專題19概率最值問題

例1.某芯片代工廠生產某型號芯片每盒12片，每批生產若干盒，每片成本1元，每盒芯片需檢驗合格后

方可出廠.檢驗方案是從每盒芯片隨機取3片檢驗，若發現次品，就要把全盒12片產品全部檢驗，然后用

合格品替換掉不合格品，方可出廠；若無次品，則認定該盒芯片合格，不再檢驗，可出廠.

⑴若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求該盒芯片經一次檢驗即可出廠的概率？

(2)若每片芯片售價10元，每片芯片檢驗費用1元，次品到達組裝工廠被發現后，每片須由代工廠退賠10

元，并補償1片經檢驗合格的芯片給組裝廠.設每片芯片不合格的概率為P(0<P<D,且相互獨立.

①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率為了(p),求/⑺)的最大值點人;

②若以①中的p。作為P的值，由于質檢員操作疏忽，有一箱芯片未經檢驗就被貼上合格標簽出廠到組裝工

廠，試確定這箱芯片最終利潤x(單位：元)的期望.

【解析】(1)設“該盒芯片經一次檢驗即可出廠”的事件為A

4

貝股(力=壽=21

C1255

答：該盒芯片可出廠的概率為21.

55

(2)①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率

〃p)=C獷(「小白；產+3P+3：+(…)x9]jyU

當且僅當3P=1-2，即p=：時取"="號

故/伍)的最大值點％=5.

②由題設知，p=pQ=l

設這箱芯片不合格品個數為〃

則〃?“⑵小

故￡■(〃)=12*5=3

貝IE(x)=120-12-30-3x2=72

這箱芯片最終利潤X的期望是72元.

例2.綠水青山就是金山銀山.近年來，祖國各地依托本地自然資源，打造旅游產業，旅游業正蓬勃發展.景

區與游客都應樹立尊重自然、順應自然、保護自然的生態文明理念，合力使旅游市場走上規范有序且可持

續的發展軌道.某景區有一個自愿消費的項目：在參觀某特色景點入口處會為每位游客拍一張與景點的合

影，參觀后，在景點出口處會將剛拍下的照片打印出來，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片則需

支付20元，沒有被帶走的照片會收集起來統一銷毀.該項目運營一段時間后，統計出平均只有三成的游客

會選擇帶走照片.為改善運營狀況，該項目組就照片收費與游客消費意愿關系作了市場調研，發現收費與

消費意愿有較強的線性相關性，并統計出在原有的基礎上，價格每下調1元，游客選擇帶走照片的可能性

平均增加0.05,假設平均每天約有5000人參觀該特色景點，每張照片的綜合成本為5元，假設每個游客是

否購買照片相互獨立.

（1）若調整為支付10元就可帶走照片，該項目每天的平均利潤比調整前多還是少？

（2）要使每天的平均利潤達到最大值，應如何定價？

【解析】解：（1）當收費為20元時，照片被帶走的可能性為0.3,不被帶走的概率為0.7,

設每個游客的利潤為八元，則八是隨機變量，其分布列為：

15-5

%

P0.30.7

￡（71）=15x0.3-5x0.7=1（元），

則5000個游客的平均利潤為5000元，

當收費為10元時，照片被帶走的可能性為0.3+0.05x10=0.8,不被帶走的概率為0.2,

設每個游客的利潤為乙，則匕是隨機變量，其分布列為：

5-5

P0.80.2

￡（y2）=5x0.8-5x0.2=3（:元），

則5000個游客的平均利潤為5000x3=15000（元），

該項目每天的平均利潤比調整前多10000元.

（2）設降價x元，則0”x<15,照片被帶走的可能性為0.3+0.05x,

不被帶走的可能性為0.7-0.05日，

設每個游客的利潤為y元，則y是隨機變量，其分布列為：

Y15-x-5

P0.3+0.05%0.7—0.05%

E(Y)=(15-x)x(0.3+0.05x)-5x(0.7-0.05x)=0.05[69-(x-7)2],

當x=7時，E(y)有最大值3.45元，

當定價為13元時，日平均利潤取最大值為5000*3.45=17250元.

例3.一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節，是希望的開端.某種植戶對一塊地的eN*)

個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發芽的概率均為工，且每粒種子是否發芽相互獨立，對每一

2

個坑而言，如果至少有兩粒種子發芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.

(1)當〃取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？

(2)當力=4時，用X表示要補播種的坑的個數，求X的分布列與數學期望.

【解析】解：(1)對于一個坑而言，要補種的概率為(步+十產=；.

有3個坑需要補種的概率為：C：x(g)“，

1C3(-),!>C2(-)n

要使C,：x(3"最大，只須"彳"2,解得5V"V7,

2卜5世(y

Q〃￡N*,故〃=5,6,7.

所以當"為5或6時，有3個坑要補播種的概率最大.最大概率為*.

16

(2)〃=4時，要補播種的坑的個數X的所有的取值分別為0,1,2,3,4,X~

P(X=3)=C；(；)4=；,P(X=4)=

所以隨機變量X的分布列為：

X01234

P1￡311

1648416

所以X的數學期望E(X)=4x；=2.

例4.為實現有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結合某貧困村水質優良的特點，決定

利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養殖試驗，試驗后選擇其中一種進行大面積養

殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8,魚苗乙、丙的自然成活率均為0.9,且甲、乙、丙三種魚苗是否成活

相互獨立.

(1)試驗時從甲、乙、丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數為X,求X的分布列和數學期望；

(2)試驗后發現乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買〃尾乙種魚苗進行大面積養殖，為提高魚苗的成活率，

工作組采取增氧措施，該措施實施對能夠自然成活的魚苗不產生影響，使不能自然成活的魚苗的成活率提

高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標是獲利

不低于37.6萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？

【解析】解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

則尸(X=0)=0,2x0.1x0.1=0.002,

P(X=1)=O.8XO.1XO.2+O.2XO.9XO.1+O.2XO.1X0.9=0.044,

P(X=2)=0.8x0.9x0.1+0.8x0.1x0.9+0.2x0.9x0.9=0.306,

尸(X=3)=0.8x0.9x0.9=0.648.

故X的分布列為：

X0123

P0.0020.0440.3060.648

E(X)=0x0.002+1x0.044+2x0.306+3x0.648=2.6.

(2)根據已知乙種魚苗自然成活的概率為0.9,

依題意知一尾乙種魚苗最終成活的概率為0.9+0.1x0.5=0.95,

一尾乙種魚苗的平均收益為10x0.95-2x0.05=9.4元.

設購買〃尾乙種魚苗，尸(")為購買〃尾乙種魚苗最終可獲得的利潤，

則F(n)=9.4/7>376000,解得n>40000.

所以需至少購買40000尾乙種魚苗，才能確保獲利不低于37.6萬元.

例5.為了引導居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價.階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月

用水量為基準定價，具體劃分標準如表：

階梯級別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量

月用水量范圍(單位：立方米)[0,10)[10,15)口5收)

從本市隨機抽取了10戶家庭，統計了同一月份的月用水量，得到如圖莖葉圖：

0789

112334

20

32

（0）現要在這W戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數X的分布列與數學期望；

（回）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到左戶月用

水量為一階的可能性最大，求上的值.

【解析】（回）由莖葉圖可知抽取的10戶中用水量為一階的有3戶，二階的有5戶，三階的有2戶.第二階

段水量的戶數X的可能取值為0,1,2,3,

icxc25

p(x=o)=,P(X=1)=

3~12c3~12

q0Ho

C25c；c；1

p(X=2)=P(X=3)=

3=12,c3~12

q0Ho

所以X的分布列為

X0123

1551

p

12121212

X的數學期望石(X)=0$+l*+2*+3$=：

J.乙-L乙J.乙A.乙乙

（0）設F為從全市抽取的io戶中用水量為一階的家庭戶數，依題意得丫?吃），

10-k

P(X=k)=C：。11I(左=0,1,2,3,.,10),

，所以當k=3時概率最大.

例6.已知八，8兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X］和X］.根據市場分析，X］和X2的分布列如

下.

%5%10%

p0.80.2

X]2%8%12%

p0.20.50.3

（1底AA兩個項目上各投資100萬元X和八分別表示投資項目A和B所獲得的利潤求。（珀和。化）；

（2）將x（0<%<100）萬元投資A項目，WO-x萬元投資B項目，"%）表示投資A項目所得利潤的方差

與投資B項目所得利潤的方差之和.求/（X）的最小值，并指出X為何值時，/（可取到最小值.

【解析】（1）石耳=5%xl00x0.8+10%xl00x0.2=6,

=（5%x100-6）2x0.8+（10%x100-6）2x0.2=4

EY2=2%X100X0.2+8%X100X0.5+12%X100X0.3=8,

222

DY2=（2%x100-8）x0.2+（8%x100-8）x0.5+（12%x100-8）x0.3=12

（122Z^）2

（2）y（x）=z）（—x）+匕）=（—）2。（工）+D（X）

1001001001100

4o4o0

=--[%2+3(100-x)02]=--(4x2-600x+3xl002),

10021002

當x=75時，f(x)取最小值3.

例7.某地有種特產水果很受當地老百姓歡迎，但該種水果只能在9月份銷售，且該種水果只能當天食用

口感最好，隔天食用口感較差。某超市每年9月份都銷售該特產水果，每天計劃進貨量相同，進貨成本每

公斤8元，銷售價每公斤12元；當天未賣出的水果則轉賣給水果罐頭廠，但每公斤只能賣到5元。根據往

年銷售經驗，每天需求量與當地氣溫范圍有一定關系。如果氣溫不低于30度，需求量為5000公斤；如果

氣溫位于[25,30),需求量為3500公斤；如果氣溫低于25度，需求量為2000公斤；為了制定今年9月份

訂購計劃，統計了前三年9月份的氣溫范圍數據，得下面的頻數分布表

氣溫范圍[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,0)

天數414362115

以氣溫范圍位于各區間的頻率代替氣溫范圍位于該區間的概率.

(1)求今年9月份這種水果一天需求量X(單位：公斤)的分布列和數學期望；

(2)設9月份一天銷售特產水果的利潤為F(單位：元)，當9月份這種水果一天的進貨量為n(單位：

公斤)為多少時，y的數學期望達到最大值，最大值為多少？

【解析】解析：(1)今年9月份這種水果一天的需求量X的可能取值為2000、3500、5000公斤，

4+143500)=||=0.4,

P(X=2000)==0.2,

尸(X=5000)==04

于是X的分布列為：

X200035005000

P0.20.40.4

X的數學期望為：成=2000x0.2+3500x0.4+5000x0.4=4800.

(2)由題意知，這種水果一天的需求量至多為5000公斤，至少為2000公斤，因此只需要考慮

2000<n<5000,

當3500。45000時，

若氣溫不低于30度，則y=4〃；

若氣溫位于［25,30),貝=3500x4—(〃—3500)x3=2450°—3〃;

若氣溫低于25度，則Y=2000x4-(n-2000)x3=14000-3n;

2211

此時EF=W*4〃+二x(24500-3?z)+-(14000-3n)=12600--n<11900

當2000V〃<3500時，

若氣溫不低于25度，則y=4”；

若氣溫低于25度，則Y=2000x4-(n-2000)x3=14000-3n;

4i

止匕時EF=Wx4〃+-(14000-3n)=2800+不〃<11900;

所以“=3500時，y的數學期望達到最大值，最大值為11900.

例8.長沙某超市計劃按月訂購一種冰激凌，每天進貨量相同，進貨成本為每桶5元，售價為每桶7元，

未售出的冰激凌以每桶3元的價格當天全部處理完畢.根據往年銷售經驗，每天的需求量與當天最高氣溫(單

位：。C府關，如果最高氣溫不低于25°C，需求量為600桶;如果最高氣溫(單位-C庖于區間［20,25),

需求量為400桶；如果最高氣溫低于20。。，需求量為200桶.為了確定今年九月份的訂購計劃，統計了前

三年九月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

最高氣溫(°C)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.

（1）求九月份這種冰激凌一天的需求量X（單位：桶）的分布列；

（2）設九月份一天銷售這種冰激凌的利潤為y（單位：元），當九月份這種冰激凌一天的進貨量〃（單位：

桶）為多少時，y的均值取得最大值？

【解析】（1）由已知得，X的可能取值為200,400,600,記六月份最高氣溫低于20為事件A,最高氣

溫位于區間［20,25）為事件4,最高氣溫不低于25為事件&,

根據題意，結合頻數分布表，用頻率估計概率，

-IQ-1QZ70C

可知P（X=200）=P（4）=—=-,P（X=400）=P（4）=—=-,F（X=600）=尸（4）=—=-,

故六月份這種冰激凌一天的需求量X（單位：桶）的分布列為：

X200400600

]_22

P

5I~5

(2)結合題意得當n?200時,E(Y)=2儂400,

當200<%,400時，E(y)=-1x[200x2+(72-200)x(-2)]+-4xnx2=^6n+160e(400,640],

當400<600時，

192

E(y)=-x[200x2+(n-200)x(-2)]+-x[400x2+(n-400)x(-2)]+-x/2x2

=-|n+800e[560,640),

當”>600時，

122

E(y)=-x[200X2+5—200)x(-2)]+-x[400x2+(〃-400)x(-2)]+-x[600x2+(〃-600)x(-2)]

=1760—2〃v560,

所以當〃=400時，y的數學期望E(Y)取得最大值640.

例9.某企業準備投產一批特殊型號的產品，已知該種產品的成本C與產量4的函數關系式為

3

C='-3/+20q+10(q>0)

該種產品的市場前景無法確定，有三種可能出現的情況，各種情形發生的概率及產品價格。與產量q的函

數關系式如下表所示：

市場情形概率價格〃與產量q的函數關系式

好0.4p=164-3q

中0.4p=101-3q

差0.2p=10-4q

設。4,4分別表示市場情形好、中差時的利潤，隨機變量短，表示當產量為q,而市場前景無法確定

的利潤.

(/)分別求利潤4，L2,4與產量q的函數關系式；

(//)當產量q確定時，求期望E短；

(///)試問產量q取何值時，E短取得最大值.

【解析】解:由題意可得

Li=(164-3q)-q~3/+20q+10)

3

--^-+144(7—10(q>0).

3

同理可彳導上2=—^-+814—]0(q>0)

3

￡3=———H50q_10(q>0)4分

(0)解:由期望定義可知

=0.44+0.4￡2+0.2L3

333

=0.4X(―g+144夕一10)+0.4X(―g+81q-10)+0.2x(弋+50夕-10)

3

-^-+100^-10.

(0)解曲(回)可知EJ是產量q的函數，設

3

/(幻=段=-；+100<7-10(q>0)

得/①)=一/+100.令于'9)=o解得

q=10,4=-10(舍去).

當0<q<10時，尸(“)>0;當q>10時"'⑷<0

可知，當9=10時J(q)取得最大值，即E之最大時的產量q為10.

例10.將連續正整數L2,…,〃(“eN*)從小到大排列構成一個數123…〃，尸(〃)為這個數的位數(如〃=12

時，此數為12345