000)==0.2,

尸(X=5000)==04

于是X的分布列為:

X200035005000

P0.20.40.4

X的數(shù)學期望為:成=2000x0.2+3500x0.4+5000x0.4=4800.

(2)由題意知,這種水果一天的需求量至多為5000公斤,至少為2000公斤,因此只需要考慮

2000<n<5000,

當3500。45000時,

若氣溫不低于30度,則y=4〃;

若氣溫位于[25,30),貝=3500x4—(〃—3500)x3=2450°—3〃;

若氣溫低于25度,則Y=2000x4-(n-2000)x3=14000-3n;

2211

此時EF=W*4〃+二x(24500-3?z)+-(14000-3n)=12600--n<11900

當2000V〃<3500時,

若氣溫不低于25度,則y=4”;

若氣溫低于25度,則Y=2000x4-(n-2000)x3=14000-3n;

4i

止匕時EF=Wx4〃+-(14000-3n)=2800+不〃<11900;

所以“=3500時,y的數(shù)學期望達到最大值,最大值為11900.

例8.長沙某超市計劃按月訂購一種冰激凌,每天進貨量相同,進貨成本為每桶5元,售價為每桶7元,

未售出的冰激凌以每桶3元的價格當天全部處理完畢.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天的需求量與當天最高氣溫(單

位:。C府關(guān),如果最高氣溫不低于25°C,需求量為600桶;如果最高氣溫(單位-C庖于區(qū)間[20,25),

需求量為400桶;如果最高氣溫低于20。。,需求量為200桶.為了確定今年九月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前

三年九月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:

最高氣溫(°C)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求九月份這種冰激凌一天的需求量X(單位:桶)的分布列;

(2)設九月份一天銷售這種冰激凌的利潤為y(單位:元),當九月份這種冰激凌一天的進貨量〃(單位:

桶)為多少時,y的均值取得最大值?

【解析】(1)由已知得,X的可能取值為200,400,600,記六月份最高氣溫低于20為事件A,最高氣

溫位于區(qū)間[20,25)為事件4,最高氣溫不低于25為事件&,

根據(jù)題意,結(jié)合頻數(shù)分布表,用頻率估計概率,

-IQ-1QZ70C

可知P(X=200)=P(4)=—=-,P(X=400)=P(4)=—=-,F(X=600)=尸(4)=—=-,

故六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位:桶)的分布列為:

X200400600

]_22

P

5I~5

(2)結(jié)合題意得當n?200時,E(Y)=2儂400,

當200<%,400時,E(y)=-1x[200x2+(72-200)x(-2)]+-4xnx2=^6n+160e(400,640],

當400<600時,

192

E(y)=-x[200x2+(n-200)x(-2)]+-x[400x2+(n-400)x(-2)]+-x/2x2

=-|n+800e[560,640),

當”>600時,

122

E(y)=-x[200X2+5—200)x(-2)]+-x[400x2+(〃-400)x(-2)]+-x[600x2+(〃-600)x(-2)]

=1760—2〃v560,

所以當〃=400時,y的數(shù)學期望E(Y)取得最大值640.

例9.某企業(yè)準備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品,已知該種產(chǎn)品的成本C與產(chǎn)量4的函數(shù)關(guān)系式為

3

C='-3/+20q+10(q>0)

該種產(chǎn)品的市場前景無法確定,有三種可能出現(xiàn)的情況,各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格。與產(chǎn)量q的函

數(shù)關(guān)系式如下表所示:

市場情形概率價格〃與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式

好0.4p=164-3q

中0.4p=101-3q

差0.2p=10-4q

設。4,4分別表示市場情形好、中差時的利潤,隨機變量短,表示當產(chǎn)量為q,而市場前景無法確定

的利潤.

(/)分別求利潤4,L2,4與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式;

(//)當產(chǎn)量q確定時,求期望E短;

(///)試問產(chǎn)量q取何值時,E短取得最大值.

【解析】解:由題意可得

Li=(164-3q)-q~3/+20q+10)

3

--^-+144(7—10(q>0).

3

同理可彳導上2=—^-+814—]0(q>0)

3

£3=———H50q_10(q>0)4分

(0)解:由期望定義可知

=0.44+0.4£2+0.2L3

333

=0.4X(―g+144夕一10)+0.4X(―g+81q-10)+0.2x(弋+50夕-10)

3

-^-+100^-10.

(0)解曲(回)可知EJ是產(chǎn)量q的函數(shù),設

3

/(幻=段=-;+100<7-10(q>0)

得/①)=一/+100.令于'9)=o解得

q=10,4=-10(舍去).

當0<q<10時,尸(“)>0;當q>10時"'⑷<0

可知,當9=10時J(q)取得最大值,即E之最大時的產(chǎn)量q為10.

例10.將連續(xù)正整數(shù)L2,…,〃(“eN*)從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)123…〃,尸(〃)為這個數(shù)的位數(shù)(如〃=12

時,此數(shù)為12345

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