廣東省深圳市龍崗區2024屆高三上學期期末質量監測數學試題

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.

1.已知集合4={久|久2<2},B={—2,-1,0,1,2},則ACB=（）

A.{0}

B.{0,1}

C.{—1,0,1)

D.{-2,—1,0,1）

2.已知復數z=l-gi,則z2在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知數列{斯}為等差數列，$?為其前幾項和，a6+a3-a5=3,則S7=（）

A.42B.21C.7D.3

17T

4.已知ae(0,兀)，且sin2a=守則sin(a+/)的值為()

AA/6RV6「y[6n

3663

5.已知5a=10°,則、=（）

A.1B.2C.log510D.1-lg2

6.過圓/+y2=i上一點A作圓。—4>+y2=4的切線，切點為B,則|2B|的最小值為（)

A.2B.V5C.V6D.V7

7.已知函數fO）=久（1+是偶函數，則小的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

8.已知矩形/BCD中，AB=2,BC=1,將△CBD沿HD折起至△C,BD,當C,B與4D所成角最大時，三棱錐

C-ABD的體積等于（）

二'多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.關于二項式（/-叁）8的展開式，下列結論正確的是（）

A.展開式所有項的系數和為-1B.展開式二項式系數和為256

1

C.展開式中第5項為1120/D.展開式中不含常數項

10.已知瓦，石是夾角為郛單位向量，五=瓦-2夙，石=石+質下列結論正確的是()

A.|a|=V3

—?1

B.a-b=—

C.<a,b>=竽

D.方在讓的投影向量為一弱

11.下列說法中正確的是()

A.用簡單隨機抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體"被抽到的概率是

0.1

B.已知一組數據1,2,m,6,7的平均數為4,則這組數據的方差是爭

C.數據13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數是23

D.若樣本數據的，亞，…，Mo的標準差為8,則數據2%i-1,2%2-L…，2亞0-1的標準差為32

12.已知拋物線產=4%的焦點為R準線與x軸的交點為尸，過點尸的直線與拋物線交于點〃，N,過點尸的

直線與拋物線交于點/,B,則

A.\MN\>4B.OM-ON^-4

C.\OA\2+\OB\2>10D.\AF\+\BF\>2\PF\

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數y=cos2x的最小正周期為.

14.有甲、乙、丙三項任務，其中甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，現從6人中任選4人承擔這三項

任務，則共有種不同的選法.

15.已知尸1，尸2是橢圓E：及+番=l(a>b〉0)的左，右焦點，E上兩點4B滿足3旃=2用，=

2\AF21,則E的離心率為.

16.已知函數/(%)=/+(1+。尸—2(a>0且aHl),若函數/(%)恰有一個零點，則實數a的取值范圍

為.

四'解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

17.記△ABC的內角的4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosA=練二

Zb

(1)求3；

(2)若c=3,b=V13,求△ABC的面積.

2

18.如圖，在三棱錐P—2BC中，PCABC,AB=BC=*PC=2,PA=2

(1)求證：4B1平面PBC；

(2)若M是P4的中點，求CM與平面PAB所成角的余弦值.

19.已知數列｛aj滿足的=1,且對任意正整數m,n?都有。m+n=+2mn.

(1)求數列｛斯｝的通項公式；

(2)求數列｛(-1尸期｝的前n項和Sn.

20.已知雙曲線斗—"=1缶>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi，F2,離心率為得過點％的直線，與雙曲

線的左、右兩支分別交于點力，B.當8尸2,2時，△BF/2的面積為5.

(1)求雙曲線的標準方程；

(2)若直線Z與y軸交于點M,且拓？=L4直,=4,求證：入+〃為定值.

21.某工廠采購了一批新的生產設備.經統計，設備正常狀態下，生產的產品正品率為0.98.為監控設備生產

過程，檢驗員每天從該設備生產的產品中隨機抽取10件產品，并檢測質量.規定：抽檢的10件產品中，若至

3

少出現2件次品，則認為設備生產過程出現了異常情況，需對設備進行檢測及修理.

(1)假設設備正常狀態，記X表示一天內抽取的10件產品中的次品件數，求P(X22),并說明上述監控

生產過程規定的合理性；

(2)該設備由甲、乙兩個部件構成，若兩個部件同時出現故障，則設備停止運轉；若只有一個部件出現故

障，則設備出現異常.已知設備出現異常是由甲部件故障造成的概率為p,由乙部件故障造成的概率為1-p.若

設備出現異常，需先檢測其中一個部件，如果確認該部件出現故障，則進行修理，否則，繼續對另一部件進行

檢測及修理.已知甲部件的檢測費用1000元，修理費用5000元，乙部件的檢測費用2000元，修理費用4000

元.當設備出現異常時，僅考慮檢測和修理總費用，應先檢測甲部件還是乙部件，請說明理由.

參考數據：0.981°儀0.82,0.989^0.83,0.988?0.85.

22.已知函數/(X)=比久+,-1.

(1)討論函數/(%)的單調性；

121

(2)若函數/(%)有兩個零點為1，%2,且久1〉孫證明：房+亳＞a

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】因為集合2={久|久2<2}={%1—/<%<魚}，B={—2,-1,0,1,2},則4CB=

{-1,0,1)

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合一元二次不等式求解方法，進而得出集合A,再結合交集的運算法則，進而得出集

合A和集合B的交集。

2.【答案】C

【解析】【解答】因為復數z=1—遮。

則z2=(1-V3i)2=l2-2V3i+(V3i)2=1-2V3i+3i2=-2-2向,

所以復數z2在復平面內對應的點為Z(-2,-2V3),

因為Z(-2,-2遮)位于第三象限，

所以復數z2在復平面內對應的點位于第三象限。

故答案為：C.

【分析】利用復數的乘法運算法則得出復數z2,再利用復數的幾何意義得出復數在復平面內對應的點的坐標，

再結合點的坐標確定復數z2在復平面內對應的點所在的象限。

3.【答案】B

【解析】【解答】因為數列{an}為等差數列，Sn為其前71項和，

又因為。6+。3—“5=3,所以，+5d+a1+2d—%—4d=3,

所以，的+3d=3,所以，a4=3,

則S7=7(叼；。7)==7。4=7X3=21

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結合等差數列的通項公式得出數列第四項的值，再利用等差數列前n項和公式和等差數

列的性質，進而得出等差數列前7項的和。

4.【答案】D

【解析】【解答】因為a6(0,兀)，且sin2a=?1?,

所以2sinacosa>0,所以sina>0,cosa>0,

又因為sin2a+cos2a=1,

所以，(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a=1+*=*，

因為sina〉0,cosa〉0,所以sina+cosa〉0,所以，sina+cosa=

貝Isin(a+今)=sinacos*+cosasin^=?(sina+cosa)=辛X=亨

故答案為：D.

【分析】利用角的取值范圍和二倍角的正弦公式，進而得出角的正弦值和余弦值的正負，再利用平方關系和完

全平方公式得出sina+cosa的值，再結合兩角和的正弦公式得出sin(a+^)的值。

5.【答案】D

【解析】【解答】因為5。=10匕，所以65a=310°,則a/g5=b,

貝哈=IgS=⑨學=IglO—lg2=1-lg2

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結合對數的運算法則，進而得出t的值。

6.【答案】B

【解析】【解答】設圓久2+y2=1與圓(久一4)2+y2=4的圓心分別為o,C,則|2B|=J|AC|2_4,當|AC|最

小時，|4B|最小，由于點A在圓O上，則MQ的最小值為|0C|—1=4—1=3,所以|2B|的最小值為代.

故答案為：B.

【分析】根據題意由圓的方程求出圓心坐標再由兩點間的距離公式，結合圓的幾何意義計算出最小值即可。

7.【答案】A

【解析】【解答】/(-久)=7。+泮)=-％(1+署)=與手,

因為/(%)是偶函數,

所以/(%)=/(-X),

所以％(1+恐)=一久+號,

mx-\-mxex

所以2x+=0,

-l-ex

所以(2+m)%4-(2+m)xex_

l—ex-

所以m+2=0,

所以m=-2,

故答案：A.

【分析】首先根據題意化簡得到f(-%),再根據偶函數的性質，可知/(%)=/(-嗎，從而化簡得到租=-2.

8.【答案】A

6

【解析】【解答】因為異面直線所成角的取值范圍是（0,￡],故當C'BIAD時，C'B與AD所成的角最大，

因為四邊形ABCD是矩形，所以ABLAD,

而4BnC'B=B,AB.CBu平面

在直角三角形力DC'中，AD=1,CD=2,AC=瓜

而BC'=LAB=2,BC'2+AC'2AB2,所以BC'LAC',

所以，C'-4BD—VD-ABC—XSA4BC"4Q='|'X|'X1XV^X1=皚,

故答案為：A.

【分析】利用已知條件結合異面直線所成的角的取值范圍和幾何法得出當C'B1AD時，CB與AD所成的角最

大,再利用矩形的結構特征證出線線垂直,再結合直角三角形勾股定理得出邊長,再根據勾股定理證出BC'lAC,

再利用三棱錐的體積公式和等體積法，進而得出當C'B與4D所成角最大時的三棱錐C'-4BD的體積。

9.【答案】B,C,D

8

【解析】【解答】對于A,令x=l,則（12—令=（-2）8=1，所以展開式所有項的系數和為1,所以A錯；

對于B,展開式二項式系數和為28=256,所以B對；

對于C,（/—￡）8的展開式中的通項公式為"+]=q（%2）8-『（—/廠=（―2）『C"16-3r,

所以，展開式中第5項為75=（-2）4瑪-=1120久4,所以C對；

對于D,令16-3r=0,解得r=竽，不是整數，所以展開式中不含常數項，所以D對.

故答案為：BCD.

【分析】利用二項式定理求出展開式中的通項公式，再結合通項公式和常數項的定義，進而判斷出選項C和選

項D,再利用賦值法得出展開式所有項的系數和，從而判斷出選項A,再結合二項式系數和公式判斷出選項B,

進而找出結論正確的選項.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】由題意可知：|瓦|=|同=1,瓦?石=|瓦|展爾畀寺，

對于A：因為同2=畫_2石＞=瓦2_4瓦?石+4石2=l+4-4x1=3,

所以同=V3,故A正確；

對于B：因為五?加=（瓦一2互）?同+互）=五2一萬?石一2石2=1一＞2=—|,故B錯誤；

對于C：因為的2=廊+醞）2=瓦2+2瓦?反+芍2=I+I+I=3，貝IJ回=8，

可得cos（a^b）—"士=廠2＞—-，

''\a\\b\V3xV32

且0〈〈五力〉〈兀,所以〈方力）=竽,故C正確;

7

對于D：因為行在另上的投影向量為需吃=-4反故D正確；

故答案為：ACD.

【分析】由題意可得：后|=扃|=1"?苣=J對于A：根據模長公式結合數量積的運算律分析求解；對于

B：根據數量積的運算律分析求解；對于C：先求的=8，結合向量夾角公式分析求解；對于D：根據投影向

量的定義分析求解.

11.【答案】A,B

【解析】【解答】對于A,用簡單隨機抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體

機被抽到的概率是￡=*=0.1,所以A對；

對于B,已知一組數據1,2,m,6,7的平均數為4,則［萼a±2=4,所以m=4,

22222

所以這組數據的方差是s2=(1-4)+(2—4)+(4飛4)+(6—4)+(7-4)=尊，所以B對；

對于C,因為10x70%=7,所以將數據13,27,24,12,14,30,15,17,19,23從小到大排序，進而得

出這組數據的第70百分位數是第7個數和第8個數的平均數為里羅=竽=23.5,所以C錯；

對于D,若樣本數據勺，工2，…，工io的標準差為s點=8,則數據2與-1,2X2-1,2久1()—1的標準差為

2s原=2x8=16,所以D錯.

故答案為：AB.

【分析】利用已知條件結合簡單隨機抽樣求概率公式、平均數公式和方差公式、百分位數求解公式、標準差公

式的標準差的性質，進而找出正確的選項。

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】對于A,由題可知F(l,0),設直線MN：x=ty+l,M(x「yQ,N(x2,y2),

聯立直線與拋物線的方程，即仁)算整理可得y2-4ty-4=0,

2

貝如1+；72=4%丫1丫2=-4,\MN\=+x2+p=t(yi++4=4t+4>4,所以A對；

對于B,因為％I%?=D=1，貝ON=/冷+月丫2=—3,所以B錯；

對于C,由題可知P(-L0),易知直線AB的斜率存在且不為0,

設直線AB：x=my-l,yA),B(XB,

聯立直線與拋物線的方程，即卜｝琴r整理可得V—4四+4=0,

X

貝"人+如=4TH,yAyB=4,故孫孫=1，xA>0,xB>0,且％a豐B,

2

|。川2+\QB\=%：+y：+用+耳>2XAXB+2yAyB=10,所以C對；

8

對于口，|/尸|+出尸|=必+久8+「>2網壇+2=4,又因為|PF|=2,

所以|/F|+|BF|>2|PF],所以D對.

故答案為：ACD.

【分析】聯立直線與拋物線方程和韋達定理以及拋物線的定義，從而得出線段MN的長，進而判斷出選項A,

利用代入法和拋物線的標準方程，再結合數量積的坐標表示和韋達定理判斷出選項B,聯立直線與拋物線方程

和韋達定理以及兩點距離公式和均值不等式求最值的方法，從而判斷出選項C,利用拋物線定義和均值不等式

求最值的方法判斷出選項D,進而找出正確的選項.

13.【答案】兀

【解析】【解答】解：函數尸COS2X=1+C°S2%,故它的周期為爭=兀，

故答案為：加

【分析】由條件利用半角公式化簡函數的解析式，再利用余弦函數的周期性，求得函數y=cos2x的最小正周期.

14.【答案】180

【解析】【解答】第一步：先從6人中任選2人承擔任務甲，有鬃=15種選法；

第二步：再從剩余4人中選出1人承擔任務乙，有禺=4種選法；

第三步：最后從剩下3人選出1人承擔任務丙，有禺=3種選法；

所以共有僚=180種不同的選法。

故答案為：180.

【分析】利用已知條件結合組合數公式和分步乘法計數原理，進而得出滿足要求的共有的不同選法種數。

15.【答案】第

【解析】【解答】因為3旃=2用，則可設|4/21=2%\F2B\=3t,

又因為|AF1|=2|4?2|，所以3%|=4t,

由橢圓的定義，\AFr\+\AF2\=6t=2a,即t=等

又因為|BFi|=2a-\BF2\=2a-a=a,即點B為短軸端點,

|BFI『+|BF2產一尸也|2

所以，在中，cosB=雪上=l—2e2Y，

2X|BFI|X|BF2|2a-a5

解得e=*或e=—*（舍）。

故答案為：亙

【分析】利用已知條件結合向量共線定理和線段之間的關系，進而設出線段，再結合橢圓的定義和余弦定理,

再根據橢圓的離心率的取值范圍，從而解方程得出橢圓的離心率的值。

16.【答案】{可。=弓&a>1}

9

【解析】【解答】因為rco=a，+(l+a)x—2(a>0且a。1),

所以，當x=0時，f(0)=a。+(1+a)。—2=1+1—2=0,

所以0是函數f(x)的一個零點，若函數/(%)恰有一個零點，

則其等價為當x不等于0時，f(x)不等于0即可，

當a>l時，由指數函數的性質可知：f(x)在R上單調遞增，此時只有一個零點，滿足題意；

當0<a<l時，/'(%)=axlna4-(1+a)zln(l4-d),則函數尸0)在R上單調遞增,

由于工一一8,/'(%)00,X-^+00,/''(￡)f+8,

所以尸(%)存在唯一零點，若f(x)只有一個零點x=0,此時也必為極值點，

則只需/1(0)=a°lna+(1+a)°ln(l+a)=0,解得a=與匚，

綜上所述，則實數a的取值范圍為口|。=二空或。>1｝。

故答案為：包|°=二乎或a>D

【分析】根據指數函數的性質，得出f(0)=0,然后分別討論a>1和0<a<1時的函數的單調性進行判斷即

可。

17.【答案】(1)解：法一：因為cosZ=^,所以生鎧衛=物，

2b2bc2b

整理得小+c2—b2=ac,

所以c°sB=必產/=蕓=4

2ac2ac2

又因為36(0,71),所以B=*

法二：因cos.=2晨0,所以2bcosZ=2c-a,由正弦定理得

2b

2cosXsinF=2sin(A+B)—sinX=2sin/cosB+2cosXsinB—sinX,

整理得2sinXcosB—sin/=0,

因為sinA>0,所以cosB=J

又因為Be(0,71),所以B=/

(2)解：因為川=a2+02—2accosB,c—3,b=V13,

所以13=22+9-3a,即a2—3a—4=0,解得a=4,

所以△ABC的面積s=acsinB=±x3x4x^=3y/3

【解析】【分析】(1)方法一：首先根據余弦定理，將角轉換為邊進行化簡，化簡后再次利用余弦定理，再將邊

轉換為角，得到4B余弦值，最終根據角的取值范圍得到ZB值.方法二：首先根據正弦定理，將所有邊都轉換為

角，再利用誘導公式進行化簡，得到ZB余弦值，最終根據角的取值范圍得到ZB值.

10

(2)首先結合(1)中求得NB的余弦值，再根據題目所給b,c值，代入余弦定理，求得a值，最后再根據正弦定理

與三角形面積的表達式，代入求得面積.

18.【答案】(1)解：因為PC_L平面ABC,ACcWABC,所以PCJ.AC,

又PC=4,PA=2限

所以ac=2魚，

在△ABC中，因為AB=BC=2,所以AB?+BC2=所以ZBIBC,

因為PCI平面ABC,ABABC,所以PCIAB,

又因為PCClBC=C,PC,BCc￥?PBC,

所以AB1平面PBC；

(2)解：(方法一)如圖,以B為坐標原點，建立空間直角坐標系,

則B(0,0,0),4(0,2,0),P(2,0,4),C(2,0,0),M(l,1,2),

所以說=(一1,1,2),BA=(0,2,0),~BP=(2,0,4),

設平面PAB的法向量為五=(%,y,z),

則g亙=0,即｛2y=Q

(元?BP=012%+4z=0

令％=2,則z=-1,所以元=(2,0,—I)，

設CM與平面PAB所成角為仇

^M-n_-2-2_-2730

貝(jcos(CM,n)—

\CM\\n\"A/6XV5-15

sin0=|cos(CM,n)|='-cosB=

即CM與平面PAB所成角的余弦值為理1

(方法二)過點C作CN1PB,垂足為N,連接MN,

11

p

B

因為2B1平面PBC,CNu平面PBC,

所以ZB1CN,

又CNLPB,PBCAB=B,PB,PBu平面P4B,

所以CN1平面PAB,

則ZCMN為CM與平面PAB所成角的平面角，

在Rt△PAC中，CM=^PA=y/6,

左n..norrHPCxBC4x24花

在Ht△PBC中，CN=-

PB2755

...在Rt△CMN中，MN=VCM2-CN2=J(V6)2-(^)2=爭，

即CM與平面PAB所成角的余弦值為4

【解析】【分析】(1)首先根據線面垂直的性質，得到一組垂直，結合勾股定理求得4C值，再次利用勾股定理的

判定，得到一組線線垂直，然后再根據線面垂直得到另外一組線線垂直，根據線面垂直的判定，從而得到結論.

(2)方法一：如圖建立空間直角坐標系，得到各點坐標，聯立得到各個向量，聯立方程組，求出平面的法向量，

再利用余弦定理求得直線CM與平面P4B的所成角的余弦值.方法二：首先過點C作一組垂線，再根據線面垂

直得到另外一組線線垂直，根據判定得到線面垂直，從而得到直線與平面的夾角ZCMN,然后再根據勾股定理,

進一步求得CM,CN值，最終求得夾角的余弦值余弦.

19.【答案】(1)解：由對任意整數m,n均有a7n+n—an+am+2mn,取TH=1,得a^+i=an+1+2n,

當n之2時，an=a1+(ci2—Qi)+(<23—a2)+…+(c1n—斯-i)=1+3+5+…+2n—1—"1+~~——彥,

當n=l時，臼=1,符合上式，所以an=n2.

222222

(2)解：當九為偶數時，Sn=(-I+2)+(-3+4)+-+[-(n-I)+n]

=3+7+11+…+(2幾—1)=2(3+；T)=4法1),

當n為奇數時，若?！=1,則Si=(-I)1xai=-1,

n712

若幾22，則S九=S九_i+(-l)an=S九_i-an=('I)-n=二%

12

且當n=l時，滿足51=專匚=—L

幾2+九

n為偶數

z

—n—n口為奇數

（~2~

【解析】【分析】(1)對任意整數m,n均有a機+n=。?+。加+2nm,再結合賦值法得出冊+i=%+1+2zi,

再由累加法和檢驗法得出數列｛g｝的通項公式.

(2)利用已知條件結合分類討論的方法和并項求和的方法以及遞推公式，進而得出數列｛(-1嚴冊｝的前n項和

SJJ.

20.【答案】(1)解：當BF2II時，|B%|2+|BF2『=4C2,SABF1F2=1|BFI|■\BF2\=5,

可得田川?IBF2I=10,

由雙曲線的定義可知，|B%|一|B&I=2a,

2

兩邊同時平方可得，|BFi『+\BF2\-2\BFX\'\BF2\=4a2,

所以4c2—2x10=4a2①

又雙曲線的離心率為I，所以好■!②

由①②可得，a2=4,c2=9,所以爐=9-4=5,

所以雙曲線的標準方程為4-噌=1.

(2)證明：當直線I與y軸垂直時，點M與原點。重合，

此時|M4|=|MB|=2,\AFr\=1,|B%|=5,所以入=2,〃=一|，入+4=告

當直線［與y軸不垂直時，設直線Z的方程為％=ty-3,y。，B(x2，乃)，

由題意知t40且一孚<9(字，

將直線I的方程與雙曲線方程聯立，消去左得，(5t2-4)y2-30ty+25=0,

0n/-

則小=900t2-4x(5t2-4)x25>0,yi+m月及=

易知點M的坐標為(0,1),

則由加=A^何，可得(％i，yi-,)=入(一3一小，一月),

所以入途3T，

3

同理可得“=而-1.

所以入+〃=53_1+而3-1=干3yi+>2r.8

y\yi~5,

綜上，入+〃為定值|.

13

【解析】【分析】(1)利用已知條件結合勾股定理和三角形的面積公式得出|BFi|?|B&I的值，再利用雙曲線的

定義和完全平方公式以及雙曲線的離心率公式和雙曲線中a,b,c三者的關系式，進而解方程組求出a,b,c

的值，從而得出雙曲線的標準方程.

(2)利用已知條件結合直線與y軸的位置關系，當直線[與y軸垂直時，點M與原點。重合，再結合邊之間

的關系和幾何方法得出入+〃的值，當直線[與y軸不垂直時，設出直線方程，再聯立直線與雙曲線方程結合判

別式法和韋達定理，進而得出點M的坐標，再結合向量的坐標表示，進而得出入+〃的值，從而證出入+“為定

值.

21.【答案】(1)解：由題可知，單件產品為次品的概率為0.02,所以X?B(10,0.02),

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所以P(X=